很好用的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合。

(2)元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。

2、常用數(shù)集及其表示方法

(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負(fù)整數(shù)的集合。記作N

(2)正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N,

(3)整數(shù)集：全體整數(shù)的集合。記作Z

(4)有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合。記作Q

(5)實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合。記作R

注意：(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說(shuō)，自然數(shù)集包括數(shù)0。

(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N.。Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣

表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*

3、元素對(duì)于集合的隸屬關(guān)系

(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A,記作adA

(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A,記作aeA

4、集合中元素的特性

(1)確定性：設(shè)"是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是4的元素，或者不是力

的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；

(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，同

一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；

(3)無(wú)序性：集合中不同的元素之間沒(méi)有地位差異，集合不同于元素的排列順序無(wú)關(guān)。

注意：1、集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“G”的開(kāi)口方向，不能把a(bǔ)GA顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě).

5、集合的表示方法

1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。

2、描述法：用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條件寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集

合的方法。

格式：{xWA：P(x)},含義：在集合A中滿(mǎn)足條件P(x)的x的集合。

3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合的方法。

6、有限集與無(wú)限集

1、有限集：含有有限個(gè)元素的集合。

2、無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。記作0,如：{%€/?|—+1=0}

7、集合的包含關(guān)系：

⑴集合4的任何一個(gè)元素都是集合6的元素，則稱(chēng)力是6的子集(或6包含1),記作4口6(或

Au3)；

集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若力78且月二月，則稱(chēng)1等于8記作/二員若

力q〃且力齊氏則稱(chēng)4是6的真子集，記作

⑵簡(jiǎn)單性質(zhì)：1)41小

2)0口小

3)若仁E,則

4)若集合4是n個(gè)元素的集合，則集合4有2”個(gè)子集(其中2"—1個(gè)真子集);

所有非空真子集的個(gè)數(shù)是2"-2。

8、全集與補(bǔ)集：

(1)包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱(chēng)為全集，記作U；

(2)若S是一個(gè)集合，A^S,貝ij,。5=｛幻］€5且/仁川稱(chēng)$中子集4的補(bǔ)集；

(3)簡(jiǎn)單性質(zhì)：1)CS(CSA)=J；2)CsS=0,Cs0=So

9、交集與并集：

⑴交集：一般地，由屬于集合力且屬于集合占的元素所組成的集合，叫做集合力與6的交集。

交集AcB=｛x|xeASJCeB｝。

⑵并集：一般地，由所有屬于集合/或?qū)儆诩?的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合｛與6的并

集。并=｛x|xe8｝。

⑶補(bǔ)集：若A口/,則GA=｛布e/,且x史A｝稱(chēng)為/在/中的補(bǔ)集。

⑷差集：=A?｝o

⑸集合｛也<x<eR,。<8｝記作開(kāi)區(qū)間(a,b),

集合｛也<x<b,xeR,a<b｝記作閉區(qū)間［a,b］,R記作(-。。,+8).

⑹用文氏圖表示交集、并集、補(bǔ)集有關(guān)關(guān)系，如果A=U,BcU,利用文氏圖表示下面關(guān)系:

G(AnB)=(GA)U(CuB)

AflUaans)CtutC?B(GA)U(CM

Cv(AUB)=(C,.A)C(CiB)

AUBCvCAUB)04CsB(QAintCtfi)

注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵

是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題

設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。

10、集合的簡(jiǎn)單性質(zhì)：

(1)AcA=A,Ac①=<!>,AcB=8cA;

(2)=A,B=BA;

(3)(AnB)a(AuB);

(4)AB<^>A^\B=A;AB<^>A<JB=B；

(5)Cs(AOS')=(C5/f)U(C$8),CsTU8)=(CSA)P(CsB)。

定理1集合的性質(zhì)：對(duì)任意集合4B,C,有：

(1)An(6Uc)=(AnB)u(Anc)；(2)AU(6nc)=(AU8)n(Auc)；

(3)Cf7AUCf；fi=C￡/(AnB);(4)ClJA^Cl,B=Cu{A\^B).

