第 4 章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 知識點(diǎn)解讀與例析（1）-2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版(2020)必修第一冊期末復(fù)習(xí)

【學(xué)生版】《第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》知識點(diǎn)解讀與例析(1)【本章目錄】4.1冪函數(shù)4.1.1冪函數(shù)的定義與圖像；4.1.2冪函數(shù)的性質(zhì)；知識點(diǎn)1、冪函數(shù)的定義當(dāng)指數(shù)，等式確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為的冪函數(shù)；知識點(diǎn)2、描點(diǎn)法列表----描點(diǎn)----連線；知識點(diǎn)3、函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱在平面坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)均互為相反數(shù)；點(diǎn)P(a，b)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′()；知識點(diǎn)4、函數(shù)圖像關(guān)于數(shù)軸對稱函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱：在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)P(a，b)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′()；函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱（拓展）：在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)P(a，b)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′()；知識點(diǎn)5、冪函數(shù)的嚴(yán)格增（減）性在區(qū)間上，冪函數(shù)的函數(shù)值隨著的嚴(yán)格增大（減少）而嚴(yán)格增大（減少），此時(shí)稱冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增（減）函數(shù)；知識點(diǎn)6、冪函數(shù)圖像通過定點(diǎn)：；知識點(diǎn)7、函數(shù)圖像的平移變換函數(shù)圖像平移變換的規(guī)律：y=f(x)的圖像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x+a)或y=f(x-a)的圖像；y=f(x)的圖像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)+k或y=f(x)-k的圖像；4.2指數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.2.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）；4.2.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（2）知識點(diǎn)8、指數(shù)函數(shù)的定義當(dāng)?shù)讛?shù)，且，時(shí)，等式，確定了變量隨變量變化規(guī)律，稱為底為的指數(shù)函數(shù)。知識點(diǎn)9、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域?yàn)镽，函數(shù)值為恒正；（2）當(dāng)時(shí)，；知識點(diǎn)10、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（3）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)；知識點(diǎn)11、指數(shù)函數(shù)的圖像特征a>10<a<1（1）函數(shù)圖像都在軸右側(cè)，無限趨近于軸，但永不相交；（2）過定點(diǎn)（3）由左至右圖像（4）由左至右圖像4.3對數(shù)函數(shù)4.3.1對數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（2）知識點(diǎn)12、對數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)，且，時(shí)，以為底的對數(shù)，確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為底為的對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?；知識點(diǎn)13、反函數(shù)因?yàn)槭堑慕猓哉f對數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的一種逆運(yùn)算，作為函數(shù)，稱對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)；知識點(diǎn)14、定理：當(dāng)，時(shí)，；知識點(diǎn)15、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)（1）定義域?yàn)椋唬?）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；知識點(diǎn)16、對數(shù)函數(shù)的圖像特征a>10<a<1（1）函數(shù)圖像都在軸右側(cè)，無限趨近于軸，但永不相交；（2）過定點(diǎn)（3）由左至右圖像（4）由左至右圖像【知識點(diǎn)鞏固練習(xí)】4.1冪函數(shù)知識點(diǎn)1、冪函數(shù)的定義例1、已知函數(shù)是冪函數(shù)，且，則的解析式為________【提示】【答案】【解析】【說明】【注意】1、把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；2、冪函數(shù)的特征：①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③的指數(shù)為常數(shù)；形如，等的函數(shù)都不是冪函數(shù)；【辨析】冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別：例如：是冪函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)；知識點(diǎn)2、描點(diǎn)法例2、作出下列函數(shù)的圖像：（1）；（2）；（3）；【提示】【解析】【說明】知識點(diǎn)3、函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱例3、已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函數(shù)y＝g(x)圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)Q在函數(shù)f(x)的圖像上；（1）寫出函數(shù)g(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[0，1)時(shí)總有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范圍；【提示】【解析】【說明】函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的推廣：證明：“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)滿足”。【提示】可以借助于解析幾何求解軌跡方程的“相關(guān)點(diǎn)法”理解：【證明】設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，即則關(guān)于點(diǎn)對稱的對稱點(diǎn)是.