數(shù)列構(gòu)造求解析式必刷100題(解析版)

專題15數(shù)列構(gòu)造求解析式必刷100題

任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題

一、單選題

1.數(shù)列｛/｝中，??+1=2??+1,4=1,則&=（）

A.32B.62C.63D.64

【答案】C

【分析】

把?=2勺+1化成%+1=2（%+1）,故可得包+1｝為等比數(shù)列，從而得到紜的值.

【詳解】

數(shù)列｛《,｝中,%=24+1,故令用+1=2（6+1）,

因?yàn)?=1,故q+l=2xO,故q,+1*0,

所以2嚕=2,所以｛q+1｝為等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為2.

所以。"+1=2"即《=2"-1,故4=63,故選C.

2.在數(shù)列｛%｝中，4=1,且*=2%+1,則｛%｝的通項(xiàng)為（）

A.an=T-\B.a?=2"

C.a?=2n+lD.=2B+,

【答案】A

【分析】

依題意可得4“+1=2（4+1）,即可得到｛4+1｝是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,再根據(jù)等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式計(jì)算可得；

【詳解】

解：：4+i=2q,+1,/.an+t+1=2（?,,+1）,

山q=l,得q+l=2,.?.數(shù)列｛《,+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?"“+l=22i=2",即

%=21.

故選：A

3.設(shè)數(shù)列｛a〃｝滿足訪=1,。2=3,且2〃斯=（〃一1）。〃-1+（〃+1）斯+1,則。20的值是（）

」,2

A.4-B.4-

55

34

C.4-D.4-

55

【答案】D

【分析】

首先證得｛〃如一（〃一1）々一｝為常數(shù)列，得到用進(jìn)而證得數(shù)列｛〃4｝是以1為首項(xiàng)，5為公

差的等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?nan=（?-1）an-1+（n+1）a?+1，

所以nan—（〃-1）〃”_]=（〃+1）斯+1-nan

故數(shù)列｛〃以〃一（"一1）加1｝為常數(shù)列,且2出-4=5,

所以陷,一（九一1）%=5,即陷，一（〃一1）%=5,

因此數(shù)列｛〃4｝是以1為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列,

所以〃q=1+5（〃-1）=5〃-4,因此4=%心

5x20-424

所以。20

20T

故選：D.

4.設(shè)數(shù)列｛跖｝中,“1=2,a?+i=2a?+3,則通項(xiàng)即可能是（）

A.5~3nB.3-2,,-1-1

C.5-3n2D.5-2n-1-3

【答案】D

【分析】

用構(gòu)造法求通項(xiàng).

【詳解】

設(shè)a“+i+x=2（%+x）,貝應(yīng)用=2a“+x,

因?yàn)樾?1=2%+3,所以x=3,

所以｛q+3｝是以《+3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

a,,+3=5x2"，所以a"=5-2"T-3

故選：D

5.已知數(shù)列｛叫滿足：q=1,4向==彳（〃€用），則數(shù)列包｝的通項(xiàng)公式為（

)

an+,

n2

D

n+1c”"=ET-“"二湎

【答案】D

【分析】

:2at.

對(duì)4+1兩邊取倒數(shù)后，可以判斷是首項(xiàng)為1,公差為g的等差數(shù)列,即可求得.

a“+2

【詳解】

由數(shù)列｛《,｝滿足：4=1，。用〃eN*),

。〃+2

兩邊取倒數(shù)得：—=—+^11

,即-------

〃向a?22

所以數(shù)列是首項(xiàng)為I,公差為5的等差數(shù)列,

11I,,、"+1

所?以一=一+-1)=

a?q22

所以4=告2

〃+1

故選:D

6.已知數(shù)列｛叫中,)

11

B，8C.-D.—

7910

【答案】D

【分析】

令6"=—(〃€”)，由等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)可得〃="，即可得解.

a?

【詳解】

令仇=—(neN'),則2*1=1+2，4=1，

an

所以數(shù)列｛"｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

所以包="，4,=一,

n

所以

故選：D.

7,已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l，%=2,an=3a?_,+4a?_2(n>3),則%=()

4|0-1B.上1

D.4"-1

55

【答案】A

【分析】

由已知得出數(shù)列+。向｝是等比數(shù)列，然后可利用數(shù)列｛《,+4”｝的奇數(shù)項(xiàng)仍然為等比數(shù)列,求得和耳.

