第13講 函數(shù)與方程-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一講義（解析版）

函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用本章綜述 本章綜述本章目的是讓理論與實(shí)際相結(jié)合，能運(yùn)用函數(shù)的思想理解和處理現(xiàn)實(shí)中相關(guān)的問題，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力，函數(shù)的應(yīng)用題歷來是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，近十年來，函數(shù)的應(yīng)用幾乎每年都考查，命題的背景、設(shè)問新穎靈活，但解決此類問題用的都是高中已學(xué)過的知識(shí)、方法。第十三講第十三講函數(shù)與方程 教材要點(diǎn)學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向1.函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平11.了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，領(lǐng)會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程的實(shí)根的關(guān)系。2.能利用函數(shù)的性質(zhì)找零點(diǎn)，從而求出方程的根。3.理解二分法的概念及其使用條件?！究疾閮?nèi)容】函數(shù)零點(diǎn)存在的判定、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、二分法的概念與應(yīng)用?！究疾轭}型】選擇題、非選擇題【分值情況】選擇題5-10分，非選擇題6分2.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理邏輯推理水平1水平13.二分法數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平14.函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)邏輯推理水平2水平2知識(shí)通關(guān)知識(shí)通關(guān)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x.(2)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)的判斷(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．知識(shí)點(diǎn)3二分法的定義（1）定義：對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法。（2）滿足的條件：在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f(x)且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿足：f(a)f(b)<0.（3）操作過程：把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值．知識(shí)點(diǎn)4二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟題型一函數(shù)零點(diǎn)的概念及求法規(guī)律方法函數(shù)零點(diǎn)的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn)．(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn)．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．例1、（1）函數(shù)的零點(diǎn)是()A． B． C． D．（2）設(shè)函數(shù)則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)的零點(diǎn)之和為________．（3）若3是函數(shù)f(x)＝x2－mx的一個(gè)零點(diǎn)，則m＝________.解析：(1)令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是；(2)令解得，即f(x)的零點(diǎn)為－1，令，解得，∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)的零點(diǎn)之和為－2.(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.答案(1)C(2)－2(3)3【變式訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是________．解析：∵函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，∴2a＋b＝0?b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，∵－ax(2x＋1)＝0?x＝0，x＝－eq\f(1,2)，∴函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是0，－eq\f(1,2).答案0，－eq\f(1,2)題型二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．例2、判斷下列函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（1）；（2）；（3）解析：（1），令，解得，即函數(shù)的零點(diǎn)為，共3個(gè)；（2）由，即，得，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；（3）函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程為lnx＋x2－3＝0，所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝lnx與y＝3－x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一直角坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)．由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝lnx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．從而方程lnx＋x2－3＝0有一個(gè)根，即函數(shù)y＝lnx＋x2－3有一個(gè)零點(diǎn)．答案（1）3（2）0（3）1【變式訓(xùn)練2】函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：如圖畫出y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象，由圖知y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)(x>0，且x≠1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．故函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點(diǎn)有2個(gè)．答案C題型三判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．例3、(1)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)解析：(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，∴f(x)在(－3，－1)內(nèi)有零點(diǎn)，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)內(nèi)有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)內(nèi)有根．故選A．(2)∵，∴f(x)為(0，＋∞)上的減函數(shù)，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，由零點(diǎn)存在性定理，可知包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4)．答案(1)A(2)C【變式訓(xùn)練3】（1）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A． B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)（2）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A.B.C.D.