數(shù)學物理方法II

數(shù)學物理方法II

周彬

北京師范大學物理系

于TueApr1615:26:42CST2013由Makefile自動維護

目錄

7數(shù)學物理定解問題3

8分離變量法4

8.1齊次方程的分離變量法.......................................................4

8.2非齊次振動方程和輸運方程...................................................4

8.2.1Fourier級數(shù)法.......................................................4

8.2.2沖量定理法..........................................................4

8.3非齊次邊界條件.............................................................6

8.4Poisson方程.............................................................6

8.5分離變量法小結.............................................................6

9二階常微分方程的級數(shù)解法本征值問題7

10球函數(shù)8

10.1軸對稱球函數(shù)...........................................................8

10.1.1Legendre多項式..................................................8

10.1.2Legendre多項式的微分表示............................................8

10.1.3Legendre多項式的積分表示............................................8

10.1.4函數(shù)空間的內積.......................................................8

10.1.5廣義Fourier級數(shù)..................................................12

10.1.6Laplace方程的軸對稱定解問題........................................17

10.1.7母函數(shù)..............................................................22

10.1.8遞推公式...........................................................25

10.2連帶Legendre函數(shù).......................................................27

10.2.1連帶Legendre函數(shù).................................................27

10.2.2連帶Legendre函數(shù)的遞推關系......................................29

10.3一般的球函數(shù)..............................................................31

10.3.1球函數(shù)..............................................................31

10.3.2球函數(shù)的模與正交關系................................................32

10.3.3球面上的函數(shù)的廣義Fourier級數(shù)....................................33

10.3.4Laplace方程的非軸對稱定解問題.......................................33

10.3.5正交歸一化的球函數(shù)，Lie群與Lie代數(shù)方法...........................35

10.3.6Laplace球諧函數(shù)的光滑性...........................................43

1

11柱函數(shù)44

11.1三類柱函數(shù)...............................................................44

11.1.1三類柱函數(shù).........................................................46

11.1.2①T0和①Too時的行為.........................................47

11.1.3遞推公式...........................................................48

11.1.4虛宗量Bessel方程.................................................48

11.2Bessel方程...............................................................48

11.2.1Bessel函數(shù)與本征值問題.............................................48

11.2.2Bessel函數(shù)之間的內積................................................50

11.2.3Fourier-Bessel級數(shù)...................................................52

11.2.4Bessel函數(shù)的應用...................................................52

11.2.5母函數(shù)，積分表示與加法公式..........................................52

11.2.6Neumann函數(shù)......................................................52

11.2.7Hankcl函數(shù).........................................................53

11.3柱函數(shù)的漸近公式.........................................................53

11.4虛宗量Bessel方程.......................................................53

11.5球Bessel方程...........................................................

11.6可化為Bessel方程的方程...................................................57

12Green函數(shù)解的積分公式58

12.1Poisson方程的Green函數(shù)...............................................58

12.1.1Green公式.........................................................58

12.1.2Poisson方程的基本積分公式..........................................59

12.1.3Poisson方程Green函數(shù)的對稱性....................................64

12.1.4Poisson方程及Laplace方程第一邊值問題和第三邊值問題的Green函數(shù)...66

12.1.5Laplace方程及Poisson方程第二邊值問題---推廣的Green函數(shù)........66

12.1.6二維空間和高維空間上Poisson方程的Green函數(shù).....................69

12.2用電像法求Green函數(shù)....................................................69

12.2.1無界空間的Green函數(shù)基本解.....................................69

12.2.2球形區(qū)域上的Green函數(shù)與Poisson積分.............................71

12.2.3半空間上的Green函數(shù)與Poisson積分................................74

12.2.41/n空間上的Green函數(shù)與Poisson積分.............................74

12.2.5二維空間中的例子...................................................74

12.3含時間的Green函數(shù).....................................................74

12.3.1波動方程的Green函數(shù)方法.........................................74

12.3.2對于波動方程Green函數(shù)的細致分析及其對稱性.........................75

1233熱傳導方程、輸運方程的Green函數(shù)方法...............................75

12.4用沖量定理求波動方程和輸運方程的Green函數(shù).............................76

12.5推廣的Green公式及其應用...............................................76

12.5.1推廣的Green公式.................................................76

2

7數(shù)學物理定解問題

3

8分離變量法

8.1齊次方程的分離變量法

8.2非齊次振動方程和輸運方程

8.2.1Fourier級數(shù)法

8.2.2沖量定理法

沖量定理法用于解決帶有齊次邊界條件和齊次初始條件的定解問題，例如，非齊次一維振動方程的

定解問題

1⑴

期tt—auxx—ft),[0<x<I),

叱=o=。，詞1=0,⑵

叱=o=。，叫=0=。(3)

