數(shù)學(xué)高考第十單元平面解析幾何

第十單元平面解析幾何

第一節(jié)直線與方程

典例分析

題型一直線的傾斜角和斜率

【例1】直線XCOSQ+5/3y+2=o的傾斜角的范圍是()

r57r、

B.37乃）

6

r?八5萬(wàn)r

C.[0,-—]

o*平

解由直線xcosa+V3y+2=0,

所以直線的斜率為k=-竺胃

V3

設(shè)直線的傾斜角為P，則tanB=-竺COS等(7

--J3COSa>/3V3,73

X--<——^<—即nn一

3V3333

,5兀、

所以Bcu匕-，乃)

o

舉一反三

1.直線xcose+y-l=0(0GR)的傾斜角的范圍是）

7t3萬(wàn)

A.[0,n）B

4'T

7171「34、

31乃）

W'ZD吟4

解析設(shè)傾斜角為a，則k=tana=-cos。.

0￡R,?l<-cos（）Wl,???-lWtanaWl,

c兀、「357乃T

??.ae0,—。[—^,乃）

44

答案D

題型二求直線的方程

【例2】求下列直線/的方程.

3

(1)過(guò)點(diǎn)A(0,2),它的傾斜角的正弦是一；

⑵過(guò)點(diǎn)A(2,l),它的傾斜角是直線/1：3x+4y+10=0的傾斜角的一半.

3

解(1)設(shè)直線/的傾斜角為a,則sina=《，

所以tana=±3q，故的方程為丫=±彳3*+2,

3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.

(2)設(shè)直線/和4的傾斜角分別為a、B,貝ija=2,

2

巾n33八2tana

又tan3="-，故--=tan2a=----------------，

44l-(tana)

解得tan。=3或tana=--(舍去).

3

由點(diǎn)斜式，得y?l=3(x?2),即3x?y?5=0.

舉一反三

2.直線過(guò)點(diǎn)(?3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,求直線/的方程

解析山于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,因此直線在兩軸上的截距都存在且不

過(guò)原點(diǎn)，故可設(shè)為截距式直線方程.

設(shè)直線/的方程為-+^=1，則a+b=12.①

ab

一34

又直線/過(guò)點(diǎn)(-3,4),則——+—=1②

ab

"a=9,[a=-4,

由①、②解得[或Y

b=3b=16.

故所求的直線方程為±+上=1或—+^=1,

93-416

即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

題型三與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題

【例3】直線/過(guò)點(diǎn)M(2,l),且分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，0為原點(diǎn).求當(dāng)aAOB面

積最小時(shí)，直線/的方程.

解方法一：如圖所示，直線/如果

通過(guò)一、二、三或一、三、四象限時(shí)，AAOB的面積不存在最值，因此只考慮

直線/叮x,y軸正方向相交的情況，這時(shí)斜率必為負(fù)值.

設(shè)直線/的方程為y-l=k(x-2)(k<0),

■I——]—(4+4)=4

當(dāng)且僅當(dāng)一4左=」一即1<=-工時(shí)，等號(hào)成立.

-k2

故直線的方程為y-l=-g(x-2),即x+2y-4=0.

方法二：設(shè)過(guò)P(2,1)的直線為-+^-=l(a>0,b>0),

ah

21

則—+—=1由基本不等式得

ah

2.2,2+一，即ab，8,

abab

1?11

SWAR--ab>4，當(dāng)且僅當(dāng)上=/=彳，即a=4,b=2時(shí),等號(hào)成立.

2ab2

故直線方程為t+上=1，即x+2y-4=0.

42

舉一反三

3.已知直線/過(guò)點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求

△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線/的方程.

解析方法一：設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),則直

線/的方程為二+2=1

ab

???/過(guò)點(diǎn)P(3,2),.\-+-=l,b=----，且a>3.

ab。一3

a1

從而^^OAB

22ci—3ci—3

故有

0("3'+6(a-3)+9/八9,

SMBO=------------------------------------=(〃-3)4------F6

4480a-3''a-3

>2j(a-3)-r^-I6-12

"r39

當(dāng)且僅當(dāng)a-3=，即a=6時(shí)，等號(hào)成立.

a—3

區(qū)32焉=12,此時(shí)八2x瀉6=4

0—3

故直線/的方程為二+)=1,即2x+3y-12=0.