又函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形，所以也在函數(shù)圖象上，，所以即故亦即反之，同理可證，故待證結(jié)論成立；【兩個(gè)結(jié)論】（1）若函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對稱；（2）函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對稱；【教師版】《第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》知識點(diǎn)解讀與例析(1)【本章目錄】4.1冪函數(shù)4.1.1冪函數(shù)的定義與圖像；4.1.2冪函數(shù)的性質(zhì)；知識點(diǎn)1、冪函數(shù)的定義當(dāng)指數(shù)固定，等式確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為的冪函數(shù)；知識點(diǎn)2、描點(diǎn)法列表----描點(diǎn)----連線；知識點(diǎn)3、函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱在平面坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)均互為相反數(shù)；點(diǎn)P(a，b)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(-a，-b)；知識點(diǎn)4、函數(shù)圖像關(guān)于數(shù)軸對稱函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱：在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)P(a，b)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(-a，b)；函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱（拓展）：在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)P(a，b)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(a，-b)；知識點(diǎn)5、冪函數(shù)的嚴(yán)格增（減）性在區(qū)間上，冪函數(shù)的函數(shù)值隨著的嚴(yán)格增大（減少）而嚴(yán)格增大（減少），此時(shí)稱冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增（減）函數(shù)；知識點(diǎn)6、冪函數(shù)圖像通過定點(diǎn)：；知識點(diǎn)7、函數(shù)圖像的平移變換函數(shù)圖像平移變換的規(guī)律：y=f(x)的圖像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x+a)或y=f(x-a)的圖像；y=f(x)的圖像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)+k或y=f(x)-k的圖像；4.2指數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.2.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）；4.2.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（2）知識點(diǎn)8、指數(shù)函數(shù)的定義當(dāng)?shù)讛?shù)固定，且，時(shí)，等式，確定了變量隨變量變化規(guī)律，稱為底為的指數(shù)函數(shù)。知識點(diǎn)9、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域?yàn)镽，函數(shù)值為恒正；（2）當(dāng)時(shí)，；知識點(diǎn)10、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（3）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)；知識點(diǎn)11、指數(shù)函數(shù)的圖像特征a>10<a<1（1）函數(shù)圖像都在軸右側(cè)，無限趨近于軸，但永不相交；（2）過定點(diǎn)（3）由左至右圖像上升（4）由左至右圖像下降4.3對數(shù)函數(shù)4.3.1對數(shù)函數(shù)的定義與圖像；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）；4.3.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（2）知識點(diǎn)12、對數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)固定，且，時(shí)，以為底的對數(shù)，確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為底為的對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?；知識點(diǎn)13、反函數(shù)因?yàn)槭堑慕?，所以說對數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的一種逆運(yùn)算，作為函數(shù)，稱對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)；知識點(diǎn)14、定理：當(dāng)，時(shí)，；知識點(diǎn)15、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)（1）定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；知識點(diǎn)16、對數(shù)函數(shù)的圖像特征a>10<a<1（1）函數(shù)圖像都在軸右側(cè)，無限趨近于軸，但永不相交；（2）過定點(diǎn)（3）由左至右圖像上升（4）由左至右圖像下降【知識點(diǎn)鞏固練習(xí)】4.1冪函數(shù)知識點(diǎn)1、冪函數(shù)的定義例1、已知函數(shù)是冪函數(shù)，且，則的解析式為________【提示】理解冪函數(shù)的定義與解析式；【答案】；【解析】由題意，設(shè)，因?yàn)椋?，得，即，則，，即，故答案為；【說明】本題屬于利用待定系數(shù)法，求解析式；【注意】1、把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；2、冪函數(shù)的特征：①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③的指數(shù)為常數(shù)；形如，等的函數(shù)都不是冪函數(shù)；【辨析】冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別：例如：是冪函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)；知識點(diǎn)2、描點(diǎn)法例2、作出下列函數(shù)的圖像：（1）；（2）；（3）；【提示】注意：借助初等函數(shù)的“關(guān)鍵點(diǎn)”、“特殊點(diǎn)”畫已知函數(shù)的圖像；【解析】（1）先作出的圖像，保留圖像中x≥0的部分，再作出的圖像中x>0部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得的圖像，如圖①實(shí)線部分；（2）將函數(shù)y＝log2x的圖像向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖像，如圖②；（3）因?yàn)?，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖像，再根據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖像，得圖像；如圖③；【說明】1、描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式（或變形后的解析式）是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出；2、圖象變換法：若函數(shù)圖像可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖像變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響；知識點(diǎn)3、函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱例3、已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函數(shù)y＝g(x)圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)Q在函數(shù)f(x)的圖像上；（1）寫出函數(shù)g(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[0，1)時(shí)總有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范圍；【提示】注意：兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；理解函數(shù)解析式的實(shí)質(zhì)；【解析】（1）設(shè)P(x，y)為g(x)圖像上任意一點(diǎn)，則Q(－x，－y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)；因?yàn)椋琎(－x，－y)在f(x)的圖像上，所以，－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)(x<1)；（2）f(x)＋g(x)≥m，即logaeq\f(x＋1,1－x)≥m；設(shè)F(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1－x)))，x∈[0,1)，由題意知，只要F(x)min≥m即可；因?yàn)?，F(xiàn)(x)在[0,1)上是增函數(shù)，所以，F(xiàn)(x)min＝F(0)＝0，則m≤0；故m的取值范圍為(－∞，0]；【說明】函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的推廣：證明：“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)滿足”?！咎崾尽靠梢越柚诮馕鰩缀吻蠼廛壽E方程的“相關(guān)點(diǎn)法”理解：