和非齊次一維輸運方程的定解問題

Ut-d^uxx=,(0<rr</),⑷

叱=0=。,⑷1=。，⑸

4=o=°?⑹

1.沖量定理法的物理圖像

以一維振動方程的定解問題(1)-(3)為例，/(/")是弦上單位質量所受的力在u的正方向上的

投影，也就是作用于弦上的力在時刻t和位置c所附加于弦上的加速度.它衡量了力的沖擊效應.

我們可以把這種沖擊看成是一系列瞬時沖擊依次作用而形成的：瞬時沖擊/(弱7”(7)只發(fā)

生在力=7的一瞬間.設f>0,則

/(/")=lim/f(x,r)6(t-r)dr,⑺

-o+Jo

也就是說，是時刻0到t之間的一系列瞬時沖擊累加而成的.

如果用V(X,t-T)表示瞬時沖擊的“純凈”效果，則可以期望這些“純凈”效果的

累加就是定解問題(1)-(3)的解：I

〃(瑞力)=/v(x,t,r)dr.(8)

Jo

所謂瞬時沖擊的“純凈”效果,就是說，在齊次邊界條件和齊次初始條件“影響”下所得到的解.故

有

2

Vtt-avxx=f(x,r)5(t-r),(0<3：</),(9)

叱=0=。,磯日=0，(1。)

磯,=o=0，叫=o=0?(11)

顯然，當0W力<7時，V(X,t-,T)-0.任取￡>0,則，將方程(9)兩端對t作積分，積分區(qū)間為

[T-e,T+￡■],則有

/7+￡rr+e

2

VttAt-?/Vxxd力=f{x,T)

-6JT一€

4

即

rr-\-e

VV

t\t=T+S-t\t=T-S~/分工也=/(工，7).

Jr-e

當￡〉0充分小的時候(事實上，只要小到T-￡20即可)，上面方程左側的第二項為零(因為

0W1＜T時。=0).我們看到，瞬時沖擊f(x,r)8(t-T)雖然很強，但是,由于只是作用于一瞬間,

它只會影響到Vt,而不至于立刻(力=7時)影響到n自身，也就是說,。關于方在力=7應當是連續(xù)

的，從而加關于方在力=7也連續(xù).這樣，令￡T0+,就會得到極限

limvt=f(x,T).

而力＞T時,又會滿足齊次的振動方程.所以，關于”(/"；「)，我們不如干脆要求它滿足

2

-avxx=0,(0<x<Z),(12)

憶0=。，磯1=。，。3)

|一=(),仇I-=/(/").(14)

2.沖量定理法及其證明

以上的物理圖像只是一個猜測性但是又具有啟發(fā)性的討論.至于實際上對不對，則需要給出一

個嚴格的證明.我們首先給出下述定理，然后加以證明.

定理8.1(非齊次振動方程的沖量定理法)如果定義在[0J]xRxR上的函數(shù)”(立";7)滿足定解

問題(12)-(14),則

〃(2"):=/v(3；.i;r)dr

Jo

是定解問題(1)-(3)的解.

證明：首先，我們可以把”的初始條件

T；T)=0,仇(2"；T)=/(X,T)

等價地改寫為

v(x,t;t)=0,Vt(x,t-1)=,(15)

其中3C[0,2],而。C股任意.

注：

(1)按照cFAlcmbcrt公式，定解問題(12)-(14)的解是

1rx-\-a(t-r)

。出力；7)=釬//(S,7)d￡.(16)

ZQJx—a(t—T)

通過上述公式，我們可以看出，當力＜7時未必有。(工由7)=0,這意味著，我們在物理圖

像中的有些陳述和想法實際上是不對的.特別是，定解問題(12)-(14)并不等價于定解問題

盡管如此，物理圖像中的一些想法還是很有啟發(fā)性的，而且，最主要的是，其最終結果是正確

的.

