315358652022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義微專題3：對(duì)勾函數(shù)的變式與應(yīng)用（學(xué)生版 教師版）

【學(xué)生版】微專題：對(duì)勾函數(shù)的變式與應(yīng)用1、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像對(duì)勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對(duì)號(hào)函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對(duì)勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對(duì)勾函數(shù)，當(dāng)時(shí),對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù)；（1）當(dāng)同號(hào)時(shí),對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對(duì)勾函數(shù)”；如下圖所示：（2）當(dāng)異號(hào)時(shí),對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：2、對(duì)勾函數(shù)的變式變式1、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：變式2、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：變式3、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：變式4、函數(shù)此類函數(shù)可變形為：變式5、函數(shù)此類函數(shù)可變形為：變式6、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：變式7、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：3、對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用例1、求函數(shù)在下列條件下的值域：（1）；（2）【提示】；【解析】；【說明】；例2、求下列函數(shù)在的值域：（1）；（2）；（3）；【提示】；【解析】；【說明】；例3、求函數(shù)的值域；【答案】；【解析】；例4、求函數(shù)的最小值?！敬鸢浮?；【解析】；例5、已知,求函數(shù)的最小值.【答案】；【解析】；【練習(xí)】1、若.求的最小值.2、若.求的值域.3、求函數(shù)的最小值.4、求函數(shù)的值域.【教師版】微專題：對(duì)勾函數(shù)的變式與應(yīng)用1、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像對(duì)勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對(duì)號(hào)函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對(duì)勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對(duì)勾函數(shù)，當(dāng)時(shí),對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù)；（1）當(dāng)同號(hào)時(shí),對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對(duì)勾函數(shù)”；如下圖所示：（2）當(dāng)異號(hào)時(shí),對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：2、對(duì)勾函數(shù)的變式變式1、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：，則可由對(duì)勾函數(shù)上下平移得到；變式2、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：,則可由對(duì)勾函數(shù)左右平移,上下平移得到；變式3、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：；變式4、函數(shù)此類函數(shù)可變形為：,則可由對(duì)勾函數(shù)左右平移，上下平移得到；變式5、函數(shù)此類函數(shù)可變形為：；變式6、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：；變式7、函數(shù)；此類函數(shù)可變形為：；3、對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用例1、求函數(shù)在下列條件下的值域：（1）；（2）【提示】將原函數(shù)，變形為：轉(zhuǎn)化為“對(duì)勾函數(shù)”；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由均值不等式，有，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取到等號(hào)當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取到等號(hào)；所以函數(shù)的值域?yàn)椋海?）在范圍內(nèi)，時(shí)，函數(shù)取得最小值，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以，時(shí)，，所以，值域?yàn)椋?；【說明】本題說明了利用基本不等式與“對(duì)勾函數(shù)”求函數(shù)值域的聯(lián)系與注意事項(xiàng)；例2、求下列函數(shù)在的值域：（1）；（2）；（3）；【提示】利用代數(shù)變換轉(zhuǎn)化為“對(duì)勾函數(shù)”形式；【解析】（1）由已知，變形得，因?yàn)椋?；所以，，所以，；所以值域?yàn)椋海唬?）由已知，變形得，因?yàn)?，，所以，，所以值域?yàn)椋海唬?），所以值域?yàn)椋?；【說明】解答本系列題的關(guān)鍵時(shí)：識(shí)別、轉(zhuǎn)化出“對(duì)勾函數(shù)”，然后，分解解之；例3、求函數(shù)的值域；【答案】【解析】,因?yàn)?當(dāng)，即時(shí)，“=”成立；所以，所以的值域?yàn)槔?、求函數(shù)的最小值?！敬鸢浮俊窘馕觥?，而,在定義域?yàn)閲?yán)格單調(diào)遞增，所以函數(shù)在，即處取得最小值為：；例5、已知,求函數(shù)的最小值.【答案】2；【解析】，令，則當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，；【練習(xí)】1、若.求的最小值.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),,所以的最小值為；2、若.求的值域.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故函數(shù)值