第二節(jié)++一元線性回歸模型及其應(yīng)用講義 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

第二節(jié)一元線性回歸模型及其應(yīng)用知識(shí)清單1．一元線性回歸模型在成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中，用表示其中一個(gè)變量，用表示另一個(gè)變量，表示隨機(jī)誤差．假定隨機(jī)誤差的均值為0，方差為與變量無(wú)關(guān)的定值，則它們之間的關(guān)系可以表示為我們稱上式為關(guān)于的一元線性回歸模型．其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量；為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與的隨機(jī)誤差．2．一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的對(duì)樣本數(shù)據(jù)為．（1）最小二乘法表示點(diǎn)到一條直線的豎直距離，則可以用這個(gè)豎直距離之和來(lái)刻畫樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”．在實(shí)際運(yùn)用中，因?yàn)榻^對(duì)值使得計(jì)算不方便，所以通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和來(lái)刻畫“整體接近程度”．通過(guò)求的最小值來(lái)得到經(jīng)驗(yàn)回歸回歸方程，這種方法叫做最小二乘法．（2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程，．我們將稱為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．求得的叫做的最小二乘估計(jì)．3．殘差（1）殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)殘差分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方便工作稱為殘差分析．（2）殘差的平方和，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好；殘差平方和越大，說(shuō)明模型的擬合效果越差．（3）決定系數(shù)，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．4．使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)的注意事項(xiàng)（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究樣本的總體；（2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性；（3）解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)；（4）不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)測(cè)值就是響應(yīng)變量的精確值．題型訓(xùn)練題型一經(jīng)驗(yàn)回歸方程1．某工廠為節(jié)能降耗，經(jīng)過(guò)技術(shù)改造后，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（單位：噸）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表：（噸）3456（噸）2.5344.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．0.3 B．0.7 C．3 D．72．已知某種商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬(wàn)元）與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：2456830405060根據(jù)表中的全部數(shù)據(jù)，求得關(guān)于的線性回歸方程為，則表中的值為（）A．55 B．55.5 C．56.5 D．703．在某次電腦芯片的生產(chǎn)試驗(yàn)中，得到6組數(shù)據(jù)．根據(jù)數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則（）A．50.5 B．45.5 C．100.2 D．109.24．（多選）習(xí)近平總書記指出：扶貧必扶智，扶智就是扶知識(shí)、扶技術(shù)、扶方法．某地響應(yīng)總書記號(hào)召，建立農(nóng)業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如表：年份20172018201920202021年份代碼12345年借閱量（萬(wàn)冊(cè)）4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A． B．近5年借閱量估計(jì)以0.24萬(wàn)冊(cè)/年的速度增長(zhǎng) C．與的線性相關(guān)系數(shù) D．2022年的借閱量一定不少于6.12萬(wàn)冊(cè)5．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x萬(wàn)元與銷售額y萬(wàn)元的4組數(shù)據(jù)如下：．根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)，銷售額為65.5萬(wàn)元，則的值分別為（）A． B． C． D．6．（多選）已知變量與的取值如表所示，且，則由該數(shù)據(jù)知其線性回歸方程可能是（）23456.5mn2.5A． B． C． D．題型二殘差與決定系數(shù)7．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系如表，由此得到與的線性回歸方程為，由此可得：當(dāng)廣告支出5萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（）245683040605070A． B． C．10 D．208．已知一系列樣本點(diǎn)的回歸直線方程為，若樣本點(diǎn)（，2）與（2，）的殘差相等，則（）A． B． C． D．9．判斷兩個(gè)變量與是否相關(guān)時(shí)，選擇了4個(gè)不同的模型，它們的決定系數(shù)分別為：模型1的決定系數(shù)為0.86，模型2的決定系數(shù)為0.68，模型3的決定系數(shù)為0.66，模型4的決定系數(shù)為0.88．其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型410．（多選）下列關(guān)于相關(guān)系數(shù)與決定系數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A．越大，變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng) B．