2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第一章　直線與圓綜合拔高練

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)1直線的方程及其應(yīng)用

1.（2019上海,13）直線2x-y+c=0的一個(gè)方向向量d可以是（）

A.（2,-1）B.（2,1）

C.（-1,2）D.（1,2）

2.（2020全國(guó)m,8）點(diǎn)（0,-1）到直線y=k（x+l）距離的最大值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

3.（2018北京,7）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos0,sin0）到直線x-my-

2=0的距離.當(dāng)。，m變化時(shí)，d的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2019江蘇,10）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x+±（x>0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

X

貝IJ點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是.

考點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系

5.（2021北京,9）已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=kx+m,則當(dāng)k的值發(fā)生變化時(shí),直線

1被圓C所截的弦長(zhǎng)的最小值為2,則m的取值為（）

A.±2B.±V2C.±V3D.±3

6.（2020全國(guó)I,11）B^OM:x2+y-2x-2y-2=0,直線1:2x+y+2=0,P為1上的動(dòng)點(diǎn).

過點(diǎn)P作OM的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|?|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為

（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0

C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

7.（多選）（2021新高考H,11）已知直線1:ax+by-r*=0與圓C:x"號(hào),點(diǎn)A（a,b）,

則下列說法正確的是（）

A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線1與圓C相切

B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線1與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線1與圓C相離

D.若點(diǎn)A在直線1上,則直線1與圓C相切

8.（多選）（2021新高考I,1多已知點(diǎn)P在圓（x-5產(chǎn)+65）2=16上，點(diǎn)

A（4,0）,B（0,2）MJ（）

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí)，|PB|二3或

D.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|PB|二3或

9.（2020浙江，15）已知直線y=kx+b（k>0）與圓x2+y2=l和圓（x-4）2+y2=l均相切,則

k=,b=.

10.（2017課標(biāo)全國(guó)HI,20）在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,1）.當(dāng)m變化時(shí),解答下列問題：

⑴能否出現(xiàn)AC±BC的情況?說明理由；

⑵證明過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.侈選）（2022山東濟(jì)寧鄒城二中月考）下列說法正確的是（）

A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率

B.點(diǎn)（0,2）關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱點(diǎn)為（1,1）

C.直線x-y-2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

D.經(jīng)過點(diǎn)（1,1）且在x軸和y軸上的截距都相等的直線方程為x+y-2=0

2.（2021湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)入學(xué)考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅

尼斯圓”是他的主要研究成果之一,指的是:若動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)M,N的距離之比

為入（入>0,且入W1）,則點(diǎn)P的軌跡就是圓，事實(shí)上，互換其中的部分題設(shè)和結(jié)

論,命題依然成立.已知點(diǎn)M（2,0）,點(diǎn)P為圓0:x2+y2=16上的點(diǎn),若存在x軸上的

定點(diǎn)N（t,0）（t>4）和常數(shù)入，對(duì)滿足已知條件的點(diǎn)P均有|PM|=入|PN|,則

人=（)

3.（2022江西南昌八一中學(xué)月考）曲線y=V^二^+1（-2WxW2）與直線y=kx-2k+4

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)k的范圍是（）

c?（淖

D-n）u（?+°°）

4.（2022吉林白山撫松一中月考）唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句：“白

日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一一將軍飲

馬:將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回軍營(yíng),怎樣走才

能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2+y2^5,若將軍從點(diǎn)

A（4,0）出發(fā),河岸所在直線的方程為x+y=8,并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即

回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.2V5B.3V5

C.4遙D.5^5

5.（2022四川南充閩中中學(xué)月考）已知圓C:（x-V3）2+（y-V6）2=l和兩點(diǎn)A（-

t,0）,B（t,0）（t〉0）,若圓C上存在點(diǎn)P,使得NAPB=90°,則t的最小值為（）

A.1B.2

C.3D.4

6.侈選）（2022廣東頂級(jí)名校模塊檢測(cè)）已知曲線C的方程為+〃2=|x+2yI,

圓M:（x-5）2+y2=r2（r>0）,則（）

A.曲線C表示一條直線

B.當(dāng)r=4時(shí)-，曲線C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)

