(3.12)-第十章 模糊數(shù)學(xué)簡介

11.模糊知識簡介2.隸屬函數(shù)的確定方法3.模糊聚類分析4.模糊綜合評判第十章模糊數(shù)學(xué)簡介

第十章2第一節(jié)模糊知識簡介一、基本概念二、模糊集合的扎德表示法三、模糊集的運算及性質(zhì)四、截集五、模糊關(guān)系和模糊矩陣六、模糊變換3什么是模糊數(shù)學(xué)？模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念沒有明顯分界線如：年輕，年老，重，熱，美，丑，大，小，強，弱……共同特點：模糊概念的外延不清楚。（換言之符合此概念的對象不確定）模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。4模糊子集

定義：如果論域U中的任意一個元素對A的隸屬函數(shù)在U上都對應(yīng)一個值，且滿足則說隸屬函數(shù)確定了論域U上的一個模糊子集A，簡稱模糊集A；稱為對于模糊子集A的隸屬度；2.模糊冪集

定義：論域U上的一切模糊子集所構(gòu)成的集合，通常用F(U)表示。一、基本概念例1：某家電維修小組有5名工人，分別記為設(shè)論域，現(xiàn)分別對每個工人的維修技術(shù)熟練程度打分，按百分制給分，然后除以100，于是U上的每個元素都對應(yīng)于[0,1]之間的一個隨機數(shù)值，例如：這樣就確定了一個模糊集A，它表示該維修小組的工人對“維修技術(shù)熟練”這個模糊概念；6二、模糊集合的扎德表示（1）當(dāng)論域U中元素有限，即時，注：不表示分數(shù)，而是表示U中的元素與隸屬度之間的對應(yīng)關(guān)系；

“+”不表示求和，而是表示模糊子集在論域上的整體。

7（2）向量表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：此時，隸屬度為0的項不能舍棄。注：這里“”并不是指積分。8定義：設(shè)A，B是論域U的兩個模糊子集，定義

并：交：余：表示取大；表示取小。三、模糊集的運算及性質(zhì)相等：

包含：例2：設(shè)論域中，

求A與B的并，交和補運算。解：例3：設(shè)，則則：

由此可見，模糊集的交，并，補運算不滿足互補率；但與普通集合一樣，模糊集滿足冪等率，交換律，結(jié)合律等性質(zhì)；11四、截集定義：設(shè)A是論域U上的模糊集，普通集合稱為模糊集A的截集（水平集）。取一個模糊集A的截集，實際上就是將其隸屬函數(shù)按照下式轉(zhuǎn)化成特征函數(shù)：

12設(shè)均為有限集，則從U到V的模糊關(guān)系R可以用m×n階矩陣來表示，仍記作R，即：

滿足上式的矩陣稱為模糊關(guān)系矩陣，簡稱模糊矩陣；當(dāng)時，R為一個普通關(guān)系。因此普通關(guān)系是模糊關(guān)系矩陣的特例

五、模糊關(guān)系和模糊矩陣定義：直積的一個模糊子集R稱為U到V的一個模糊關(guān)系。（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運算定義：設(shè)都是模糊矩陣，則：

14例4：（2）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對任意的稱為模糊矩陣R的截矩陣，其中解：15例5：解：16（3）模糊矩陣的合成定義：設(shè)稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。例6：解：17六、模糊變換定義：設(shè)U，V為兩個有限集，

并且A,B分別為U和V上的模糊集R是U到V的一個模糊關(guān)系其中.則稱B是A的像，A是B的原像，R是U到V的一個模糊變換。例7：設(shè)，已知U上的模糊集，論域U到V的一個模糊變換為

試通過模糊變換R求模糊集A的像B；解：由公式的得：19第二節(jié)隸屬函數(shù)的確定方法一、凸模糊子集二、隸屬函數(shù)確定方法20一、凸模糊子集定義：設(shè)A是以實數(shù)R為論域的模糊子集，其隸屬