定理2加法原理：做一件事有〃類(lèi)辦法，第一類(lèi)辦法中有g(shù)種不同的方法，第二類(lèi)辦法中有機(jī)2種

不同的方法，…，第〃類(lèi)辦法中有叫，種不同的方法，那么完成這件事一共有

N=㈣+加2H---1■加〃種不同的方法。

定理3乘法原理：做一件事分〃個(gè)步驟，第一步有犯種不同的方法，第二步有機(jī)2種不同的方

法，…，第〃步有機(jī)“種不同的方法，那么完成這件事一共有Nu/n,?”...加“種不同

的方法。

定理4容斥原理；用同表示集合1的元素個(gè)數(shù)，則|AUG=M+同一|an耳

|4118110=網(wǎng)+同+|0—|40目一k0。一忸0。+|4030。，需要燈此結(jié)論可以

推廣到〃個(gè)集合的情況，即

=-n_|

XUA2L|A|XIA-nAjI+zIA,,nA.nAk|—+(-i)P|A.

i=\i=\i豐jIWivjvk"i=l

定義8集合的劃分：若AUAU---UA,=/，且A=0(i<zj<n,/^j),則這些子集

2AA7

的全集叫/的一個(gè)〃-劃分。

定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。

定理6抽屜原理：將根〃+1個(gè)元素放入個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于，77+1個(gè)元素，

也必有一個(gè)抽屜放有不多于加個(gè)元素；將無(wú)窮多個(gè)元素放入n個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無(wú)

窮多個(gè)元素。

11、含有絕對(duì)值不等式的解法:

⑴國(guó)<a(a>0)的解集為一a<x<a；

(2)|A)>?(?>0)的解集為x>a或x<-a

⑶何+4<c(c>0)化為｛x|-c<ax+b<c｝來(lái)解：

>c(c>0)｛x|ax+b>c或ax+8<-c｝來(lái)解

⑷本節(jié)的重點(diǎn)是對(duì)|ax+bI<c(c>0)轉(zhuǎn)化成-c<ax+b〈c與Iax+bI>c(c>0)轉(zhuǎn)化成ax+b>c

或ax+b<-c的理解.若cGR,則對(duì)c要進(jìn)行討論.若用不等式兩邊平方方法化解含絕對(duì)值的符

號(hào)，則既要討論實(shí)數(shù)c的取值情況，又要對(duì)取值范圍進(jìn)行檢驗(yàn).在應(yīng)用集合的概念解這類(lèi)不等

式的過(guò)程中，要注意不等式組的解集中，對(duì)不等式端點(diǎn)值的取舍情況.

⑸解含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)，使不等式變?yōu)椴缓^對(duì)值符號(hào)的

一般不等式，而后，其解法就與解一般不等式或不等式組相同.

⑹解含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基本方法如下：

若數(shù)X?X2,……,x”分別使含有|x-x"、|x-xzI……,|x-x?I的代數(shù)式中相應(yīng)的一

個(gè)絕對(duì)值為零，則稱(chēng)Xi,X2,……,Xn為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn),零點(diǎn)X|,X2……，X”將數(shù)軸分成n+1

段，利用絕對(duì)值定義去絕對(duì)值符號(hào)，從而得到代數(shù)式的各段上的簡(jiǎn)化式，這種“零點(diǎn)分段法”

化去絕對(duì)值符號(hào)的方法，是解決有關(guān)問(wèn)題的簡(jiǎn)捷而有效的方法.

解這類(lèi)絕對(duì)值符號(hào)里是一次式的不等式，其一般步驟是：

(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為零，并求出相應(yīng)的根：

(2)把這些根由小到大排序并把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；

(3)由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出它們的解集；

(4)取這些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.

12、邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”、“且”、“非”

不含邏輯“聯(lián)”結(jié)詞的命題，叫做簡(jiǎn)單命題。

由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題，叫做復(fù)合命題.