64

方法二：依題意知，直線/的斜率存在.

設(shè)直線/的方程為y-2=k(x-3)(k<0),

2

則有A(3--,0),B(0,2-3k),

s⑻二茨⑷①-訃加+6㈣+自

>112+2=1(12+12)=12

~2

42

當(dāng)且僅當(dāng)-9k=——時(shí)，即k=--時(shí)，等號(hào)成立，

k3

故所求直線的方程為2x+3y-12=0.

方法三：如圖所示，過(guò)P分別作x軸，y軸的垂線PM,PN,垂足分別為M,N.

設(shè)0=/PAM=/BPN,則

S^AOB=SAPBN+S氏方形NPMO+APMA

=—x3x3xtan^+6+—x2x2x--

22tan。

92

=6+—tan6+----

2tan。

29

>6+2.-------tan。=12,

tan。2

292

當(dāng)且僅當(dāng)—-=-tan^，即tanO=q時(shí)，(5)=12，

tan623AOASmin

2

此時(shí)直線/的斜率為--,其方程為2x+3y-12=0.

題型四應(yīng)用問(wèn)題

【例4】(12分)為了綠化城市，擬在區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)草坪(如圖)，另外4EFA內(nèi)

部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,應(yīng)如何設(shè)

計(jì)才能使草坪面積最大？

解如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0),F(0,20),..............2'

所以線段EF的方程為

上+上=1

(04W30)4

3020

在線段EF上取點(diǎn)P(m,n),

作PQLBC于點(diǎn)Q,PRLCD于點(diǎn)R,設(shè)矩形PQCR的面積為S,則

S=|PQIIPRI=(100-m)(80-n)6'

mn<“,m

---1---=1,n=20120--/n,

又3020I303

S=(100-m)(80-20+、)

2/八218050〃、/

=-—[m-5)H------(0<m<30)

所以當(dāng)01=5時(shí),$有最大值,這時(shí)日=亞二9=5:1............10

|叫5

所以當(dāng)草坪矩形的兩邊在BC、CD±,一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成5：

1時(shí)，草坪面積最大...........................12'

舉一反三

4.美麗的呼倫貝爾大草原的一條公路旁邊，在某鎮(zhèn)北偏西60°且距該鎮(zhèn)30km處有A

村，在鎮(zhèn)東北50km處有B村，要在公路旁修一車站C,從車站C向A、B兩村修公路，

問(wèn)：車站C修在公路的什么地方，可使費(fèi)用最?。?結(jié)果保留1位小數(shù))

解析以公路為x軸，該鎮(zhèn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-15V3,15),B(25a,25叵)，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的

對(duì)稱點(diǎn)A'(-15石，-15),連接A'B交x軸于C.：x軸是線段AA'垂直平

分線，...ICAITCA'I,

由兩點(diǎn)式,得匕邛=羋吟

x-25V225v2+15V3

人c陽(yáng)-25后572+3

令y=0,得------尸=—j=——r

X-25yl25V2+3V3

.?.x=^^-(9V3+15V2-15V6-9)?-7.7

41

...車站應(yīng)修在距該鎮(zhèn)的正西方約7.7km處.

易錯(cuò)警示

【例】已知直線/過(guò)點(diǎn)P(l,2)且與以A(-2,-3),B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，求直線/的斜

率的取值范圍.

錯(cuò)解設(shè)PA與PB的傾斜角分別為。，8,

⑴kpA=tana=3^躅=tan0=-1,

則3

所以直線/的斜率k的取值范圍為-IWkW*.

3

錯(cuò)解分析不清楚傾斜角和斜率的關(guān)系，尤其是忽略了當(dāng)傾斜角為90。時(shí)，斜率不存在

這種情況.

正解設(shè)PA與PB的傾斜角分別為a,B,

kpn=tana=-,kpli=tan>9=-1,

則抬3PBp

當(dāng)直線/由PA變化到與y軸平行的位置時(shí)，它的傾斜角由a增至90°,

故斜率的取值范圍為[3,+8)：

3

當(dāng)直線/由與y軸平行的位置變化到PB的位置時(shí)，它的傾斜角由90。增至

B,此時(shí)斜率的取值范圍為.

綜上，斜率的取值范圍為(-8,-1]U[-,+8).

3

考點(diǎn)演練

10.(2009?廣東湛江)曲線y=x，2x+4在(1,3)處的切線的傾斜角為——.