5

(2)有了。(立芯7)的上述表達式之后，定解問題⑴-(3)原則上已經(jīng)徹底解決了:

1rtf*x-\rait—T)

仇―丁dT/怎T)d1(17)

/QJ0Jar-a(t—r)

一q/px/廣■小+')dT+?-|/?宏+a￡修。.(18)

定理8.2(非齊次輸運方程的沖量定理法)

8.3非齊次邊界條件

8.4Poisson方程

8.5分離變量法小結

6

9二階常微分方程的級數(shù)解法本征值問題

-

10球函數(shù)

球函數(shù)方程

U第卜in。寡)+4整+/(/+l)y=0(19)

sin0o0\oO)sin0dip1

的解被稱為球函數(shù).

10.1軸對稱球函數(shù)

10.1.1Legendre多項式

10.1.2Legendre多項式的微分表示

Rodrigues公式

1小

馬⑺;而而①一小(2°)

Rodrigues公式的一個重要的結果就是

馬(1)=1,(2=0,1,2,...).(21)

實際上，在Taylor級數(shù)

[OO

.(/_1)'=￡%(%—1)"

71=0

中，四=4(1).首先利用平方差公式得到

^(x2-1)1=^(x-l)l(x+1)1

—初(立一1)'(4-1+2)”

再利用二項式定理可以得到

”一“白一)￡，2-(一產(chǎn)

J1]

=V____-____(X-nz+fe

臺2味!(/_卜)!’'，

從中可以讀出at=1,即4⑴=1.

10.1.3Legendre多項式的積分表示

10.1.4函數(shù)空間的內積

把閉區(qū)間[-1,1]記作/,令C°(Z)為閉區(qū)間I上所有連續(xù)實值函數(shù)的集合.也就是說,V/e。。(/),

一元函數(shù)/：/T股是一個連續(xù)函數(shù).

任給f,ge我們可以采用逐點相加的方式定義一個新的函數(shù)f+g:I^R.所謂逐點

(pointwisely)相加,就是

(/+。)(二)：=/(2)+。(4)，Vxe7.(22)

8

容易證明，仍然有/+ge。。(/),即，/+g仍然是閉區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).這樣，集合。。(/)上就

有了一個所謂的加法運算(addition).我們把這個運算叫做函數(shù)的加法,簡稱加法.

任給一個實數(shù)AeR和一個連續(xù)函數(shù)feC°(Z),我們可以定義一個新的函數(shù)如下:

(A/)(x):=A/(.r),Vrce/.(23)

容易證明，Xf也是連續(xù)的，即XfGC°(/).我們把Xf叫做實數(shù)A對函數(shù)/的標量乘(scalar

multiplication).

容易驗證，集合在函數(shù)的加法和標量乘這兩種運算下構成了實數(shù)域上的一個矢量空間.這個空

間是無窮維的：例如，C°(Z)中的1,X,X2,…，/，…都是線性無關的1；又如,C°(j)中的1,sin7rx,

cos7r.r,sin2mr,cos2mr,…，sinnTra;,cosn7rc,…也是線性無關的；再如，C°(1)中的1.e2?rlx,27r咒

7rhe

04.…^iTrixe-mvix…也是線'性無關的.

'設k「向一個'k階屋磁的函藪就是一個k階可導而且從一階直到k階導函數(shù)都連續(xù)的連

續(xù)函數(shù).一個光滑函數(shù)(smoothfunction)就是一個任意階導函數(shù)都存在而且連續(xù)的函數(shù).令Cfc(Z)

為閉區(qū)間I上所有k階連續(xù)的復值函數(shù)所構成的集合,則每一個Ck(l)都是。。(/)的線性子空間,

而且都是無窮維的.按照定義，閉區(qū)間1上所有光滑函數(shù)的集合

OO

。8(/)=n⑴=c°(7)n。(/)nc2(z)n…，(24)

k=0

它顯然是每一個。(/)(k=0,1,2,一.)的線性子空間，而且也是無窮維的.

對于任意的f,ge(7°(/),可以定義一個實數(shù)

(/,9)：=/]/(x)g(z)dx.(25)

很顯然，(、?)有下列性質：

(1)對稱性.

(fg)=(gj),4.geC。⑴.(26)

(2)雙線性性.yf,g,heC°(Z),VA,/1eR,

(入/+〃g/)=入(J,h)+n(g,h),(27)

(/,刖+/M)=X(/,g)+〃(/").(28)

(3)正定性.