一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題。和命題。聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作

讀作“P且g”.規(guī)定：當(dāng)p、g都是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)。、<?兩個(gè)命題中有一個(gè)是假

命題時(shí)，「A"是假命題.全真為真，有假即假.

一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或"把命題0和命題g聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作：pvq,

讀作：。或規(guī)定：當(dāng)。、。兩個(gè)命題中有一個(gè)是真命題時(shí)，pvq是真命題；當(dāng)p、g都是假

命題時(shí)，pvq是假命題.全假為假，有真即真.

一般地，對(duì)一個(gè)命題o全盤(pán)否定，就得到一個(gè)新命題，記作：「0,讀作“非P”或"P的

否定若。是真命題，則必是假命題；若P是假命題，則r，必是真命題.

復(fù)合命題形式表示含義與集合運(yùn)算的聯(lián)系

q或Pq與p中至少有一個(gè)發(fā)生AUB={x|xGA,或xWB}

p且qq與P同時(shí)發(fā)生AAB={xIx￡A,且xEB}

非P否定PCvP={xIx任P,x￡U}

“非”命題最常見(jiàn)的幾個(gè)正面詞語(yǔ)的否定:

正面詞語(yǔ)至多有一個(gè)至少有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)任意兩個(gè)

否定至少有兩個(gè)一個(gè)也沒(méi)有某個(gè)某些至少有n+1個(gè)某兩個(gè)

原命題：若P則q；逆命題：若q則P;

否命題：若「P則「q；逆否命題：若「q則「p.

四種命題的真假關(guān)系

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系:

①原命題為真，它的逆命題不一定為真

②原命題為真，它的否命題不一定為真

③原命題為真，它的逆否命題一定為真

原命題假假真真

逆命題假真假真

否命題假真假真

逆否命題假假真真

反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面(非A)是錯(cuò)誤

的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命

題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法

反證法的步驟：

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立

(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確

注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明

過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論

14、充分必要條件：

對(duì)于命題“若P則q"，即P是條件，q為結(jié)論.

(1)如果已知P=>q,我們就說(shuō)P是q的充分條件，q是P的必要條件.

(2)如果既有p=>q,又有q=>p,就記作pOq.這時(shí)，p既是q的充分條件，又是q的必

要條件，我們就說(shuō)P是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.

15、一元二次不等式解法

一元二次不等式ax2+"c+c>0（或a?+c<0）（a工0）的代數(shù)解法:

設(shè)一元二次不等式加+bx+c>Q（"0）相應(yīng)的方程加+/zx+c=0（"0）的兩根為

2

xPx2JE%1<x2,則ax+/?x+c>0otz(x-Xj)(x-x2)>0：

<0,x-X]>0,X<X|,x>x,

①若a>0,則得或《=>V或〈t

x-x2<0,x-x2>0.x<x2,x>x2.

當(dāng)王<“2時(shí)，得或X>%2；當(dāng)玉=%2時(shí)，得且

X-X)<0,x-x]<0,X<X,,?x<x,,

②若。<0,則得<或〈n或，

x-x2>0,x-x2>0.x>x2,[x>x2.

當(dāng)X]V尤2時(shí)，得王<光<%2；當(dāng)王=人2時(shí)，得X￡0.

列表法，解題步驟是：

①將不等式化為（X-X1）（X-X2）…（X-Xn）>o（<o）形式（各項(xiàng)X的符號(hào)化"+令（X-X1）（X-X2）…

（x-Xn）=0,求出各根，不妨稱(chēng)之為分界點(diǎn)，一個(gè)分界點(diǎn)把（實(shí)數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n個(gè)分

界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分……；

②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對(duì)應(yīng)較小根的

因式開(kāi)始依次自上而下排列）；

③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào)，下面是乘積的符號(hào)；

④看下面積的符號(hào)寫(xiě)出不等式的解集.