C.當(dāng)r=2時(shí),存在圓N,使得圓N與圓M相切,且圓N與曲線C有4個(gè)公共點(diǎn)

D.當(dāng)曲線C與圓M的公共點(diǎn)最多時(shí)，r的取值范圍是（4,+8）

7.（2022四川綿陽重點(diǎn)高中階段性測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0,-

2）,點(diǎn)B（1,-1）,P為圓x2+y2=2上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)B）,則器的最大值是（）

A.2B.4C.V2D.2V2

8.（2022江西宜春上高二中月考）已知直線x-y+b=0與圓x2+y2=9交于不同的兩點(diǎn)

A,B.若0是坐標(biāo)原點(diǎn),且|雨+甌考|荏|,則實(shí)數(shù)b的取值范圍

是.

9.（2020山東泰安模擬）已知直線l:3x+4y+m=0,圓C:x2+y-4x+2=0,則圓C的半徑

r=;若在圓C上存在兩點(diǎn)A,B,在直線1上存在一點(diǎn)P,使得NAPB=90°,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

10.（2020山東青島統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)）2020年是中國(guó)傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3

個(gè)圓做成“卡通鼠”的形象,如圖,Q（0,-3）是圓Q的圓心，圓Q過坐標(biāo)原點(diǎn)0;點(diǎn)

L、S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2,圓S、圓L均與圓Q外切.

⑴若經(jīng)過原點(diǎn)0的直線1與圓L、圓S均相切，則圓Q截1所得的弦長(zhǎng)

為；

⑵若直線1被圓L、圓S、圓Q所截得的弦長(zhǎng)均等于&則（1=.

11.（2022遼寧營(yíng)口第二高級(jí)中學(xué)月考）已知圓C經(jīng)過A（4,2）,B（-1,3）兩點(diǎn),且在

兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2.

⑴求圓C的方程；

⑵求過點(diǎn)P（0,舊）且與圓C相切的直線的方程.

12.(2022吉林遼源重點(diǎn)高中階段檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P(0,1)且

互相垂直的兩條直線分別與圓0:x2+y2=4交于點(diǎn)A,B,與圓M:(x-2)2+(y-l)2=l交

于點(diǎn)C,D.

⑴若直線AB的斜率為2,求弦長(zhǎng)|AB|;

⑵若CD的中點(diǎn)為E,求AABE面積的取值范圍.

答案與分層梯度式解析

五年高考練

1.D由題意得,直線的斜率為2,.?.直線的一個(gè)方向向量可以是(1,2),故選D.

2.B解法一：易得點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離小kW二粵,因?yàn)?/p>

k2+l，2k,所以2(k?+l)^k2+2k+l=|k+l|2,當(dāng)且僅當(dāng)k=l時(shí)取等號(hào)，即

|k+l|^V2?7k2+1,所以d=-^=^V2,故點(diǎn)(0,T)到直線y=k(x+l)距離的最

V/c2+l

大值為應(yīng).故選B.

解法二：由題意知,直線l:y=k(x+l)是過點(diǎn)P(-1,0)且斜率存在的直線，設(shè)Q(0,-

1).易知當(dāng)直線1與直線PQ垂直時(shí)一，點(diǎn)Q到直線1的距離最大,此時(shí)k=l,最大距

離為|PQ|=/，故選B.

3.C由點(diǎn)到直線的距離公式得du2|+0)-2|<]+/^w3,其

-V亨l(xiāng)+m詈z-」際可vl+駕m2Vl+mz

中tan4>=m.

4.答案4

解析設(shè)P(XQ,XQ+3Xo>O,

則點(diǎn)P到直線x+y=o的距離d上胃瓦1=加(x0+￡)24,當(dāng)且僅當(dāng)x°《,即

Xo=V^時(shí)取等號(hào).