(/J)》o,V/eC°(Z),(29)

而且等式成立的充分必要條件是f=0.

注意、在這里，/=o中的o是常值函數(shù)oec°(z).下面要證明(/,/)=o只能有/=0.實際上,

如果f#0,則BxoeI使得/(g)豐0.2既然f是連續(xù)函數(shù),就會存在e>0(要求2一e2一1并

且2o+eW1)使得/(2)豐0對浦京g-eW/Wm+e的任意x成立.這樣,就會有

產(chǎn)0+￡

(/,/)》/(x)/(x)dx=2s|/(€)|2>0,

JXQ-S

1在這里，1SC°(/)表示函數(shù)值始終為1€R的常值函數(shù).在數(shù)學中，函數(shù)值為A€R的常值函數(shù)常常用A來表示.

2不等式/壬g是/=g的否定.如果等號的任何一邊是C。⑴中的元素.另一邊也必須是。。(1)中的一個元素.

對于任意的f,g€C°(1),等式/=9的意思是f⑺=g(x).eI.特別是，/=0是說/€C°(Z)為常值函數(shù)

oeC0(Z),即我們平常所說的“/恒等于零”，而不是“/在某個1eI為零”.

9

其中￡是區(qū)間+中的某個點.這樣就會與(/")=0矛盾，所以(￡/)=0時不可能有

7^0.

由于上述性質，我們說(?,?)是矢量空間。。⑴上的一個內積.

Legendre方程

9((1-.唔)—T^p,+項+1)B=。(30)

是Sturm-Liouville方程的一個特例，因此，按照Sturm-Liouville理論)不同的Legendre多項式相

互之間是正交的：

(Pk,H)=⑺dx=0,(k/Z).(31)

在這里,Legendre多項式之間的內積采用式(25)這樣的定義可以看作是迎合了Sturm-Liouville

理論的要求.下面我們將會看到，Legendre多項式之間的內積可以從另一種途經(jīng)自然而然地得到.

假設我們在一個半徑為r0的球形區(qū)域D內部求解一個數(shù)學物理方程(例如Helmholtz方程).

處理這個問題的最合適的坐標系當然是球坐標系.對于方程的解磯『,仇6和0s仇⑼，有一個自然

的方式去定義它們之間的內積：

(u,v):=jjjuvdV

u(r,0,(p}v(r,仇⑼r2sin0drd。dg,(32)

其中正表示u的復共鈍.不妨考慮一個最簡單的情形，假設線和。具有分離變量的形式，而且都是

軸對稱的，則應當有

u=Ri(r)B(cos。),”=7?2(r)H(cos。),

其中必(「)和R虱吟是r的某兩個函數(shù).在這種情形下,

(%o)=JJI7?i(r)/?2(r)R(cos。)馬(cos。)/sinJdrd9dr

=2TT(RI,Ri)jB(cos。)馬(cosJ)sin9dJ

Jo

=27r7?2〉(Pk,舄)，(33)

其中____

2

〈&,&)=//?i(r)7?2(^)rdr,(34)

Jo

而(Pfe,pz)正是前面定義的內積.

至于Pi的模Ni,有公式

必：=，(私W=(35)

這個公式的證明可以通過P,的微分表達式得到：若/=0,則有R=1,從而

盧0(嘲2dx=2,

10

符合公式（35）.以下假設/>0,則

N；=J出⑺產(chǎn)加

=薪￡國”）,（，2一1".

利用分部積分法,可得

1d’-1J1/1dPid'T/2、…

班-2史舄叫》131)../..(x1)drr.

_i2zZ!J_idxd獷t''

不難看出：（/一1），=（N+1）"（1-的1-1階導函數(shù)一定是(工+1)(2-1)和某個多項式的乘積,

因此，這個導函數(shù)在x=±l處的函數(shù)值都是零，于是

「學修（-1）5

127!J-dxd/T''

用同樣的方法反復使用分部積分法，最后得到

陽=喘1/75.

(36)

由于

強—又2_心毀二⑵一

dx1~2ll\dx^'~2'1\)!!,(37)

其中⑵一1）!!=⑵-1）⑵-3）…5.3.1,式（36）化為

M=（―1），^^￡（/—1）3

…叫再；……d

X.