解析y，=3/一)曲線在(1,3)處的切線斜率為>L=i=l，設(shè)傾

斜角為0,且0°W0<180°0=45°.

答案45°

11.一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,求此直線的方程.

解析設(shè)所求直線的方程為土+2=1.

ab

-22

丁A(-2,2)在直線上，----F—=1,①

ab

又???直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1

A-IaI-IbI=1.②

2

a-b=l,「a-b=-1,

由①②可得，(1)[或(27

ab=2,ab=-2.

a=2,a=-1,

<Y

由⑴解得〔或一

方程組(2)無(wú)解.

b=lb=-2,

故所求的直線方程為二+工=1

21

即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程.

12.設(shè)直線/的方程為(a+1)x+y+2-a=0(aGR).

(1)若/在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求/的方程；

(2)若/不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，當(dāng)然相等,；.a=2,即方程

為3x+y=0.

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，又截距存在且相等，則微距均不為0,

Q—2

:.-------=Q—2,即a+l=l,?、a=0,即方程為x+y+2=0.

。+1

(2)方法一：將的方程化為y=-(a+l)x+a-2,

二(a+l)>0,或「-(a+1)=0,

YY

Ia-2^01a-2^0

.?.aW-L

綜上可知，a的取值范圍是aW-1.

方法二：將/的方程化為(x+y+2)+a(x-l)=0(aGR).

它表示過(guò)乙：x+y+2=0與乙：x-l=0的交點(diǎn)(1,-3)的直線系(不包括x=l).由圖象可

知的斜率為-(a+l)20,即當(dāng)aW-1時(shí)，，直線/不經(jīng)過(guò)第二象限.

第二節(jié)直線的位置關(guān)系

典例分析

題型一兩條直線位置關(guān)系的判定和應(yīng)用

【例1】已知直線L:ax+2y+6=0和直線4：x+(a-l)y+a'-1=0.

(1)試判斷，與“是否平行；

(2)當(dāng)2J_，2時(shí)，求a的值.

解(1)方法一：當(dāng)a=l時(shí)，4:x+2y+6=0,"：x=0，i不平行于人

當(dāng)a=0時(shí),/,:y=-3,4：x-y-l=0」i不平行于4；

當(dāng)aWl且afO時(shí)，兩直線可化為

Z1:y—-x-3,4y-----x-(a+])

1\〃/2Q

a1

--=-------，

，2

-3工一(〃+1)

解得a=-l,

綜上可知，當(dāng)a=?l時(shí),I]〃/2，否則4與‘2不平行,

方法二：由AB2=0,得a(a?l)?lX2=0,

由AC?-42GW°，得a(?2-D-lX6W0,

a(a-l)-lX2=0,a2-a-2=0,

rr

??4〃,2㈡a

a=-

X.

-1)-1X6^0a(〃2_i)￥6

故當(dāng)a=-l時(shí)，卜〃％,否則4與%不平行?

(2)方法一：當(dāng)a=l時(shí)，乙：x+2y+6=0,l2：x=0,

4與3不垂直，故a=l不成立.

當(dāng)a#l時(shí)，I1：y=--x-3,12:y=--—x-(a+1)

21-a

.6T.112

由（z----）-------=—1=><7=—

21-6Z3

方法二：由A,A2=0，得

2

a+2(a-l)=0=>=—

舉一反三

1.已知直線ax+3y+l=0與x+(a-2)y+a=0平行,求a的值.

解析當(dāng)a-2=0或a=0時(shí)兩直線顯然不平行；

當(dāng)a?2W0且aWO時(shí).，由一二-----，得a=-l或a=3.

1a-2

o1

若a=-l,則-=--------成立，故a=-l(舍去)，則a=3.

1a-2a

2.已知直線ax-y+2a=0與(2a-1)x+ay+a=O互相垂直,求a的值.

解析由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0.

當(dāng)a=l時(shí)，兩方程為x-y+2=0與x+y+l=O,互相垂直;

當(dāng)a=0時(shí)，兩方程為y=0與x=0,互相垂直.

所以a=l或a=0即為所求.

題型二距離問(wèn)題

V2

【例2］求過(guò)點(diǎn)A(-l,2),且與原點(diǎn)的距離等于J的直線方程.