根軸法：可大致畫(huà)出函數(shù)圖形求解，稱(chēng)之為根軸法（零點(diǎn)分段法）

①將不等式化為《^）&^>??&-右）>0（<0）形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；（為了統(tǒng)一方

便）

②求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；

③由右上方穿線，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”，

則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

注意：奇過(guò)偶不過(guò)

分式不等式的解法：解法是：移項(xiàng)，通分，右邊化為0,左邊化為垂。的形式.也可以直

g（x）

接用根軸法（零點(diǎn)分段法）求解

由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù),

不等號(hào)方向要變；分母中有未知數(shù)X,不等式兩邊同乘以一個(gè)含X的式子，它的正負(fù)不知，不

等號(hào)方向無(wú)法確定，無(wú)從解起，若討論分母的正負(fù)，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不

等式，切忌去分母.

第二章函數(shù)

1.映射：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則了,對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素,

在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對(duì)

應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A-B。

集合A到集合B的映射有兩種形式：(1)一一對(duì)應(yīng)；(2)多對(duì)一；“注意一對(duì)多則不是映射?！?/p>

給定一個(gè)集合A到B的映射，且aWA,bCB,如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把

元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

一一映射：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，/：AfB是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射

下，對(duì)于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個(gè)元素都有原象，

那么這個(gè)映射叫做A到B上的一一映射。

2、函數(shù)：如果A、B都是非空數(shù)集，那么A到B的映射f：A-B就叫做A到B的函數(shù)。記作y=/(x)。

其中xGA,yGB。原象的集合A叫做函數(shù)丁=/(x)的定義域，象的集合C(CB)叫做

函數(shù)y=/(x)的值域。

函數(shù)的表示方法有三種：(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法。

閉區(qū)間［a,b］,開(kāi)區(qū)間(a,b),半開(kāi)閉區(qū)間(a,b］、［a,b)的含義。

3.反函數(shù)

⑴定義：只有滿(mǎn)足,函數(shù)y=_/(%)才有反函數(shù).例如：y=f無(wú)反函數(shù).函數(shù)

y=/(x)的反函數(shù)記為％=/T(y),習(xí)慣上記為y=/T(x).

⑵.求反函數(shù)的步驟:

①將y=/(x)看成關(guān)于X的方程，解出％=若有兩解，要注意解的選擇；

②將互換，^y=f-'(x)；

③寫(xiě)出反函數(shù)的定義域(即y=/(x)的值域)。

⑶.在同一坐標(biāo)系，函數(shù)y=/(x)與它的反函數(shù)y=/7。)的圖象關(guān)于)，=X對(duì)稱(chēng).

⑷-一般地，如果函數(shù)y=/(x)有反函數(shù)，且/3)=匕，那么/'T(b)=a.這就是說(shuō)點(diǎn)(a,。)

在函數(shù)＞=/(%)圖象上，那么點(diǎn)(仇。)在函數(shù)y=/T(x)的圖象上.

注：1、函數(shù)/Xx)的反函數(shù)尸(x)的性質(zhì)與/Xx)性質(zhì)緊密相連，如定義域、值域互換，具有相

同的單調(diào)性等，把反函數(shù)/(x)的問(wèn)題化歸為函數(shù)f(x)的問(wèn)題是處理反函數(shù)問(wèn)題的重要

思想。

2、設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,則①/［f(x)］=x,(xA)②式尸(舊］=禺(xC)

4、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=/(x)在這

一區(qū)間具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間。

增函數(shù)：如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值玉,當(dāng)，當(dāng)當(dāng)</時(shí)，

都有fM</(々)，那么就說(shuō)/(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。

減函數(shù)：如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值玉,修，當(dāng)為</時(shí)，都有

/(x()>/(x2),那么就說(shuō)/(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：

①定義法(作差比較和作商比較)；

②圖象法；

③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì))；

④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則；

⑤導(dǎo)數(shù)法(適用于多項(xiàng)式函數(shù))

5、奇偶性：條件：定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如果對(duì)于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有

/(-%)=/(x),那么函數(shù)/(x)就叫做偶函數(shù)。如果對(duì)于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X

都有/(—x)=—/(x),那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)。

如果函數(shù)/(X)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)/(X)具有奇偶性。

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

⑴偶函數(shù)：f(—x)=/(x).設(shè)(。力)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(一。力)也是圖象上一點(diǎn).

