導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 03 恒成立與有解問題 突破專項訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)解答題

臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項訓(xùn)練導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用03（恒成立與有解問題）1．已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線為，求，；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式在，上恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．2．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值．（2）若，當(dāng)時，，求的取值范圍．3．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為0，求的值；（3）若對于任意，恒成立，求的取值范圍．4．已知函數(shù)，；（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．5．已知函數(shù)，（1）若，證明：；（2）若，，恒成立，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點，處的切線方程；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．7．已知函數(shù)，．（1）若時，函數(shù)有極小值，試確定的取值范圍；（2）當(dāng)時，函數(shù)在，上的最大值為，若存在，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．9．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．10．已知函數(shù)．（1）若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；（2）若對任意，不等式成立，求實數(shù)的取值集合．11．已知函數(shù)（其中，為的導(dǎo)數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．12．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時，恒成立，求的取值范圍．13．設(shè)函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）若，且當(dāng)時，函數(shù)的圖象在直線的上方，求整數(shù)的最大值．參考答案1．（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得（1），即．則，點坐標為點在直線上故，．（2）當(dāng)時，關(guān)于的不等式在，上恒成立，，設(shè)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時，，函數(shù)遞增，時，函數(shù)遞減，則，即，當(dāng)時，，則在，遞增，可得，則．2．（1），且，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，此時無極值；當(dāng)時，由得，，由得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．極大值為．（2）當(dāng)，不等式化為，當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時轉(zhuǎn)化為，令，只需求，，令，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞減，由洛必達法則有：，即，3．（1）當(dāng)時，函數(shù)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，令，得，所以：當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞增．（2）由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)，不符合題意．當(dāng)時，，因為，當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞增．①當(dāng)，即時，最小值為（1）．解，得，符合題意．②當(dāng)，即時，最小值為．解，得，不符合題意．綜上，．（3）構(gòu)建新函數(shù)，，①當(dāng)，即時，因為，所以（且時，僅當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時，對于任意都有．②當(dāng)時，解，即，得，其中，所以，且，，所以在，上單調(diào)遞減，又，所以存在，，使得，不符合題意．綜上，的取值范圍為，．4．（1），，，①當(dāng)時，令，得；令，得；②當(dāng)時，令，得或；（?。┊?dāng)，即時，令，得或；令，得；（ⅱ）當(dāng)時，即時，則恒成立；（ⅲ）當(dāng)時，即時，令，得或；令，得；綜上所述：當(dāng)時，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在和，上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞減；當(dāng)時，在和上遞減，在，上遞增．（2）由（1）得①當(dāng)時，在上遞減，（1），；②當(dāng)時，（ⅰ）當(dāng)，即時，在上遞減，在，上遞增，，符合題意；（ⅱ）當(dāng)，即時，在上遞減，（1），符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍為，．5．（1）證明：因為，，，且，，的變化關(guān)系為：00單調(diào)遞減單調(diào)遞增當(dāng)時，有最小值為（2）令，，，由（1）知：，，①當(dāng)，時，，，，單調(diào)遞增，且，，恒成立，從而符合題意．②當(dāng)時，令，則函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，由于，，故，使得．則當(dāng)時，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．，不符合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，．6．（1）當(dāng)時，，，因為，，所以曲線在點，處的切線方程為．（2）因為有兩個零點，所以方程有兩個不同的根，即關(guān)于的方程有兩個不同的解，當(dāng)時，方程不成立，所以，令，則與的圖象有兩個交點，且，令，得或，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值（1），因為，且當(dāng)時，，所以的取值范圍是．7．（1）函數(shù)的定義域為，，①當(dāng)時，，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時無極小值；②當(dāng)時，令，解得或，當(dāng)時，，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處取得極小值，符合題意；當(dāng)時，，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時無極小值；綜上，實數(shù)的取值范圍為；（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，存在，，使得成立，即存在，，使成立，只需函數(shù)在，上的最大值大于等于，，解得，故實數(shù)的取值范圍為．8．（1）的定義域是，，當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，在，上有，在，上有，在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)（2）當(dāng)時，，即令，則，①若，由（1）知，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，故有，即，得，故有．（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題）（當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時取等號）．函數(shù)在，單調(diào)遞增，，式成立．②若，令．則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．在區(qū)間，上單調(diào)遞增，，，，使得，則當(dāng)時，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，式不恒成立．綜上所述，實數(shù)的范圍是，9．（1）證明：當(dāng)時，，，則，又在上單調(diào)遞增，且，且（1），，，使得，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，，，，，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時，，問題等價于（記為在，上恒成立，令，，（1），要使式在，上恒成立，則必須（1），，下面證明當(dāng)時，在，上恒成立．，，，又，，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，（1），即式在，上恒成立，故的取值范圍為，．10．（1），，設(shè)切點為，，則，代入直線得：，即，，令，有（1），，在單調(diào)遞增，方程有唯一解，；（2），，恒成立，設(shè)，則，令，，△，有2個不相等實根，，則，不妨設(shè)，當(dāng)，，當(dāng)，，，在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，，由得到，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（1），，，則，故，實數(shù)的取值集合是．11．（1），則，又，函數(shù)在處的切線方程為；（2）令，則，，在，上單增，①當(dāng)時，，為增函數(shù)，則恒成立，符合題意；②當(dāng)時，由在，上單增，且，，故存在唯一，使得，則當(dāng)時，，單減，，此時與矛盾，不合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，．12．（1）因為，由（1），得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）令，，，當(dāng)，時，恒成立等價于恒成立，由于，，，當(dāng)時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間，上恒成立，符合題意，當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，，①當(dāng)時，即時，，函數(shù)在，單調(diào)遞增，所以在，恒成立，符合題意，②當(dāng)即時，，，若，即時，在恒小于0，則在單調(diào)遞減，，不符合題意，若，即時，存在使得，所以當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意，綜上所述，的取值范圍是，．13．（1），則，若，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增