2

解???過(guò)點(diǎn)A(-l,2)且垂直于x軸的直線不滿足題意，

設(shè)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)的直線點(diǎn)斜式方程為y-2=k(x+l),

即kx-y+k+2=0.

???原點(diǎn)到直線的距離等于—,d==Y2

2TPTT2

解得k=-l或k=-7,

即所求直線方程為x+y-l=O或7x+y+5=0.

舉一反三

3.與直線2x+3y+5=0平行，且距離等于的直線方程是.

解析：所求直線與直線/0：2x+3y+5=0平行,

...可設(shè)：2x+3y+C=0,由與距離為屈，得

C-5

，4=可，解得C=18或C=-8,

V13

，所求直線/的方程為2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.

答案2x+3y+l8=0或2x+3y-8=0

題型三交點(diǎn)及直線系問(wèn)題

【例3】求經(jīng)過(guò)直線/]:3x+2y-l=0和乙：5x+2y+l=O的交點(diǎn)且垂直于直線4：3x-5y+6=0

的直線/的方程.

解方法一：由｛3x+2y-l=0,得4,。的交點(diǎn)P(4，2).

5x+2y+l=0,

35

又13的斜率砥=的斜率k=-1,

:y-2=-g(x+1),即5x+3y-l=0.

方法二：由/，乙，可設(shè)/：5x+3y+C=0.

V/,,12的交點(diǎn)可以求得為P(-l,2).

Z.5X(-1)+3X2+C=0,二C=-1,

：.l:5x+3y-l=0

方法三：過(guò)4,4的交點(diǎn)，

故設(shè)/:3x+2y-l+入(5x+2y+l)=0,

即(3+5X)x+(2+2X)y+(-l+X)=0,

之出=—*，解得A=1，代入上式整理得

2+2/135

1:5x+3y-l=0.

舉一反三

4.已知兩直線A:x+2=0,l2:4x+3y+5=0,定點(diǎn)A(-l,-2),求過(guò)4,12的交點(diǎn)

且與點(diǎn)A的距離等于1的直線/.

解析方法一：6，12的交點(diǎn)為(-2,1).

若直線/斜率存在，設(shè)所求的直線方程為y-l=k(x+2),

即kx-y+2k+1=0.①

???所求直線與點(diǎn)A(-1,-2)的距離為1,

\-k+2+2k+]\4

J——1--------[=1,得k=-，代入①，得

3

所求直線的方程為4x+3y+5=0.

若直線斜率不存在，即判斷過(guò)點(diǎn)(-2,1)且與y軸平行的直線x=-2是否

符合所求直線的條件.

?.?點(diǎn)A(-1,-2)到直線x=-2的距離為1,

直線x=-2,即x+2=0也符合直線/的要求,

故所求直線/的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.

方法二：4的交點(diǎn)為(-2,1),

過(guò)A，。交點(diǎn)的直線系方程是(x+2)+入(4x+3y+5)=0,

人是參數(shù)，化簡(jiǎn)得(1+4入)x+3入y+(2+5、)=0,②

|-lx(l+4A)+(-2)x32+(2+52)|

HI---------/=--------=],行人=0.

[1+44)2+(34)2

代入方程②，得x+2=0.

又?.?直線系方程②中不包含乙，

,應(yīng)檢驗(yàn)4是否也符合所求/的條件.

1-4-6+51

?.?點(diǎn)(-1,-2)到年的距離為?,1=1

<42+32

??」2也符合要求，

故所求直線/的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.

題型四對(duì)稱問(wèn)題

【例4】(12分)光線沿直線"：x-2y+5=0射入，遇直線/:3x-2y+7=0后反

射，求反射光線所在的直線方程.

J3x-2y+7=0,Cx=-l,

解方法一：由I得y

x-2y+5=0,y=2,

即反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,2)..............................2'

又取直線x-2y+5=0上一點(diǎn)P(-5,0),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為P(乙,汽)

2_-()

由PP'1/，可知.尸....................................4'

3x0+5

而PP'的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(也二

2

又Q點(diǎn)在/上，，3x包二^—2x九+7=0

22

%2f=_17

%+53解得,°13

聯(lián)立

332

-(xo-5)-yo+7=O

1732

即P'點(diǎn)坐標(biāo)為(----,----).............1.0.'.........