（3）若方程的實(shí)根在區(qū)間(k，k＋1)(k∈Z)上，則k等于()A．－2 B．1C．－2或1 D．0解析:(1)由已知可知，函數(shù)單調(diào)遞增且連續(xù)，∵，，，，∴，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間是，故選C；（2）函數(shù)單調(diào)遞增，且有，，∴函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C；（3）由題意知，x≠0，則原方程即為lg(x＋2)＝eq\f(1,x)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝lg(x＋2)與y＝eq\f(1,x)的圖象，如圖所示，由圖象可知，原方程有兩個(gè)根，一個(gè)在區(qū)間(－2，－1)上，一個(gè)在區(qū)間(1,2)上，∴k＝－2或k＝1.故選C．答案（1）C（2）C（3）C題型四二分法概念的理解規(guī)律方法運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷．(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷．(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)．只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn)．例4、（1）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是()（2）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是（）A.B.C.D.（3）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1,3)內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0＝2，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是________．解析:（1）觀察圖象與x軸的交點(diǎn)，若交點(diǎn)附近的函數(shù)圖象連續(xù)，且在交點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相異，則可用二分法求零點(diǎn)，故B不能用二分法求零點(diǎn)；（2）對(duì)于選項(xiàng)C而言，令，得，即函數(shù)存在零點(diǎn)，但當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴有零點(diǎn)，但零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào)，∴不能用二分法求零點(diǎn)的近似值；（3）設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的區(qū)間是(1,2)。答案（1）B（2）C（3）(1,2)【變式訓(xùn)練4】已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為()A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3解析：圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；左、右函數(shù)值異號(hào)的有3個(gè)零點(diǎn)，所以可以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3.答案D題型五用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)規(guī)律方法用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則(1)需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](1)需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成)．(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長度”直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．例5、用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度0.01)．解析：經(jīng)計(jì)算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函數(shù)在[1,1.5]內(nèi)存在零點(diǎn)x0.取區(qū)間(1,1.5)的中點(diǎn)x1＝1.25，經(jīng)計(jì)算f(1.25)<0，因?yàn)閒(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．如此繼續(xù)下去，得到函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間，如下表：(a，b)(a，b)的中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)(1,1.5)1.25f(1.25)<0(1.25,1.5)1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)<0(1.3125,1.375)1.34375f(1.34375)>0(1.3125,1.34375)1.328125f(1.328125)>0(1.3125,1.328125)1.3203125f(1.3203125)<0∵|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，∴函數(shù)f(x)＝x3－x－1的一個(gè)精確度為0.01的近似零點(diǎn)可取為1.328125.【變式訓(xùn)練5】證明函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，并求出這個(gè)零點(diǎn)(精確度0.1)．解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則方程6－3x＝2x在區(qū)間(1,2)上有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，設(shè)該解為x0，則x0∈(1,2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)．取x4＝1.1875，f(1.1875)＝－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴可取x0＝1.25，則方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解可取x0＝1.25.思維拓展思維拓展①方程有兩個(gè)不等實(shí)根①方程有兩個(gè)不等實(shí)根；②方程有兩個(gè)相等實(shí)根；③方程無實(shí)根；考向一一元二次方程根的分布的討論規(guī)律方法討論一元二次方程的根所在區(qū)間內(nèi)的分布情況一般需從五個(gè)方面考慮：①判別式②開口方向②對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系④韋達(dá)定理⑤端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)（1）一元二次方程的實(shí)根情況，則有下列幾種情形：（2）一元二次方程根的零分布（即根相對(duì)于零的關(guān)系），則有下列幾種情形：①方程二實(shí)根均大于零，即②方程二實(shí)根均小于零，即③方程一根大于零，一根小于零，即④方程一根為零，一根大于零，即⑤方程一根為零，一根小于零，即①方程二實(shí)根均大于零，即②方程二實(shí)根均小于零，即③方程一根大于零，一根小于零，即④方程一根為零，一根大于零，即⑤方程一根為零，一根小于零，即（3）一元二次方程根的分布（即根相對(duì)于的位置），則有下列幾種情形：設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為，為常數(shù)①方程二根都大于①方程二根都大于，即②方程二根都小于，即③方程一根大于，一根小于，即④方程二根均在之間，即（從函數(shù)圖像層面去判斷）：若則；若則；若不能確定的正負(fù)，則⑤方程一根介于⑤方程一根介于之間，另一根介于之間，，即（從函數(shù)圖像層面去判斷）：若，則；若，則；若不能確定的正負(fù)，則例6、已知關(guān)于的方程，在下列條件下，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（1）一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1；（2）一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)。