專題2.5一元二次方程的解法：因式分解法（重難點培優(yōu)）-【拔尖特訓】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【浙教版】

【拔尖特訓】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題2.5一元二次方程的解法：因式分解法（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋?濱?？h校級月考）一元二次方程x2＝x的根為（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝0【分析】先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x＝0或x﹣1＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：x2＝x，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故選：C．2．（2022秋?貴州月考）一元二次方程2x2＝x的根為（）A．x＝0 B．x=12 C．x＝﹣2 D．x＝0或【分析】移項，提取公因式得到兩個一元一次方程積的形式，然后解一次方程即可．【解答】解：2x2＝x，2x2﹣x＝0，x（2x﹣1）＝0，∴x＝0或2x﹣1＝0，∴x＝0或x=1故選：D．3．（2022秋?普陀區(qū)校級期中）已知三角形兩邊長分別為4和9，第三邊的長是二次方程x2﹣16x+48＝0的根，則這個三角形的周為（）A．17 B．19 C．21 D．25【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝12，x2＝4，再根據(jù)三角形三邊的關系可判斷三角形的第三邊長為12，然后計算三角形的周長．【解答】解：x2﹣16x+48＝0，（x﹣12）（x﹣4）＝0，x﹣12＝0或x﹣4＝0，解得x1＝12，x2＝4，因為4+4＝8＜9，所以三角形的第三邊長為12，所以這個三角形的周為12+4+9＝25．故選：D．4．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）若等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則等腰三角形的周長為（）A．9 B．10 C．12 D．9或12【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝2，再利用三角形三邊的關系確定等腰三角形的三邊分別為5、5、2，然后計算它的周長．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝5，x2＝2，因為2+2＝4＜5，所以等腰三角形的三邊分別為5、5、2，所以等腰三角形的周長為5+5+2＝12．故選：C．5．（2021秋?白水縣期末）方程x（x﹣1）＝0的根為（）A．x1＝0，x2＝1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】直接解即可得答案．【解答】解：∵x（x﹣1））＝0，則x1＝0，x2＝1，故選：A．6．（2022秋?濱?？h期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最適當?shù)慕夥ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法【分析】根據(jù)方程的特點及各種方法適用的方程判斷即可．【解答】解：由于方程左邊能夠提取公因式分解因式，所以，解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最適當?shù)慕夥ㄊ且蚴椒纸夥ǎ蔬x：B．7．（2022秋?華容區(qū)期中）我們知道方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，現(xiàn)給出另一個一元二次方程（2x+1）2﹣2（2x+1）﹣3＝0，它的解是（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，可得2x+1＝﹣1或2x+1＝3，解方程即可求解．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，∴（2x+1）2﹣2（2x+1）﹣3＝0，∴2x+1＝﹣1或2x+1＝3，解得x1＝1，x2＝﹣1，故選：B．8．（2022秋?六盤水期中）下列一元二次方程中最適合用因式分解法來解的是（）A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．（x﹣2）2＝x﹣2 C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3【分析】根據(jù)解一元二次方程的方法依次進行判斷即可．【解答】解：（x﹣2）（x+5）＝2適合用公式法，故A選項不符合題意；（x﹣2）2＝x﹣2適合用因式分解法，故B選項符合題意；x2+5x﹣2＝0適合用公式法，故C選項不符合題意；12（2﹣x）2＝3適合用直接開平方法，故D選項不符合題意，故選：B．9．（2021秋?洪湖市校級月考）設m是方程x2+5x＝0的一個較大的根，n是方程x2﹣x﹣6＝0的一個較小的根，則m+n的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2【分析】先解方程求出兩個方程的解，再得出m、n的值，最后求出答案即可．【解答】解：x2+5x＝0，x（x+5）＝0，x＝0或x+5＝0，解得：x＝0或﹣5，∵m是方程x2+5x＝0的一個較大的根，∴m＝0，解方程x2﹣x﹣6＝0得：x＝3或﹣2，∵n是方程x2﹣x﹣6＝0的一個較小的根，∴n＝﹣2，∴m+n＝0+（﹣2）＝﹣2，故選：C．10．（2021?南沙區(qū)一模）對于實數(shù)m，n，先定義一種新運算“?”如下：m?n=m2+m+n，當m≥n時，n2+m+n，當A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8【分析】根據(jù)定義，分x≥﹣2和x＜﹣2兩種情況進行解方程，得出x的值．【解答】解：當x≥﹣2時，x2+x﹣2＝10，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合題意，舍去）；當x＜﹣2時，（﹣2）2+x﹣2＝10，解得：x＝8（不合題意，舍去）；∴x＝3．故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2021秋?金平區(qū)校級期末）若（x+1）x＝2x，則方程的解為x1＝0，x2＝1．【分析】先將方程整理為一般式，再因式分解法求解可得．【解答】解：將方程整理為一般式，得：x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案為：x1＝0，x2＝1．12．（2022秋?昭陽區(qū)期中）一個直角三角形的兩邊長分別是方程x2﹣8x+15＝0的兩個根，則這個直角三角形的周長為12或34+8【分析】先解方程x2﹣8x+15＝0求出x的值，即求出直角三角形的邊長，然后再求三角形的周長就容易了，注意要分兩種情況討論，以防漏解．【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0，∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x1＝3，x2＝5，當5是斜邊的長時，則另一個直角邊為：52-32=4當5是直角邊的長時，則斜邊為：52+32=34故這個直角三角形的周長為12或34+8故答案為：12或34+813．（2022秋?涼州區(qū)校級月考）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，則?ABCD的周長是22+4【分析】求解一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，得到a的值，再計算?ABCD的邊AB的長，最后計算周長．