多選題題型專項練訓(xùn)專練05解析幾何-2022屆新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2022屆新高考二輪復(fù)習(xí)第二部分多選題題型專項練訓(xùn)專練05解析幾何1.已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋y2＝1，如果這兩個圓有且只有一個公共點，那么實數(shù)a的值可以是()A.－1B.1C.3D.52.設(shè)橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上任意一點，則下列結(jié)論正確的是()A.|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(2)B.離心率e＝eq\f(\r(6),2)C.△PF1F2面積的最大值為4eq\r(2)D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－2eq\r(2)＝0相切3.(2021·濟(jì)南質(zhì)檢)已知雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，過其右焦點F的直線l與雙曲線交于兩點A，B，則()A.若A，B同在雙曲線的右支，則l的斜率大于eq\f(4,3)B.若A在雙曲線的右支，則|FA|的最短長度為2C.|AB|的最短長度為eq\f(32,3)D.滿足|AB|＝11的直線有4條4.(2021·廣州測試)已知點O為坐標(biāo)原點，直線y＝x－1與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，則()A.|AB|＝8B.OA⊥OBC.△AOB的面積為2eq\r(2)D.線段AB的中點到直線x＝0的距離為25.(2021·佛山質(zhì)檢)已知曲線C：y2＝m(x2－a2)，其中m為非零常數(shù)且a>0，則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)m＝－1時，曲線C是一個圓B.當(dāng)m＝－2時，曲線C的離心率為eq\f(\r(2),2)C.當(dāng)m＝2時，曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)xD.當(dāng)m>－1且m≠0時，曲線C的焦點坐標(biāo)分別為(－aeq\r(1＋m)，0)和(aeq\r(1＋m)，0)6.(2021·江蘇調(diào)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，過點F的直線與拋物線交于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，O為坐標(biāo)原點，則()A.C的準(zhǔn)線方程為y＝1 B.線段PQ長度的最小值為4C.M的坐標(biāo)可能為(3，2) D.eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－37.(2021·石家莊質(zhì)檢)已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－x2＝1(a>0)，其上、下焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點.過雙曲線上一點M(x0，y0)作直線l，分別與雙曲線的漸近線交于點P，Q，且點M為PQ中點，則下列說法正確的是()A.若l⊥y軸，則|PQ|＝2B.若點M的坐標(biāo)為(1，2)，則直線l的斜率為eq\f(1,4)C.直線PQ的方程為eq\f(y0y,a2)－x0x＝1D.若雙曲線的離心率為eq\f(\r(5),2)，則三角形OPQ的面積為28.(2021·福建診斷)已知拋物線E：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線l交x軸于點C，直線m過C且交E于不同的A，B兩點，B在線段AC上，點P為A在l上的射影.下列命題正確的是()A.若AB⊥BF，則|AP|＝|PC|B.若P，B，F(xiàn)三點共線，則|AF|＝4C.若|AB|＝|BC|，則|AF|＝2|BF|D.對于任意直線m，都有|AF|＋|BF|>2|CF|9.(2021·湖北二聯(lián))已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，A為左頂點，P為雙曲線右支上一點.若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則()A.雙曲線的離心率為eq\r(3)B.雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)xC.∠PAF2＝45°D.直線x＋2y－2＝0與雙曲線有兩個公共點10.(2021·新高考原創(chuàng)卷)已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1＝1，曲線Cn：eq\f(x2,an)＋eq\f(y2,an＋1)＝1，n∈N*，則下列說法中正確的是()A.若q>0且q≠1，則Cn是橢圓B.若存在n∈N*，使得Cn表示離心率為eq\f(1,2)的橢圓，則q＝eq\f(4,3)C.若存在n∈N*，使得Cn表示漸近線方程為x±2y＝0的雙曲線，則q＝－eq\f(1,4)D.若q＝－2，bn表示雙曲線Cn的實軸長，則b1＋b2＋…＋b20＝613811.已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是()A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切12.已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則()A.點P到直線AB的距離小于10B.點P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)∠PBA最小時，|PB|＝3eq\r(2)D.當(dāng)∠PBA最大時，|PB|＝3eq\r(2)13.(2021·山東聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P是雙曲線上任意一點.若雙曲線的漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，焦距為4eq\r(2)，則下列說法正確的是()A.實軸長為eq\r(2)B.雙曲線的離心率為2C.雙曲線的焦點到漸近線的距離為eq\r(6)D.存在點P，使得|F2P|＝1答案與解析1.答案ABC解析由題意得兩圓內(nèi)切或外切，∴|O1O2|＝2＋1或|O1O2|＝2－1，∴|a|＝3或|a|＝1，∴a＝±3，或a＝±1.故選ABC.2.答案AD解析依題意知a＝2eq\r(2)，b＝2，c＝2.