第06講 等邊三角形（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第06講等邊三角形1.理解等邊三角形的定義.2.探索并證明等邊三角形的性質(zhì)定理.3.探索并掌握等邊三角形的判定定理.4.通過探究掌握30°角的直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用.5.經(jīng)過應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)與判定的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力.6.通過探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)的過程；增強學(xué)生對特殊直角三角形的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力.知識點1等邊三角形的概念與性質(zhì)等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°知識點2等邊三角形的判定（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點3含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.知識點4：直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【題型1等邊三角形的性質(zhì)】【典例1】（2022秋?峨邊縣期末）如圖，等邊△ABC的邊長為2，AD是BC邊上的高，則高AD的長為（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：∵等邊△ABC的邊長為2，AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝1，由勾股定理得：AD＝＝＝，故選：B．【變式1-1】（2022春?漳州期中）在△ABC中，AB＝AC＝BC，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，故選：C．【變式1-2】（2022秋?紫陽縣期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且∠E＝30°，則CE的長是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解答】解：∵等邊△ABC的邊長AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故選：B．【變式1-3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD⊥BC于點D，則AD的長為（）A．3 B．6 C．3 D．3【答案】D【解答】解：在等邊△ABC中，∵AD⊥BC，∴D為BC的中點，∵等邊三角形的邊長為6，∴AB＝6，BD＝3，根據(jù)勾股定理，得AD＝＝3，故選：D．【典例2】（2022?金牛區(qū)校級模擬）如圖，l1∥l2，等邊△ABC的頂點A、B分別在直線l1、l2，則∠1+∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠CBA+∠BAC+∠2＝180°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠CBA＝∠BAC＝60°，∴∠1+∠2＝180°﹣（∠CBA+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，故選：D．【變式2-1】（2022?長安區(qū)一模）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】A【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，過B作BM∥直線a，∴∠ABM＝∠1＝40°，∴∠MBC＝60°﹣∠ABM＝60°﹣40°＝20°，∵直線a∥直線b，∴直線b∥BM，∴∠3＝∠MBC＝20°，∵∠3+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣20°﹣60°＝100°，故選：A．【變式2-2】（2022?玉田縣二模）如圖，AD是等邊△ABC的中線，AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．25° D．15°【答案】D【解答】解：∵AD是等邊△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故選：D．【題型2等邊三角形的判定】【典例3】（2022秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）若點D為線段EC的中點，求證：△ADE是等邊三角形．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AE＝BE，∴∠B＝∠EAB，∴∠EAB＝30°，∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，即∠CAE＝90°；（2）方法一：證明：由（1）知，∠CAE＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AEC＝60°，∴∠DEA＝60°，∵點D為線段EC的中點，∴AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，又∵∠DEA＝60°，∴∠DEA＝∠DAE＝60°，∴∠ADE＝60°，∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，∴△ADE是等邊三角形．方法二：證明：由（1）知，∠CAE＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AEC＝60°，AE＝CE，∴∠DEA＝60°，∵點D為EC的中點，∴AD＝CE＝DE，∴AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形．【變式3-1】（2022秋?寬城區(qū)校級期中）如圖，在△EBD中，EB＝ED，點C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點，EA＝EC．（1）求∠EBC的度數(shù)；（2）求證△ABC為等邊三角形．【解答】解：（1）∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°，∠EBC＝30°．（2）證明：∵BE⊥CE，AE＝CE，∴BE垂直平分AC，∴AB＝BC．∵∠ECB＝60°．∴△ABC是等邊三角形．【變式3-2】（2022春?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)為垂足，求證：△DEF是等邊三角形．【解答】證明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△BDE與△CDF中，，∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF是等邊三角形．【典例4】（2022秋?石泉縣期末）已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【解答】證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF為等邊三角形．【變式4-1】（2022?大冶市模擬）在等邊三角形ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求證：△ABP≌△CAQ；（2）請判斷△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∵∠BAP+∠CAP＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，∴△APQ是等邊三角形．【變式4-2】（2022秋?岳池縣期末）如圖，等邊△ABC中，點D在延長線上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．說明：△ADE是等邊三角形．【解答】證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，即∠ACD＝120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE為等邊三角形．【變式4-3】（2022秋?東莞市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，點E在BC的延長線上，且BD＝DE．（1）若點D是AC的中點，如圖1，求證：AD＝CE．