2023年山東省泰安市泰山區(qū)東岳中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模模擬試題

2023年山東省泰安市泰山區(qū)東岳中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.的倒數(shù)是（）A B.2023 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了倒數(shù)的定義．乘積等于1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．由倒數(shù)定義進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是，故選：C．2.下面計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A.

B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)積的乘方，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法法則，逐一進(jìn)行計(jì)算后，判斷即可．【詳解】A、

，故A不符合題意；B、，故B符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D不符合題意；故選：B．3.下列圖案中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義．4.如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E，若∠C=70°，則∠AED=（）A.55° B.125° C.135° D.140°【答案】B【解析】【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°﹣70°=110°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=55°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣55°=125°．故選B．考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)5.為了保護(hù)環(huán)境，加強(qiáng)環(huán)保教育，某中學(xué)組織學(xué)生參加義務(wù)手機(jī)廢舊電池的活動(dòng)，隨機(jī)抽取班上30名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)根據(jù)學(xué)生收集到的廢舊電池?cái)?shù)，判斷下列說法正確的是（）收集的廢電池?cái)?shù)（節(jié)）45678人數(shù)（人）691131A.平均數(shù)是6.5節(jié) B.眾數(shù)是11節(jié) C.中位數(shù)是5.5節(jié) D.極差為10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)以及極差的求解方法求解即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（節(jié)），A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；眾數(shù)為6節(jié)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；中位數(shù)為（節(jié)），C選項(xiàng)正確，符合題意；極差為（節(jié)），D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)以及極差，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)以及極差的求解方法．6.《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩五尺四寸：屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺，問木條長(zhǎng)多少尺？”如果設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，可列方程組為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，根據(jù)用一根繩子去量一根木條，繩子剩余尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺，列出二元一次方程組，即可求解．【詳解】設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，可列方程組為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．7.如圖、在同一平而直角坐標(biāo)系中、直線和拋物線的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖形確定出、的正負(fù)情況是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定出，，然后確定出拋物線開口方向和對(duì)稱軸，即可得解．【詳解】解：A、由一次函數(shù)圖象可知：，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由一次函數(shù)圖象可知：，，當(dāng)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由圖可知，，，當(dāng)，，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，故此選項(xiàng)符合題意．D、由一次函數(shù)圖象可知：，，當(dāng)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．8.如圖所示，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且OC⊥AB，過點(diǎn)C的弦CD與線段OB相交于點(diǎn)E，滿足∠AEC＝65°，連接AD，則∠BAD等于()A.20° B.25° C.30° D.32.5°【答案】A【解析】【分析】連接OD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等邊對(duì)等角求出∠DOB＝40°，再根據(jù)圓周角定理即可求出∠BAD的度數(shù)．【詳解】解：連接OD，∵OC⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，∴由圓周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓和三角形的問題，掌握三角形內(nèi)角和定理、等邊對(duì)等角、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．9.位于南岸區(qū)黃桷埡的文峰塔，有著“平安寶塔”之稱．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)對(duì)其高度

進(jìn)行了測(cè)量．如圖，他們從塔底的點(diǎn)出發(fā)，沿水平方向行走了米，到達(dá)點(diǎn)，然后沿斜坡繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，已知．在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋c(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)）．其中測(cè)角儀及其支架高度約為米，斜坡的坡度（或坡比），那么文峰塔的高度約為（）A.22.5米 B.24.0米 C.28.0米 D.33.3米【答案】C【解析】【詳解】過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4，BC=CD=13米，∴設(shè)DG=x，則CG=2.4x.在Rt△CDG中，∵，即解得x=5，∴DG=5米，CG=12米，∴EG=5+0.5=5.5米，BG=13+12=25米，∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四邊形EGBM是矩形，∴EM=BG=25米，BM=EG=5.5米，在Rt△AEM中，∵∴米，∴AB=AM+BM=22.5+5.5=28米.故選C．10.如圖，已知矩形紙片ABCD的兩邊AB＝4，BC＝2，過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)F處，折痕為BE，則EF的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由翻折的性質(zhì)，得BF＝AB＝4，AE＝EF，設(shè)AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理構(gòu)建方程并求解，即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，根據(jù)題意，得：BF＝AB＝4，AE＝EF，∴設(shè)AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、矩形、勾股定理、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱、矩形、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．11.