函數(shù)為，若對任意實數(shù)a<x<b，都有則稱A為凸模糊集；21常用的隸屬函數(shù)確定方法有：模糊統(tǒng)計法、例證法、專家經(jīng)驗法以及二元排比法以模糊統(tǒng)計法為例說明：模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運動?？梢愿采w也可以不覆蓋致使對A的隸屬關(guān)系是不確定的。二、隸屬函數(shù)確定方法22特點：在各次試驗中，是固定的，而在隨機變動。模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對A的隸屬度：例8：為建立“青年人”的隸屬函數(shù)，以人的年齡作為論域U.解：

第一步：調(diào)查若干人選，各自認真考慮“青年人”的含義之后，提出他認為“青年人”最合適的年齡區(qū)間（隨機地將模糊概念明確化）．表1記錄了129人關(guān)于“青年人”年齡區(qū)段的調(diào)查結(jié)果．如果設(shè)A=“青年人”，那么表中每個區(qū)間就是每次試驗中的A.

第二步：對，求出對A的隸屬頻率穩(wěn)定值，作為對A的隸屬度值．比如，對于（歲），根據(jù)表10.1統(tǒng)計得：當(dāng)樣本總數(shù)時，樣本區(qū)間覆蓋27的頻數(shù)，相應(yīng)的隸屬頻率，具體數(shù)據(jù)參見表10.2，

以n為橫坐標、f為縱坐標繪制圖形（圖2）可以發(fā)現(xiàn)時對A的隸屬頻率穩(wěn)定在0.78附近，因此“27（歲）”對模糊集“年輕人”的隸屬度確定0.78.

第三步類似地，對任意年齡，求出X對A的隸屬頻率值，作為u對A的隸屬度值，見表3．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可作模糊集A=“青年人”的隸屬函數(shù)曲線如圖3.18-2518-3017-3020-3515-2818-2518-3519-2817-3016-3015-2815-2516-2818-3018-2518-2817-3015-3018-3018-3515-2517-2517-3018-3518-2518-3016-2818-3018-3515-3018-3515-2815-2516-3218-3018-3517-3018-3516-2820-3016-3018-3518-3518-2917-2818-3518-3518-2518-3016-2817-2715-2616-3518-3515-2515-2718-3516-3014-2518-2518-3020-3018-2818-3015-3018-2818-2516-2520-3018-3518-3018-3016-2817-2516-3018-3015-2518-3518-3018-2818-2616-3516-2816-2515-3517-3015-2516-3515-3018-3015-2516-3016-3015-2815-3615-2517-2818-3016-2518-3017-2518-2917-2915-3017-3016-3016-3515-3014-2518-3516-3018-3018-3516-2818-2518-3018-2818-3516-2418-3017-3015-3018-3518-2518-3015-3015-3017-3018-30

表1：關(guān)于青年人年齡區(qū)間的調(diào)查表n102030405060708090100110120129mf60.60140.70230.70310.78390.78470.78530.76620.78680.76760.76850.77950.791010.78表2:不同樣本下的隸屬函數(shù)

110120130140.016150.209160.395170.519180.961190.969201211221231241250.992260.798270.783280.767290.620300.597310.209320.209330.202340.202350.202360.008370380390400表3：論域中每個元素對A的隸屬函數(shù)圖2不同樣本數(shù)目下“27歲”隸屬頻率穩(wěn)定值

圖3“青年人”的隸屬曲線在例題中我們利用模糊統(tǒng)計試驗方法建立了“青年人”的隸屬函數(shù)，其大致曲線如圖10.3所示．通過分析比較，發(fā)現(xiàn)圖10.3的曲線與嶺型分布的中間型

十分相似，于是選擇嶺型分布的中間型作為“青年人”的隸屬函數(shù)．根據(jù)例１中表10.3的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，取則“青年人”這個概念的具體的隸屬函數(shù)為其隸屬函數(shù)曲線如圖所示31實際中，根據(jù)問題對研究對象的描述來選擇適當(dāng)?shù)哪：植迹孩倨⌒湍：植家话氵m合于描述像“小，少，淺，淡，冷，疏，青年”等偏小的程度的模糊現(xiàn)象。②偏大型模糊分布一般適合于描述像“大，多，深，濃，熱，密，老年”等偏大的程度的模糊現(xiàn)象。③中間型模糊分布一般適合于描述像“中，適中，不太多，不太少，不太深，不太濃，暖和，中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。常用的模糊分布可參考書P263.（a）偏小型（b）中間型（c）偏大型矩形分布梯形分布正態(tài)分布

