黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)高數(shù)教案

教案課程:高等數(shù)學(xué)學(xué)時(shí):24班級(jí):教師:黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué) 第1次課課目課時(shí)2目的要求掌握空間直角坐標(biāo)系的建立方法掌握向量之間的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算重點(diǎn)難點(diǎn)空間兩點(diǎn)的距離、向量的概念兩向量平行的判定定理教學(xué)組織用平面直角坐標(biāo)引入空間直角坐標(biāo)的建立，進(jìn)而給出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)，然后給出向量的坐標(biāo)運(yùn)算等。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋特殊地，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離例１設(shè)有三點(diǎn)、、，求證是等腰三角形。例２設(shè)有兩點(diǎn)A（-4，1，7）和B（3，5，-2），在軸上求與和等距離的點(diǎn)。運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：負(fù)向量：設(shè)為一向量，與的模相同但方向相反的向量叫做的負(fù)向量，記作，由此我們規(guī)定兩個(gè)向量與的差為。三角不等式：及三、向量與數(shù)的乘法(講授法推證法30分)1、定義：向量與實(shí)數(shù)的乘積記作，規(guī)定是一個(gè)向量，它的模為，它的方向當(dāng)時(shí)與相同，當(dāng)時(shí)與相反。當(dāng)時(shí)，，即為零向量，這時(shí)它的方向可以是任意的。數(shù)與向量的乘積具有下列運(yùn)算律：結(jié)合律：；分配律：；。由于向量與平行，因此我們常用向量與數(shù)的乘積來(lái)說(shuō)明兩個(gè)向量的平行關(guān)系。2、定理設(shè)向量，那么向量平行于向量的充分必要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使。3、單位向量與向量之間的關(guān)系：例1在平行四邊形中，設(shè)=，=，試用和表示向量，這里M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)。作業(yè)：第2次課課目課時(shí)2目的要求1、掌握向量在軸上的投影概念及其性質(zhì)2、掌握向量的分向量、向量的坐標(biāo)3、掌握數(shù)量積、向量積的定義重點(diǎn)難點(diǎn)向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積、向量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律教學(xué)組織在點(diǎn)的投影的基礎(chǔ)上，逐步給出分向量、向量的坐標(biāo)的概念。重點(diǎn)講解數(shù)量積與向量積的性質(zhì)及其運(yùn)算。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋§7.3向量的坐標(biāo)一、向量在坐標(biāo)軸上分向量與向量的坐標(biāo)(講授法10分)分向量、基本單位向量，向量按基本單位的分解式。，，所以有或設(shè)，，則或根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算可知，若向量且與平行，則，用坐標(biāo)表示為這就相當(dāng)于向量與對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例：三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式(講授法10分)非零向量的方向角。、及，，與向量同方向的單位向量為：§7.4數(shù)量積、向量積兩向量的數(shù)量積(講授法推證法25分)數(shù)量積：兩個(gè)向量和的模與它們的夾角（）的余弦的乘積叫做兩個(gè)向量與的數(shù)量積，記作，即。性質(zhì)：（１）(2)對(duì)于兩個(gè)向量、，如果，那么，反之如果，那么。運(yùn)算律：交換律；結(jié)合律；分配律例1試用向量證明三角形的余弦定理。設(shè)向量，，則兩向量的數(shù)量積的表達(dá)式：。這說(shuō)明，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和。由于，故對(duì)兩個(gè)非零向量和，它們之間夾角余弦的計(jì)算公式為例2已知三點(diǎn)、和，求。兩向量的向量積(講授法推證法25分)向量積：兩個(gè)向量與的向量積是一個(gè)向量，它的模為（其中是與的夾角）它的方向垂直于和所決定的平面（既垂直于又垂直于），其指向按右手法則從轉(zhuǎn)向來(lái)確定，記為。性質(zhì)：（1）（２）兩個(gè)向量平行的充分必要條件是它們的向量積為零向量。運(yùn)算律：（１）；（２）結(jié)合律（是數(shù)）；（３）分配律兩向量的向量積的表達(dá)式。為了便于記憶，可將與的向量積寫(xiě)成如下行列式的形式設(shè)例5已知三角形的頂點(diǎn)分別為，、，求三角形的面積。