【輔助函數(shù)在數(shù)學探析中的應用探究8700字（論文）】

輔助函數(shù)在數(shù)學分析中的應用研究摘要構(gòu)造輔助函數(shù)的方法在數(shù)學解題中的重要性可以說是相當重要、顯而易見的；而輔助函數(shù)構(gòu)造法它本身是沒有具體的概念、定義的，構(gòu)造輔助函數(shù)可以讓我們更加容易理解和解決問題。因此，掌握這一方法技能對我們來說相當?shù)闹匾粌H可以加快我們的解題進程，還可以使我們的思維更靈活、增加我們的數(shù)學素養(yǎng)，對于我們來說可以說是大大有益的。通過這篇文章可以了解到構(gòu)造輔助函數(shù)的一些方法與解題技巧，在例題中由較詳細的解題過程；這充分展現(xiàn)了構(gòu)造輔助函數(shù)法的重要性?！娟P(guān)鍵詞】輔助函數(shù)；數(shù)學分析；構(gòu)造輔助函數(shù)法目錄1.前言 11.1研究的背景 11.2研究的意義 11.3國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 22. 輔助函數(shù)在數(shù)學中的地位和作用 22.1輔助函數(shù)的概念 22.2輔助函數(shù)構(gòu)造法的概念 32.3輔助函數(shù)的基本特點 33. 輔助函數(shù)在牛頓——萊布尼茨公式證明中的應用 33.1相關(guān)定理及證明 33.2輔助函數(shù)在牛頓——萊布尼茨公式證明中的應用例題 43.3在牛頓——萊布尼茨公式證明中方法規(guī)律 54．輔助函數(shù)在拉格朗日中值定理中的應用 54.1相關(guān)定理及證明 54.1.1引述定理 64.1.2用羅爾定理證明拉格朗日中值定理 64.2輔助函數(shù)在拉格朗日中值定理中的應用例題 75.輔助函數(shù)在判別方程根的存在中的應用 85.1應用零點存在定理構(gòu)造輔助函數(shù)判別根的存在 85.1.1相關(guān)知識及方法 85.2應用羅爾定理構(gòu)造輔助函數(shù)判別根的存在 95.2.1相關(guān)知識及方法 95.2.1應用羅爾定理構(gòu)造輔助函數(shù)判別根的存在應用例題 105.3輔助函數(shù)在判別方程根的存在中方法規(guī)律 106.輔助函數(shù)在證明恒等式中的應用 116.1相關(guān)知識 116.2輔助函數(shù)在證明恒等式中的應用例題 116.3輔助函數(shù)在證明恒等式中方法規(guī)律 127.輔助函數(shù)在不等式中的應用 127.1利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 127.1.1相關(guān)定理 127.1.2輔助函數(shù)在證明不等式的應用 127.2用拉格朗日中值定理的結(jié)論證明不等式 137.2.1相關(guān)定理 137.2.2用拉格朗日中值定理證明不等式例題 137.3輔助函數(shù)在不等式中方法規(guī)律 138.輔助函數(shù)在有界函數(shù)中的應用 148.1相關(guān)定理 148.2輔助函數(shù)在有界函數(shù)中的應用例題 149.輔助函數(shù)在證明函數(shù)一致連續(xù)中應用 159.1相關(guān)定理 159.2輔助函數(shù)在證明一致連續(xù)的應用例題 159.3輔助函數(shù)在證明一致連續(xù)中方法規(guī)律 1610.利用輔助函數(shù)解數(shù)學問題的優(yōu)點 1611.運用輔助函數(shù)解數(shù)學分析中的問題的規(guī)律總結(jié) 1712．結(jié)束語 1713.參考文獻： 18 1.前言1.1研究的背景輔助函數(shù)的運用可以說是與數(shù)學的發(fā)展是同步的。隨著時代的發(fā)展,科學技術(shù)也在不斷地進步,而人類的思想在不斷地進步,那數(shù)學的解題方法也是由少到多,由難到易。