2022-2023學(xué)年高二物理競(jìng)賽習(xí)題：晶格振動(dòng)與聲子

晶格振動(dòng)與聲子簡(jiǎn)諧近似一維單原子鏈的振動(dòng)nn+1n+2n-1n-2

n

n+1

n+2

n-1

n-2aa

：力常數(shù)勢(shì)能U(r)=U(a+δ)在r=a處做泰勒展開(kāi)：簡(jiǎn)諧近似（即忽略三階小微擾項(xiàng)）后可得：線性回復(fù)力：最近鄰近似下的運(yùn)動(dòng)方程和色散關(guān)系只考慮最近鄰原子間的相互作用：——格波方程解得——色散關(guān)系利用波恩卡曼邊界條件解得：原子鏈的分立性與布里淵區(qū)——布里淵區(qū)0q(q)晶格振動(dòng)的所有可能狀態(tài)都包含在該布里淵區(qū)中，這個(gè)區(qū)域之外的波矢q不提供任何新的振動(dòng)狀態(tài)。布里淵區(qū)的大小與原子距離成反比，若原子間距離減小，布里淵區(qū)隨之增大。一個(gè)振動(dòng)狀態(tài)只能用一個(gè)波矢來(lái)表示。q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單

位距離兩點(diǎn)間的振動(dòng)位相差。格波解：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振

動(dòng)，不同原子間有振動(dòng)位相差，這種振動(dòng)以波

的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。

對(duì)于確定的n：第n個(gè)原子的位移隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧振動(dòng)

對(duì)于確定時(shí)刻t：不同的原子有不同的振動(dòng)位相例：q取不同的值，相鄰兩原子間的振動(dòng)位相差不同，則

晶格振動(dòng)狀態(tài)不同。

若則與描述同一晶格振動(dòng)狀態(tài)。晶體長(zhǎng)度的有限性和波矢的分立性12nNN+1N+2N+nl=整數(shù)在q軸上，每一個(gè)q的取值所占的空間為q的分布密度：L＝Na——晶體鏈的長(zhǎng)度晶格振動(dòng)格波的總數(shù)=N·1簡(jiǎn)約區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù)＝N＝晶體鏈的原胞數(shù)=晶體鏈的自由度數(shù)*波矢的分立性，與系統(tǒng)限度的有限性有關(guān)，L無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，波矢是連續(xù)的。一維雙原子鏈的振動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)方程及其解2aMm{n2n+12n-12n+2(設(shè)M>m)考慮由P、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈只考慮近鄰原子間的彈性相互作用運(yùn)動(dòng)方程：解得：{代入方程:久期方程：布里淵區(qū)：

對(duì)于不在簡(jiǎn)約區(qū)中的波數(shù)q’

，一定可在簡(jiǎn)約區(qū)中找到唯一一個(gè)q，使之滿足：為倒格矢兩個(gè)色散關(guān)系即有兩支格波：（＋：光學(xué)波；－：聲學(xué)波）光學(xué)波和聲學(xué)波的物理圖象第n個(gè)原胞中P、Q兩種原子