線性代數(shù)與概率論（第五版） 課件 1.4 克萊姆法則

第四節(jié)克萊姆法則1本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

熟練掌握克萊姆法則的內(nèi)容。[能力目標(biāo)]

能運(yùn)用克萊姆法則進(jìn)行方程組的解的判斷及計(jì)算。克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則2對于由兩個線性方程式構(gòu)成的二元線性方程組

用消元法求解,得到結(jié)論:當(dāng)a11a22-a12a21≠0時,此線性方程組有唯一解

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則3這個求解公式可以用行列式表示,以進(jìn)一步揭示它的規(guī)律.引進(jìn)記號

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則4行列式D是由線性方程組中未知量系數(shù)構(gòu)成的行列式,稱為系數(shù)行列式行列式D1是系數(shù)行列式D中第1列元素由線性方程組常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)替換后所得到的行列式行列式D2是系數(shù)行列式D中第2列元素由線性方程組常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)替換后所得到的行列式克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則5于是上面的結(jié)論可以表達(dá)為:當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時,此線性方程組有唯一解

一般地,對于由n個線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組,有克萊姆(Cramer)法則.克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則6克萊姆法則已知由n個線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組

由未知量系數(shù)構(gòu)成的行列式稱為系數(shù)行列式,記作D,即

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則7克萊姆法則（續(xù)）在系數(shù)行列式D中第1列元素,第2列元素,…,第n列元素分別用線性方程組常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)替換后所得到的行列式,分別記作D1,D2,…,Dn,即

…

…

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則8克萊姆法則（續(xù)）那么:(1)如果系數(shù)行列式D≠0,則此線性方程組有唯一解

(2)如果系數(shù)行列式D=0,則此線性方程組無唯一解即有無窮多解或無解例1第四節(jié)克萊姆法則9

(1)判別有無唯一解;(2)若有唯一解,則求唯一解.解：(1)計(jì)算系數(shù)行列式

所以此線性方程組有唯一解例1第四節(jié)克萊姆法則10(2)再計(jì)算行列式解：

所以此線性方程組的唯一解為

例2第四節(jié)克萊姆法則11

判別有無唯一解計(jì)算系數(shù)行列式解：

=1+(-4)+3-1-6-(-2)=-5≠0所以此線性方程組有唯一解齊次線性方程組第四節(jié)克萊姆法則12常數(shù)項(xiàng)為零的線性方程式稱為齊次線性方程式對于齊次線性方程組,顯然所有未知量取值皆為零是它的一組解,這組解稱為零解此外,若未知量的一組不全為零取值也是它的解,則稱這樣的解為非零解齊次線性方程組一定有零解,也可能有非零解對于由n個齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組,根據(jù)克萊姆法則,如果系數(shù)行列式D≠0,則有唯一解,意味著僅有零解,說明無非零解在什么條件下,它一定有非零解？齊次線性方程組第四節(jié)克萊姆法則13定理1.3已知由n個齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組

那么:(1)如果系數(shù)行列式D=0,則此齊次線性方程組有非零解;(2)如果此齊次線性方程組有非零解,則系數(shù)行列式D=0.例3第四節(jié)克萊姆法則14

判別有無非零解.例3第四節(jié)克萊姆法則15解：計(jì)算系數(shù)行列式

第1行加到第4行上去

注意到第4行與第3行的對應(yīng)元素相同=0所以此齊次線性方程組有非零解.

第2行加到第3行上去例4第四節(jié)克萊姆法則16

有非零解,求系數(shù)k的值.例4第四節(jié)克萊姆法則17解：計(jì)算系數(shù)行列式

第1行的公因子k+2提到行列式外面

第2行與第3行皆加到第1行上第1行的-1倍分別加到第2行與第3行上去例4第四節(jié)克萊姆法則18解：

=(k+2)(k-1