吉林省吉林市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

吉林省吉林市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題2分，共12分）1.在下列交通標(biāo)志圖中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形互為中心對(duì)稱圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、不是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、不是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；D、是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；故選：D．2.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)頂點(diǎn)式，知頂點(diǎn)坐標(biāo)是，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故選：B．3.如圖是一個(gè)由5個(gè)完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．【詳解】從上面看易得：有3列小正方形第1列有2個(gè)正方形，第2列有1個(gè)正方形，第3列有1個(gè)正方形．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單組合體的三視圖，解題關(guān)鍵是數(shù)出從上方看每一列各有幾個(gè)正方形．4.反比例函數(shù)的圖象如圖所示，軸，若的面積為3，則k的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵軸，∴，∴∴∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，∴，故選：C．5.如圖，菱形的頂點(diǎn)A，B，C都在上，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)在優(yōu)弧上，則的大小為（） A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形四邊都相等得到是等邊三角形，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半．【詳解】解：連接，∵菱形，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故選B．6.如圖，在中，中線交于點(diǎn)F，連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.的面積與四邊形的面積比為【答案】D【解析】【分析】本題主要考查三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)分析判斷即可．【詳解】解：∵是的中線，∴點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，故A正確，∴，故B正確；∵，∴∴，故C正確；∴∴的面積與四邊形的面積比為，故D錯(cuò)誤，故選：D．二、填空題（每小題3分，共24分）7.已知α是銳角，如果，那么α＝___．【答案】##30度【解析】【分析】根據(jù)是銳角，，可以得到，由此求解即可．【詳解】解：∵是銳角，，∴，故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求角的度數(shù)，求特殊角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握30度角的三角函數(shù)值．8.關(guān)于的一元二次方程的根的判別式的值為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用根的判別式，建立關(guān)于m的方程求得m的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解得：，故答案為：．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，以點(diǎn)B為中心，把線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∵軸，，，在和中，，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．10.如圖，為了測(cè)量油桶內(nèi)油面的高度，將一根細(xì)木棒自油桶邊緣的小孔插入桶內(nèi)，測(cè)得木棒插入部分的長(zhǎng)為，木棒上沾油部分的長(zhǎng)為，桶高為，那么桶內(nèi)油面的高度是________．【答案】##48厘米【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)油面與木棒的交點(diǎn)為D，作于點(diǎn)E，則，證明，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答即可．【詳解】解：設(shè)油面與木棒的交點(diǎn)為D，作于點(diǎn)E，則，∵，，∴，∴，∴，解得．故答案為：．11.如圖，在中，，D是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂足為E，如果，那么_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形，先由線段中點(diǎn)的定義得到，則由勾股定理可得，則，再證明，則．【詳解】解：∵D是邊的中點(diǎn)，，∴，∵，∴由勾股定理得，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．12.在對(duì)某物體做功一定的情況下，力牛1與此物體在力的方向上移動(dòng)的距離米成反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．當(dāng)米時(shí)，F(xiàn)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)函數(shù)關(guān)系為，將代入上式得：解得，進(jìn)而求解．用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，設(shè)函數(shù)關(guān)系為，將代入上式得：解得，則函數(shù)的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．13.如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，以點(diǎn)A、C為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_____（結(jié)果保留）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，求弧長(zhǎng)，先根據(jù)勾股定理得到，再由線段中點(diǎn)的定義得到，再由扇形與扇形的半徑相等且圓心角度數(shù)之和為90度求出的長(zhǎng)與的長(zhǎng)的和即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，∴，，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴長(zhǎng)與的長(zhǎng)的和為，∴陰影部分的周長(zhǎng)為，故答案為：．14.如圖，拋物線的頂點(diǎn)在線段上移動(dòng)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)，若，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)與幾何圖形應(yīng)用，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，設(shè)拋物線解析式為，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入求出a即可得到拋物線的解析式．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，又∵C、D兩點(diǎn)在x軸，∴軸，軸，軸，∴，設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入，得∴，∴拋物線的解析式為，故答案為：．三、解答題（每小題5分，共20分）15.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了含特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算二次根式的乘法與加法即可得．【詳解】解：原式．16.在慶祝龍年的元旦聯(lián)歡會(huì)上，九年級(jí)1班進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：將4張正面標(biāo)有龍、蛇、馬、羊的紙牌（紙牌反面完全相同）洗勻后，反面朝上放在桌子上，參與者每次隨機(jī)從中抽取兩張紙牌，若抽到“龍”和“馬”，即組成“龍馬精神”這個(gè)寓意美好的成語，則參與者可獲得獎(jiǎng)品．麗麗決定參加游戲，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求麗麗獲得獎(jiǎng)品的概率．【答案】麗麗獲得獎(jiǎng)品的概率為．【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法．列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及麗麗抽到“龍”和“馬”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：列表如下：龍蛇馬羊龍（龍，蛇）（龍，馬）（龍，羊）蛇（蛇，龍）（蛇，馬）（蛇，羊）馬（馬，龍）（馬，蛇）（馬，羊）羊（羊，龍）（羊，蛇）（羊，馬）共有12種等可能的結(jié)果，其中麗麗抽到“龍”和“馬”的結(jié)果有2種，∴麗麗獲得獎(jiǎng)品的概率為．17.閱讀材料，并回答問題：佳佳解一元二次方程的過程如下：解：①②③，④（1）上述解答過程中，從第步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；（2）在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】（1）②（2）見解析【解析】【分析】本題考查解一元二次方程配方法，解題的關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟．（1）觀察解答過程可得答案；（2）用配方法解方程即可．【小問1詳解】解：從②開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：等號(hào)右邊沒有加9；故答案為：②；【小問2詳解】解：移項(xiàng)得：，配方得：，即，，或，，．18.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；（2）求這條拋物線的對(duì)稱軸．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及拋物線的對(duì)稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）把和點(diǎn)代入中解方程組求出a、b即可；