1313

1732

反射光線過(guò)M(-l,2)和P'(------,-------)

1313

根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程，可得

反射光線所在的方程為29x-2y+33=0...........................................12

方法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點(diǎn)P(%yo)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)

P'(x,y),則比>..........................................................3'

x0-x3

又PP'的中點(diǎn)。(廿①，'+)'°)在/上，

22

小可-詈+7=。

%一)'=2

x—x3

由0

x+x

3x-----0一(y+y())+7=o

2

—5x+12y-42

/=

=><13

12x+5y+28

13

.............................................................................................9

代入方程x-2y+5=0中，化筒得29x-2y+33=0,

即所求反射光線所在直線方程為29x-2y+33=0.........................12'

舉一反三

5.已知A(7,-4)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為B(-5,6),則直線/的方程是()

A.5x+6y-ll=0B.6x-5y-l=0

C.6x+5y-l1=0D.5x-6y+l=0

解析：AB的中點(diǎn)(1,1)在直線/上，

又=--，即所求直線的斜率k=g,

65

，所求直線/的方程為y-l=((x-1),即6x-5y-l=0.

答案B

易錯(cuò)警示

【例】已知一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2)且與點(diǎn)A(2,3)和B(0,-5)距離相等，求此直線的方

程.

錯(cuò)解方法一：設(shè)所求直線方程為y-2=k(x-l),

即kx-y-k+2=0,

即3—+2|_|0+5左+2|

，即Ik-l|=|k-7I,

解得k=4,.?.所求直線方程為4x-y-2=0.

方法二：由已知/〃AB,又左48=3旨=4

I:y-2=4(x-l),即4x-y-2=0.

錯(cuò)解分析方法?中忽視了斜率可能不存在的情況，方法二中忽視

了可以過(guò)AB中點(diǎn)的情況.

正解方法一：當(dāng)/斜率不存在時(shí)，直線方程為x=l,滿足條件.

當(dāng)斜率存在時(shí)，解法同錯(cuò)解中“方法一

方法二：當(dāng)/過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，直線方程為x=l.

當(dāng)/〃AB時(shí),解法同錯(cuò)解中“方法二”.

綜上，直線/的方程為x=l或4x-y-2=0.

考點(diǎn)演練

10.(2009?青島模擬)平行四邊形兩鄰邊方程是x+y+l=0和3x-y+4=0,對(duì)

角線交點(diǎn)為(3,3),則另兩邊的方程為——和——.

解析方法一：所求直線與已知直線關(guān)于(3,3)中心對(duì)稱，故方程為

(6-x)+(6-y)+l=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,HPx+y-13=0和3x-y-16=0.

方法二：所求直線與已知直線分別平行，且過(guò)已知兩直線的交點(diǎn)關(guān)于(3,3)的對(duì)稱點(diǎn).

設(shè)/[:x+y+c)=0,l2:3x-y+。2=°?兩已知直線的交點(diǎn)坐

x+y+l=0,

標(biāo)滿足J

3x-y-t4=0,

51

即z

(2923

「的對(duì)稱點(diǎn)為(二，二)

\4/(3,3)

44

將z

(2.92-3

\44

\，解得G=-13,c2=-16.

所以所求直線乙：x+y-13=0,l2:3x-y-16=0.

答案x+y-13=03x-y-l6=0

11.已知正方形的中心為直線2x?y+2=0與x+y+l=0的交點(diǎn)，正方形一邊所

在的直線方程為x+3y-5=0,求正方形的其他三邊所在的直線方程.

解析設(shè)與直線/：x+3y?5=0平行的邊所在的直線方程為

6:x+3y+c=0.

px-y+2=0,

由(得正方形的中心坐標(biāo)P(-l,0),

x+y+l=0

|-1-5||-l+c|

由點(diǎn)P到兩直線4，/的距離相等，得后手彳百

解得c=-5或c=7(-5不合題意，舍去)，

:./]:x+3y+7=0.

又??,正方形另兩邊所在直線與垂直，

???設(shè)另兩邊方程為3x-y+a=0,3x-y+b=0.

???正方形中心到四條邊的距離相等,

\-3+a\_|-1-5|

"+32,解得a=9或a=-3,

/.正方形的其他兩條邊所在的直線方程為

3x-y+9=0,3x-y-3=0.

...正方形的其他三邊所在的直線方程為

3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

12.光線從A(-3,4)點(diǎn)射出，到x軸上的B點(diǎn)后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y

軸反射，這時(shí)反射線恰好過(guò)點(diǎn)D(-1,6),求BC所在直線的方程.