使用分部積分法，可得

陽=（-啾+?）/3+1）小一產(chǎn)也

1

“O+…：…黯制

(T+1廣1(①-l)z+1drr

1

=TT喝瑞'/；（.+1廠（-1）中也.(38)

如果/=1,上述結果就是

1r1八?1

N1=工，-1）2dH=—（X-I）3^2

35

11

符合公式(35);如果1>1,則對(38)繼續(xù)使用分部積分法，如是共使用1次分部積分法，最后可得

環(huán)="小一小

..(2Z-1)!!/!2f+1^

_2"1⑵-1)!”!_2⑵)！_2

⑵+1)!"(2Z+1)!21+1'

這就證明了公式(35).

我們將公式(31)和(35)綜合到一起,就有

r19

(Pk,P?=yPk(/)n(rr)d;r=2,+］演/.(39)

10.1.5廣義Fourier級數(shù)

如果V是一個n維的矢量空間，neN,處理相關問題的時候最常用的手段之一就是給V選一個基

(ei,...,en),從而把任何一個。eV展開為en的線性組合：

n

V=。送1H-------1-vnen=￡ViCi.(40)

i=l

如果V是實數(shù)域上的n維矢量空間(neN),而且在V上還有一個內積，則稱V為一個n維

Euclid空間(Euclideanspace).對于n維Euclid空間V,選取基的時候最常用的辦法是使用正交

基3.設出,,ert)就是Euclid空間V的一個正交基，則會有

(七,與)=叩廂，(41)

其中

乂：=，?,2)(42)

是e,的模(norm).由此可以導出式(40)中的3的表達式：由內積的雙線性性，可得

nn

口,”)=(右,￡-)=￡叼(色,立).

J=1j=l

再由式(41),可得

n

海力.=Nfvi,

J=I

于是

(…)(”)

((七⑼§(。,心)

A?右(44)

3所謂正交基(orthogonalbasis),就是構成基的向量彼此之間相互正交，但是并不要求其中的每一向量都是單位向

量.如果正交基中的每一個向量都是單位向量，則稱這樣的基為標準正交基(orthonormalbasis,又叫做正交歸一基).

12

例如，在處理通常的三維矢量的時候就采用上述辦法：設(凡出，茶)是一個標準正交基，則

曷.百=3.(45)

而一個任意矢量v則可以展開為

33

&=￡何.瓦)瓦，(46)

2=11=1

g=G.薪.(47)

在這里，兩個矢量近和7之間的標量積ii-v就是內積.

如果V是一個無窮維的矢量空間,它同樣也會有基存在.設(ei,e2,…，en，…)是V的一個基,

則任意。eV都可以用線性組合

OO

o=￡筑&(48)

￡=1

給出.需要注意的是,V中的一個線性組合(linearcombination)必須是有限項的求和.以上式為例,

它是線性組合的意思是，其中只有有限個出不為零，所以，線性組合不同于級數(shù)(series),級數(shù)可以

是有限項也可以是無限項求和.

例如，以工為變元的實系數(shù)多項式所構成的集合用R[x]來表示.為方便，我們常常稱feR[x]

為實數(shù)域股上的多項式(polynomialoverR).兩個多項式f,ge1R團相加仍然是R上的一個多項

式，一個實數(shù)人和/eR[.r]相乘的結果X/仍然是R上的一個多項式.可以驗證,在這樣兩種運算

下，斑劍是實數(shù)域上的一個無窮維的矢量空間.對于這個矢量空間，最常用也是最自然的基就是由

1,x,…構成的.這樣，任意一?個多項式feR[x]總能找到n+1個實數(shù)a。，?i,a2,...,an使之

表達為

n

axnk

/=Qo+i++???+anx=akx.(49)

k=0

形式上我們可以引入%+1=%+2=--=0,從而把f表達為

OO

/=￡牝，，(50)

i=0

但是，只要/eK[x],上述的求和就只能有有限項不為零.這正是多項式這個名字所暗含的意思：項

數(shù)雖然“多”，可是畢竟數(shù)得出來.一旦非零的系數(shù)有無限多個，則式(50)給出來的就不再是多項

式，而是一個募級數(shù)(powerseires)T.這時候，通常f串K[x],即，不再是一一個多項式了支

一旦涉及級數(shù)，就會涉及收斂性，這就超出了矢量空間的范疇.但是，略去了很多細節(jié)上的技

術和概念(盡管這些都很重要)，處理級數(shù)的手段和處理矢量還是很相似的.例如，我們把解析函數(shù)

/(工)展開為Taylor級數(shù)的手段：

OO

/(①)=￡廝(①一須))“，(51)

n=0

4在代數(shù)中，多項式在本質上不是一個函數(shù)，而只是一個形式和，亦可看作是它的各項系數(shù)所構成的序列.所以，即使

一個塞級數(shù)只有有限項求和，當我們把它當作一個函數(shù)來看待的時候，它和多項式還是有所區(qū)別的.不過、這個區(qū)別不

是我們這里所要關心的.