用輔助函數(shù)來證明與計算數(shù)學問題或生活中的實際問題的研究從未停止過,特別是在數(shù)學分析中應用輔助函數(shù)來解題最為常見。這篇文章將從數(shù)學分析角度中的拉格朗日中值定理,羅爾定理、不等式、有界函數(shù)等的應用輔助函數(shù)來解題,從而使問題省去許多繁雜的步驟,更加容易解;同時也鍛煉我們的數(shù)學思維以及一題多種解法的思維,不易形成思維定式。鍛煉我們的數(shù)學思維以及一題多種解法的思維,不易形成思維定式。輔助函數(shù)的構(gòu)造方法在數(shù)學學科的領(lǐng)域中的應用是十分廣泛的，尤其是在數(shù)學分析中的運用起著十分重要的作用。而輔助函數(shù)的構(gòu)造方法是從原本的問題著手的，我們是根據(jù)問題的已知條件來構(gòu)造輔助函數(shù)，從而建立起了問題與要求的結(jié)論的一個橋梁，使得問題看起來比較直觀和可行,從而更加方便解題,也使得解題更加的容易。運用輔助函數(shù)解題雖然使得問題簡單明了，但是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程對于剛接觸的學習者來說就會很抽象、難以理解。因此，在構(gòu)造輔助函數(shù)的方法、思想以及滲透的運用需要我們多加練習、訓練、歸納總結(jié)經(jīng)驗，才會讓我們更加切實地掌握這種構(gòu)造方法，并且在這個構(gòu)造輔助函數(shù)的過程中可以提高我們的數(shù)學思維能力，以及數(shù)學素養(yǎng)。1.2研究的意義輔助函數(shù)法在數(shù)學分析中重要的中值定理的證明中起著至關(guān)重要的作用，許多理論公式都是通過應用輔助函數(shù)的構(gòu)造方法得到充分解決的。來其解決不平等和連續(xù)性方程、數(shù)列、極值、解方程、探索這些方程的根等等,而使用構(gòu)造輔助函數(shù)方法到最廣泛的研究領(lǐng)域,它可以對現(xiàn)有各種復雜變成簡單的問題。這個過程在更靈活、更復雜的數(shù)學問題中得到了充分的體現(xiàn)，起到了非常好的銜接的作用。當然，構(gòu)造輔助函數(shù)法在數(shù)學分析中的應用并不是隨便就可以使用、構(gòu)造的，它的運用需要我們具備一定的條件才可以應用自如、容易上手；其需要的條件就是我們要有較扎實的知識功底、知識面要廣、應用能力要靈活、思維較為活躍等等，這些都是構(gòu)造輔助函數(shù)的基礎(chǔ)能力。構(gòu)造輔助函數(shù)的過程中不僅可以加深我們對數(shù)學相關(guān)定理、公式的知識理解，而且可以提高我們的解題能力、拓寬思維；它的使用可以促進數(shù)學有更好的發(fā)展。因此，我們要重視利用輔助函數(shù)的方法與思想來解決我們遇到的、需要證明的數(shù)學問題，這對我們的數(shù)學知識是非常有益的。1.3國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀輔助函數(shù)的構(gòu)造法使得我們在解決數(shù)學問題更加容易、簡便；因此，輔助函數(shù)的構(gòu)造方法是我們解決問題的非常重要的工具。然而,人們對輔助函數(shù)的研究從未停止過腳步,許許多多的數(shù)學工作者、學者、研究者等等對輔助函數(shù)的構(gòu)造及應用做了許多研究。這里截取部分的學術(shù)研究成果,林遠華在2000年時在他的?？茖W校報中寫了輔助函數(shù)在數(shù)學分析之中的作用，為我們后人對輔助函數(shù)的研究起著至關(guān)重要的作用。李兆強和蔣善利兩位數(shù)學研究者在2009年的他們所任職的學校報上也有描述輔助函數(shù)在數(shù)學分析中的應用，而這些應用為我們在解題過程中提供了一些例子,使得解題變得更加可行。還有在2010年的時候，李景琴教授在他所任職的學校報中對構(gòu)造輔助函數(shù)的方法在數(shù)學分析當中的應用進行了闡述。