【詳解】

因?yàn)閍,,=34T+4a?_2(n>3),所以+a?_,=4(a?_,+a?_2),又q+g=3w0,

所以其詈」=4(〃23),所以｛q+〃向｝是等比數(shù)列，公比為%首項(xiàng)為3,

41-1+an-2

則數(shù)列｛4z+%｝也是等比數(shù)列，公比為42=16,首項(xiàng)為3.

3X(1-165)_4I0-1

所以Bo=

1-165

故選：A.

8.已知數(shù)列｛4｝滿足：《=々=2,a,,=3a,i+4a“_2(〃N3),貝(]%+40=()

A.47B.48C.49D.4'°

【答案】C

【分析】

由已知關(guān)系求得數(shù)列｛4+%.」是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論.

【詳解】

山題意4+4=4,

由a?=3%+4a“_2(〃23)得%+*=4(%+??-2),即=4(n>3),所以數(shù)列3+a,｝是等比數(shù)

an-\+an-2

列，僅比為4,首項(xiàng)為4,

所以49+40=4”.

故選：C.

9.已知數(shù)列｛4｝滿足遞推關(guān)系，凡+「?=可-%+|，4=；，貝！1%=()

1111

卜.------B.-----C.-----

2018201920202021

【答案】D

【分析】

由遞推式可得數(shù)列—為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)??！?「可=q-4,+1，4=4，所以;一；=1，T=2-

LUn+\Una］

即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以」一=2+2019x1=2021,所以火必=焉，

?20202021

故選：D.

10.已知數(shù)列｛叫滿足：q=l,4M=占，（〃eN"）,則數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式為（）

11C1I,

?

A%=布B.??=--C.an=2n-\D.a?=--I

zz-Iz

【答案】B

【分析】

取倒數(shù)，可得,+l是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此可得結(jié)論.

團(tuán)4=1

回］，+1］是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

0-+1=2",

故選：B.

11.數(shù)列｛叫滿足2a且4=1,若4<(，則〃的最小值為

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

依題意，得2"&川-2"4,=1,可判斷出數(shù)列｛2%,｝為公差是1的等差數(shù)列，進(jìn)一步可求得23=2,即其首

n4-1

項(xiàng)為2,從而可得a尸羅，繼而可得答案.

【詳解】

+

V2"an=2"'an+l-\,即2"+&“一2&=1，

二數(shù)列｛2%“｝為公差是1的等差數(shù)列，

又ai=l.

??.23=2,即其首項(xiàng)為2,

n

2an=2+(n-1)xl=n+l,

.n+1

.,315、163,31

..ai=l,a2=_,a3=—?a4=—>—,35=—=—v—=—>

421653216155

:.若a“<g,則n的最小值為5,

故選C.

12.已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=50,2a?+l=a?-l,則滿足不等式%<0的％(k為正整數(shù))的值為

().

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

先求得｛q｝的通項(xiàng)公式，然后解不等式4求得人的值.

【詳解】

依題意4+i=24-5，《川+1=/(。“+1)，

所以數(shù)列總+1｝是首項(xiàng)為50+1=51,公比為3的等比數(shù)列,

5唱）一

由%?4+1<0得51-1<0,

即102-51-1<0,

日n1(1Y1

即——<-<—，

102\2)51

14G)=1(0$4=5出喘

而y=（；）在R上遞減，

所以由己-<（!]可知左=6.

102⑶51

故選：D

13.在數(shù)列｛%｝中，4=2,??+l=2a?-l,若4>513,貝IJ〃的最小值是（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】

根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

an=2"-'+\,即求.

【詳解】

（I—1

因?yàn)?。?2%-1,所以a向一1=2（/-1）,即件「2,

所以數(shù)列｛4-1｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

則a“-l=2"T,即a,,=2"T+l.

因?yàn)椤?gt;513,所以2,T+1>513，所以2”T>512,所以〃>10.

故選：C

14.已知數(shù)列｛能｝滿足％=/七?("22，〃62),且4=:，則的第〃項(xiàng)為()

"Ji2[anJ

A.2〃B.二C.3〃一1D.一

22n

【答案】A

【分析】

在等式%=0兩邊取倒數(shù),可推導(dǎo)出數(shù)列[工]為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求得

2%+1[qj

1

aJ

【詳解】

a,12a.+11

當(dāng)〃W2且〃eN*,在等式q=、Jn兩邊取倒數(shù)得一=1n=——+2,

2的+1a?%

1I1cf1

------=2,且一=2,所以，數(shù)列一為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為2,公差為2,

%an-\?![/J

因此，，=2+2("-l)=2〃.