故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4.

5.C由題可得圓心為(0,0),半徑為2,

則圓心到直線的距離d=-^L,

W+1

則弦長(zhǎng)為2)4-磊,

則當(dāng)k=0時(shí)-，弦長(zhǎng)取得最小值,最小值為2斤中=2,解得m=±V3.故選C.

6.D由題得OM的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1尸+(y-l)2=4,半徑r=2,圓心M(l,6,如圖,由

題可知，ABJ_PM,|PM|?1AB|=2S四邊形

APBM=2(SAPAM+SAPB41)=2(IPAI+1PBI),IPAI=IPBI,IPMI?|AB|=4|PA|=4

J|PM|2-|AM|2=41任M/-4,

當(dāng)|PM|最小時(shí)，|PM|?|AB|最小，易知|PM|a『提十瓶，此時(shí)|PA|=1,AB〃1,設(shè)直線

AB的方程為y=-2x+b(bW-2),則圓心M到直線AB的距離d=要，

V5

又㈣尚小工鞏等門叫

即喑+乂,解得b=-l或b=7(舍去).

綜上，直線AB的方程為y=-2x-l,即2x+y+l=0,故選D.

7.ABD易得圓心C(。,。)到直線1的距離d二號(hào)辰

?2

22

若點(diǎn)A(a,b)在圓C上,則a+b=r\所以d=?==|r|,則直線1與圓C相切,故A

正確;

?2

若點(diǎn)A(a,b)在圓C內(nèi)，則aW<r\所以d=7=>|r|,則直線1與圓C相離，故B

正確;

若點(diǎn)A(a,b)在圓C外,則a2+b2>r2,所以d=4=<|r|,則直線1與圓C相交，故C

7va2+b2

?2

錯(cuò)誤；若點(diǎn)A(a,b)在直線1上,則a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=.=|r|,直線

y/a2+b2

1與圓C相切，故D正確.故選ABD.

8.ACD由題意可知直線AB的方程為

42

即x+2y-4=0,

則圓心⑸5)到直線AB的距離V+2/5

...直線AB與圓(x-5)2+65)2=16相離，

.?.點(diǎn)P到直線AB的距離的取值范圍為[二號(hào)4,衛(wèi)春+4],

???呼-4￡(0,1),呼+4￡(8,9),

...選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

過點(diǎn)B作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為P”P2,如圖，當(dāng)點(diǎn)P在切點(diǎn)Pi的位置

時(shí),NPBA最小，當(dāng)點(diǎn)P在切點(diǎn)P2的位置時(shí),NPBA最大,易知|PB|=|P2B|,圓心

(5,5)到點(diǎn)B的距離為后,圓的半徑為4,所以|PiB|=|P2B|=V^F=g=3直,

故選項(xiàng)C,D均正確.故選ACD.

9%:室立._2

.口木3'3

解析解法一：由直線與圓相切的充要條件知

(\b\?

VF+1=f|b|=|4k+b|,

?31=1氣網(wǎng)==

<Vk2+l

/c=gV3（舍非正數(shù)）,

2V3

匕二一亍.

解法二:如圖所示.

y=kx+b

由圖易知，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,且傾斜角為30°,從而k4且0=^+b,解

得b=-竽.

10.解析（1）不能出現(xiàn)ACJ_BC的情況，理由如下：

設(shè)A（X1,0）,B（X2,0）,則XI,X2滿足x'+mx-2=0,所以XIX2=-2.

又C的坐標(biāo)為（0,1）,故AC的斜率與BC的斜率之積為土-所以不能出

Xi%22

現(xiàn)AC_LBC的情況.

⑵證明：由⑴可得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（￡1）,可得BC的中垂線方程為y-|=x2（x-

葭）,

由⑴可得X1+X2=-m,所以AB的中垂線方程為x=￡

（mm

X=X=---,

由《i%、以及好+mx2-2=0,得｛:

卜一5二%2卜比）（y=-2-

所以過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為半徑r上耍.