作業(yè)：第3次課課目課時(shí)2目的要求1、使學(xué)生能夠熟練的應(yīng)用點(diǎn)法式方程、一般方程來(lái)求平面的方程。2、掌握兩平面的夾角計(jì)算公式，點(diǎn)到平面的距離公式。3、掌握如何利用空間直線的一般方程、對(duì)稱式方程、參數(shù)方程來(lái)求方程4、掌握兩直線的夾角公式、直線與平面的夾角公式。重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)法式方程、一般方程，直線參數(shù)方程兩平面的夾角對(duì)稱式方程、平面束方程教學(xué)組織根據(jù)高中的線面垂直定理得出平面的點(diǎn)法式方程，進(jìn)而推出平面的一般方程，根據(jù)概念推出兩平面夾角公式。形象化的給出空間直線的一般方程，利用平行定理得出直線的對(duì)稱式方程，重點(diǎn)講解兩直線的夾角、直線與平面的夾角。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋設(shè)是平面上一點(diǎn)，是平面的一個(gè)法向量下面建立此平面的方程。在該平面上任取一點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即它們的?shù)量積為零，即，由于，，所以（１）這就是平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程。例１求過(guò)點(diǎn)，且以為法向量的平面的方程。例２已知平面上的三點(diǎn)、及，求此平面的方程。二．平面的一般方程(講授法25分)平面的一般方程：若，則表示經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的平面；若，則表示與軸平行的平面；同樣表示與軸平行的平面，表示與軸平行的平面；若，則表示平行于平面；同樣表示平行于平面，表示平行于平面；若，則表示坐標(biāo)平面；同樣表示坐標(biāo)平面，表示坐標(biāo)平面；若，則表示經(jīng)過(guò)軸的平面；同樣表示經(jīng)過(guò)軸的平面，表示經(jīng)過(guò)軸的平面；例３一個(gè)平面通過(guò)軸和點(diǎn)的平面的方程。例４求過(guò)三點(diǎn)、、的平面的方程（其中為不等于零的常數(shù)）一．空間直線的一般方程(講授法5分)二．空間直線的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程(講授法35分)當(dāng)直線上的一點(diǎn)和它的方向向量已知時(shí)，直線的位置就完全可以確定了。參數(shù)方程例1求過(guò)點(diǎn)(0,2,4)且于兩平面和平行的直線方程。例2求直線的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程。三、練習(xí)（講練結(jié)合法10分）第4次課課目7.7二次曲面課時(shí)2目的要求掌握橢球面、拋物面、雙曲面的方程及其圖形重點(diǎn)難點(diǎn)橢球面、拋物面、雙曲面的方程及其圖形橢球面、拋物面、雙曲面的方程及其圖形教學(xué)組織利用教具使二次曲面形象結(jié)合，把方程與其圖像建立統(tǒng)一關(guān)系。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋橢球面(講授法、教具演示法20分)1、橢球面的方程：與坐標(biāo)面的交線：與平面的交線2、旋轉(zhuǎn)橢球面二、拋物面(講授法教具演示法20分)1、橢圓拋物面方程：（同號(hào)）與平面去截割橢圓拋物面，所得截痕曲線為橢圓若用平行于的平面去截割橢圓拋物面，所得的截痕曲線為拋物線2、旋轉(zhuǎn)拋物面：它被平行于面的平面所截得的截痕是圓3、由方程所表示的曲面叫做雙曲拋物面或馬鞍面。三、雙曲面(講授法教具演示法10分)1、單葉雙曲面：用平行于平面的平面截曲面所得截痕是中心在軸上的橢圓平行于平面的平面截曲面所得截痕是中心在軸上的雙曲線2、雙葉雙曲面：作業(yè)：教材第5次課課目§8.1多元函數(shù)的基本概念課時(shí)２目的要求1、理解概念：鄰域，區(qū)域，n維空間，多元函數(shù)2、掌握多元函數(shù)極限的求法及其連續(xù)性。重點(diǎn)難點(diǎn)應(yīng)用多元函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限。有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)組織從一元函數(shù)出發(fā)，引出多元函數(shù)的概念及其定義域，多元函數(shù)的連續(xù)性及其極限，閉區(qū)域上的連續(xù)性質(zhì)。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋一，區(qū)域(講授法30分) 1，鄰域：設(shè)p(x)是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù)，與點(diǎn)p的距離小于的點(diǎn)全體，稱為點(diǎn)p的鄰域，記為U(p,). 2,區(qū)域：1）內(nèi)點(diǎn)2）開(kāi)集3）邊界點(diǎn)4）邊界5）連通6）區(qū)域7）閉區(qū)間8）有界點(diǎn) 3，n維空間：1）定義 2）兩點(diǎn)距離公式二，多元函數(shù)概念(講授法20分)1）定義1：設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集,如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)p(x,y)D，變量z按照一定法則總有確定的值和它，則稱z是變量的二元（或點(diǎn)的函數(shù)），記為z=f(x,y).