表4：常用的模糊分布

k次拋物型分布型分布柯西型分布34第三節(jié)模糊聚類分析一、模糊聚類分析一般步驟二、模糊聚類分析應(yīng)用什么是模糊聚類分析？聚類分析：對事物按不同水平進行分類的方法．換言之，聚類分析是將事物根據(jù)一定的特征，并且按某種特定的要求或規(guī)律進行分類的方法．例如，工業(yè)上對產(chǎn)品質(zhì)量的分類；工程上對規(guī)模的分類；生物學(xué)中對種子的分類；圖像識別中對幾何圖形的分類都是聚類分析問題．

對帶有模糊特征的事物進行聚類分析，顯然應(yīng)當(dāng)采用模糊數(shù)學(xué)的方法，因此稱其為模糊聚類分析法．36一、模糊聚類的一般步驟１、建立數(shù)據(jù)矩陣37（1）標準差標準化（矩陣的每一個數(shù)與這一列的平均數(shù)差的/這一列的標準差）對于第j個變量進行標準化，就是將

換成

即：

其中38（2）極差正規(guī)化（3）極差標準化（4）最大值規(guī)格化其中：39２、建立模糊相似矩陣（1）相似系數(shù)法①夾角余弦法②相關(guān)系數(shù)法40（2）距離法①Hamming距離②Euclid距離③Chebyshev距離41（3）貼近度法①最大最小法②算術(shù)平均最小法③幾何平均最小法423、聚類并畫出動態(tài)聚類圖

由于模糊等價矩陣能對論域進行等價劃分，這正是聚類分析所要求的；所以為在一個模糊相似矩陣的基礎(chǔ)上生成模糊等價矩陣，最自然的方法就是求該模糊相似矩陣的傳遞閉包；

傳遞閉包的概念：設(shè)R是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小的自然數(shù)使得為模糊等價矩陣，且對一切大于k的自然數(shù)l，恒有稱為R的傳遞閉包矩陣

傳遞閉包的求法：設(shè)有模糊矩陣R，用平方法合成傳遞閉包矩陣，若記則傳遞閉包矩陣為步驟：注意：1：求相似矩陣時用到模糊矩陣中的合成計算；2：聚類分析的時候采用截矩陣，大于等于令其為1，小于令其為0；44二、模糊聚類分析應(yīng)用45解：由題設(shè)知特性指標矩陣為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為46用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到用平方法合成傳遞閉包47取，得48取，得取，得49取，得取，得50畫出動態(tài)聚類圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類clc,clearX=[80106250164906464057310124];[m,n]=size(X);fori=1:nx=max(X(:,i));X(:,i)=X(:,i)./x;%最大值規(guī)劃法將數(shù)據(jù)規(guī)格化endR=similar(X);%模糊相似矩陣R2=transitive_closure(R,R);R4=transitive_closure(R2,R2)%傳遞閉包P=sort(unique(R4),'descend')%將矩陣的元素從大到小排列Matlab編程：similar函數(shù)functionb=similar(a)[m,n]=size(a);fori=1:m%最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣

forj=1:my=0;z=0;

fork=1:ny=y+min(a(i,k),a(j,k));z=z+max(a(i,k),a(j,k));b(i,j)=y/z;

end

endEnd

transitive_closure函數(shù)functionab=transitive_closure(a,b)m=size(a,1);%行數(shù)n=size(b,2);%列數(shù)fori=1:mforj=1:nab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)']));%把對應(yīng)的a,b內(nèi)的元素列成列向量之后對應(yīng)取最小，再將此行向量取最大，即得ab(i,j)endendend模擬題：對交通事故進行分類

隨著經(jīng)濟的迅速發(fā)展，人民的生活得到了極大的改善，單位用車和私家車就越來越多，隨之而來的是交通事故發(fā)生也越來越多，已引起人們和有關(guān)部門的關(guān)注和重視。