故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2X=3,即過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得

的弦長(zhǎng)為定值.

三年模擬練

1.ABC易知A正確；點(diǎn)(0,2)與(1,1)的中點(diǎn)坐標(biāo)為g,|),滿足直線方程y=x+l,

并且點(diǎn)(0,2)與(1,1)所在直線的斜率為-1,所以點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱

點(diǎn)為(1,1),故B正確；易得直線x-y-2=0在x軸,y軸上的截距分別為2,-2,故直

線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2X2X2=2,故C正確;經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在x軸

和y軸上的截距都相等的直線方程為x+y-2=0或y=x,故D不正確.故選ABC.

2.B如圖所示，由于對(duì)圓上的任意一點(diǎn)P均有|PM|=入|PN|,所以A,B兩點(diǎn)也滿

足該關(guān)系式.又A(-4,0),B(4,0),M(2,0),N(t,0),所以入=雷=黑上*白,解得

t=8,所以入=點(diǎn)故選B.

3.A化簡(jiǎn)曲線y=A4—%2+i(-2WxW2),得x?+(yT)'=4(y21),

???曲線表示以(0,1)為圓心,2為半徑,且位于直線y=l上方的半圓(包括與直線

y=l的兩個(gè)交點(diǎn))，設(shè)圓心為C.

易得直線kx-y-2k+4=0經(jīng)過定點(diǎn)(2,4),記為A,且斜率為k.

如圖,設(shè)直線與半圓的切線為AD,半圓的左端點(diǎn)為B,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1).

當(dāng)直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時(shí),直線與半圓有兩個(gè)相

異的交點(diǎn).

由點(diǎn)到直線的距離公式,得當(dāng)直線與半圓相切時(shí)滿足竽3=2,解得心=白.

屆D+I12

又,?"，時(shí)松弓，???直線的斜率k的范圍為(福,非故選A.

4.B設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=8的對(duì)稱點(diǎn)為B(a,b),軍營(yíng)所在區(qū)域的圓心(0,0)為0,

根據(jù)題意，|B0|-逐為最短路程.

易知AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(等,勻,直線AB的斜率為1,

"+4

則］:2一，解得J：］，

——2lb=4,

<a-49

所以IB01-V5=V82+42-V5=3V5.故選B.

5.B解法一：由題易得圓C的圓心坐標(biāo)為(V3,遍)，半徑r=l.設(shè)P(a,b),則

AP=(a+t,b),(a-t,b).

VZAPB=90o,.'.APL'BP,

.".AP?RP=(a+t)?(a-t)+b2=0,

.-.t2=a2+b2=|0P|2(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，

At的最小值即為IOP|的最小值，

即為|0C|-r=3T=2.故選B.

解法二：由NAPB=90°得點(diǎn)P在以原點(diǎn)。為圓心的圓x2+y2=t2±,因此由兩圓有交

點(diǎn)得|t-l|W|0C|Wt+ln|t-l|W3Wt+l=2WtW4,即t的最小值為2,故選B.

222

6.BC將,X2+、2=|x+2y|兩邊平方，得x+y=x+4xy+4y\即y(4x+3y)=0,等價(jià)于

y=0或4x+3y=0,則曲線C表示兩條直線,所以A錯(cuò)誤；因?yàn)镸⑸0)到直線

4x+3y=0的距離d=y=4,所以當(dāng)r=4時(shí)，直線4x+3y=0與圓M相切，易知直線y=0

與圓M相交,且兩交點(diǎn)和直線4x+3y=0與圓M的切點(diǎn)均不同，故曲線C與圓M有3

個(gè)公共點(diǎn),所以B正確；當(dāng)r=2時(shí),存在圓N,使得圓M內(nèi)切于圓N,且圓N與這兩

條直線都相交,即與曲線C有4個(gè)公共點(diǎn),所以C正確；易知曲線C與圓M的公共

點(diǎn)最多有4個(gè)，而當(dāng)r=5時(shí)一，圓M過直線y=0與直線4x+3y=0的交點(diǎn)(0,0),此時(shí)

曲線C與圓M的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,所以D錯(cuò)誤.故選BC.