還有一些學者在研究中得到了進一步的發(fā)展，例如2013年的時候，數(shù)學研究者見濤教授在《科技信息》這本書中闡述了數(shù)學分析中輔助函數(shù)的應用，還有王迎在2019年的科教文匯(中旬刊)中寫了一篇文章，即淺談數(shù)學分析中輔助函數(shù)的構(gòu)造，在這篇文章中通過舉例來說明輔助函數(shù)的應用，讓讀者更加容易理解輔助函數(shù)的作用；還有許多人對于輔助函數(shù)的研究也有一定的成果，他們這些人的研究推動了輔助函數(shù)在整個數(shù)學領(lǐng)域?qū)玫礁玫匕l(fā)展。2. 輔助函數(shù)在數(shù)學中的地位和作用2.1輔助函數(shù)的概念根據(jù)題目的要求,要從正面去解題比較難解,這時我們從另一個方面去假設一個函數(shù)來建立一個橋梁使得原問題更加容易解答,那么這個函數(shù)就叫做輔助函數(shù)。2.2輔助函數(shù)構(gòu)造法的概念輔助函數(shù)構(gòu)造法它本身是沒有具體的概念、定義的，構(gòu)造輔助函數(shù)可以讓我們更加容易理解和解決問題。那么我們應該怎樣構(gòu)造輔助函數(shù)呢？我們構(gòu)造輔助函數(shù)的第一步是根據(jù)題目給的已知條件再聯(lián)系題目要求的未知條件去找到與題目有聯(lián)系的性質(zhì)特征，第二步構(gòu)造出可以將已知條件與未知條件聯(lián)系的條件，而這個聯(lián)系的條件就是我們所說的輔助函數(shù)，從而把我們要求的結(jié)論轉(zhuǎn)化成研究這個輔助函數(shù)的一些性質(zhì)和特征，使得問題得以更加簡單的解決。2.3輔助函數(shù)的基本特點（1）輔助函數(shù)在題目中是不會直接給的，它必須由我們自己來求解；（2）解決同一個數(shù)學問題可以構(gòu)造許多不同的輔助函數(shù)；（3）輔助函數(shù)構(gòu)造的個數(shù)根據(jù)問題的實際情況而定，有的可以構(gòu)造多個輔助函數(shù)來解題，而這些輔助函數(shù)在解題過程中的效果卻不同的，有的在用的時候就比較的困難。因此，在求解問題時要盡量選擇符合題目的恰當?shù)妮o助函數(shù)，才可以使題目的求解得以更便捷、更有效更著手。3. 輔助函數(shù)在牛頓——萊布尼茨公式證明中的應用3.1相關(guān)定理及證明牛頓——萊布尼茨公式：“若函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)，且原函數(shù)F，即F'x=fx，x∈[a，b]，則fa則該等式就稱為牛頓——萊布尼茨公式，它也常寫成”[1] “證：由的積分的定義，任意給的ε>0，要證δ>0存在，當|T|<δ時，有下面將證明滿足以上要求的條件：在閉區(qū)間[a，b]的任意分割T=a=x0，xF=i=0因為f在[a，b]上連續(xù)，從而得到一致連續(xù)，所以對上述的ε>0，存在δ>0，當x'，xf于是，當?xi≤T≤δ時，任取i=0因此f在[a，b]上可積，就證得牛頓——萊布尼茨公式?！盵1]上面的證明過程應用了積分的上限函數(shù)Fx=a3.2輔助函數(shù)在牛頓——萊布尼茨公式證明中的應用例題例利用牛頓——萊布尼茨公式證明a3.3在牛頓——萊布尼茨公式證明中方法規(guī)律1）F(x)在運用牛頓——萊布尼茨公式時可由函數(shù)的積分法來求得；2）該定理的條件也可以適當?shù)倪M行減弱3）求得連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)后，牛頓——萊布尼茨公式條件中的函數(shù)假設就多余了。4．輔助函數(shù)在拉格朗日中值定理中的應用4.1相關(guān)定理及證明1.“羅爾定理：若函數(shù)f滿足下列條件：函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)f在開區(qū)間(a,b)上可導；fa則函數(shù)f在(a,b)上至少存在一點ξ，使得f'ξ=0圖4-12.