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表：X﹣1013y﹣33下列結(jié)論：（1）abc＜0；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；（3）16a+4b+c＜0；（4）拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（5）x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一個(gè)根；其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)大體畫出拋物線的圖象，進(jìn)一步即可判斷a、b、c的符號(hào)，進(jìn)而可判斷（1）；由點(diǎn)（0，3）和（3，3）在拋物線上可求出拋物線的對(duì)稱軸，然后結(jié)合拋物線的開口方向并利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷（2）；由（2）的結(jié)論可知：當(dāng)x＝4和x＝﹣1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，進(jìn)而可判斷（3）；根據(jù)畫出的拋物線的圖象即可判斷（4）；由表中的數(shù)據(jù)可知：當(dāng)x＝3時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝3，進(jìn)一步即可判斷（5），從而可得答案.【詳解】解：（1）畫出拋物線的草圖如圖所示：則易得：a<0，b>0，c>0，∴abc＜0，故（1）正確；（2）由表格可知：點(diǎn)（0，3）和（3，3）在拋物線上，且此兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，因?yàn)閍<0，所以，當(dāng)x＞時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故（2）錯(cuò)誤；（3）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝，∴當(dāng)x＝4和x＝﹣1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，∵當(dāng)x=－1時(shí)，y<0，∴當(dāng)x=4時(shí)，y<0，即16a+4b+c＜0，故（3）正確；（4）由圖象可知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，故（4）錯(cuò)誤；（5）由表中的數(shù)據(jù)可知：當(dāng)x＝3時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝3，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一個(gè)根，故（5）正確；綜上，結(jié)論正確的共有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖象和性質(zhì)以及拋物線與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)大體畫出函數(shù)圖象、熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（）A.1.5 B.1.2 C.2.4 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】【詳解】思路引領(lǐng)：先依據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF＝FC，故此點(diǎn)P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．答案詳解：如圖所示：當(dāng)PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性質(zhì)可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂線段最短可知此時(shí)FD有最小值．又∵FP為定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）13.已知一個(gè)肥皂泡的泡壁厚度大約是米，個(gè)這樣的肥皂泡的泡壁厚度一共為______米．（用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】【解析】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：個(gè)這樣的肥皂泡的泡壁厚度一共為：（米）．故答案為：．14.已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則關(guān)于的一元二次方程的解為______．【答案】，【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)、解一元二次方程，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸可得的值，將的值代入一元二次方程，解一元二次方程即可得到答案．【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，∴，，，，解得：，．故答案為：，．15.如圖，已知，于，于，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是______．【答案】####6.5【解析】【分析】連接，延長(zhǎng)到，使得，連接，易得為的中位線，由三角形中位線的性質(zhì)可得，再在中，由勾股定理可解得的值，然后證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得的值，即可獲得答案．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)到，使得，連接，如下圖，∵，∴，∴，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，在中，可有，∵，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定等知識(shí)，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．16.如圖，扇形紙片的半徑為4，沿折疊扇形紙片，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，圖中陰影部分的面積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，推出四邊形是菱形，連接交于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)菱形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵沿折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，連接交于D，則，，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形的面積，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．17.為平行四邊形的對(duì)角線，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，直線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是______．【答案】②③【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)角對(duì)等邊以及同角的余角相等，判斷②，證明，判斷①③，求出的度數(shù)，判斷④．【詳解】四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，故正確；又，，，，，故正確；點(diǎn)不一定是的中點(diǎn)，不一定等于，不一定等于，故錯(cuò)誤，，，，，，故錯(cuò)誤，故答案為：．18.如圖，已知直線的解析式是，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)所給的直線解析式可得與軸的夾角為，進(jìn)而根據(jù)所給條件依次得到的點(diǎn)的坐標(biāo)，通過找到相應(yīng)的規(guī)律即可求解，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．【詳解】直線的解析式是，與軸的夾角為，∴，軸，，，，，，同理可得，，的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)和點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：．三、解答題（本大題共7小題，共78.0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.（1），其中；（2）解不等式組：．【答案】（1），；（2）不等式組的解集為【解析】【分析】（1）先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則，把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入得值即可求解，（2）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可，本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，（2）解：，由①得：，由②得：，故答案為：不等式組的解集為．20.在疫情期間，線上買菜需求激增，某小區(qū)為了解居民使用買菜APP的情況，通過制作無接觸配送置物架，隨機(jī)抽取了若干戶居民進(jìn)行調(diào)查（每戶必選且只能選最常用的一個(gè)APP），現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（A：天虹到家，B：叮咚買菜，C：每日優(yōu)選，D：盒馬鮮生）（1）本次隨機(jī)調(diào)查了______戶居民；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖的空缺部分；（3）若小區(qū)共有2400戶居民，請(qǐng)估計(jì)該小區(qū)居民選擇“C：每日優(yōu)選”大約有______戶；（4）某日下午，王阿姨想購買橙子和卷心菜，各APP的供貨情況如下：天虹到家僅有橙子在售，叮咚買菜僅有卷心菜在售，每日優(yōu)選僅有卷心菜在售，盒馬鮮生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的APP能買到橙子和卷心菜的概率．