解析：（1）由題意，可從方程根層面去判斷，則有解得；（2）由題意，可從對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像層面去判斷，則有解得答案（1）（2）【變式訓(xùn)練6】關(guān)于的方程有兩實(shí)根，且都在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。解析：由題意，可從函數(shù)圖像與性質(zhì)層面去判斷，則有，即，解得答案考向二數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn)規(guī)律方法函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)有根（解）圖像與軸有交點(diǎn)與圖像有交點(diǎn)（由拆分而成）例7、已知在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍。解析：由題意，原問題可變形為：，故原問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)問題，則先作出函數(shù)的圖像，如圖所示;故函數(shù)的圖像要與有兩個(gè)交點(diǎn)，則只需，解得答案【變式訓(xùn)練7】若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是。解析：原方程可變形為，故原問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像如圖所示：∵函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，畫出圖像如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，∴的取值范圍是答案考向三函數(shù)中恒成立存在性問題規(guī)律方法（1）恒成立問題解題的基本思路：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最值法、數(shù)形結(jié)合法等方法求解。解決恒成立問題的具體思路：思路一：轉(zhuǎn)換成求函數(shù)最值，思路一：轉(zhuǎn)換成求函數(shù)最值，①在上恒成立；②在上恒成立。思路二：轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖像問題，①若在上恒成立，則在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方；②若在上恒成立，則在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的下方。（2）存在性問題存在性問題一般轉(zhuǎn)換成求函數(shù)最值問題，其取最值情況與函數(shù)恒成立取得最值情況剛好相反。存在性問題一般轉(zhuǎn)換成求函數(shù)最值問題，其取最值情況與函數(shù)恒成立取得最值情況剛好相反。例8、已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是。解析：方法一（分離參數(shù)法）：由題意，原不等式可分離參數(shù)得，故原問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的最小值問題，又，故該函數(shù)為對(duì)勾類型函數(shù)，作出其函數(shù)圖像，可發(fā)現(xiàn)其當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值為，∴方法二（分類討論法）：由題意，原問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的最大值問題，先探討其單調(diào)性，從而找出最大值；∵為二次函數(shù)，其開口方向向上，故其單調(diào)性由對(duì)稱軸決定：①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故最大值為，∴，解得，結(jié)合前面，故此時(shí)無解；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故最大值為，∴，解得，結(jié)合前面，故此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上先減后增，且偏2更遠(yuǎn)，故最大值為，∴，解得，再結(jié)合，故此時(shí)無解；④當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上也是先減后增，且偏1更遠(yuǎn)，故最大值為，∴，解得，再結(jié)合，故此時(shí)也無解；綜上所述，的取值范圍是答案【變式訓(xùn)練8】已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍。解析：∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝a①當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使恒成立，只需，即，解得，即.②當(dāng)時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2.要使恒成立，只需，即解得，即.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3,1]答案綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練A組基礎(chǔ)演練一、選擇題1．下列函數(shù)沒有零點(diǎn)的是()A．f(x)＝0 B．f(x)＝2C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)解析：函數(shù)f(x)＝2，不能滿足方程f(x)＝0，因此沒有零點(diǎn)．答案B2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1,1＋log2x，x>1，))則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()A.eq\f(1,2)，0 B．－2,0C.eq\f(1,2) D．0解析：當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函數(shù)的零點(diǎn)為0，選D.答案D3．函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析：∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)必在區(qū)間(1,2)上，故選C.答案C4．方程0.9x－eq\f(2,21)x＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：設(shè)f(x)＝0.9x－eq\f(2,21)x，則f(x)為減函數(shù)，值域?yàn)镽，故有1個(gè)．答案B5．函數(shù)y＝x2＋a存在零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)≤0C．a(chǎn)≥0D．a(chǎn)<0解析：函數(shù)y＝x2＋a存在零點(diǎn)，則x2＝－a有解，所以a≤0.答案B6．如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個(gè)不同的公共點(diǎn).給出的下列四個(gè)區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點(diǎn)，該零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]解析：結(jié)合圖象可得：ABD選項(xiàng)每個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，可以用二分法求出零點(diǎn)，C選項(xiàng)區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn).答案C7．在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是()A．[1,4] B．[－2,1]C. D.解析：∵第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，∴第二次所取的區(qū)間可能為[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的區(qū)間可能為，，，答案D二、填空題8．