“拉格朗日中值定理：若函數(shù)f滿足下列條件：函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)f在開區(qū)間(a,b)上可導；則函數(shù)f在(a,b)上至少存在一點ξ，使得f'ξ=圖4—24.1.1引述定理“（1）羅爾定理是拉格朗日中值定理中值定理的一個特殊情形，即當fa（2）幾何意義：在證明過程中通過假設、構(gòu)造出來的輔助函數(shù)F(x),即是曲線y=f(x)在中值點的切線與直線AB(y=f(a)+(f(a)-f(b))/(b-a)(x-a))的距離的差值。拉格朗日中值定理的證明過程比較靈活的運用數(shù)學的轉(zhuǎn)換思想，是將一般轉(zhuǎn)化為特殊的演繹推理，從復雜到簡單的推理，這些數(shù)學思想及思維方法等是數(shù)學問題解決中的非常重要的數(shù)學思想的體現(xiàn)。（3）在該定理當中的中值點是開區(qū)間內(nèi)的任意一點,而并不是區(qū)間上任意的點,上面的定理只是任意的指出了區(qū)間上中值點的存在性,然而并不是確切的給出一個確定的數(shù)值。（4）這一定理的結(jié)論常常被稱為拉格朗日公式,這個公式比較準確的表達了函數(shù)的增量與導數(shù)之間的關(guān)系?！盵1]4.1.2用羅爾定理證明拉格朗日中值定理使用羅爾定理來構(gòu)造一個輔助函數(shù)有如下做法:“（1）構(gòu)造一個區(qū)間內(nèi)的適合題目的輔助函數(shù)，把它記作F(x)；把題中要求證結(jié)果中的ξ換成自變量x；用恒等變換的方法對這個題目中的結(jié)論進行轉(zhuǎn)換,把題目中的等式轉(zhuǎn)換為較容易積分的等式,再對等式兩邊進行積分求解,從而求出原函數(shù);③對等式的兩端進行移項,一端為常數(shù)C,另一端就是積分出來的原函數(shù)為F(x),則F(x)就是所求的輔助函數(shù)。(2)驗證函數(shù)F(x)滿足羅爾定理的兩個條件,然后根據(jù)定理出要證明的命題結(jié)論?！盵4]證：作輔助函數(shù)F易得，F(xiàn)a=FbF經(jīng)過移項后就得到所要證明的f'ξ4.2輔助函數(shù)在拉格朗日中值定理中的應用例題例假設函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，（0,1）上可導，且證明：存在一點ξ∈(0,1)，使得。解題的思路如下：“（1）通過構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)：要證的結(jié)論中ξ改寫成x，即；將等式轉(zhuǎn)化成易積分的形式：通過積分得：；④移項，令F(x)=xf(x)；（2）對F(x)應用羅爾定理證明：令F(x)=xf(x)，x∈[0,1]，又根據(jù)積分中值定理：，對F(x)應用羅爾定理得：?ξ，使得F′(ξ)=0即又因為的積分因子為：，因此即[xf(x)]'，所以，xf(x)=c移項之后令F(x)=xf(x)?！盵4]5.輔助函數(shù)在判別方程根的存在中的應用5.1應用零點存在定理構(gòu)造輔助函數(shù)判別根的存在5.1.1相關(guān)知識及方法“①主要運用零點的存在定理來判斷方程是否有解②在應用零點存在性定理判別是將方程的一端化為零，而另一端則為某一函數(shù)，這個函數(shù)就是構(gòu)造出的輔助函數(shù)?！盵5]5.1.2應用零點存在定理構(gòu)造輔助函數(shù)判別根的存在應用例題“例：證明方程至少有一個不超過a+b的正實根.證明方程可化為令，則上連續(xù)，且（ⅰ）如果等式，那么是方程f(x)=0的一個解，及方程的一個根；（ⅱ）如果存在不等式，那么根據(jù)零點的存在定理，在區(qū)間(0,a+b)內(nèi)至少存在一個數(shù)ξ，使等式f(ξ)=0,即方程f(ξ)=0時在區(qū)間內(nèi)至少有一個正實根ξ。由（?。ⅲáⅲ┛芍?