點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x,y稱為自變量，z稱為因變數(shù)。 2）定義域及圖形三，多元函數(shù)的極限(講授法15分)1）定義2：設(shè)函數(shù)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，p(x是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式0=的一切點(diǎn)，都有成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作f(x,y)=A,或f(x,y)A(),.四，多元函數(shù)的連續(xù)性(講練結(jié)合法35分)1、定義 2、閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1）最值定理 2）介值定理 3、多元函數(shù)的連續(xù)性運(yùn)算 1）四則運(yùn)算2）復(fù)合函數(shù)3）初等函數(shù)作業(yè)：第6次課課目§8.2偏導(dǎo)數(shù)§8.3全微分及其應(yīng)用課時(shí)２目的要求1、掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義及計(jì)算法，幾何意義。2、掌握偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的關(guān)系，高階偏導(dǎo)數(shù)定以及性質(zhì)。3、掌握全微分的定義及可微的條件。4、理解可微、連續(xù)、偏導(dǎo)之間的關(guān)系。重點(diǎn)難點(diǎn)有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的關(guān)系;全微分的定義、可微分、連續(xù)、偏導(dǎo)之間的關(guān)系求高階偏導(dǎo)數(shù);全微分的定義、可微分、連續(xù)、偏導(dǎo)之間的關(guān)系。教學(xué)組織從一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例導(dǎo)入多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，重點(diǎn)講多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法，強(qiáng)調(diào)指出高偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的關(guān)系。根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，得出全微分的概念。強(qiáng)調(diào)指出全微分與可微分的區(qū)別與聯(lián)系，重講解可微與連續(xù)、偏導(dǎo)之間的關(guān)系主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋一、偏導(dǎo)數(shù)定義及計(jì)算法(講練結(jié)合法5分)1.定義:f或f或2．偏導(dǎo)函數(shù)(講授法5分)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么此偏導(dǎo)數(shù)仍是的函數(shù)，它就稱為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作或類似地，可以定義函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作或從偏導(dǎo)函數(shù)的概念可知，在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值；就是偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值。從偏導(dǎo)函數(shù)的概念我們還可以看出，求的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)質(zhì)上還是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如求時(shí)，只要把看作常量而對(duì)求導(dǎo)數(shù)，求時(shí)，只要把看作常量而對(duì)求導(dǎo)數(shù)。3．幾何意義（講授法5分)）表示曲線在點(diǎn)處切線對(duì)軸的斜率（如圖8-6），同理偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處切線對(duì)軸的斜率。4．偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系。（講授法5分)） 1）一元函數(shù)與多元函數(shù)的區(qū)別（可導(dǎo)性） 2）Z=f(x,y)= 偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定連續(xù)。講授法15分)例1求在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)。