故選：A.

15.數(shù)列｛4｝中，若4=1,qm=2a,,+3(〃Nl),則該數(shù)列的通項(xiàng)%=()

A.2,,+|-3B.2"-3C.2"+3D.2"-1-3

【答案】A

【分析】

據(jù)遞推關(guān)系式可得+3=2(q+3),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】

因?yàn)閍“+i=2%+3("21),

所以%+3=2(%+3),

即數(shù)列僅,+3｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以a“+3=42-，

故a“=4-2"T-3=2"”-3,

故選：A

16.已知數(shù)列｛叫滿足凡+1=曲,+1,且4=1,4=3,則數(shù)列｛叫前6項(xiàng)的和為（）.

A.115B.118C.120D.128

【答案】C

【分析】

由題干條件求得2=2,得到”,川=2%+1,構(gòu)造等比數(shù)列可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等比數(shù)列求和

公式即可求得數(shù)列｛《,｝前6項(xiàng)的和.

【詳解】

4=幽+1=7+1=3,則;I=2,

可得=24+1,

可化為4,+i+1=2（4+1）,

有q+1=2",得4=

則數(shù)列｛%｝前6項(xiàng)的和為（2+2?+L+26）-6^-2X^1-2^-6=120-

故選：C

第H卷（非選擇題）

二、填空題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足/a=3%+2,q=1,則a?=.

【答案】2x3"-1

【分析】

先判斷出｛為+1｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，即可得到4+1=2.3"、從而求出見.

【詳解】

因?yàn)?+i=3a“+2,q=1,

所以《用+1=3（q+1）,

由q+l=2/0,所以｛4+1｝為首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，

所以為+l=2?3"T,

所以4,=2X3"T-L

故答案為：2x3"i—1

18.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且片-4,-〃2-"=0,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式4=

【答案】?+1

【分析】

因式分解可得[勺-(〃+1)](%+〃)=0,結(jié)合?！?gt;0,即得解

【詳解】

由4；一/一〃(〃+1)=0,

得[%-(刀+1)[(4+")=0.

又可>0,所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式%=〃+1.

故答案為：〃+1

19.已知數(shù)列｛叫滿足4=1,且。“=+9+(9(〃*2),則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式4=

【分析】

利用條件構(gòu)造數(shù)列｛3"4｝，可得數(shù)列為等差數(shù)列即求.

【詳解】

(〃22),

.?.3"4=3"-%,1+1(“22),

即3Z,—3"T4T=1(〃N2).又《=1,3'-a,=3,

.??數(shù)列｛3%,,｝是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

3"=3+(〃—1)x1=〃+2,

.?.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式％=勺

72+2

故答案為:

3“.

20.若正項(xiàng)數(shù)列｛叫滿足4=2,或產(chǎn)44+4可+1,則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式是

【答案】《,=321-1

【分析】

根據(jù)給定條件將原等式變形成。用=24+1,再利用構(gòu)造成基本數(shù)列的方法求解即得.

【詳解】

2

在正項(xiàng)數(shù)列｛4“｝中，?；+1=4a;+4a?+l=(2a?+l),則有a,川=2。,,+1,

于是得。同+1=2(《+1),而4+1=3,因此得：數(shù)列&+1｝是公比為2的等比數(shù)列，

則有4+l=3?2"T,即a"=3-2"T_l,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是4,=3?

故答案為：??=3-2"-'-1

21.若數(shù)列｛4“｝滿足(〃T)%=(〃+1)%_|,n>2,neNS且4=1,則%=.

【答案】15

【分析】

根據(jù)題意整理可得肅渣樂,所以為常數(shù)列，令〃=5即可得解.

小+1)(n-l)n［小+1)

【詳解】

由(〃-1)%=("+l)a“-1可得上7，

〃+1H—1

兩邊同除〃可得品T品？

故數(shù)列為常數(shù)列，

aa.1

所以而n小二寸小

所以今=g，解得%=”.

故答案為：15

22.數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知q=l,初=一/S"(〃=l,2,3,…)，則為=_

【答案】(〃+1)2々

【分析】

由給定條件借助。向=5向一己消去“向，求出S,即可得解.

