2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)一》預(yù)測試題14(答案解析)

書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟！住在富人區(qū)的她2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)一》預(yù)測試題（答案解析）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹(jǐn)慎購買！第壹卷一.綜合考點(diǎn)題庫(共50題)1.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

2.設(shè)A為四階實對稱矩陣，且A^2+A=O.若A的秩為3，則A相似于

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

這是一道常見的基礎(chǔ)題，由Aα=λα，α≠0知A^nα=λ^nα，那么對于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是實對稱必有A～A，而A即是A的特征值，那么由r(A)=3，可知(D)正確

3.將長度為1m的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長度的相關(guān)系數(shù)為

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

設(shè)木棒截成兩段的長度分別為X和Y.顯然X+Y=1，即Y=1-X，然后用公式

【求解】Y=1-X，則DY=D(1-X)=DX.

Cov(X，Y)=Cov(X，1-X)=Cov(X，1)=Cov(X，X)=0-DX=-DX.

答案應(yīng)選(D).

4.設(shè)函數(shù)z=f(xy，yg(x))，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x=1處取得極值g(1)=1.求

正確答案：

本題解析：

所以，令x=y=1，且注意到g(1)=1，g'(1)=0，得

5.下列積分發(fā)散的是

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

6.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

7.若，則a1cosx+b1sinx=

A.A2sinx

B.2cosx

C.2πsinx

D.2πcosx

正確答案：A

本題解析：

8.設(shè)隨機(jī)變量X~U（0，1)，Y~E（1），且X,Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的密度函數(shù)

正確答案：

本題解析：

9.設(shè)A，B，C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則

A.A矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價

B.矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價

C.矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價

D.矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價

正確答案：B

本題解析：

對矩陣A，C分別按列分塊，記A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ，γ，…，γ).由AB=C有

可見

即C的列向量組可以由A的列向量組線性表出.

因為B可逆，有CB^-1=A.類似地，A的列向量組也可由C的列向量組線性表出，因此選(B).

10.設(shè)，.

已知線性方程組Ax=b存在2個不同的解.

(Ⅰ)求λ，a；

(Ⅱ)求方程組Ax=b的通解.

正確答案：

本題解析：

【解】(Ⅰ)因為方程組Ax=b有2個不同的解，所以r(A)=r(A)故

知λ=1或λ=-1

當(dāng)λ=1時

顯然r(A)=1，r(=2，此時方程組無解，λ=1舍去.

當(dāng)λ=-1時，對Ax=b的增廣矩陣施以初等行變換：

因為Ax=b有解，所以a=-2.

(Ⅱ)當(dāng)λ=-1，a=-2時，

所以Ax=b的通解為

，其中k為任意常數(shù)

11.某企業(yè)生產(chǎn)某種商品的成本函數(shù)為a,b,c,l,s都是正常數(shù)，Q為銷售量，求：（I）當(dāng)每件商品的征稅額為t時，該企業(yè)獲得最大利潤時的銷售量；（II）當(dāng)企業(yè)利潤最大時，t為何值時征稅收益最大.

正確答案：

本題解析：

12.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0.1),在X=x條件下隨機(jī)變量Y~N(x，1)，則X與Y的相關(guān)系數(shù)為（）

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

13.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

14.

A.①③

B.①②

C.②③

D.②④

正確答案：D

本題解析：

15.若函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，則=_________.

正確答案：1、-dx.

本題解析：

暫無解析

16.設(shè)f1(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，f2(x)為［-1，3］上均勻分布的概率密度，若為概率密度，則a，b應(yīng)滿足

A.A2a+3b=4

B.3a+2b=4

C.a+b=1

D.a+b=2

正確答案：A

本題解析：

17.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，則P(B-A)=

A.A0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4

正確答案：B

本題解析：

18.設(shè)總體X的概率密度為

其中θ為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn，為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本.

(Ⅰ)求θ的矩估計量；

(Ⅱ)求θ的最大似然估計量.

正確答案：

本題解析：

19.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

20.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

21.設(shè)∑為曲面z=x^2+y^2(z≤1)的上側(cè)，計算曲面積分

正確答案：

本題解析：

【分析】本題考查第二類曲面積分的基本計算，可補(bǔ)曲面后用高斯公式；投影輪換法；直接投影法(較復(fù)雜).

22.設(shè)F1(x)與F2(x)為兩個分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度f1(x)與f2(x)是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是

A.Af1(x)f2(x)

B.2f2(x)F1(x)

C.f1(x)F2(x)

D.f1(x)F2(x)+f2(x)f1(x)

正確答案：D

本題解析：

23.設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且F'2≠0，則=

A.Ax

B.z

C.-x

D.-z

正確答案：B

本題解析：

24.已知二次型f(x1，x2，3x)=x^TAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為，且Q的第3列為.

(Ⅰ)求矩陣A；

(Ⅱ)證明A+E為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣.

正確答案：

本題解析：

25.下列反常積分中，收斂的是

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

26.若二次曲面的方程經(jīng)正交變換化為，則a=________.