例２求的偏導(dǎo)數(shù)。例3求的偏導(dǎo)數(shù)。二、高階偏導(dǎo)數(shù)(講練結(jié)合法15分) 1、定義： 2、定理：若函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 3、應(yīng)用舉例例５求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。例6驗(yàn)證函數(shù)滿足方程。一、全微分的定義(講授法推證法20分) 1.偏增量、偏微分、全增量。 2全微分定義： 則z=f(x,y)在點(diǎn)（x,y）可微，且其全微分為dz=A3函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可微4可微和連續(xù)關(guān)系：函數(shù)可微則其必連續(xù)，但函數(shù)連續(xù)不一定可微二、可微的條件(推證法10分只正一必要條件)1、必要條件：可微可導(dǎo)且dz=2、充分條件：偏導(dǎo)連續(xù)可微分 函數(shù)可微但其偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)。 舉例：f(x,y)=三、迭加原理(講練結(jié)合法20分)二元：dz= 三元：du=四、應(yīng)用舉例例１計(jì)算函數(shù)的全微分。例２計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)處的全微分。作業(yè)： 第7次課課目§8.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課時(shí)２目的要求1、掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則并能靈活應(yīng)用2、掌握全微分形式的不變性。重點(diǎn)難點(diǎn)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)。教學(xué)組織直接給出第一個(gè)定理的內(nèi)容，然后逐步推廣到其它幾種不同的情形，詳細(xì)的講解復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋一、中間變量是一元函數(shù)(講練結(jié)合法20分)1、在t可導(dǎo)，z=f(u,v)在（u,v）偏導(dǎo)連續(xù)，則 2、在t可導(dǎo)，z=f(u,v,w)偏導(dǎo)連續(xù)，則 +二、中間變量時(shí)多元函數(shù)(講練結(jié)合法50分) 1、 在（x,y）偏導(dǎo)存在，z=f(u,v)在（u,v）偏導(dǎo)連續(xù),則 2、 在(x,y)偏導(dǎo)存在，z=f(u,v,w)偏導(dǎo)連續(xù)，則+ +3、Z=f,則 例１設(shè)，而，，求和。設(shè)，求和。設(shè)，而，求和。設(shè)，而，，求。三、復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)(講練結(jié)合法30分)1、 2、全微分形式不變性dz==例6、求的全微分。作業(yè)：第8次課課目§8.5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式課時(shí)２目的要求1、能夠靈活的運(yùn)用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。2、掌握隱函數(shù)存在定理的靈活應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)三個(gè)隱函數(shù)存在定理應(yīng)用。方程組中隱函數(shù)的求法。教學(xué)組織介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元函數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)法來(lái)導(dǎo)出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。重點(diǎn)練習(xí)求導(dǎo)公式。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋一、情形一(講練結(jié)合法20分)1、F(x,y)=0 F(x,y)滿足：1 2）F(x)=0 3)F則存在點(diǎn)p(x的U(p),有唯一確定的單值連續(xù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，y=f(x),y),例1、驗(yàn)證方程在點(diǎn)（0，1）的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x)，并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x=0的值。二、情形二1、F(x,y,z)=0 F(x,y,z)滿足：1 2）F(x,z)=0 3)F則方程F(x,y,z)=0在某U(p恒能唯一確定單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y),滿足z=(x 并有 例2、設(shè)求，作業(yè)：第9次課課目§8、8多元函數(shù)的極值及其求法課時(shí)２目的要求掌握極值定義，極值的必要條件和充分條件。