，方程至少有一個不超過的正實數(shù)根”[5]5.2應用羅爾定理構(gòu)造輔助函數(shù)判別根的存在“例：已知為常數(shù)，證明方程在（0,1）內(nèi)至少存在一個實根.證明令，因為f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導，且等式成立，那么根據(jù)羅爾定理得：導函數(shù)在閉區(qū)間[0，1]內(nèi)至少有一個實數(shù)解，即實根；從而得到方程內(nèi)至少有一個實根.”[5]5.2.1相關(guān)知識及方法根的存在定理：“假設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)是異號（即它們的函數(shù)值的乘積小于零：faf(b)<0），那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，也就是至少存在一點ξ(a<ξ<b)使f5.2.1應用羅爾定理構(gòu)造輔助函數(shù)判別根的存在應用例題“例：證明方程內(nèi)各有一個實根.證明：令F(x)=5(x-2)(x-3)+7(x-1)(x-3)+16(x-1)(x-2)從而有F(x)在[1，2]與[2，3]上都是連續(xù)函數(shù)。又因為F(1)=10>0,F(2)=-7<0,F(3)=32>0，所以F(x)=0在（1，2）內(nèi)至少有一實根，而在（2，3）內(nèi)也至少有一實根.令x=3，則f(x)=0從而函數(shù)F(x)在（1，2）內(nèi)至少有一實根，在（2，3）內(nèi)也至少有一實根，綜上有方程在（1，2）與（2，3）內(nèi)各有一實根。”[2]5.3輔助函數(shù)在判別方程根的存在中方法規(guī)律“在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么存在不等式成立，從而得出方程f(x)=0在閉區(qū)間[a，b]上一定有解；（2）如果函數(shù)f(x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，并且存在等式f(a)=f(b)成立,那么使得方程在區(qū)間（a，b）內(nèi)必定有解；（3）（函數(shù)極值存在的必要條件）如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b）內(nèi)可導，并且存在極值，從而根據(jù)第二點可以得出函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)必定有根”[4]6.輔助函數(shù)在證明恒等式中的應用6.1相關(guān)知識如果要證明恒等式，通?？梢杂美窭嗜罩兄刀ɡ淼南嚓P(guān)推論來證明。一般證明步驟如下：（1）在題目的條件樓內(nèi)構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）證明在該區(qū)間上滿足；（3）從而推出；（4）再代入題目中的區(qū)間里的一個特殊的值，從而得到常數(shù)C。拉格朗日中值定理的推論：“推論1若函數(shù)f在區(qū)間I上可導，且f'(x)≡0，x∈I，則F是I上的一個常量函數(shù)。推論2若函數(shù)f和g均在區(qū)間I上可導，且f'(x)≡g'(x)，x∈I，則在區(qū)間I上f(x)和g(x)只相差一個常數(shù)，即fx推論3（導數(shù)極限定理）設函數(shù)f在點x0的某一領(lǐng)域U(x0)上連續(xù)，在U0(x0)內(nèi)可導，且極限f'x6.2輔助函數(shù)在證明恒等式中的應用例題例：證明證明：當時，左端等于右端；當時，構(gòu)造輔助函數(shù)：則得出又因為從而得證。6.3輔助函數(shù)在證明恒等式中方法規(guī)律如果在區(qū)間I上可導，且，那么為區(qū)間I上的一個常量函數(shù)。7.