正確答案：1、1

本題解析：

暫無解析

27.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

28.設(shè)P為橢球面S：x^2+y^2+z^2-yz=1上的動點(diǎn)，若S在點(diǎn)P處的切平面與xOy面垂直，求點(diǎn)P的軌跡C，并計算曲面積分，其中∑是橢球面S位于曲線C上方的部分.

正確答案：

本題解析：

29.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

30.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

31.設(shè)有界區(qū)域Ω由平面2x+y+2z=2與三個坐標(biāo)平面圍成，∑為Ω整個表面的外側(cè)，計算曲面積分.

正確答案：

本題解析：

【解】由高斯公式得

.

【評注】在三重積分的計算中，用先二后一積分較為簡單，當(dāng)然也可化為三次積分計算.

32.設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=f(e^xcosy)滿足

若f(0)=0，f'(0)=0，求f(u)的表達(dá)式.

正確答案：

本題解析：

【分析】根據(jù)已知的關(guān)系式，變形得到關(guān)于f(u)的微分方程，解微分方程求得f(u).

33.關(guān)于函數(shù)的極值個數(shù)，正確的是

A.有2個極大值，1個極小值

B.有1個極大值，2個極小值

C.有2個極大值，沒有極小值

D.沒有極大值，有2個極小值

正確答案：A

本題解析：

34.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

畫出積分區(qū)域，用極坐標(biāo)把二重積分化為二次積分.曲線2xy=1，4xy=1的極坐標(biāo)方程分別為

35.曲面x^2+cos(xy)+yz+x=0在點(diǎn)(0，1，-1)處的切平面方程為

A.Ax-y+z=-2

B.x+y+z=0

C.x-2y+z=-3

D.x-y-z=0

正確答案：A

本題解析：

36.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

37.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

38.設(shè)總體X的概率密度為其中θ∈(0,+∞)為未知參數(shù)，X1，X2，X3為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，令T=max(X1，X2，X3).

(Ⅰ)求T的概率密度；

(Ⅱ)確定a，使得aT為θ的無偏估計.

正確答案：

本題解析：

39.設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為

求常數(shù)A及條件概率密度.

正確答案：

本題解析：

40.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

41.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則P{X

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

X～E(1)，Y～E(4)且相互獨(dú)立，所以(X，Y)的概率密度

利用公式可以計算出結(jié)果.

【求解】

42.設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則

A.Aa=-3，b=2，c=-1

B.a=3,b=2,c=-1

C.a=-3，b=2，c=1

D.a=3，b=2，c=1

正確答案：A

本題解析：

【評注】其實，我們可看出齊次線性微分方程的特征根為1和2，非齊次線性微分方程的一個特解可為y=xe^x，進(jìn)一步求得a，b，c.

43.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為，則EX^2=________.

正確答案：1、2

本題解析：

暫無解析

44.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

45.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

本題考查過渡矩陣的概念，用觀察法易見

46.設(shè)，當(dāng)a，b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B，并求所有矩陣C

正確答案：

本題解析：

由題意可知矩陣C為2×2階矩陣，故可設(shè)

求所有矩陣C，即求出方程組①的通解。對方程組①的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換：

由于方程組①有解，故有1+

47.設(shè)奇函數(shù)f(x)在［-1，1］上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，證明：

(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；

(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1.

正確答案：

本題解析：

【證明】(Ⅰ)因為f(x)是區(qū)間［-1，1］上的奇函數(shù)，所以f(0)=0.

因為函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，1］上可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得

f(1)-f(0)=f'(ξ).

又因為f(1)=1，所以f'(ξ)=1.

(Ⅱ)【證明】(方法一)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f'(x)是偶函數(shù)，故f'(-ξ)=f'(ξ)=1.

令F(x)=［f'(x)-1］e^x，則F(x)可導(dǎo)，且F(-ξ)=F(ξ)=0.

根據(jù)羅爾定理，存在

使得F'(η)=0.

由

(方法二)因為f(x)是［-1，1］上的奇函數(shù)，所以f'(x)是偶函數(shù)，

令F(x)=f'(x)+f(x)-x，則F(x)在［-1，1］上可導(dǎo)，且

F(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1)

F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(1)-f(1)+1=f'(1)

由羅爾定理可知，存在η∈(-1，1)，使得F'(η)=0.

由F'(x)=f(x)+f'(x)-1，知

f(η)+f'(η)-1=0，f(η)+f'(η)=1.

(方法三)因為f(x)是［-1，1］上的奇函數(shù)，所以f'(x)是偶函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1.

令F(x)=f'(x)+f(x)-x，則F'(x)=f(x)+f'(x)-1，

F'(ξ)=f(ξ)+f'(ξ)-1=f(ξ)

F'(-ξ)=f(-ξ)+f'(-ξ)-1=-f(ξ)

當(dāng)f(ξ)=0時，f(ξ)+f'(ξ)-1=0，即f(ξ)+f'(ξ)=1.結(jié)論得證.

當(dāng)f(ξ)≠0時，F(xiàn)'(ξ)F'(-ξ)=-［f(ξ)］^2根據(jù)導(dǎo)函數(shù)