函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1lnx,x－3)的零點(diǎn)是________．解析：令f(x)＝0，即eq\f(x－1lnx,x－3)＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1.答案19．若方程|x2－4x|－a＝0有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函數(shù)y＝|x2－4x|的圖象，則由圖象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四個(gè)不相等的實(shí)根，則0＜a＜4.答案(0,4)10．若f(x)＝x＋b的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則b的取值范圍為________．解析：∵f(x)＝x＋b是增函數(shù)，又f(x)＝x＋b的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，∴∴∴－1<b<0.答案(－1,0)三、解答題11．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4xx≥0,2xx<0，))(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)討論方程|f(x)|＝a的解的個(gè)數(shù)．(只寫明結(jié)果，無需過程)解析：(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示：(2)函數(shù)的圖象如圖所示：①0＜a＜4時(shí)，方程有四個(gè)解；②a＝4時(shí)，方程有三個(gè)解；③a＝0或a＞4時(shí)，方程有二個(gè)解；④a＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解．答案見解析12．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋4，在下列條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)零點(diǎn)均大于1；(2)一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1；(3)一個(gè)零點(diǎn)在(0,1)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在(6,8)內(nèi)．解析：(1)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理得解得2≤a<eq\f(5,2)，即a的取值范圍是(2)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4＝0的一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq\f(5,2)，即a的取值范圍是(3)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4＝0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi)，另一個(gè)根在(6,8)內(nèi)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理得解得eq\f(10,3)<a<eq\f(17,4)，即a的取值范圍是答案見解析B組提升突破B組提升突破一、選擇題1．已知0＜a＜1，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)解析：∵0＜a＜1，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就等于方程的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．如圖所示，函數(shù)與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故選B.答案B2．已知方程|2x－1|＝a有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(0,1)解析：若關(guān)于x的方程|2x－1|＝a有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則y＝|2x－1|的圖象與y＝a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．函數(shù)y＝|2x－1|的圖象如圖所示由圖可得，當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與y＝a有兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)，故選D.答案D3．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．解析：因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.答案C4．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)零點(diǎn)(正數(shù))附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似解(精確度0.04)為()A．1.5 B．1.25C．1.375 D．1.4375解析：由參考數(shù)據(jù)知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一個(gè)近似解可取為1.4375，故選D.答案D5．已知曲線y＝(eq\f(1,10))x與y＝x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，則x0的取值范圍是()A．(0，eq\f(1,2)) B.eq\f(1,2)C．(eq\f(1,2)，1) D．(1,2)解析：設(shè)f(x)＝(eq\f(1,10))x－x，則f(0)＝1>0，f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,10))－eq\f(1,2)＝eq\r(0.1)－eq\r(0.25)<0，f(1)＝eq\f(1,10)－1<0，f(2)＝(eq\f(1,10))2－2<0，顯然有f(0)·f(eq\f(1,2))<0.答案A6．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．0解析：由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，則f(x0)＝0，又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函數(shù)在[－a,0]內(nèi)唯一的零點(diǎn)，故方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為2.答案B7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a，b，α，β的大小關(guān)系可能是()A．a(chǎn)<α<b<βB．a(chǎn)<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b解析：∵α，β是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0結(jié)合二次函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，可知，a，b必在α，β之間，只有C滿足．答案C8．已知x0是函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一個(gè)零點(diǎn)．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)的圖象，如圖所示，由圖可知函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且.因?yàn)閤1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函數(shù)圖象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.答案B二、填空題9．函數(shù)f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．解析：令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，畫圖可得函數(shù)y＝lnx與函數(shù)y＝x2－2x－5的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x