（2）若點D不是AC的中點，如圖2，試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（提示：過點D作DF∥BC，交AB于點F）【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D為AC中點，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）AD＝CE，如圖2，過D作DF∥BC，交AB于F，則∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等邊三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE，∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．【題型3：等邊三角形的判定與性質(zhì)】【典例5】（2022秋?紅塔區(qū)校級期末）如圖：已知在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：DE＝DF；（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周長．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等邊對等角）．∵D是BC的中點，∴BD＝CD．在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．∴DE＝DF（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC為等邊三角形．∴∠B＝60°，∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，∵BE＝1，∴BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周長為12．【變式5-1】（2022秋?永川區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周長．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵D是BC中點，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（2）證明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周長＝4×3＝12，【變式5-2】（2022秋?路北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD＝3，求DF的長．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝3，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝6【題型4：含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【典例6】（2022秋?陽江期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），∵AD＝3cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．∴AB的長度是12cm．故選：D．【變式6-1】（2022秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，則AB的長是（）A．8 B．1 C．2 D．4【答案】A【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8．故選：A．【變式6-2】（2022春?碑林區(qū)校級月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝8，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則△PMN的周長是（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【解答】解：過P作PD⊥OB于點D，在Rt△OPD中，∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP＝×8＝4，∴PD＝，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴PM＝，∴△PMN的周長為：PM+PN+MN＝7+7+2＝16．故選：C．【變式6-3】（2022?蘭州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB為等邊三角形，頂點A的坐標(biāo)為A（4，0），則頂點B的坐標(biāo)為（）A． B． C．（2，4） D．【答案】A【解答】解：過點B作BC⊥AO，垂足為C，∵A（4，0），∴OA＝4，∵△OAB為等邊三角形，∴OB＝BA＝OA＝4，∴OC＝OA＝2，∴BC＝＝＝2，∴B（2，2），故選：A【題型5：直角三角形斜邊上中線定理】【典例7】（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，AB＝12，則CD的長等于（）A．5 B．4 C．8 D．6【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，∴CD＝AB，∵AB＝12，∴CD＝6．故選：D．【變式7-1】（2022秋?高新區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，CD＝3，AC＝2，則BC的長為（）A．3 B．4 C．6 D．【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，點D是斜邊AB的中點，∴AB＝2CD，∵CD＝3，∴AB＝6，在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，故選：D．【變式7-2】（2022秋?太原期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，AC＝8，AB＝12，則CD的長等于（）A．5 B．4 C．8 D．6【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，∴CD＝AB，∵AB＝12，∴CD＝6．故選：D1．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解答】解：在等邊△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC邊上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故選：C．2．（2022?鞍山）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故選：A．3．（2021?益陽）如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝40°，則∠EAB等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，∵△ACE為等邊三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．故選：C．4．（2021?新疆）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于點D，E是AB的中點，則DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中點,AB＝4，∴CE＝BE＝,∴△BCE為等邊三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD＝,故選：A．5．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為2cm．【答案】2．【解答】解：∵直尺的兩對邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．故答案為：2．6．（2021?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連接BD．若CD＝1，則AD的長為2．【答案】2．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠A＝30°，∴∠ABD＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∵CD＝1，∴BD＝2CD＝2，∴AD＝2．故答案為2．7．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝3．【答案】3．【解答】解：∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC＝＝6，∵E為AC的中點，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝3，故答案為：3．1．（2023春?