【詳解】

因”eN*，?n+1=—5?,而。向=S,+「S”，則’+「，=35,,￡向=迎@5.，

nnn

于是得辿=2.a,又言=?=1,則數(shù)列｛與｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,

n+\n11n

n|1

從而有2=2"T,即S"=”-2"T,an+I=—?n-2-=(n+2)-2"-,

nn

〃Z2時(shí)，a“=("+l)-2"2,而q=l滿足上式，

所以%=(〃+l>2”2,neN*.

故答案為：(〃+l)-2”2

23.在數(shù)列｛《,｝中，6=2,%=2(1+ja“+4〃+4,(neN*),則％=.

【答案】460

【分析】

由已知可得濟(jì)=等+4,即數(shù)列｛號(hào)+彳是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此可求出｛4｝的通項(xiàng)

公式，得出所求.

【詳解】

a?+l=2(1+，］““+4"+4=”上區(qū)+4("+1),

VnJn

.?.2±1_=%+4,即411_+4=泡+8=2(4+41，

n+ln〃+1n\n)

也+4r］

所以正直一=2,則數(shù)歹(］組+4是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

%+4I"J

n

.?.M+4=6X2"T,:.an=3n-2"-4n,

「.%=3x5x2‘-4x5=460.

故答案為：460.

三、解答題

24.已知數(shù)列｛叫滿足4=|,。，用=3/—1(〃€”).

(1)若數(shù)列也｝滿足求證：包｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S,,.

【答案】

(1)證明見解析

【分析】

(1)由遞推公式可得凡即〃川=3〃，即可得證：

(2)由(1)可得4=3-+3,再利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；

(1)

解:因?yàn)椋?3--1(〃eN*),所以見+|一；=3a“_,=3(a“一；),又b“=%_；,a=1,

t所以

%=3。，即導(dǎo)=3(,7eN"),々=1,所以也｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；

(2)

解：由⑴可得6,,=3"T,即a"-g=3"T,所以a“=3"—+g

所以S“=3°+,+3i+L+...+3"T+1

222

=3。+3"..+3"-/-1+八』1

21-322

25.已知數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S“，且S"=”2(〃eN*),數(shù)列｛〃｝滿足仇=2,

2=3加+2(〃22,“€N).求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式

【答案】an=2n-\,bn=3"-l

【分析】

fS"一］

利用4=c一、。求也｝通項(xiàng)公式，構(gòu)造也+1｝是等比數(shù)列，求也｝通項(xiàng)公式即可;

【詳解】

解：數(shù)列｛見｝的前"項(xiàng)和為S“，且5,,="2（〃€內(nèi)），

當(dāng)時(shí)，a?=S?-S,i=/-（〃-1）?=2〃-1（〃eN*）.

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,顯然也適合上式.

所以見=2刀-1；

因?yàn)閿?shù)列也｝滿足仇=2,b?=+2（〃22,〃eN"）.

所以d+1=3（如+1）,

所以數(shù)列也+1｝是以々+1=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

故4+1=3X3"T=3",

所以2=3"-1.

26.已知數(shù)列｛叫中，生=g，%=%+I+2%/“.求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

【答案…白

【分析】

首先證得,是等差數(shù)列，然后求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出｛%｝的通項(xiàng)公式;

【詳解】

解：因?yàn)?=〃,川+2%。川，

所以令"=1,則4=出+2。］。2,解得4=1，

,,11C

對(duì)《=4+1+2見?！?1兩邊同時(shí)除以％4+|,得-------=2,

q+1an

又因?yàn)椋?1,

4

所以是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

所以'=1+25-1)=2〃-1,

an

所以4=7；

2〃一1

27.已知列｛能｝滿足4=2,且I=2%+2"",〃eN*.

（1）設(shè)包《，證明：數(shù)列同為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

【答案】（1）證明見解析；（2）b?=n,neN\

【分析】

（1）根據(jù)題設(shè)遞推式得爵-祟=1,根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)論得證.

（2）由（1）直接寫出通項(xiàng)公式即可.

【詳解】

（1）由題設(shè)知：翳喙=1，且11，

,｛親｝是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，又a=墨，則數(shù)列也｝為等差數(shù)列，得證.

（2）由（1）知："=祟=","eN，

28.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且出+4=10，S.=66.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知4=1,1,設(shè),求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

在①c“=%,②③4=上,這3個(gè)條件中，任選一個(gè)解答上述問題.

nnn

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（I）a?=n.（2）見解析.