越小，變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng)C．越大，模型的擬合效果越好 D．越小，模型的擬合效果越好題型三經(jīng)驗(yàn)回歸方程的計(jì)算參考公式：線性回歸方程系數(shù)公式，．11．隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款（年底余額）如下表：年份20172018201920202021時(shí)間代號(hào)12345儲(chǔ)蓄存款（千億元）567810（1）求關(guān)于的回歸方程；（2）用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年（）的人民幣儲(chǔ)蓄存款．12．一臺(tái)還可以用的機(jī)器由于使用的時(shí)間較長(zhǎng)，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺陷，每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果：轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/秒）1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)（件）11985（1）如果與有線性相關(guān)的關(guān)系，求回歸直線方程（保留兩位小數(shù)）；（2）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的轉(zhuǎn)運(yùn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)（保留整數(shù)）？13．某大學(xué)生利用寒假參加社會(huì)實(shí)踐，對(duì)機(jī)械銷售公司7月份至12月份銷售某種機(jī)械配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，請(qǐng)銷售單價(jià)x和銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份789101112銷售單價(jià)/元99.51010.5118銷售量/件111086514（1）根據(jù)7月份至11月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；參考數(shù)據(jù)：．（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)0.5，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試依據(jù)12月份的數(shù)據(jù)判斷（1）中所得到的線性回歸方程是否理想．14．為了解某地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量y（單位：萬(wàn)臺(tái)）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程為，且銷量y的方差為，年份x的方差為．求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱；附：相關(guān)系數(shù)：，相關(guān)系數(shù)時(shí)相關(guān)性較強(qiáng)，時(shí)相關(guān)性一般，時(shí)相關(guān)性較弱．題型四非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程15．（多選）如表給出了2020年1月至12月，每個(gè)月第一天北京天安門廣場(chǎng)舉行升旗禮的時(shí)間：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月7：367：236：485：595：154：484：495：125：416：106：427：16若據(jù)此以月份（x）為橫軸、時(shí)間（y）為縱軸，畫出散點(diǎn)圖，并用曲線去擬合這些數(shù)據(jù)，則適合模擬的函數(shù)模型可以是（）A． B．C． D．16．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷售量（單位：）和年利潤(rùn)（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．46.65636.8289.81.61469108.8表中（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；17．某從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲（2009年～2018年）之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點(diǎn)圖：（1）由散點(diǎn)圖知，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程；（2）若把月收入不低于2萬(wàn)元稱為“高收入者”，試?yán)茫?）的結(jié)果，估計(jì)他36歲時(shí)能否稱為“高收入者”？參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，其中，取參考公式：回歸方程v＝bu+a中斜率b和截距a的最小二乘估計(jì)分別為，18．為了解某地區(qū)未成年男性身高與體重的關(guān)系，對(duì)該地區(qū)12組不同身高（單位：）的未成年男性體重的平均值（單位：）（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖和一些統(tǒng)計(jì)量的值．11524.3582.958143006300286表中，．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷和哪一個(gè)適宜作為該地區(qū)未成年男性體重的平均值與身高的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）．（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）如果體重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)的一位未成年男性身高為175，體重為78，他的體重是否正常？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，），（，），…，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，，．第二節(jié)一元線性回歸模型及其應(yīng)用參考答案題型一經(jīng)驗(yàn)回歸方程1-6B，D，D，ABC，C，AD題型二殘差與決定系數(shù)7-10C，C，D，AC題型三經(jīng)驗(yàn)回歸方程的計(jì)算11．（1）由題意，，，回歸方程（2）時(shí)，（千億元）．12．（1）由題意，，，回歸方程（2）機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在14.9轉(zhuǎn)/秒以下13．（1）由題意，，，回歸方程（2）當(dāng)時(shí)，，，故可以認(rèn)為所得到的線性回歸方