海淀區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC中點，若BD＝2，則AC的長是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝90°，點D為斜邊AC的中點，∴AC＝2BD，∵BD＝2，∴AC＝4，故選：C．2．（2023?清江浦區(qū)一模）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為??（）A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故選：A．3．（2023春?青秀區(qū)期中）如圖，△ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，延長BC到點E，使CE＝CD＝1，則DE的長為（）A．1.5 B．2 C． D．【答案】C【解答】解：∵CE＝CD＝1，∴∠E＝∠CDE，∵△ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠BDC＝90°，∴BC＝2CD＝2，∴BD＝＝＝，∵∠ACB＝60°，且∠ACB為△CDE的外角，∴∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠DBE＝∠E＝30°，∴DE＝DB＝．故選：C．4．（2023春?靖江市校級月考）一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示．若∠3＝60°，則∠1+∠2＝（）A．120° B．180° C．90° D．130°【答案】C【解答】解：如圖：由題意可得，∠4＝90°，∠5＝∠6＝60°，∵∠3＝60°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠3﹣∠4﹣∠5﹣∠6＝360°﹣60°﹣90°﹣60°﹣60°＝90°．故選：C．5．（2022秋?白云區(qū)期末）在△ABC中，若AB＝BC，則△ABC是（）A．不等邊三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【解答】解：在△ABC中，若AB＝BC，則△ABC是等腰三角形．故選：D．6．（2022秋?裕華區(qū)校級期末）下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C【答案】D【解答】解：A、由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意．B、由“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意．C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，則由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意．D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本選項符合題意．故選：D．7．（2023春?牡丹區(qū)校級月考）由于木質(zhì)衣架沒有柔性，所以在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm．若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是（）A．9cm B．16cm C．18cm D．20cm【答案】C【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝18cm，故選：C．8．（2023春?舞鋼市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，若AC＝12，則AD的長是（）A．6 B．8 C． D．【答案】B【解答】解：連接BD，如圖所示：∵DE是AB的垂直平分線，∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴，∴，∵AC＝12，∴．故選：B．9．（2023春?澗西區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，點E是AB上方一點，且AE＝BE，連接DE，若CD＝3，AE＝7，則DE的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，∴CD＝AD＝BD＝AB＝3，∵AE＝BE＝7，∴ED⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，故選：B．10．（2023春?安達(dá)市校級月考）若等邊△ABC的邊長為4，那么△ABC的面積為（）A． B． C．8 D．4【答案】B【解答】解：過點A作AD⊥BC，交BC于點D，如圖，因為△ABC是等邊三角形，所以BD＝CD＝BC＝2，在Rt△ABD中，由勾股定理可知AD＝，所以．故選：B．11．（2023春?貴陽期中）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝12，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：過P作PC⊥ON，∵∠AOB＝60°，PC⊥ON，∴∠OPC＝90°﹣60°＝30°，∵OP＝12，∴OC＝OP＝6，∵PC⊥ON，PM＝PN，MN＝2，∴MC＝MN＝1，∴OM＝OC﹣MC＝6﹣1＝5，故選：C．12．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，則BD的長為（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，∴BC＝AB＝4，∠B＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝2，故選：B．13．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于點D，E是AB的中點，若DE＝2.5，則AB的長為（）A．2.5 B．5 C．7.5 D．10【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵E是AB的中點，∴CE＝BE＝AB，∴△BCE為等邊三角形，∵CD⊥AB，DE＝2.5，∴BE＝2DE＝5，∴AB＝2BE＝10，故選：D．14．（2023?濟南模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2BC＝4，以點B為圓心，BC長為半徑作弧，與AC交于點D．則線段CD的長為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解答】解：作BH⊥CD于H，∴CH＝HD，令CH＝x，∵AB＝AC＝2BC＝4，∴BC＝2，AH＝4﹣x，∵BH2＝BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，∴x＝，∴CD＝2CH＝1，故選：B．15．（2023春?薛城區(qū)月考）如圖，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，則AB的長為（）A．2 B． C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，則AD＝CD＝1，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，則BD＝，故AB＝AD+BD＝+1．故選：D．16．（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．點D，E在BC邊上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形．【答案】（1）30°；（2）證明見解析．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∴∠C＝30°；（2）證明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△AED為等邊三角形．17．（2023?岳麓區(qū)校級模擬）如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E．（1）求證：△ADE是等邊三角形．（2）求證：AE＝AB．【答案】見解答．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等邊三角形．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．18．（2023?襄州區(qū)開學(xué)）如圖，過等邊△ABC的頂點A，B，C依次作AB，BC，CA的垂線MG，MN，NG，三條垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠CBM＝∠BAM＝90°．∴∠ABM＝90°﹣∠ABC＝30°．∴∠M＝90°﹣∠ABM＝60°．同理：∠N＝∠G＝60°．∴△MNG為等邊三角形．19．（2023春?市北區(qū)期中）如圖，△ABC中，