【分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求生，4,從而可求｛q｝的通項(xiàng).

（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得端+-7=組+,，從而可得,%+』］為常數(shù)列，據(jù)此可求也｝的通

項(xiàng)，從而可求相應(yīng)的｛&｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】

（1）因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，故%+%=2%=10,故%=5,

而S”=66,故11%=66即4=6,所以等差數(shù)列｛q｝的公差為1,

所以4=%+(n-5)xl=?.

b.b1111

(2)因此”,也什|一凡+也,=1,故-------=-----=/=-----77，

%??的川?(?+n?)〃〃+1

所以端+白=匕+,，所以［4+1］為常數(shù)列，

%"+1??n&n\

所以4+，=2+1=2,所以〃,=(2-，］“=2〃-1,

a?"4InJ

若選①，則%=4=2；

nn

若選②，則C.=3=2=2；

nn

若選③，貝b—1乜2〃上一2.

nn

29.設(shè)數(shù)列｛??｝滿足4,=3a?,1+2(n>2),且q=2,b?=log,((z?+1).

(1)求出，出的值；

(2)已知數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式是：。"=3"-1,《,=3",〃”=3〃+2中的一個(gè)，判斷｛%｝的通項(xiàng)公式，并求

數(shù)列｛%+%｝的前〃項(xiàng)和S..

【答案】(1)生=8,6=26；(2)5“=3(3向+"2-〃-3).

【分析】

(1)由遞推公式得&+D=3(4I+1),結(jié)合已知｛a“+l｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，寫出凡的通項(xiàng)

公式，進(jìn)而求的，內(nèi)的值；

(2)由(1)得c"=3"+”-l,再應(yīng)用分組求和及等差、等比前〃項(xiàng)和公式求S,,.

【詳解】

(1)'：a?=3a?_l+2(n>2),即(%+1)=3(%+1)且q=2,

二｛。,,+1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,即。"+1=3",

二4=3"-1,貝!j%=32-l=8,a,=33-l=26.

(2)設(shè)c“=%+4,由(1)知。“=3"-1,又2=k>g3(a“+l)=".

/.c”=3"+〃-1,

5?=(3+32+...+3")+(1+2+...+?-1)=3：-：)+(〃一"，"I)=g(3"”+/_〃_3).

30.已知數(shù)列｛q｝滿足q=1,4=3,且q+2-2《川+q,=4,neN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勿="，nwN*，求2的最小值.

n

【答案】(1)%=2〃2-4〃+1；(2)1.

【分析】

(1)構(gòu)造c“=a向-4,結(jié)合已知條件可知｛%｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用

累加法有。+&+???+%=4T，即可求｛?〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)知：2=2”+之-4,易知〃>2#-4在"cN*上恒成立，且數(shù)列單調(diào)遞增，即可求其最小值.

n

【詳解】

(1)令%=4什]一?！?，則c〃+i-q7=4,而。=生一4=2,

???｛，｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，即g=2+4(〃—1)=4〃—2,

；?q+c2+...+%_]=a2—a｝+a3—a2+...+an=an—a[=an—\,又q+c2+...+c〃_]

=4(1+2+—1)—2(〃-1)=2〃(〃—1)-2〃=2/-4〃+2,

/.an=2〃2-4〃+3.

(2)由題設(shè)，6”=七=2〃+』一4,〃eN*,

nn

：,b?>2]p^-4=2^-4,當(dāng)且僅當(dāng)"=生(1,2)時(shí)等號(hào)成立，故">2血-4且在〃22上單調(diào)遞增，又

/?.=1<Zx,=—,

2

???當(dāng)〃=1時(shí)，"的最小值々=1.

任務(wù)二:中立模式（中檔）1-50題

一、單選題

1.已知數(shù)列｛為｝滿足4=-1,%=3,2""-2%”=（24-1）（2--1）,“22,”€底，記數(shù)列｛4；｝前〃項(xiàng)和為S“，

則（）

A.7Vs2021<8B.8Vs2021<9C.9<S2O2I<10D.10<S202l<11

【答案】B

【分析】

由2冊(cè)一2八=（2冊(cè)—1）（2冊(cè)”—1）可得齊匕一5匕=1（心2）,利用累加法可求得2冊(cè)=1+〃+%_］，求得

2%的范圍，從而可得可的范圍，從而可得出答案.

