離散型隨機變量及其概率分布

第四節(jié)離散型隨機變量及其概率分布一．考點梳理1．離散型隨機變量的概率分布(1)假如隨機試驗的結(jié)果能夠用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量；按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．(2)離散型隨機變量的概率分布假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1，x2，…，xi，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①則稱①為隨機變量X的，簡稱為X的分布列，X的概率分布用表格表示為：XP(3)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)①②p1＋p2＋…＋pn＝；X10Ppq2．兩點分布假如隨機變量X的概率分布為其中0<p<1，q＝1－p，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的分布.3．超幾何分布在含有M件次品數(shù)的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中含有X件次品數(shù)，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，則稱分布列服從超幾何分布．X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)·C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))4.隨機變量的分布列多結(jié)合排列組合、古典概型、互斥、獨立事件來考查，復習時，要會把以實際問題為背景的題目轉(zhuǎn)化為概率問題，這是解決問題的關(guān)鍵．二．自我檢測1．設(shè)隨機變量X的概率分布如下：則p＝________.X1234Pieq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p2．假如X是一個離散型隨機變量，給出以下四個命題：①X取每個可能值的概率是非負實數(shù)；②X取所有可能值的概率之和為1；③X取某兩個可能值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；④X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．其中是假命題的序號是_______．3．已知隨機變量X的分布列為：P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，則P(2<X≤4)等___．4．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，任意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數(shù)為________．5．拋擲2顆骰子，所得點數(shù)之和記為X，那么X＝4表示的隨機試驗結(jié)果是_____(填序號)．①2顆都是4點；②1顆是1點，另1顆是3點；③2顆都是2點；④1顆是1點，另1顆是3點，或者2顆都是2點．三．例題分析考向一離散型隨機變量的性質(zhì)【例1】設(shè)離散型隨機變量X的概率分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的概率分布列；(2)|X－1|的概率分布列．【訓練1】設(shè)隨機變量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常數(shù)a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))；(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＜X＜\f(7,10))).考向二離散型隨機變量的概率分布【例2】隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提升為70%.假如此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【訓練2】在一個盒子中，放有標號分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x、y，記ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求隨機變量ξ的分布列．考向三超幾何分布問題【例3】一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是eq\f(7,9).(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布表．【訓練3】在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張券中有一等獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：(1)該顧客中獎的概率；(2)該顧客獲得的獎品總價值X元的概率分布表．四．練習反饋1．若隨機變量X的概率分布列為且p1＝eq\f(1,2)p2，則p1等于________．Xx1x2Pp1p22．設(shè)隨機變量X的概率分布P(X＝k)＝eq\f(c,k＋1)，k＝0、1、2、3，則c＝________.3．已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3)，則P(X＝2)等于______．4．設(shè)某項試驗的成功率為失敗率的2倍，用隨機變量X去描繪1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)的值為________．5．一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了X次球，則P(X＝12)等于________．6．隨機變量X的概率分布為P(X＝k)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k，k＝1,2，3，…，則a的值為________．7．魯川在魚缸中養(yǎng)了3條白色、2條紅色和n條黑色金魚，現(xiàn)從中任取2條金魚實行觀察，每取得1條白色金魚得1分，每取得1條紅色金魚得2分，每取得1條黑色金魚得0分，用X表示所得的分數(shù)，已知得0分的概率為eq\f(1,6).(1)求魚缸中黑色金魚的條數(shù)n；(2)求X的概率分布．8