對于A，由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq\r(2)，所以A正確；對于B，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以B不正確；對于C，|F1F2|＝2c＝4，當(dāng)P為橢圓短軸的端點時，△PF1F2的面積取得最大值，最大值為eq\f(1,2)×2c·b＝c·b＝4，所以C錯誤；對于D，以線段F1F2為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為2，圓心到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離為eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，也即圓心到直線的距離等于半徑，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－2eq\r(2)＝0相切，所以D正確.故選AD.3.答案BD解析易知雙曲線C的右焦點為F(5，0).設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為x＝my＋5.當(dāng)m≠0時，直線l的斜率為k＝eq\f(1,m).聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋5，,16x2－9y2＝144.))消去x并整理，得(16m2－9)y2＋160my＋256＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16m2－9≠0，,Δ＝1602m2－4×256（16m2－9）＝962（m2＋1）>0，))解得m≠eq\f(3,4).對于A選項，當(dāng)m＝0時，直線l⊥x軸，則A，B兩點都在雙曲線的右支上，此時直線l的斜率不存在，A選項錯誤；對于B選項，|FA|min＝c－a＝5－3＝2，B選項正確；對于C選項，當(dāng)直線l與x軸重合時，|AB|＝2a＝6<eq\f(32,3)，C選項錯誤；對于D選項，當(dāng)A，B兩點在雙曲線右支上，且直線與x軸垂直時，|AB|＝eq\f(32,3).∵eq\f(32,3)<11，∴過F的直線有兩條；當(dāng)A，B兩點分別在雙曲線的兩個分支上時，∵a＋c＝8<11，∴過F的直線有兩條.故滿足|AB|＝11的直線有4條，D選項正確.故選BD.4.答案AC解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))得y2－4y－4＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝y(tǒng)1＋1＋y2＋1＝6，x1x2＝(y1＋1)(y2＋1)＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4＋4＋1＝1.對于A，直線AB過拋物線的焦點，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正確；對于B，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝1＋(－4)＝－3≠0，故B不正確；對于C，點O到直線AB的距離d＝eq\f(|－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，故C正確；對于D，線段AB的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即(3，2)，所以線段AB的中點到直線x＝0的距離為3，故D不正確.選AC.5.答案ABD解析對于A，當(dāng)m＝－1時，曲線方程為y2＝－(x2－a2)，即x2＋y2＝a2，其是圓心為(0，0)，半徑為a的圓，故A正確；對于B，當(dāng)m＝－2時，曲線方程為y2＝－2(x2－a2)，即eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2a2)＝1，其為焦點在y軸上的橢圓，且長半軸長為eq\r(2)a，短半軸長為a，則半焦距為a，所以離心率e＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，故B正確；對于C，當(dāng)m＝2時，曲線方程為y2＝2(x2－a2)，即eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2a2)＝1，其為焦點在x軸上的雙曲線，且實半軸長為a，虛半軸長為eq\r(2)a，所以漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2)a,a)x＝±eq\r(2)x，故C不正確；對于D，當(dāng)－1<m<0時，曲線方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,－ma2)＝1，其為焦點在x軸上的橢圓，且長半軸長為a，短半軸長為aeq\r(－m)，則半焦距為aeq\r(1＋m)，所以焦點坐標(biāo)為(－aeq\r(1＋m)，0)和(aeq\r(1＋m)，0)；當(dāng)m>0時，曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,ma2)＝1，其為焦點在x軸上的雙曲線，且實半軸長為a，虛半軸長為aeq\r(m)，則半焦距為aeq\r(1＋m)，所以焦點坐標(biāo)為(－aeq\r(1＋m)，0)和(aeq\r(1＋m)，0)，故D正確.綜上所述，選ABD.6.答案BCD解析對于A，因為焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，即p＝2，所以拋物線C的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，故A錯誤；對于B，由拋物線性質(zhì)知當(dāng)PQ垂直于x軸時，|PQ|取得最小值，此時可取P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，故B正確；對于C，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x＝my＋1，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1))消去x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，當(dāng)m＝1時，可得M(3，2)，故C正確；對于D，因為y1y2＝－4，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m(y1＋y2)＋m2y1y2＋1＝1，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3，故D正確.綜上所述，選BCD.7.答案ACD解析由題意知雙曲線C的虛軸長為2b＝2，半焦距為c＝eq\r(a2＋1)，雙曲線的漸近線方程為y＝±ax.A項，當(dāng)l⊥y軸時，M是雙曲線的頂點，從而|PQ|＝2b＝2，A項正確；將(1，2)代入雙曲線方程，得a2＝2.