2024屆江西省新余四中、宜春中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆江西省新余四中、宜春中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿(mǎn)足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B．16 C． D．2．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線(xiàn)中，不與平面平行的是（）A．直線(xiàn) B．直線(xiàn) C．直線(xiàn) D．直線(xiàn)3．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則（）A． B．C． D．4．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．5．已知命題：是“直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直”的充要條件；命題：對(duì)任意都有零點(diǎn)；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．6．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，那么該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．7．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．下圖中的圖案是我國(guó)古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢(qián)，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．10．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線(xiàn)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，角的始邊為射線(xiàn)，終邊為射線(xiàn)，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．12．雙曲線(xiàn)x26-y23=1的漸近線(xiàn)與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．14．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，，則__________.15．動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和他到點(diǎn)距離相等，直線(xiàn)過(guò)且交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓必過(guò)_________.16．若雙曲線(xiàn)C：（，）的頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，則的最小值________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點(diǎn)圖（如下圖）.表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型？（不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為，18．（12分）已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若對(duì)任意存在和使成立，求實(shí)數(shù)的最小值.19．（12分）已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．20．（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)（當(dāng)、重合時(shí)，直線(xiàn)約定為軸），垂足為，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，連接并延長(zhǎng)交于，求的最大值.22．（10分）在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線(xiàn)與極軸所在直線(xiàn)圍成圖形的面積；（2）設(shè)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，由此求得點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由于平面平面，且交線(xiàn)為，，所以平面，平面.所以和分別是直線(xiàn)與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，，設(shè)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡(jiǎn)得，由于點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線(xiàn)面角的概念和運(yùn)用，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.2、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線(xiàn)面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線(xiàn)面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.3、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意，，即,解得；因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.4、C【解析】

由可得，再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值公式的靈活運(yùn)用的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

先分別判斷每一個(gè)命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)和直線(xiàn)，即直線(xiàn)為和直線(xiàn)互相垂直，所以“”是直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直“的充分條件，當(dāng)直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直時(shí)，，解得.所以“”是直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直“的不必要條件.：“”是直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、A【解析】

由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，求出，由拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線(xiàn)，可得，則，故其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，，又，，則雙曲線(xiàn)的離心率為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)及利用過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng)．7、A【解析】

設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出，從而可利用表示出；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，其中，，即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)故選：【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.8、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9、C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．10、A【解析】

根據(jù)向量共線(xiàn)的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線(xiàn)，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線(xiàn)，方向相反時(shí)，，故不必要.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線(xiàn)，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.11、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過(guò)程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，由圖象可知選B.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.12、A【解析】

由圓心到漸近線(xiàn)的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±22x，圓心坐標(biāo)為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線(xiàn)的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案14、【解析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和定理，屬于中檔題.15、【解析】

利用動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和他到點(diǎn)距離相等，,可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn),從而可求曲線(xiàn)的方程,將,代入,利用韋達(dá)定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，，，可得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)可得，，，，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn).故答案為：（0,0）【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，考查了直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的交匯問(wèn)題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程求出其中一條漸近線(xiàn)，頂點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)C：（，，可得一條漸近線(xiàn)，一個(gè)頂點(diǎn)，所以，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）選取更合適；（2）；（3）時(shí)，煤氣用量最小.【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，可得更適合；（2）先建立關(guān)于的回歸方程，再得出關(guān)于的回歸方程；（3）寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】（1）選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型；（2）由公式可得：，，所以所求回歸直線(xiàn)方程為：；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程，利用線(xiàn)性回歸方程的求法得解，結(jié)合基本不等式求最值.18、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）不等式等價(jià)于，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立，從而原不等式成立.（2）由題設(shè)條件可得在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值，結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由，所以在上是減函數(shù)，所以，故.因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，；任意，存在和使成立，所以在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，（1）當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，由題意知在上不單調(diào)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，解得，因?yàn)?，所以成立，下面證明存在，使得，取，先證明，即證，令，則在時(shí)恒成立，所以成立，因?yàn)?，所以時(shí)命題成立.因?yàn)?，所?故實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用，前者注意將欲證不等式合理變形，轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式，后者需根據(jù)等式能成立的特點(diǎn)確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì)，本題屬于難題.19、．【解析】試題分析：，所以．試題解析：B．因?yàn)?，所以?0、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點(diǎn)，且，利用平面幾何知識(shí)，可得，又平面，所以，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：∵平面，∴四邊形是矩形，∵為中點(diǎn)，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴與相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，，解得：，同理，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，在中，有，即可得結(jié)果；（2）設(shè)射線(xiàn)：，，圓的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立兩個(gè)方程，可求出，聯(lián)立可得，則計(jì)算可得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，在中，有，點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)射線(xiàn)：，，圓的極坐標(biāo)方程為，由得：，由得：，，，當(dāng)，即時(shí)，，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.22、（1）