【解答】解：x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3（不符合題意舍去）或x＝1，∴AE＝EB＝EC＝a＝1，∴AB=2a=∴?ABCD的周長是：22+2×（1+1）＝22+故答案為：22+414．（2021秋?昌江區(qū)校級期末）若實數(shù)x滿足2x2+5x+5x+2x2+1＝0，則【分析】把1寫成4與﹣3的和，利用完全平方公式構造關于（x+1x）的二次方程，利用整體的思想先求解，再求x2【解答】解：∵2x2+2x2+5x+∴2x2+4+2x2+5x+∴2（x2+2+1x2）+5（x+1x∴2（x+1x）2+5（x+1x）﹣∴[2（x+1x）﹣1][（x+1x）∴x+1x=12∴（x+1x）2=14或（x+1∴x2+2+1x2=14或∴x2+1x2=-74故答案為：7．15．（2022秋?長沙縣期中）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a⊕b＝a2﹣2ab，其中等號右邊是通常的減法及乘法運算．如1⊕1＝12﹣2×1×1＝﹣1．嘉嘉寫了一個滿足以上運算的等式：x⊕（﹣3）＝﹣5，其中x的值為﹣1或﹣5．【分析】利用新定義的規(guī)定列式計算即可得出結(jié)論．【解答】解：∵x?（﹣3）＝﹣5，∴x2﹣2x×（﹣3）+5＝0，∴x2+6x+5＝0，解得：x＝﹣1或x＝﹣5，故答案為：﹣1或﹣5．16．（2022春?拱墅區(qū)期中）對于實數(shù)m，n，先定義一種運算“?”如下：m?n=m2+m+n，當m≥n時n2+m+n，當m＜n時，若【分析】分兩種情況：當x≥﹣2時，當x＜﹣2時，然后按照定義新運算，進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當x≥﹣2時，∵x?（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，當x＜﹣2時，∵x?（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），綜上所述：x＝3，故答案為：3．三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解方程：（1）（x﹣2）（x﹣5）＝2；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．【分析】（1）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先變形為2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，（x﹣4）（x﹣3）＝0，x﹣4＝0或x﹣3＝0，所以x1＝4，x2＝3；（2）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，x﹣3＝0或2x﹣6﹣x﹣3＝0，所以x1＝3，x2＝9．18．用因式分解法解一元二次方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）4x2﹣4x+1＝0；（3）4（x﹣2）2﹣9＝0；（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0．【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先利用平方差公式分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（4）先利用平方差公式分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，則x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2；（2）4x2﹣4x+1＝0，（2x﹣1）2＝0，解得x1＝x2=1（3）4（x﹣2）2﹣9＝0，（2x﹣4﹣3）（2x﹣4+3）＝0，（2x﹣7）（2x﹣1）＝0，2x﹣7＝0或2x﹣1＝0，x1=72，x2（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0，（x+1+4x﹣2）（x+1﹣4x+2）＝0，（5x﹣1）（3﹣3x）＝0，5x﹣1＝0或3﹣3x＝0，x1=15，x2＝19．解方程：（1）2（2x﹣1）2＝4；（2）x2﹣6x+5＝0；（3）2x2﹣22x﹣1＝0；（4）2（2x﹣3）2＝3（2x﹣3）．【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用配方法求解可得答案；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵2（2x﹣1）2＝4，∴（2x﹣1）2＝2，∴2x﹣1＝±2，∴x1=1+22，x（2）∵x2﹣6x+5＝0，∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，則x﹣1＝0或x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝5；（3）∵2x2﹣22x﹣1＝0，∴2x2﹣22x＝1，則2x2﹣22x+1＝2，即（2x﹣1）2＝2，則2x﹣1＝±2，解得x1＝1+22，x2＝1（4）∵2（2x﹣3）2＝3（2x﹣3），∴2（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）＝0，則（2x﹣3）（4x﹣9）＝0，∴2x﹣3＝0或4x﹣9＝0，解得x1=32，x220．（2022秋?東莞市校級月考）三角形兩邊長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一個實數(shù)根，求此三角形的面積．【分析】由x2﹣16x+60＝0，可利用因式分解法求得x的值，然后分別從x＝6時，是等腰三角形；與x＝10時，是直角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣16x+60＝0，∴（x﹣6）（x﹣10）＝0，解得：x1＝6，x2＝10，當x＝6時，則三角形是等腰三角形，如圖①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高，∴BD＝4，AD=AB2∴S△ABC=12BC?AD=12×8×當x＝10時，如圖②，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，S△ABC=12BC?AC=12×8∴該三角形的面積是：24或85．故答案為：24或85．21．（2021?北京）已知關于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非負性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”即可證出結(jié)論；（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由題意得出m的方程，解方程則可得出答案．方法二：利用根與系數(shù)的關系可求出答案．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵無論m取何值時，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：設方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝4m，x1?x2＝3m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴（4m）2﹣4×3m2＝4，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．22．（2021春?上城區(qū)校級期末）閱讀下面的例題，范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍去）．（2）當x＜0時，原方程化