解析方法一：如圖所示，依題意，B點(diǎn)在原點(diǎn)O左側(cè)，設(shè)其坐標(biāo)為(a,0),由反射角

等于入射角，得/l=N2,N3=/4,

,,kAB——^BC

4-04

又看ABE3)

-3-a

4

，即BC所在直線方程為

3+a

y='一(x-a),所以C點(diǎn)坐標(biāo)為|0,-4a

3+aIa+3

418+10〃〃“日7

y??k=-k-

?**BC2CD5**----=--------，解得a=--

3+a3+a5

代入BC的方程，得5x-2y+7=0.

方法二：A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(-3,-4),

D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'(1,6),

由光學(xué)知識(shí)知,A'、B、C,D'四點(diǎn)共線，且心

則BC所在的直線方程為5x-2y+7=0.

第三節(jié)圓的方程

典例分析

題型一求圓的方程

【例11求過(guò)兩點(diǎn)A(l,4)、B(3,2)且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)

與圓的關(guān)系.

解方法--:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-a)"+(y-/?)-=r~

?.?圓心在y=0上，Ab-O,

.?.圓的方程為+

又；該圓過(guò)A(l,4)、B(3,2)兩點(diǎn)，

22

(l-o)+16=r,a=-1,

.,/、解得《

(3-4+4”,r2=20,

故所求圓的方程為(x+1)2+>2=20

方法二：設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=O,因?yàn)閳A心在x軸上,

E

則■—=0,即E=0.

2

又該圓過(guò)A(1,4)和B(3,2),所以

D+17+F=0,D=2,

3D+13+F=0,解彳|F=-19.

，E=0,

所以圓的方程為/+;/+2x-19=0.

方法三:?.?圓過(guò)A(l,4)、B(3,2)兩點(diǎn),

???圓心C必在線段AB的垂直平分線I上，

4-2

又：kAB=——=-1，，/的斜率為L(zhǎng)

AB1-3

又AB的中點(diǎn)為(2,3),

故AB的垂直平分線的方程為y-3=x-2,

即x-y+1=0.

又知圓心在直線y=0上，，圓心坐標(biāo)為C(-l,0).

半徑r=IACI=J(l+l)2+42-=V20

J2

即所求圓的方程為(x*1)一+丁=201

又點(diǎn)P(2,4)到圓心C(-1,0)的距離為

d=IPCI=J(3+I)+4-=5>r,

所以點(diǎn)P在圓

舉一反三

1.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.

解析：圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在x=4上，又圓心在2x-y-

3=0上，.?.圓心為(4,5),可設(shè)圓的方程為(X—4)2+(>—5)2=產(chǎn)，又

圓過(guò)B(3,2),即(3—4)0(2—5)匕/，，產(chǎn)=]0,

圓的方程為(x—4)2+(y—5)2=10

題型二與圓有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題

【例2】(2009?威海模擬)已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2^0

解若F+y2+ax+2y+a2=。表示圓，則應(yīng)滿足

a2+4-4a2>0,B|J4-3a2>0,①

又點(diǎn)A應(yīng)在圓外，WiJl2+22+a+2x2+6!2>0

即<72+a+9>0,②

由①②得一空<a<正

(262⑺

故a的取值范圍是

要使過(guò)定點(diǎn)A(1,2)的圓的切線有兩條.求a的取值范圍.

舉一反三

2.已知圓的方程/+》2+分+2>+/=0，要使圓的半徑不大于且過(guò)定點(diǎn)

A(1,2)的圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

a2>1,

4-3a2>0,

a2+a+9>0,

所以a的取值范圍為(-——,-l]U[l,—).

33

題型三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

【例3】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程—+>2-4X+1=O.

(1)求上的最大值和最小值；

X

(2)求y?x的最大值和最小值；

(3)求V+y2的最大值和最小值.

解原方程可化為(工一2『+產(chǎn)=3,表示以(2,0)為圓心，6為半徑的圓.

(1)-的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)工=工即丫=1?.

XX

當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)、什。=6

(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱

截距b取得最大值或最小值，此時(shí)上譽(yù)1=百，解得b=-2土后.如圖2,所

V2

以y-x的最大值為-2+V6,最小值為-2-V6.

(3)x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)

與圓心的連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值，如圖3.