⑵奇函數(shù)：/(—x)=—/(%).設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則也是圖象上一點(diǎn).

注：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時(shí)，應(yīng)在化簡(jiǎn)解析

式后進(jìn)行，同時(shí)靈活運(yùn)用定義域的變形，如/(-x)±/(x)=O,勺?=±1(/(670)。

.M

6、對(duì)稱(chēng)性：

⑴兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)性

1、y=/(x)與y=_/(x)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)。

換種說(shuō)法：丁=/(刈與)=8(幻若滿(mǎn)足了(為=-8(?，即它們關(guān)于y=0對(duì)稱(chēng)。

2,丁=/(")與^=/(一”)關(guān)于丫軸對(duì)稱(chēng)。

換種說(shuō)法：丁=/(為與y=8(%)若滿(mǎn)足/(%)=8(—幻，即它們關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)。

3、丁=/(幻與丁=/(2。一劃關(guān)于直線1=。對(duì)稱(chēng)。

換種說(shuō)法：^=/。)與^=8(處若滿(mǎn)足/。)=8(2?！?，即它們關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)。

4、y=/(x)與y=2a—/(x)關(guān)于直線y=a對(duì)稱(chēng)。

換種說(shuō)法：丁=/(冷與丁=8(幻若滿(mǎn)足/(幻+8(幻=2。，即它們關(guān)于y=a對(duì)稱(chēng)。

5、y=f(x)與y=2Z>-，(2a—x)關(guān)于點(diǎn)(a,Z?)對(duì)稱(chēng)。

換種說(shuō)法：丁=/(%)與丁=8(%)若滿(mǎn)足了(幻+8(2。一%)=2>，即它們關(guān)于點(diǎn)(。力)對(duì)

稱(chēng)。

6、y=/(a—幻與y=(x—。)關(guān)于直線x=09對(duì)稱(chēng)。

⑵單個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

性質(zhì)1：函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足，(“+x)=/(6-x)時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=3把對(duì)稱(chēng)。

2

性質(zhì)2：函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足/3+x)+fS—x)=c?時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(區(qū)也，-)

22

對(duì)稱(chēng)。

性質(zhì)3：函數(shù)y=/(a+x)的圖象與丫=/(。-幻的圖象關(guān)于直線x=2二0對(duì)稱(chēng)。

2

7、周期性

1、一般地，對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都

有/(x+T)=/(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

說(shuō)明：周期函數(shù)定義域必是無(wú)界的。

推廣：若/(x+a)=/(x+份，則是周期函數(shù)，—a是它的一個(gè)周期

2、若T是周期，則左T(左聲O/eZ)也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所

說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小正周期。

說(shuō)明：周期函數(shù)并非都有最小正周期。如常函數(shù)/(x)=C；

3、對(duì)于非零常數(shù)A,若函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足/(x+A)=—/(x),則函數(shù)y=f(x)必有一個(gè)周期

為2A。

4、對(duì)于非零常數(shù)A,函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足f(x+A)=—,則函數(shù)y=/(x)的一個(gè)周期為2A。

/(x)

5、對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足/(x+A)=-——，則函數(shù)y=/(x)的一個(gè)周期為2A。

/(?V)

6、對(duì)于非零常數(shù)A,函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足/(x+4)J':⑴或/(x+4)=?/⑴則函數(shù)

21-/(%)2l+/(x)

y=.f(x)的一個(gè)周期為2A。

7、已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镹,且對(duì)任意正整數(shù)x都有/。)=/(1+。)+/(工一。)(。#。)則

函數(shù)的一個(gè)周期為6a

8、對(duì)稱(chēng)性和周期性之間的聯(lián)系

性質(zhì)1：函數(shù)y=/(x)滿(mǎn)足,f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)(a^b),則函數(shù)y=/(x)是