（2）按照對(duì)稱軸公式求解即可．【小問1詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)∴解得∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為【小問2詳解】解：的對(duì)稱軸，故這條拋物線的對(duì)稱軸．四、解答題（每小題7分，共28分）19.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均為小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（1）如圖①，在上畫一點(diǎn)D，使；（2）如圖②，過點(diǎn)C畫的平行線；（3）如圖③，畫線段，使．【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）見詳解【解析】【分析】本題主要考查網(wǎng)格作圖，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、求正切值和平行線的判定，（1）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)得，和，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可知點(diǎn)D的位置；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)得，即可判定平行；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)得，結(jié)合（1）即可得到．【小問1詳解】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)得，則，∵，，∴．【小問2詳解】如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)得，，則．【小問3詳解】如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)得，則，由（1）知，則，那么，．20.某商場(chǎng)銷售某種品牌的臺(tái)燈，1月份銷售400個(gè)，2、3月份這種臺(tái)燈的銷售量持續(xù)增加，3月份的銷售量達(dá)到576個(gè)，設(shè)2、3這兩個(gè)月該品牌臺(tái)燈銷售量的月平均增長(zhǎng)率不變，求2、3這兩個(gè)月該品牌臺(tái)燈銷售量的月平均增長(zhǎng)率．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，記住增長(zhǎng)率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)增長(zhǎng)（降低）率公式可列出式子．【詳解】解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x．根據(jù)題意可得∶．解得∶，（舍去）．∴增長(zhǎng)率為．答：2、3這兩個(gè)月該品牌臺(tái)燈銷售量的月平均增長(zhǎng)率是．21.小明和小強(qiáng)決定利用所的知識(shí)測(cè)量本校綜合樓上安裝的電信信號(hào)塔的高度，在操場(chǎng)上選取一點(diǎn)，測(cè)得信號(hào)塔頂點(diǎn)的仰角為，測(cè)得這棟樓的頂部的仰角為，又知，，三點(diǎn)在一條直線上，水平距離為，，，，三點(diǎn)在一條直線上且，，求信號(hào)塔本身的高（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】信號(hào)塔本身的高為．【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題．在中，，可求得，即可得，在中，，可求得，再由可得答案．【詳解】解：由題意得，，，，在中，，解得，，在中，，，解得，．信號(hào)塔本身的高為．22.如圖，直線與雙曲線的一個(gè)分支交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求雙曲線的解析式；（2）點(diǎn)在軸上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，三角形面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)代入直線解析式求出，確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由可得，求解即可得出答案．【小問1詳解】解：把點(diǎn)代入直線得：，解得：，，設(shè)雙曲線的解析式為：，把代入雙曲線解析式得：，，雙曲線的解析式為；【小問2詳解】解：在中，令，則，解得：，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，即，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．五、解答題（每小題8分，共16分）23.如圖，的直徑垂直于弦于點(diǎn)F，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，．（1）求證：是的切線；（2）若的直徑為4，弦平分半徑，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)，結(jié)合圓周角定理得到，再根據(jù)得到，結(jié)合切線判定，即可作答．（2）連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的面積公式得到，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得到答案．【小問1詳解】證明：連接，如圖：∵∴由圓周角定理得：，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，即與相切；【小問2詳解】解：連接，由已知得，在中，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算、垂徑定理、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．24.【探究】如圖①，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，交邊于點(diǎn)F．若，，求的值；【應(yīng)用】（1）如圖②，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)D．若，則的值為；（2）如圖③，在，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)F，若，則的值為．【答案】【探究】【應(yīng)用】（1）；（2）【解析】【分析】〖探究〗證得，進(jìn)而得出結(jié)果；〖應(yīng)用〗（1）設(shè)，，則，從而，可證得，從而，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）作于，設(shè)，，則，，進(jìn)而得出，可推出，從而，設(shè)，，則，由得，，求得，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】〖探究〗解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，；〖應(yīng)用〗解：（1），設(shè)，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖，作于，設(shè)，，則，，，，由（1）知：，，設(shè)，，，，，由得，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．六、解答題（每小題10分，共20分）25.如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止．以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得射線，交邊或邊BC或邊于點(diǎn)Q，連接（即），設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）直接寫出的長(zhǎng)；（2）用含t的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；（3）連接，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，求t的值；（4）作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E落在的邊上時(shí)，直接寫出t的值．【答案】（1）；（2）的長(zhǎng)為或；（3）t的值為；（4）t的值為或或．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)題意分兩種情況列式即可；（3）利用正切函數(shù)的定義即可求解；（4）分三種情況討論，利用三角函數(shù)的定義即可求解．【小問1詳解】解：∵，，，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴；【小問2詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在上，即時(shí)，由題意得，∴，當(dāng)點(diǎn)P在上，即時(shí)，，綜上，的長(zhǎng)為或；【小問3詳解】解：如圖，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，，∵，∴，∴，∴t的值為；【小問4詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P落在上，點(diǎn)E落在上時(shí)，∵，點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P、E落在上時(shí)，∵，點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，，由題意得，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P落在上，點(diǎn)E落在上時(shí)，作于點(diǎn)，由對(duì)稱得，，∴是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，∴平分，∴，由題意得，∴，∵，∴，∴；綜上，t的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．分類討論是解題的關(guān)鍵．26.如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊），以為底邊作等腰直角，當(dāng)點(diǎn)R在x軸上時(shí)，求m的值；（3）將拋物線在P、A兩點(diǎn)間的部分記為圖象G（包含P、A兩點(diǎn)），設(shè)圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為3，求m的值；（4）過點(diǎn)B