27

又圓心到的原點(diǎn)的距離為A/(2-0)+(0^0)^2

所以，/+/的最大值為(^+6)2=7+4百

/+V的最小值為(2-6『=7—46

舉一反三

3.已知圓C：(x—3)，(y—4)2=1,點(diǎn)A(-1,O),B(1,O),點(diǎn)P為圓上的動(dòng)

點(diǎn)，求d=|PA『+|PB的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)

解析設(shè)尸(%,%)

22

則d=\PAf+|P8-=(x°+1)+年+(x0-l)+媼

=2(/2+4)+2

22

欲求d的最值，只需求3=x0+y0的最值，即求圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平

方的最值，故過(guò)原點(diǎn)O與圓心C的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)耳,巴即為所求.

設(shè)過(guò)0,C兩點(diǎn)的直線交圓C于鳥兩點(diǎn),

則必加=（|℃卜1）2=16=|。周2

此時(shí)4血=2x16+2=34,“1216

T'T

練”=（|。。|+1丫=36=|。國(guó)2

此時(shí)d111aX=2x36+2=74,6傳圖

題型四與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的聶跡間毓

【例4】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+疔+)2=4上

運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，且B（4,3）,

_x0+4

<2f

、，一%+3fxo=2x-4

所以P=2，所以3①

又點(diǎn)A在圓（x+l『+y2=4上運(yùn)動(dòng)，

所以（%+1）2+靖=4②

把①代入②，得(2x-4+iy+(2y-3)2=4

整理得口一目+［得）=1-

（33、

所以點(diǎn)M的軌跡是以一,一為圓心，半徑為1的圓.

、22）

舉一反三

4.已知圓f+y2=4上一定點(diǎn)A（2,0）,P為圓上的動(dòng)點(diǎn).求線段AP中點(diǎn)

的軌跡方程.

解析設(shè)AP中點(diǎn)為M（x,y）,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-2,2y）.

：P點(diǎn)在圓/+y2=4±,Z.（2x-2）2+（2y）2=4

故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x—l『+y2=1

題型五圓的方程的實(shí)際應(yīng)用

【例5】（12分）在氣象臺(tái)A正西方向300千米處有一臺(tái)風(fēng)中心B,它以每小時(shí)40千米的

速度向東北方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心250千米以內(nèi)的地方都要受其影響，問(wèn)：從現(xiàn)在起，

大約多長(zhǎng)時(shí)間后，氣象臺(tái)A所在地將受臺(tái)風(fēng)影響？持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？

解以氣象臺(tái)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閄軸正方向，

正北方向?yàn)閥軸正方向建立直角坐標(biāo)系，

如圖，則現(xiàn)在臺(tái)風(fēng)中心B的坐標(biāo)為(-300,0).

根據(jù)題意可知,t小時(shí)后B的坐標(biāo)為

(-300+40tcos45°,40tsin45°),

即(-300+200t,20V2t).......................3'

因?yàn)橐耘_(tái)風(fēng)中心為圓心，以250千米為半徑長(zhǎng)的圓上和圓內(nèi)的區(qū)域?qū)⒃馐芘_(tái)風(fēng)影響，所

以氣象臺(tái)A在圓上或圓內(nèi)時(shí)，將受臺(tái)風(fēng)影響，所以令I(lǐng)ABI

W250,即(-300+20"『+(20"『42502...................6,

整理得16j-120V2t+275W0,..........................8'

解得15后一5%/5員56..............................。

44

舉一反三

5.有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之購(gòu)得商品

后運(yùn)回的費(fèi)用是：A地每公里的運(yùn)費(fèi)是B地每公里運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A、B兩地距離為

10公里，顧客選擇A地或B地購(gòu)買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求P

地居民選擇A地或B地購(gòu)貨總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在的曲線方程，并指出曲線上、曲

線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)物地點(diǎn).

解析如圖，以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直

角坐標(biāo)系，IABI=10,

.,.A(-5,0),B(5,0),

設(shè)P(x,y).P到A、B兩地購(gòu)物的運(yùn)費(fèi)分別是3a、a(元/公里).

當(dāng)由P地到A、B兩地購(gòu)物費(fèi)用相等時(shí)，即

價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)=價(jià)格+B地運(yùn)費(fèi)，

3a.J(x+5y+)j；遍-X-"彳J5?