周期函數(shù)。

性質(zhì)2：函數(shù)》="￥)滿(mǎn)足/>(〃+力+/(?-/=(和/(6+工)+/(6-％)=，34。)時(shí),函數(shù)

y=/(x)是周期函數(shù)。(函數(shù)y=f(x)圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(a,￡)、(b,-)時(shí)，函數(shù)

22

y=/(x)是周期函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個(gè)周期)

性質(zhì)3：函數(shù)y=/(x)有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(a,c)和一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸x=〃(a￥6)時(shí)，該函數(shù)也是周

期函數(shù)，且一個(gè)周期是4(。-公。

推論：若定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(d0)(。力加對(duì)稱(chēng)，則/(九)是周

期函數(shù)，4(6-a)是它的一個(gè)周期

性質(zhì)4：若函數(shù)/(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿(mǎn)足：./1(x+a)=/(x—a),則2。為函數(shù)/(無(wú))的周

期。(若/(x)滿(mǎn)足/(x+a)=/(a—x)則/(x)的圖象以x=a為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，應(yīng)注意

二者的區(qū)別)

性質(zhì)5：已知函數(shù)y=/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有/(a+x)+/(x)=b,則y=/(x)是以2a為

周期的函數(shù)

9、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)：

指數(shù)運(yùn)算法則：

⑴同底數(shù)塞乘法法則：同底數(shù)的累相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即優(yōu)

⑵幕的乘方法則：塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(""1=優(yōu)'"

⑶積的乘方法則：.積的乘方等于積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的寨相乘，即(a8)"="Z"。

⑷同底數(shù)幕的除法法則：同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即=a"i'(a°=l)。

⑸商的乘方法則：.商的乘方等于除數(shù)與被除數(shù)分別乘方，再把所得的基相除，

\bJb

指數(shù)函數(shù)：一般的，函數(shù)y=a"(〃〉()，且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的

定義域?yàn)橛?

y=ax(>1)y=a*(0vq<1)

象；當(dāng)。<()時(shí)，將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移|a|個(gè)單位，得到y(tǒng)=/(x+a)的圖象。

圖象1恃征函數(shù)性質(zhì)

a>10<a<la>l0<a<l

向X軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

圖象關(guān)于原點(diǎn)和了軸不對(duì)稱(chēng)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在龍軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽'

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)a°=l

自左向右，自左向右，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐漸上升圖象逐漸下降

在第一象限內(nèi)的圖在第一象限內(nèi)的圖

x>0,ax>lx>0,優(yōu)VI

象縱坐標(biāo)都大于1象縱坐標(biāo)都小于1

在第二象限內(nèi)的圖在第二象限內(nèi)的圖

x<0,ax<lx<0,ax>l

象縱坐標(biāo)都小于1象縱坐標(biāo)都大于1

利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:

⑴在［a向上,/(x)=優(yōu)(a>0且aW1)值域是［/(?),/(?)］;

(2)若xW0,貝如(x)。1"(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)xeR;

(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù)/(x)=a'(a>0且aWl),總有/(0)=1,./?⑴=a;

(4)當(dāng)a>l時(shí)，若王<工2,則/(%)</(9);

10、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a〉0,a1,J/>0,N>0,則

(1)\oga(MN)=log?M+log?N；

(2)log?果=log?M-log?N；

n

(3)log”M=7ilogf/M(〃￡R)

①對(duì)數(shù)的換底公式log,,N=；②對(duì)數(shù)的倒數(shù)公式logf=—

log/,alog,,a

③對(duì)數(shù)恒等式：log.N"=log“N,log.N"='log“N,log“〃■胤,clog,a=1.

aain

對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

圖象的特征函數(shù)的性質(zhì)

（1）圖象都在y軸的右邊（1）定義域是（0,+8）

（2）函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)（1,0）點(diǎn)（2）1的對(duì)數(shù)是0

（3）從左往右看，當(dāng)。>1時(shí)，圖象逐（3）當(dāng)。>1時(shí)，y=log：是增函數(shù)，

漸上升，當(dāng)0<。<1時(shí)，圖象逐漸下

降.當(dāng)OVaVI時(shí);y=log〃尤是減函數(shù).