7.A設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則就+羽=2,所以

|￡'8|2_(%()_])2+@0+])2_就+據(jù)_2久0+2泗+2_-2尤0+2丫0+4_-%0+370+2盡入—-久。+丫。+2則

22

\PA\%o+(yo+2)說+%+4為+44yo+62y0+3'?2yo+3''

入#0,Xo+(2入-l)yo+3入-2=0,由題意,知直線x+(2入-1)y+3入-2=0與圓x2+y=2

有公共點(diǎn)，所以魚,得X2-4X<0,得0<XW4,所以震的最大值為2.

V1+(2A-1)2\PA\

故選A.

8.答案(-3V2,-V6]U[V6,3V2)

解析由題意得圓心到直線的距離d嗎(3,即|b|<3V2.取AB的中點(diǎn)C,連接0C,

V2

2

則OC1AB,\OA+OB\=2\OC\^\AB\=V2\AC\=V2Xy/9-\OC\,則210cl=9-

|0C|2,則10C|三百,又10CI=d,所以瞿三遮貝I」Ib|2跖故乃W|b|<3V2,故實(shí)數(shù)

b的取值范圍是(-3V2,-V6]U[V6,3V2).

9.答案V2;[-16,4]

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2￥+y2=2,圓心為C(2,0),半徑r=V2.

①當(dāng)直線l:3x+4y+m=0與圓C:x2+y-4x+2=0有交點(diǎn)時(shí)，顯然滿足題意，此時(shí)

亨W魚,

解得-6-5V^WmW-6+5近；

②當(dāng)直線1:3x+4y+m=0與圓C:x2+y2-4x+2=0無交點(diǎn)時(shí)，01<-6-5a或m>-6+5V2.

“在圓C上存在兩點(diǎn)A,B,在直線1上存在一點(diǎn)P,使得NAPB=90°”等價(jià)于“直

線1上存在點(diǎn)P,使得過P作圓C的兩條切線的夾角大于或等于90°”.設(shè)兩個(gè)

切點(diǎn)分別為M,N,則NMPN290°,所以NMPC245。，所以sinNMPC=442sin

45°考，所以|PC|W2.

根據(jù)題意可得直線1上存在點(diǎn)P,使得IPC|W2,等價(jià)于|PC|

又IPC|的最小值為圓心C到直線1的距離，

所以誓W2,解得-16WmW4,

所以T6Wm<-6-5魚或-6+5&Q1W4.

綜上可得,m的取值范圍為[T6,4].

10.答案（1）3（2）y

解析（1）根據(jù)條件得兩圓L、S的圓心分別為L(zhǎng)（-4,0）,S（4,0）,由題意可知直線

1的斜率存在,故設(shè)其方程為y=tx,則騁=2,解得t=土”，

vl+tz3

故直線1的方程為y=±fx,則Q到直線1的距離為管，

故圓Q截1所得的弦長(zhǎng)為2b（4）2=3.

⑵由題意可知直線1的斜率存在,故設(shè)其方程為y=kx+m,則三個(gè)圓心L,S,Q到該

直線的距離分另I」為d=4^g,d3=曾,貝IJd2=4（4—源）=4（4一遇）=4（9一

vl+k22V1+/C2vl+k2

我，即有（呼）、（提方①,

4-（粽-（矍）2②，

解①得m=o,代入②得k2=^,

則cJ2=4><（4-駕）=必，即d=-.

\1+/255

11.解析（1）由題意設(shè)圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）,其與兩坐標(biāo)軸的四個(gè)

交點(diǎn)分別為（