本文在模糊理論基礎(chǔ)上，選取1999年我國交通事故相關(guān)數(shù)據(jù)，進行分析統(tǒng)計，運用模糊聚類分析方法做出模糊聚類分析。希望通過對交通事故進行分類，對掌握交通安全情況有很大的幫助，特別在發(fā)現(xiàn)交通存在的問題后，分析結(jié)果可提供給相關(guān)部門參考，針對問題采取措施改善我國交通事故較多的現(xiàn)狀。第一步：建立原始矩陣

數(shù)據(jù)采自2002年中國統(tǒng)計年鑒,分析我國交通現(xiàn)狀，選取交通事故中具有代表性的幾種情況----汽車、摩托車、拖拉機、自行車、行人乘車作為五個類及即五個單元，對5種行駛方式安全程度分類。設(shè)5種行駛方式組成一一個分類集合:分別代表汽車、摩托車、拖拉機、自行車、行人

均采用代表性的方面(發(fā)生起數(shù)、死亡人數(shù)、受傷人數(shù)、損失折款)作為四項統(tǒng)計指標,既有：

這里表示為第i種行駛方式的第j項指標。（i=1，2，3，4/j=1，2，3，4，5）這四項成績指標為：發(fā)生起數(shù)，死亡人數(shù)，受傷人數(shù)，損失折款。原始數(shù)據(jù)如表1所示。則：

表1原始數(shù)據(jù)指標汽車摩托車自行車拖拉機行人乘車發(fā)生起數(shù)3019255235198261201413583死亡人數(shù)5000914526253943185914受傷人數(shù)182262579037495104139413損失折款187411.1102802994.91656.71614.3第二步：數(shù)據(jù)標準化由于數(shù)據(jù)過于大，可以先對數(shù)據(jù)進行偏差轉(zhuǎn)化，運用偏差轉(zhuǎn)化公式：其中：則：采用極差正規(guī)化將原始矩陣標準化：則：第三步：建立模糊相似矩陣運用夾角余弦法建立模糊相似矩陣，公式如下：則：第四步：求傳遞閉包矩陣以及分類則對進行分類討論，最后得到的分類如下：結(jié)果分析：選用時，分類比較的合適；行駛方式的分類利于分析交通運輸中何種方式比較安全。clc,clearX=[301925,52351,9826,12014,1358350009,14526,2539,4318,5914182262,57903,7495,10413,9413187411.1,10280,2994.9,1656.7,1614.3];X=X';X1=zscore(X);%利用偏差轉(zhuǎn)換，將數(shù)據(jù)初步處理[m,n]=size(X1);%用極差化法求得標準化數(shù)據(jù)fori=1:mN=min(X1(i,:));M=max(X1(i,:));

forj=1:nX2(i,j)=(X1(i,j)-N)/(M-N);

endendR=angle_cosine(X2);%求出相似關(guān)系矩陣R2=transitive_closure(R,R);R4=transitive_closure(R2,R2)%求出閉包x=sort(unique(R4(:)),'descend');%算出λ從大到小的排列x=x'Matlab編程：調(diào)用angle_cosine函數(shù)：function[y]=angle_cosine(x)[m,n]=size(x);fori=1:m

forj=1:ma=0;b=0;

fork=1:na=a+x(i,k)^2;b=b+x(j,k)^2;

endc=sqrt(a*b);d=0;

fork=1:nd=d+x(i,k)*x(j,k);

endy(i,j)=d/c;endendend調(diào)用transitive_closure函數(shù)functionab=transitive_closure(a,b)m=size(a,1);%行數(shù)n=size(b,2);%列數(shù)fori=1:mforj=1:nab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)']));%把對應(yīng)的a,b內(nèi)的元素列成列向量之后對應(yīng)取最小，再將此行向量取最大，即得ab(i,j)endendend63第四節(jié)模糊綜合評判一、一級模糊綜合評判二、多級模糊綜合評判三、模糊綜合評判應(yīng)用64一、一級模糊綜合評判1.652.權(quán)重確定方法：（1）頻數(shù)統(tǒng)計法；（請一定數(shù)量的專家對各因素提出自己的權(quán)重分配，組織者回收權(quán)重調(diào)查表后對每個因素進行單因素統(tǒng)計實驗。）（2）構(gòu)造判斷矩陣法。（詳情見第六章層次分析法）（3）查找資料法。（根據(jù)已有結(jié)論得到權(quán)重）663.根據(jù)運算“”的不同定義，可得到以下不同模型：676869