13

把一個周期函數(shù)/(乃(設其周期為T)展開為Fourier級數(shù)的手段:

OO8

2n?r.X2717rl

/⑺=cos——(53)

T+工BnsmT'

n=0n=l

V

/(①)d"(54)

2rT2717rl

f⑺cosTax,⑺21)；(55)

2rT2n7vx

/(①)sin^di,(九，1).(56)

T，

上述手段都類似于把矢量用基展開為線性組合的手段.特別是,式(54),(55)以及(56)在本質上都

類似于式(43).事實上，對于周期為T的周期函數(shù)，我們可以定義內積

(/,g)：=［/⑺g(g)d①，(57)

不難驗證，

(cos^^,cos^^)=(8mH+(58)

/.2k7rx.2lnx\=%M，

(sinT,sinj(59)

’2mvx.2k7rx\

cos-.sm---=0,(60)

、T)T)

其中m.n=0,1,2,...;fc,Z=1,2,....

作為多項式，我們不再考慮函數(shù)的定義域問題則馬eR［x］,單項式1,x,心…可以構成用句

的基,其實Legendre多項式Po,幾辦…同樣也構成叫句的基；既然解析函數(shù)可以借助于1,瑞

展開為Tavlor級數(shù)，它們也應該可以用4,R,2,…展開為級數(shù).至于在實際上是否可行,

其中會有什么樣的問題，我們姑且略去不看.如果一個函數(shù)f可以用Legendre多項式展開為一個

級數(shù)，我們就稱這個技術為/的廣義Fourier級數(shù).這其中的手段和處理Fourier級數(shù)的手段在形

式上是相似的：如果函數(shù)

OO

=￡力B(。)，(61)

則

fl=需胃=-二j/⑺P3dx.(62)

用角度來表達的化,設F⑹是定義域為［0,7r］的函數(shù)，則有廣義Fourier級數(shù)

OO

=(63)

/=0

9/-kIP

=/歹⑻局(cos8)sin。dJ.(64)

2./n

例10.1用Legendre多項式把［-1,1］上的函數(shù)/(c)=2/+3L+4展開為廣義Fourier級數(shù).

14

實際上，我們不一定要用公式(62)來確定展開系數(shù).由于f⑺只是一個多項式而且次數(shù)較低,

可以直接利用Pi的表達式湊出來系數(shù).其步驟是由高次到低次依次進行.

Pl是一個I次多項式,所以,只需要用Po,R,P，2和A展開即可.借助于

兄儂)=1,2(①)=。(3/-1),(65)

Fi(x)=x,R(N)=:(5/—3啰)，(66)

可以依次得到

/(x)=|(5x3-3N)+(3+|)7+4

221

=-(5rr3—3T)H-----x+4

55

421

=7^3(^)+三PiQ)+4Po⑺.

oo

例10.2用Legendre多項式把［―1.1］上的絕對值函數(shù)/(刀)=|T|展開為廣義Fourier級數(shù).

因為絕對值函數(shù)/(c)=⑶不是一個多項式，所以，待求的Fourier級數(shù)不可能是有限項的求

和.這就不可能把系數(shù)湊出來了，只能采用公式(62)來求各個系數(shù).

絕對值函數(shù)/(乃是一個偶函數(shù)，而Pi的奇偶性和I的奇偶性相同，可以預料,/(工)只能用偶

函數(shù)的Legendre多項式展開，即，I為奇數(shù)時,力=0.事實上，用公式(62)也很容易驗證這一點.

當2=2n時⑺eZ+),由公式(62)可得

_4n+1(\x\P(.x)dx

J2n=-2---2n

—(4n+1)/|z|P2n(2)&r

Jo

=(4n+1)/2n(c)drr.

Jo

當"=0時，可以利用PQ=1得到

fo=Joxdrc=j-

(67)

當九＞0時，先利用Rodrigues公式，再利用分部積分法