(4)當(dāng)a>l時(shí)，%>1,則log“x>0；

（4）當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)圖象在（1,0）

點(diǎn)右邊的縱坐標(biāo)都大于0,在（1,0）

0<X<1,log“X<0

點(diǎn)左邊的縱坐標(biāo)都小于0.當(dāng)0<a<1

時(shí)，圖象正好相反，在（1,0）點(diǎn)右邊

當(dāng)時(shí)，X>1,則log“x<0；

的縱坐標(biāo)都小于0,在（1,0）點(diǎn)左邊

的縱坐標(biāo)都大于0.

0<x<l,log?x<0

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)照表

指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

一般形式x且

y=a(a>09且aw1)y=logdx(a>0,aw1)

定義域(-O0,+oo)（。,+8）

值域（。,+8）(-00,+00)

函當(dāng)4>1時(shí)，當(dāng)T>1時(shí),

數(shù)a'>1,x〉0,log“X>0,X>\,

值

<ax=1,x=0,?log?X=0,X=1,

變

v

化a<1,x<0.log,,x<0,x<1.

情當(dāng)0<a<l時(shí)，當(dāng)（）<a<l時(shí)，

況

ax<1,x>0,log“x<0,x>1,

x

?a=1,x=0,-log“x=0,x=l,

ax>1,x<0.log“x>0,x<1.

時(shí)，丁=就是增函數(shù)；a>l時(shí)，y=log“x是增函數(shù)；

單調(diào)性

0V〃<1時(shí)，y=ax是減函數(shù)()<a<l時(shí)，y=log“x是減函數(shù)

圖象函數(shù)y=ax的圖象與函數(shù)y=log?x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

11、凸函數(shù)與凹函數(shù)

在給定區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)/(X)的圖象向上凸出，則函數(shù)/(X)在該區(qū)間上為凸函數(shù)，結(jié)合圖象

易得到了(土產(chǎn))2也■容任2；

在給定區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)/(x)的圖象向下凹進(jìn)，則函數(shù)/(x)在該區(qū)間上為凹函數(shù)，結(jié)合圖象

易得至ijf(土土)</—)+/(々)

第三章數(shù)列：

1、等差數(shù)列：

(1)等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)

常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表

示。用遞推公式表示為="(〃22)或?！?]-=d(〃21)。

(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：4=4+(“—l)d；

說(shuō)明：等差數(shù)列(通?？煞Q(chēng)為AP數(shù)列)的單調(diào)性：d>0為遞增數(shù)列，d=0為常數(shù)列，

d<0為遞減數(shù)列。

(3)等差中項(xiàng)的概念：

定義：如果a,A,匕成等差數(shù)列，那么A叫做。與b的等差中項(xiàng)。其中A=a,

2

A,匕成等差數(shù)列0A=±^。

2

(4)等差數(shù)列的前〃和的求和公式：.=叫

(5)等差數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)：

(1)等差數(shù)列定義&5一&="(常數(shù))(〃eN),這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，

要防止僅由前若干項(xiàng)，如備一念=純一?=d(常數(shù))就說(shuō)｛4｝是等差數(shù)列這樣的錯(cuò)

誤，判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由為+&+2=2a十1即a+2—4+1=4+1—&來(lái)

判斷。

(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)為國(guó)產(chǎn)aI+(/7—1)d.可整理成國(guó)產(chǎn)&+(51—</),當(dāng)掙0時(shí)，&是

關(guān)于〃的一次式，它的圖象是一條直線上，那么〃為自然數(shù)的點(diǎn)的集合。

(3)對(duì)于力是a、b的等差中項(xiàng)，可以表示成2A=a+b.