在此模型中，考慮多因素時，對著眼因素論域U到抉擇評語論域V的模糊關(guān)系矩陣R中元素的調(diào)整為，該模型最大的特點是在各調(diào)整值中取最小者作為，這說明在這一模型中和不再是各自相應(yīng)的隸屬度，而是某種評判指標．這里規(guī)定評判指標的最小者為最佳者．二、多級模糊綜合評判（以二級為例）

我們在對客觀事物進行綜合評判時，如果各因素在評判中的地位無顯著差異，則對因素重要程度模糊子集A的隸屬度可取相同的值，從而可以簡化模型．

在模型中分別取則得到三種簡化綜合評判模型步驟如下：1：設(shè)評判指標集為2：U1的各指標B1,B2,B3的權(quán)重分配為3：評判指標U1的總評判矩陣為則得出總的二級綜合指標評判結(jié)果7273一級指標二級指標評價v1v2v3v4U1u10.360.240.130.27u20.200.320.250.23u30.400.220.260.12U2u40.300.280.240.18u50.260.360.120.20u60.220.420.160.10U3u70.380.240.080.20u80.340.250.300.11u90.240.280.300.187475767778三、模糊綜合評判應(yīng)用在人事考核中的應(yīng)用在物流選址中的應(yīng)用在中小企業(yè)融資效率評價中的應(yīng)用在企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新能力評價中的應(yīng)用在質(zhì)量經(jīng)濟效益評價中的應(yīng)用圖書選題的模糊綜合評判在清潔生產(chǎn)評價中的應(yīng)用

在風(fēng)險分析中的應(yīng)用

模糊綜合評判以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，將不易定量的因素定量化，從多個因素對被評價事物隸屬等級狀況進行綜合性評價。在現(xiàn)實生活中具體應(yīng)用如下：案例：物流中心選址問題

物流中心作為商品周轉(zhuǎn)、分揀、保管、在庫管理和流通加工的據(jù)點，其促進商品能夠按照顧客的要求完成附加價值，克服在其運動過程中所發(fā)生的時間和空間障礙。在物流系統(tǒng)中，物流中心的選址是物流系統(tǒng)優(yōu)化中一個具有戰(zhàn)略意義的問題，基于物流中心位置的重要作用，目前已建立了一系列選址模型與算法。這些模型及算法相當(dāng)復(fù)雜。其主要困難在于:(1)即使簡單的問題也需要大量的約束條件和變量。(2)約束條件和變量多使問題的難度呈指數(shù)增長。模糊綜合評價方法是一種適合于物流中心選址的建模方法。它是一種定性與定量相結(jié)合的方法，有良好的理論基礎(chǔ)。特別是多層次模糊綜合評判方法，其通過研究各因素之間的關(guān)系，可以得到合理的物流中心位置。

物流中心選址的三級模型第一級指標第二級指標第三級指標自然環(huán)境u1(0.1)氣象條件u11（0.25）地質(zhì)條件u12（0.25）水文條件u13（0.25）地形條件u14（0.25）交通運輸u2（0.2）經(jīng)營環(huán)境u3（0.3）候選地u4（0.2）面積u41（0.1）形狀u42（0.1）周邊干線u43（0.4）地價u44（0.4）公共設(shè)施u5（0.2）三供u51（0.4）供水u511（1/3）供電u512（1/3）供氣u513（1/3）廢物處理u52（0.3）排水u521（0.5）固體廢物處理u522（0.5）通信u53（0.2）道路設(shè)施u54（0.1）因素集U分為三層：第一層為：

假設(shè)某區(qū)域有8個候選地址，決斷集代表8個不同的候選地址，數(shù)據(jù)進行處理后得到諸因素的模糊綜合評判如表所示：第二層為：第三層為：因素ABCDEFGH氣象條件0.910.850.870.980.790.60.60.9