化簡(jiǎn)整理，得【4'1‘J

故大約2小時(shí)后，氣象臺(tái)A所在地將遭受臺(tái)風(fēng)影晌，大約持續(xù)6個(gè)半小

時(shí)..................................................12'

(1)當(dāng)P點(diǎn)在以,0)為圓心，?15為半徑的圓上時(shí)，居民到A地或B地購(gòu)

4

貨總費(fèi)用相等，故此時(shí)到A地或B地購(gòu)物均可.

(2)當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，

[9(x+5)2+9y2-(x-5)2+y2

3加+5『+>2>J(x_5j+y2.

故此時(shí)到A地購(gòu)物合算.

(3)當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，

[9(x+5)2+9y2-(x-5)2+y2

3.J(x+5)2+y2>^(x-5)2+y2.

故此時(shí)到B地購(gòu)物合算

考點(diǎn)演練

10.過(guò)直線2x+y+4=0和圓/+),2+2x-4y+l=0的交點(diǎn)且面積最小的圓的方

程是——.

解析因?yàn)橥ㄟ^(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的動(dòng)圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，于是

解方程組

I2x+y+4=0,

［尤2+J+2x-4y+l=0,

得交點(diǎn)A晝,|）

,B(-3,2).

因?yàn)锳B為直徑，則其中點(diǎn)為圓心，即為

=|M=|V5

所以圓的方程為

答案"同

11.已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線廷2x上，其中0為坐標(biāo)原

點(diǎn)，設(shè)圓C是AOAB的外接圓（點(diǎn)C為圓心），求圓的方程.

解析方法一:設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為

由題設(shè)知

解得弘2=%2=12

所以A（6,2V3）,B（6,-2V3）^A（6,-2行）,B（6,26）.

2

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r,0），則r=—X6=4.

3

因此，圓C的方程為（x—4）2+y2=]6

方法二：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（斗，必）,（々,力）

由題設(shè)知X：+y：=X：+%2.又yj=2/，=2X2

22

所以x）+2x,=x2+2X2，即（為一4）（玉+Z+2）=0

由X]>0,>0，可知x]=X2，

故A、B兩點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱，所以圓心C在X軸上.

設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（r,0）,則A點(diǎn)坐標(biāo)為一八二一〃,

22

\7

于是有（殍r]=2x|r，解得=4,

所以圓C的方程為（x-4）2+：/=16

12.（創(chuàng)新題）設(shè)定點(diǎn)M（-3,4）,動(dòng)點(diǎn)N在圓V+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、

ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡.

解析如圖所示，設(shè)P（x,y）,N（x0,y。）則線段OP的中

點(diǎn)坐標(biāo)為仁,2，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（直針,.

x=x°_3y=>o+4

，從而<

2-2'2-2

汽=y-4.

N(x+3,y-4)在圓上，故(x+3)~+(y-4y=4

因此所求軌跡為圓(x+3『+(y—4)2=4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)：

(點(diǎn)P在0M所在直線上時(shí)的情況).

第四節(jié)直線與圓的位置關(guān)系

典例分析

題型一直線與圓的位置關(guān)系

【例1】已知圓/+)3-6mx-2(m-l)y+10〃22-2m-24=0(mR).

(1)求證：不論m為何值，圓心在同一直線/上；

(2)與/平行的直線中，哪些與圓分別相交、相切、相離.

解⑴證明：配方得(x—3機(jī)y+[y—(吁1)丁=25

Cx=3m,

設(shè)圓心為(x,y)/lj[消去m,得/：x-3y-3=0,

y=m-l,

則不論m為何值，圓心恒在直線/:x-3y-3=0±.

(2)設(shè)與平行的直線是4:x-3y+b=0.

則圓心到直線4的距離mW『二嘿

?.?圓的半徑為r=5,

.?.當(dāng)d<r,即-5J15-3Vb<5J1U-3時(shí)，直線與圓相交;

當(dāng)d=i?，即b=±5J16-3時(shí),直線與圓相切;

當(dāng)d>r,即b<-5jlU-3或b>5廂-3時(shí)，直線與圓相離.

舉一反三

1.(2009?啟東調(diào)研)已知圓C：(x+1)~+(y—2y=6，直線/:mx-y+l-m=0.

(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C恒交于兩點(diǎn);

(2)求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)/的方程.

解析(1)證明：I:m