【詳解】

解：由2%-2%=（2"-_1）（2"-1）可得（2"”一1）一（2*-1）=（2""_1）（2*-1）,

化簡(jiǎn)得齊匕一白1=1（壯2），

累加求和得/

2""=1+-----1~■—=1+——1—

化簡(jiǎn)得〃-2+小?+V2-l,

2j

因?yàn)?—1?0,1）,所以2"“e（l+W，l+：）,

cl,n+2,〃+1-

即log,——-<a<log,---,n>2.

n+\nn

o.1,4.5.n+2.n+2

S“=q+%+…+4,>log?彳+log2；+l°g2：+…+l°g2—r=log,--

234〃+l6

c.1,3,477+1〃+l

S〃=44-a+--+a<log-+log."+log^-+---+log——=tlog.——,

9w92~23?n4

89

所以log?2<log2半^<S2021Vlog,"1<log22,

62

即8<工⑼<9.

故選：B.

2.已知數(shù)列｛%｝滿足（?-1）（4-1）=3（4-%）,4=|,設(shè)c,,=2"（急若數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞

減數(shù)列，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

A.（\，+8）B.6+8）C.仁，+8）D.（1收）

【答案】B

【分析】

將遞推關(guān)系式整理為‘7—'=:，可知數(shù)列，

—4為等差數(shù)列，借助等差數(shù)列通項(xiàng)公式可整理求

凡-iJ

,、42

得為,從而得到C”的通項(xiàng)公式；根據(jù)數(shù)列｛c.｝的單調(diào)性可采用分離變量法得到4商,結(jié)合導(dǎo)數(shù)

的知識(shí)可求得，山此可得結(jié)果.

5+2〃+1人穌

【詳解】

由(%-1)=(4-1)=3(4-4用)得：(%—1)(4—1)=3[(4—1)—(——1)].

.[用」______!_1

.1)-3'"初一1=3

)111/11/i\〃+l

是公差為3的等差數(shù)列.?????？=力+押-1)=";+#-1)=:虧,3

n+4

q,=2"

n+\7"〃+l

不<2”J

???｛?！埃沁f減數(shù)列，...\/〃￡%*,C同＜c”,即2e

〃+1

4242

B|U>????只需4>

n+2n+ln+2n+1max

42

令"—T(Z)，

22

.f(r\_432_2(x+2)-4(x+l)"_4-2x_2卜-0)(x+&)

""一(X+2)2+(7717—(X+2)2(X+1)2―(X+2)2(X+1)2(X+2)2(X+1)2

〃x)在(1,夜)上單調(diào)遞增，在(正,”)上單調(diào)遞減.

又f(l)=g，/(2)=1.?.?當(dāng)〃wN*時(shí)，/(嘰，=/。)="2)=，

即(」7一/71=!,?'?義>?，即實(shí)數(shù)2的取值范圍是(1+81.

l"+2?+Uraax33U)

故選：B.

3.已知在數(shù)列｛叫中，?,=1,則%=()

32231221

A.----------B.----------C.----------D.---------

2〃3〃3"2"2n3"3”2Z

【答案】A

【分析】

依題意可得2向?4用-3=|?(2"4-3),即可得到｛2%.-3｝是以-g為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；

【詳解】

解：因?yàn)?=1,=%"+(；1’，所以2向用向=12%+1,整理得2句9用-3=*(2"4,-3),所以數(shù)

列｛2%-3｝是以2q-3=—為首項(xiàng),：為公比的等比數(shù)列.所以2%“-3=4[)解得?！?￡3一12

故選：A

4.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足4=3,。,用=3q-4〃，若〃,=仁8"±5,且數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S,，則S,,=

anan+l

()

A.n(l+—^—42n+D.”(l+二一

B.—I------------V6^9

I6〃+936〃+916/7+9

【答案】D

【分析】

先根據(jù)。“的遞推關(guān)系求出?！暗耐?xiàng)公式，代入"的表達(dá)式中，求出〃，的通項(xiàng)，即可求解女的前〃項(xiàng)和5,

【詳解】

由4M=-4”可得/+]-[2("+1)+1]=3&-(2〃+1)],

4=3,，a1-(2xl+l)=0,

則可得數(shù)列｛4—(2〃+1)｝為常數(shù)列0,即%-(2〃+1)=0,：,a?=2n+l

4n2+8?+5(2〃+1)(2〃+3)+2,2,11

--------------------=-------------------------=1H----------------------=1H---------------------

(2〃+1)(2〃+3)(2〃+1)(2〃+3)(2〃+1)(2〃+3)2〃+12〃+3

111111

??S=n+(-----------1-------------1-------1------------)=n-\-----=〃(1+

n35572〃+332〃+36〃+9

故選：D

5.數(shù)列｛〃“｝滿足6=1,〃〃向=(〃+1)4+〃(〃+1),若"=%cos飛一,且數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，則

