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2023-2024學(xué)年江西省吉安市四校高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或12.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.3.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)4.已知平面向量,滿足且,若對(duì)每一個(gè)確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時(shí),的最大值為()A. B. C. D.15.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.6.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.37.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.9.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.10.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對(duì)稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④12.某歌手大賽進(jìn)行電視直播,比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表,場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分,組織方將觀眾評(píng)分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,則下列選項(xiàng)正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為外接圓的面積為,則的面積為_________.14.從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表,甲被選中的概率為__________.15.驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào),生成一幅圖片,圖片里加上一些干擾象素(防止),由用戶肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息,輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證,驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄,以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間,某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0,1,2,…,9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大,然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”,則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.16.在正方體中,分別為棱的中點(diǎn),則直線與直線所成角的正切值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),拋物線:上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足,試判斷是否為定值,若是,求這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)設(shè)的最小值為,正數(shù),滿足,證明:.19.(12分)已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)若函數(shù)存在極值,求m的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),對(duì)任意mR,若關(guān)于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整數(shù)k的取值集合.20.(12分)為增強(qiáng)學(xué)生的法治觀念,營(yíng)造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍,某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動(dòng),并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī),已知這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均在[50,100]內(nèi),并得到如下的頻數(shù)分布表:分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51515123(1)將競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“合格”,競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“不合格”.請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)?合格不合格合計(jì)高一新生12非高一新生6合計(jì)(2)在(1)的前提下,按“競(jìng)賽成績(jī)合格與否”進(jìn)行分層抽樣,從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生,再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率.參考公式及數(shù)據(jù):,其中.21.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,,M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)若,,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.22.(10分)中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,.(1)求的大小;(2)若,且為的重心,且,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對(duì)于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.3、D【解析】
原問題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根,換元處理令t,對(duì)g(t)進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時(shí),g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個(gè)不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問題,關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.4、B【解析】
根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡(jiǎn)可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡(jiǎn)可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí),到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.5、C【解析】
利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡(jiǎn)得,即令,所以,故選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。7、C【解析】
結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.9、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于容易題.11、D【解析】
計(jì)算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對(duì)稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】,,,當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí),重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.12、C【解析】
計(jì)算出、,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場(chǎng)外有數(shù)萬名觀眾,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較,涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由外接圓面積,求出外接圓半徑,然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角,從而有,于是可得三角形邊長(zhǎng),可得面積.【詳解】設(shè)外接圓半徑為,則,由正弦定理,得,∴,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角,然后可得邊長(zhǎng),從而得面積,掌握正弦定理是解題關(guān)鍵.14、【解析】
甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.15、【解析】
首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值,由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù),根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大,然后向兩邊對(duì)稱遞減,所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算,考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.16、【解析】
由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計(jì)算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點(diǎn),∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補(bǔ)角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)見解析【解析】
(1)由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W是橢圓,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算和點(diǎn)A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),再表示出點(diǎn)N和Q的坐標(biāo),根據(jù)題意求出的值,即可判斷結(jié)果是否成立.【詳解】(1)由題知,,所以,因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,又知,,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又由題知,所以,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,由題知,所以,即,所以,又因?yàn)椋?,所以,所以為定值,且定值?.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題,考查拋物線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)在曲線上的代換,也考查了推理與運(yùn)算能力,是中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用絕對(duì)值三角不等式求得的最小值,利用分析法,結(jié)合基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),不等式,即或或,即有或或,所以所求不等式的解集為.(2),,因?yàn)?,,所以要證,只需證,即證,因?yàn)?,所以只要證,即證,即證,因?yàn)?,所以只需證,因?yàn)椋猿闪?,所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,考查分析法證明不等式,考查基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.19、(1)(2){1,2}.【解析】
(1)求解導(dǎo)數(shù),表示出,再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍;(2)表示出,結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求出的最小值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值,從而可求正整數(shù)k的取值集合.【詳解】(1)因?yàn)椋?,所以,則,由題意可知,解得;(2)由(1)可知,,所以因?yàn)檎淼?,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,又因?yàn)椋源嬖?,使得,設(shè),是關(guān)于開口向上的二次函數(shù),則,設(shè),則,令,則,所以單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以存在,使得,即,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,又由題意可知,所以,解得,所以正整數(shù)k的取值集合為{1,2}.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問題,恒成立問題要逐步消去參數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題求解,適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵,本題綜合性較強(qiáng),難度較大,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).20、(1)見解析;
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