會(huì)求二元函數(shù)的極值3、掌握拉格郎日乘法確定條件極值重點(diǎn)難點(diǎn)多元函數(shù)的極值及最值拉格朗日乘數(shù)法教學(xué)組織用實(shí)例得出多元函數(shù)的最大值、最小值概念，并以二元函數(shù)為例講解多元函數(shù)的極值與最值。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋一．極值的概念及確定(講授法60分)1、定義：多元函數(shù)的極值2、必要條件1）定理１：設(shè)在偏導(dǎo)存在，且在處有極值，則，2）駐點(diǎn)：使，同時(shí)成立的點(diǎn)。3、充分條件定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，令則在點(diǎn)處是否取得極值的條件如下：(1)時(shí)有極值，當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值。(2)沒(méi)有極值。(3)時(shí)，極值不存在。4、二元函數(shù)極值的確定１）步驟：(1)令，，求解出駐點(diǎn) (2)、求 (3)、根據(jù)的符號(hào)判定例４求函數(shù)的極值。在實(shí)際問(wèn)題中，通常會(huì)遇到這種情況：已知函數(shù)的最大值和最小值一定在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么可以肯定該點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值或最小值。例5某工廠用鋼板制造容積為２立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)怎樣選取長(zhǎng)、寬、高才最省鋼板？二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法(推證法40分)1、條件極值的定義。2、確定：１）轉(zhuǎn)化成無(wú)條件極值 ２）拉格朗日乘數(shù)法3、拉格朗日乘數(shù)法求在條件下的極值(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(2)求并令其為零 (3)解三元一次方程組 解該方程組得到的就有可能是所求的極值點(diǎn)這種方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形，例如，要求函數(shù)在條件（６）下的極值，可以先構(gòu)成函數(shù)其中為待定常數(shù)，再求出對(duì)自變量的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程（６）聯(lián)立起求解，這樣得出的與就是可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。例7求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積。作業(yè)： 第10次課課目§9.1二重積分的概念與性質(zhì)課時(shí)２目的要求1、掌握二重積分概念與性質(zhì)2、靈活運(yùn)用可加性，不等式與估值定理。重點(diǎn)難點(diǎn)二重積分概念與性質(zhì)二重積分概念的理解。教學(xué)組織從曲頂柱體體積的求法過(guò)程中，得出二重積分的概念并運(yùn)用原始的概念推出二重積分的各種性質(zhì)。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋一、二重積分的概念(講授法50分)引例：1）、曲頂柱體的體積 2）、平面薄片的質(zhì)量 1、定義：2、二重積分存在條件3、幾何意義。二、二重積分的性質(zhì)(講授法50分)1、2、線性：3、可加性：若4、的面積，5、不等式：若在上，則6、絕對(duì)值不等式：7、估值定理：若則8中值定理：設(shè)作業(yè)： 第11次課課目§9.2二重積分的計(jì)算法課時(shí)２目的要求1、掌握二重積分化二次積分的方法。2、掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化。重點(diǎn)難點(diǎn)二重積分化二次積分積分限的確定及如何應(yīng)用正確的坐標(biāo)來(lái)解題。教學(xué)組織介紹二重積分化為兩次單積分計(jì)算方法，重點(diǎn)在于學(xué)生練習(xí)應(yīng)用二重積分的計(jì)算方法。主要內(nèi)容、教學(xué)方法、時(shí)間分配注釋一、直角坐標(biāo)中二重積分的計(jì)算(講授法50分)復(fù)習(xí)：1）二重積分的概念及幾何意義。 2）二重積分的性質(zhì)。1、型區(qū)域，2、，3、若積分區(qū)域既不是型區(qū)域又不是，可先其分成幾個(gè)型區(qū)域或，然后運(yùn)用積分區(qū)域的可加性進(jìn)行運(yùn)算。4、：又若，且f（x，y）可分離變數(shù)，例1計(jì)算，其中D是由直線y＝1、x＝2及y=x所圍成的閉區(qū)域．例2計(jì)算其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域．例3計(jì)算，其中D是由拋物線所圍成的閉區(qū)域．例4求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立的體積．二、極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(講授法50分)1、兩坐標(biāo)轉(zhuǎn)化：2、計(jì)算公式：