輔助函數(shù)在不等式中的應用7.1利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式7.1.1相關(guān)定理 “函數(shù)的單調(diào)性：設f為定義在D上的一個函數(shù)，若任何x1，x2∈D，（ⅰ）如果f(x1)≤f(x2)，那么稱函數(shù)（ⅱ）若f(x1)≥f(x2)，則稱函數(shù)則增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴格增函數(shù)和嚴格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù)?！盵14]7.1.2輔助函數(shù)在證明不等式的應用例：證明不等式證明（?。┝睿瑒t，因此在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減。所以當x>0時，f(x)<f(0)=0，所以（ⅱ）令，則由（?。┲?，當x>0時，所以，所以，所以，所以g(x)在[0，+∞）單調(diào)遞減。所以當x>0時，，所以。7.2用拉格朗日中值定理的結(jié)論證明不等式7.2.1相關(guān)定理拉格朗日中值定理：“若函數(shù)f滿足下列條件：1函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；2函數(shù)f在開區(qū)間(a,b)上可導；則函數(shù)f在(a,b)上至少存在一點ξ，使得f'ξ=7.2.2用拉格朗日中值定理證明不等式例題“例、證明arcsinb?arcsina≥b?a，其中0≤a≤b≤1。證明：先構(gòu)造輔助函數(shù)，在[a，b]上由拉格朗日中值定理得fb?f從而證明：arcsinb?arcsina≥b?a”[15]7.3輔助函數(shù)在不等式中方法規(guī)律“在一般情況下對于函數(shù)不等式在經(jīng)過恒等變換之后，如果函數(shù)不等式不能符合拉格朗日中值定理的一般形式，那么可以用拉格朗日中值定理的推論來進行求解。一般方法如下:(1)選定恰當?shù)妮o助函數(shù)及相應函數(shù)存在的區(qū)間；拉格朗日公式還有以下幾種比較常見的形式：fafafa+h?f(2)驗證該函數(shù)在給定的選定區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件；（3）由函數(shù)滿足拉格朗日中值公式的不等式，對f(x)進行放大(或縮小)，消去ξ即得到要證明的不等式。”[15]“輔助函數(shù)的構(gòu)造過程中構(gòu)造函數(shù)過程中最常用的方法是使用作差法和作除法這兩種方法?！盵4]比如解數(shù)學問題中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等等，為了滿足相關(guān)問題采用指數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)，從而可以有效地解決問題。8.輔助函數(shù)在有界函數(shù)中的應用8.1相關(guān)定理“有界函數(shù)的相關(guān)知識：由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上必有界。在某一開區(qū)間內(nèi)有界，可把此開區(qū)間內(nèi)的函數(shù)連續(xù)延拓為閉區(qū)間的函數(shù)，從而構(gòu)造出輔助函數(shù)?！盵16]8.2輔助函數(shù)在有界函數(shù)中的應用例題“例：f(x)在[a，b]上有定義，除第一類間斷點c∈(a，b)外都連續(xù)，則f(x)在[a，b]上有界證明：不妨設,互不相等。