Sit()

A.64B.80C.-64D.-80

【答案】C

【分析】

由已知可得當(dāng)-%=1,即數(shù)列［冬)是等差數(shù)列，山止匕求出"=/cos”,分別令

n+\n｛nj3

〃=1,2,3」..,11可求出$「

【詳解】

數(shù)列｛%｝滿足4=1，"4田=("+1)4+”("+1),

則+

72+1n

可得數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列,

即有”=〃，即為4=〃:

+22+42+52+72+82+102+112)+(32+62+92)

(12+22-32-32+42+52-62-62+72+82-92-92+102+11

故選：C.

6.已知數(shù)列｛〃“｝滿足3q,-2a“?=a”,|(”N2,〃eN*),且4=0,a6=2021,則電=(

202120212021

~7F65

【答案】A

【分析】

由3a?-2a?,t=anil(n>2,nsN,)可得2(a“-a?_,)=a?+1-a?,從而得數(shù)列｛。向-4｝以見為首項(xiàng)，2為公比的等

比數(shù)列，根據(jù)4=4-4,可化為4=31生，從而即可求得答案.

【詳解】

由34-24T=4”522,“eN")可得2(a?-a“_J=a?+1-a?,

若%-a,T=0,則％=%=,"=4,與題中條件矛盾，故%一%-產(chǎn)。，

所以外!二￡^=2,即數(shù)列｛“用-4｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

aa

n-n-\

所以。“+1-4”="2?2"T，所以6-4=。2-4+%-4+%-4+。5-04+%-=

2021

12>

a,-2°+02-2+?2-2+a2-^+a2-2=31^=2021,所以生=----，

故選：A.

7.已知數(shù)列｛叫滿足q=2,anan_,+a,t=3an_t-1（n>2,neTV*）,若［=…當(dāng)Z,>1。時(shí)，”的最

小值為（）

A.3B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】

將已知遞推關(guān)系式變形可得一二-一二=〈，由此可知數(shù)列為等差數(shù)列，山等差數(shù)列通項(xiàng)公式

4-1a?,-12a.-11

可取得」:，進(jìn)而得到勺；由看=〃逆2a3…4可上下相消求得1,結(jié)合〃eN*解不等式可求得”的最小值.

an-l

【詳解】

3a?

由anan-\+a?=T得：4=,

a〃-l十1

.a-%一］2%-2—2（加T）

%+m+2='+」,i_______

4,T2（4“_1-1）2（a?_,-1）an_t-12a,,-］an_｝-12

二數(shù)列是以」7=1為首項(xiàng)，J為公差的等差數(shù)列，

1.1/,\7?+1〃+3

—T=l+-(n-l)=—,則%不

,45677+2幾+3_(〃+2)(〃+3)

7；,=a,a2^---an=-x-x-x...xX—，

nn+16

(〃+2)(〃+3),*,日

由北>1。得:1————i>10,又〃EN*,〃之6且MEN*，

6

，〃的最小值為6.

故選：C.

8.數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均是正數(shù)，4=；,a2=|,函數(shù)在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)（4+2-2%+|彳*）,

則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）.

①%+%=18;

②數(shù)列｛。.+4向｝是等比數(shù)歹U;

③數(shù)列｛《m-3可｝是等比數(shù)列；

④4=3--'.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到左=4；=一吟一，整理得到4,+2-2勾田=3%,利用構(gòu)造

an-“2+2%

法求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可判斷；

【詳解】

解：由y=得y=/,

la3_Za33

所以％=%=3”3%=-2a：,

"%一（?！?2-2a“+|）??-%+2%+i

4+2--4,=24n4+2-24+i=3a?（*）,

?339

Q；/1=1,a3-2?2=3%=>?3=3x—+2x—=3+—=—,

39927

n=2,—2^=3^=>^4=3x—+2x—=9+—=—,

.927361Qp市

..6T3+6f4=-+—=—=18,正確；

a+〃〃+1

②由（*）知n+2=3（an+1+a?）,

首項(xiàng)4+“23。，（