(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S產(chǎn)幺土力?〃一加+四二D4可以整理成

22

S產(chǎn)-4+(a,--)?o當(dāng)d#0時(shí)是n的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的二次式。

22

(6)等差數(shù)列的判定方法：

①定義法：對(duì)于數(shù)列｛4｝,若。用一4=。(常數(shù))，則數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

②等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列｛?！埃?若2a,用=a“+a?2,則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列。

(7)等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)在等差數(shù)列｛q｝中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)：

(2)在等差數(shù)列｛a,,｝中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是AP,如：％,%,6,%,

Cl^，^^8，3'8，；

(3)在等差數(shù)列｛%｝中，對(duì)任意機(jī)，neN+，an=am+(n-tn)d,d=~~~—(mn)；

⑷在等差數(shù)列｛%｝中，若m,n,p,qeN+且m+it=p+q,則4〃+?！?〃“十4；

說(shuō)明：設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且公差為d,

(I)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2〃項(xiàng)，則①S奇一5偶=〃4；②3t=2；

S偶a”+i

(II)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2〃—1項(xiàng)，則①5偶—S奇=%=咻；②&

S隅"-1

(8)(1)a]>0,“<0時(shí)，5.有最大值；a]<0,">0時(shí)，5.有最小值；

(2)5,最值的求法：①若已知S”，可用二次函數(shù)最值的求法(〃€乂)；②若已知為,

>0(a,.<0

則，最值時(shí)〃的值(/eN+)可如下確定1"或《"o

4+14°l4+i?0

2、等比數(shù)列:

1.等比數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)簞

數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示

(4。0),即：an+l：4=磯0r0)數(shù)列對(duì)于數(shù)列(1)(2)(3)都是等比數(shù)列，它們的公比

依次是2,5,(注意：''從第二項(xiàng)起“、“常數(shù)”q、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零)

n

2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=ay-q-'(a｝-c/^0).

說(shuō)明：(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比4=1時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列;

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若｛a,J為等比數(shù)列，則&=

an

3.等比中項(xiàng)：如果在a與匕中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,。成等比數(shù)列，那么G叫做a與匕的等

比中項(xiàng)(兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng))。

4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

一般地，設(shè)等比數(shù)列4,4,4，，見(jiàn)，的前n項(xiàng)和是S.=4+4+/++an,當(dāng)

q71時(shí)，S“=.aW)或5?=a「a"q:當(dāng)q=1時(shí)，工=(錯(cuò)位相減法)。

\-ql-q

說(shuō)明：(1)4國(guó),〃，5〃和4，4應(yīng)，5〃各已知三個(gè)可求第四個(gè)；

(2)注意求和公式中是q”,通項(xiàng)公式中是dI不要混淆；

(3)應(yīng)用求和公式時(shí)qwl,必要時(shí)應(yīng)討論4=1的情況。

5、等比數(shù)列的判定方法

①定義法：對(duì)于數(shù)列｛a,J,若況=q(g'O),則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若a“a“+2=a；+i，則數(shù)列｛對(duì)｝是等比數(shù)列。

6.等比數(shù)列的性質(zhì)

①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果a,是等比數(shù)列的第〃項(xiàng)，區(qū),是等差數(shù)列的第帆項(xiàng)，且

nm

m<n,公比為q,則有an=amq~；

②對(duì)于等比數(shù)列｛〃〃｝，若n+m=w+v,則an-am=aH-av,也就是：

勺4

____________A____________

%-a?=a2-%T=的?冊(cè)-2=……，如圖所示：佝'-，的，…，，%-1,，%。

a2-an-\

③若數(shù)列｛冊(cè)｝是等比數(shù)列，S〃是其前n項(xiàng)的和，keV,那么S?k-Sk，S3A-S2A成等

S火

，一-、

比數(shù)列。如圖所示：+“2+%+…+以,+紗+1+：+。2勺+“2&+1+「.+%(

SkS?k-Sks3A-S2k

數(shù)列歸納：

k，一(〃[,(〃=1)

N通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：Sa

I