令，則g(x)在[a，b]內(nèi)連續(xù)，且所以g(x)在[a，c]上連續(xù)，根據(jù)有界性定理，g(x)在[a，c]上有界，從而f(x)在[a，c）內(nèi)有界，即存在M1>0，使得|f(x)|≤M1x∈[a，c)令,則h(x)在(c，b]內(nèi)連續(xù)，且h(x)=B所以h(x)在[c，b]上連續(xù)，根據(jù)有界性定理，h(x)在[c，b]上有界，從而f(x)在(c，b]內(nèi)有界，即存在M2>0，使得|f(x)|≤M2x∈(c，b]令M=max{M1,M2,|G|}，則|f(x)≤Mx∈[a，b]所以得f(x)在[a，b]上有界?！盵5]9.輔助函數(shù)在證明函數(shù)一致連續(xù)中應用9.1相關(guān)定理“函數(shù)的一致連續(xù)：設f為定義在區(qū)間I上的一個函數(shù)。若對任給的ε>0，則存在δ?δ(ε)>0,使得函數(shù)對任何的x'，x''∈I，只要xfx則稱函數(shù)f為區(qū)間I上的一致連續(xù)函數(shù)?！盵1]“簡而言之，函數(shù)f是區(qū)間I上的一致連續(xù)函數(shù)：不管這兩點x'與x''在區(qū)間I內(nèi)的任何位置，只要這兩個點的距離滿足dxf成立。”[7]9.2輔助函數(shù)在證明一致連續(xù)的應用例題“例：設f(x)在(a,+∞)內(nèi)連續(xù)，且與都存在，則f(x)在(a,+∞)內(nèi)一致連續(xù).證明：設，則對于,有從而對于所以f(x)在[A,+∞)上一致連續(xù).設，則g(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，則g(x)在閉區(qū)間[a，A]上一致連續(xù)，故f(x)在(a,+∞)內(nèi)一致連續(xù)?！盵17]9.3輔助函數(shù)在證明一致連續(xù)中方法規(guī)律先找到與題目鏈接的輔助函數(shù)，也就是構(gòu)造輔助函數(shù)，從而找到解題的突破口，再根據(jù)一致連續(xù)的定義尋找條件來證明函數(shù)是否連續(xù)，也就是我們所說的用定義法來證明以及解題。10.利用輔助函數(shù)解數(shù)學問題的優(yōu)點許多的數(shù)學問題在使用輔助函數(shù)構(gòu)造法解題之后，使得問題解決的進程加快，也更容易，效果也會更好；總的來說運用輔助函數(shù)解題回答道事半功倍的效果。在構(gòu)造輔助函數(shù)的過程中首先要從問題的本質(zhì)、已知條件出發(fā)；其次運用函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)的圖像特征等等去構(gòu)造一個恰當?shù)妮o助函數(shù)來求解問題；上面函數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、圖像的使用這一特點在不等式中方程根的存在性等方面都有很好的解答，并在實例討論分析證明問題中已有體現(xiàn)?？傊幂o助函數(shù)求解問題著手起來較方便，解題過程也會更加簡單易理解，好處多多。11.運用輔助函數(shù)解數(shù)學分析中的問題的規(guī)律總結(jié)構(gòu)造輔助函數(shù)是一種使一些思想以及方法復雜的很難著手的問題轉(zhuǎn)換成更為容易上手，解決問題也更加便捷，然而我們在解決問題的過程中，通常不是直接從問題的本身入手的，而是用過一些輔助函數(shù)思想來著手，利用該輔助函數(shù)性質(zhì)，特征來對問題求解，很好解決問題的復雜性，構(gòu)造函輔助數(shù)時，我們可以構(gòu)造很多個，但是只有恰好的輔助函數(shù)才能使問題解決更容易，更快，構(gòu)造函數(shù)靈活，不死板；因此，解決問題的方法以及操作有更大創(chuàng)造性，通過使用輔助函數(shù)可以解決數(shù)學分析中許多難題，使得解題得到意想不到效果，是一個值得以不斷研究和探索的課題。12．結(jié)束語在數(shù)學分析中的運用在羅爾定理、牛頓——萊布尼茨公式、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理等運用輔助函數(shù)來解決問題；