【答案】（1）200（2）見解析（3）480（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)“調(diào)查居民戶數(shù)D組戶數(shù)D組所占百分比”，即可求解；（2）先求出A組居民戶數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，即可；（3）由“C組戶數(shù)小區(qū)總居民戶數(shù)C組所占百分比”，即可求解；（4）先畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式，即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得（戶），答：本次隨機(jī)調(diào)查了200戶居民；故答案為：200；【小問2詳解】解：（戶），條形統(tǒng)計(jì)圖的A：天虹到家為50戶，如圖為補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖，【小問3詳解】解：（戶），答：估計(jì)該小區(qū)居民選擇“C：每日優(yōu)鮮”的大約有480戶；故答案為：480；小問4詳解】解：根據(jù)題意畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖可知：所有等可能的結(jié)果有12種，隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的APP能買到橙子和卷心菜的有4種，所以隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的APP能買到橙子和卷心菜的概率是．答：王阿姨隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的APP能買到橙子和卷心菜的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查條形統(tǒng)計(jì)圖和隨機(jī)事件的概率，掌握條形統(tǒng)計(jì)圖的特征，學(xué)會(huì)畫樹狀圖，是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)與點(diǎn)（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最小，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），（2）6（3）存在，，理由見解析【解析】【分析】（1）通過可求出反比了函數(shù)的解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得，通過，即可求得一次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)一次函數(shù)的圖像交x軸于點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出C的坐標(biāo)，分別求出，，再通過即可得到答案；（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)最小，求出直線的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：將帶入得，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：；∵在反比例函數(shù)上，∴，∴，將和帶入得，解方程組得：，∴一次函數(shù)的解析式為：；【小問2詳解】解：如下圖所示，設(shè)一次函數(shù)的圖像交x軸于點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)的解析式可以得，∴∴，∴，，∴；【小問3詳解】解：存在，如下圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)最小，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解方程組的：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．22.清明是二十四節(jié)氣之一，也是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，清明節(jié)吃青團(tuán)是很多地方的習(xí)俗．清明節(jié)前市場(chǎng)上肉松蛋黃青團(tuán)比芝麻青團(tuán)的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用800元購進(jìn)的芝麻青團(tuán)和用600元購進(jìn)的肉松蛋黃青團(tuán)盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒，當(dāng)每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售出2盒．（1）求芝麻青團(tuán)和肉松蛋黃青團(tuán)的進(jìn)價(jià)；（2）已知芝麻青團(tuán)每盒的售價(jià)不高于65元，表示該商家每天銷售芝麻青團(tuán)的利潤(rùn)（單位；元），芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)為多少元時(shí)，一天獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）芝麻青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒40元，則肉松蛋黃青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒30元；（2）芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)為65元時(shí)，一天獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1750元．【解析】【分析】（1）設(shè)芝麻青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒a元，則肉松蛋黃青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒元，根據(jù)商家用8000元購進(jìn)的五仁月餅和用6000元購進(jìn)的豆沙月餅盒數(shù)相同列出分式方程，解方程即可；（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，每天可售出100盒，設(shè)芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)x元，則每天可售盒，列出每天銷售芝麻青團(tuán)的利潤(rùn)W與芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤(rùn)的最大值．【小問1詳解】解：設(shè)芝麻青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒a元，則肉松蛋黃青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒元，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，此時(shí)，答：芝麻青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒40元，則肉松蛋黃青團(tuán)的進(jìn)價(jià)為每盒30元；【小問2詳解】解：設(shè)芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)x元，根據(jù)題意得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，W隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，W有最大值，最大值為，∴芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)為65元時(shí)，一天獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1750元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售芝麻青團(tuán)的利潤(rùn)W與芝麻青團(tuán)每盒售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式．23.如圖，等腰，，分別以，為邊長(zhǎng)在同側(cè)作等邊和等邊，與相交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）求證：；（3）已知，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可證，從而可證，即可得證；（2）可證，由此可證，從而得證，即可得證；（3）延長(zhǎng)交于，可求，，進(jìn)而可求，即可求解．【小問1詳解】證明：和都是等邊三角形，，，，，，在與中，，()，．【小問2詳解】證明：是等邊三角形，，，在腰中：，在與中，，()，，即：，由（1）得：，，，又，，，即，又，．【小問3詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等三角形的性質(zhì)，“三線合一”，勾股定理，的判定性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，掌握三角形中的相關(guān)判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.如圖，拋物線過點(diǎn)，，D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，連接BC，BE，求的正切值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是