第二節(jié)++一元線性回歸模型及其應用講義 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第二節(jié)一元線性回歸模型及其應用知識清單1．一元線性回歸模型在成對樣本數(shù)據(jù)中，用表示其中一個變量，用表示另一個變量，表示隨機誤差．假定隨機誤差的均值為0，方差為與變量無關的定值，則它們之間的關系可以表示為我們稱上式為關于的一元線性回歸模型．其中稱為因變量或響應變量，稱為自變量或解釋變量；為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與的隨機誤差．2．一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的對樣本數(shù)據(jù)為．（1）最小二乘法表示點到一條直線的豎直距離，則可以用這個豎直距離之和來刻畫樣本觀測數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”．在實際運用中，因為絕對值使得計算不方便，所以通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和來刻畫“整體接近程度”．通過求的最小值來得到經(jīng)驗回歸回歸方程，這種方法叫做最小二乘法．（2）經(jīng)驗回歸方程，．我們將稱為關于的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線．求得的叫做的最小二乘估計．3．殘差（1）殘差分析對于響應變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差．殘差是隨機誤差的估計結果，通過殘差分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方便工作稱為殘差分析．（2）殘差的平方和，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越差．（3）決定系數(shù)，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．4．使用經(jīng)驗回歸方程進行預測時的注意事項（1）經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究樣本的總體；（2）經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性；（3）解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠；（4）不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預測值就是響應變量的精確值．題型訓練題型一經(jīng)驗回歸方程1．某工廠為節(jié)能降耗，經(jīng)過技術改造后，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：噸）與相應的生產(chǎn)能耗（單位：噸）的對應數(shù)據(jù)如表：（噸）3456（噸）2.5344.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得關于的線性回歸方程為，則的值為（）A．0.3 B．0.7 C．3 D．72．已知某種商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下對應數(shù)據(jù)：2456830405060根據(jù)表中的全部數(shù)據(jù)，求得關于的線性回歸方程為，則表中的值為（）A．55 B．55.5 C．56.5 D．703．在某次電腦芯片的生產(chǎn)試驗中，得到6組數(shù)據(jù)．根據(jù)數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則（）A．50.5 B．45.5 C．100.2 D．109.24．（多選）習近平總書記指出：扶貧必扶智，扶智就是扶知識、扶技術、扶方法．某地響應總書記號召，建立農(nóng)業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如表：年份20172018201920202021年份代碼12345年借閱量（萬冊）4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得關于的經(jīng)驗回歸方程為，則（）A． B．近5年借閱量估計以0.24萬冊/年的速度增長 C．與的線性相關系數(shù) D．2022年的借閱量一定不少于6.12萬冊5．某產(chǎn)品的廣告費用x萬元與銷售額y萬元的4組數(shù)據(jù)如下：．根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時，銷售額為65.5萬元，則的值分別為（）A． B． C． D．6．（多選）已知變量與的取值如表所示，且，則由該數(shù)據(jù)知其線性回歸方程可能是（）23456.5mn2.5A． B． C． D．題型二殘差與決定系數(shù)7．某產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關系如表，由此得到與的線性回歸方程為，由此可得：當廣告支出5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為（）245683040605070A． B． C．10 D．208．已知一系列樣本點的回歸直線方程為，若樣本點（，2）與（2，）的殘差相等，則（）A． B． C． D．9．判斷兩個變量與是否相關時，選擇了4個不同的模型，它們的決定系數(shù)分別為：模型1的決定系數(shù)為0.86，模型2的決定系數(shù)為0.68，模型3的決定系數(shù)為0.66，模型4的決定系數(shù)為0.88．其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型410．（多選）下列關于相關系數(shù)與決定系數(shù)的說法正確的是（）A．越大，變量間的線性相關性越強 B．越小，變量間的線性相關性越強C．越大，模型的擬合效果越好 D．越小，模型的擬合效果越好題型三經(jīng)驗回歸方程的計算參考公式：線性回歸方程系數(shù)公式，．11．隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份20172018201920202021時間代號12345儲蓄存款（千億元）567810（1）求關于的回歸方程；（2）用所求回歸方程預測該地區(qū)2022年（）的人民幣儲蓄存款．12．一臺還可以用的機器由于使用的時間較長，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺陷，每小時生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機器運轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗結果：轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/秒）1614128每小時生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)（件）11985（1）如果與有線性相關的關系，求回歸直線方程（保留兩位小數(shù)）；（2）若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個，那么機器的轉(zhuǎn)運速度應控制在什么范圍內(nèi)（保留整數(shù)）？13．某大學生利用寒假參加社會實踐，對機械銷售公司7月份至12月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調(diào)查，請銷售單價x和銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份789101112銷售單價/元99.51010.5118銷售量/件111086514（1）根據(jù)7月份至11月份的數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程；參考數(shù)據(jù)：．（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試依據(jù)12月份的數(shù)據(jù)判斷（1）中所得到的線性回歸方程是否理想．14．為了解某地區(qū)電動汽車銷售情況，一機構根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽車銷量y（單位：萬臺）關于x（年份）的線性回歸方程為，且銷量y的方差為，年份x的方差為．求y與x的相關系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動汽車銷量y與年份x的相關性強弱；附：相關系數(shù)：，相關系數(shù)時相關性較強，時相關性一般，時相關性較弱．題型四非線性經(jīng)驗回歸方程15．（多選）如表給出了2020年1月至12月，每個月第一天北京天安門廣場舉行升旗禮的時間：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月7：367：236：485：595：154：484：495：125：416：106：427：16若據(jù)此以月份（x）為橫軸、時間（y）為縱軸，畫出散點圖，并用曲線去擬合這些數(shù)據(jù)，則適合模擬的函數(shù)模型可以是（）A． B．C． D．16．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年銷售量（單位：）和年利潤（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．46.65636.8289.81.61469108.8表中（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；17．某從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲（2009年～2018年）之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點圖：（1）由散點圖知，可用回歸模型擬合與的關系，試根據(jù)附注提供的有關數(shù)據(jù)建立關于的回歸方程；（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”，試利用（1）的結果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，其中，取參考公式：回歸方程v＝bu+a中斜率b和截距a的最小二乘估計分別為，18．為了解某地區(qū)未成年男性身高與體重的關系，對該地區(qū)12組不同身高（單位：）的未成年男性體重的平均值（單位：）（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖和一些統(tǒng)計量的值．11524.3582.958143006300286表中，．（1）根據(jù)散點圖判斷和哪一個適宜作為該地區(qū)未成年男性體重的平均值與身高的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；（3）如果體重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)的一位未成年男性身高為175，體重為78，他的體重是否正常？附：對于一組數(shù)據(jù)（，），（，），…，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，，．第二節(jié)一元線性回歸模型及其應用參考答案題型一經(jīng)驗回歸方程1-6B，D，D，ABC，C，AD題型二殘差與決定系數(shù)7-10C，C，D，AC題型三經(jīng)驗回歸方程的計算11．（1）由題意，，，回歸方程（2）時，（千億元）．12．（1）由題意，，，回歸方程（2）機器的轉(zhuǎn)速應控制在14.9轉(zhuǎn)/秒以下13．（1）由題意，，，回歸方程（2）當時，，，故可以認為所得到的線性回歸方