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在直線y＝ax上，則y1＝ax1，y2＝－ax2，y1－y2＝a(x1＋x2)，易知x1＋x2＝2，則y1－y2＝2eq\r(2)，又y1＋y2＝4，則y1＝2＋eq\r(2)，x1＝eq\r(2)＋1，所以kl＝eq\f(y1－2,x1－1)＝1，B錯誤；C項，易得l的方程為eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y0,x0)＝a2，整理可得eq\f(y0y,a2)－x0x＝1，C正確；D項，由e＝eq\r(1＋\f(1,a2))＝eq\f(\r(5),2)，得a＝2，所以雙曲線方程為eq\f(y2,4)－x2＝1，由C項可知l是雙曲線的切線，因為雙曲線的切線與兩條漸近線相交所成三角形的面積為定值ab，所以三角形OPQ的面積為2，D正確.8.答案BCD解析法一如圖，由已知條件可得F(1，0)，C(－1，0).由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線m的方程為y＝k(x＋1)(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).依題意x1>x2>0，y1>0，y2>0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,y2＝4x))消y整理，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.當(dāng)Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16－16k2>0，即0<k<1時，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(4－2k2,k2)，x1x2＝1.對于A選項，因為直線BF的斜率為eq\f(y2,x2－1)，AB⊥BF，所以k·eq\f(y2,x2－1)＝－1，即eq\f(y2,x2－1)·eq\f(y2,x2＋1)＝－1.又yeq\o\al(2,2)＝4x2，所以xeq\o\al(2,2)＋4x2－1＝0，解得x2＝eq\r(5)－2(負(fù)值舍去)，所以x1＝eq\r(5)＋2.所以|AP|＝|AF|＝eq\r(5)＋3，|PC|＝y(tǒng)1＝eq\r(8＋4\r(5))，故|AP|≠|(zhì)PC|，故A錯誤；對于B選項，易得P(－1，y1)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－2，y1).當(dāng)P，B，F(xiàn)三點共線時，y1(x2－1)＋2y2＝0，所以k(x1＋1)(x2－1)＋2k(x2＋1)＝0，兩邊同時除以k，得x1x2＋3x2－x1＋1＝0，又x1x2＝1，故可得x1＝3，所以|AF|＝x1＋1＝4，故B正確；對于C選項，過B作BQ⊥l，垂足為Q，由已知可得AP∥BQ，所以eq\f(|BQ|,|AP|)＝eq\f(|BC|,|AC|).又|AB|＝|BC|，所以|AP|＝2|BQ|.由拋物線的定義，得|AF|＝|AP|，|BF|＝|BQ|，因此|AF|＝2|BF|，故C正確；對于D選項，因為|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2≥2eq\r(x1x2)＋2＝4，又x1≠x2，|CF|＝2，故|AF|＋|BF|>2|CF|成立，故D正確.法二對于選項A，假設(shè)|AP|＝|PC|成立，則△APC為等腰直角三角形，∠ACP＝45°，∠ACF＝45°，又AB⊥BF，所以△BCF為等腰直角三角形，則點B在y軸上，這與已知條件顯然矛盾，故|AP|≠|(zhì)PC|，故A錯誤.其他選項同法一進(jìn)行判斷.9.答案ABD解析因為|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因為2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos∠PF1F2＝eq\f(16a2＋4c2－4a2,2·4a·2c)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝eq\r(3)a，所以e＝eq\r(3)，故A正確；e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝3，所以eq\f(b2,a2)＝2，即eq\f(b,a)＝±eq\r(2)，所以漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，故B正確；因為2c＝2eq\r(3)a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°，又因為|AF2|＝c＋a＝(eq\r(3)＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|(zhì)PF2|，所以∠PAF2≠45°，故C錯誤；聯(lián)立直線方程與雙曲線方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,\f(x2,a2)－\f(y2,2a2)＝1，))化簡得7y2－16y＋8－2a2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直線x＋2y－2＝0與雙曲線有兩個公共點，故D正確.故選ABD.10.答案ACD解析若q>0且q≠1，則an>0，an＋1>0且an＋1≠an，所以Cn表示橢圓，A正確；當(dāng)Cn表示橢圓時，顯然q>0且q≠1，若q>1，則an＋1>an，e＝eq\r(\f(an＋1－an,an＋1))＝eq\r(1－\f(an,an＋1))＝eq\r(1－\f(1,q))，令eq\r(1－\f(1,q))＝eq\f(1,2)，解得q＝eq\f(4,3)；若0<q<1，則an>an＋1，e＝eq\r(\f(an－an＋1,an))＝eq\r(1－\f(an＋1,an))＝eq\r(1－q)，令eq\r(1－q)＝eq\f(1,2)，解得q＝eq\f(3,4)，故B錯誤；若Cn表示雙曲線，顯然q<0，故雙曲線Cn的一條漸近線方程為y＝eq\r(－\f(an＋1,an))x＝eq\r(－q)x，令eq\r(－q)＝eq\f(1,2)，解得q＝－eq\f(1,4)，C正確；若q＝－2，則當(dāng)n為偶數(shù)時，an<0，an＋1>0，雙曲線Cn的焦點在y軸上，則bn＝2eq\r(an＋1)；當(dāng)n為奇數(shù)時，則an>0，an＋1<0，雙曲線Cn的焦點在x軸上，則bn＝2eq\r(an).所以b1＋b2＋…＋b20＝2(eq\r(a1)＋eq\r(a3)＋…＋eq\r(a19))＋2(eq\r(a3)＋eq\r(a5)＋…＋eq\r(a21))＝4(eq\r(a1)＋eq\r(a3)＋…＋eq\r(a19))－2＋2eq\r(a21)＝4×eq\f(1－210,1－2)－2＋2×1×210＝3×211－6＝6138，D正確.11.答案ABD解析圓心C(0，0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2)).若點A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；若點A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；若點A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直線l與圓C相切，故D正確.故選ABD.1