壓軸題01集合新定義、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)13題型 （學(xué)生版）

壓軸題01集合新定義、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)13題型匯總命題預(yù)測本專題考查類型主要涉及點為集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合類型，尤其以性定義為主，同時包含了多個知識點的綜合問題預(yù)計2024年后命題會再新定義以及知識點的綜合方面進(jìn)行考察。高頻考法題型01函數(shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合題型02構(gòu)造法比較函數(shù)的大小題型03抽象函數(shù)問題題型04同構(gòu)相關(guān)問題題型05函數(shù)性質(zhì)綜合問題題型06放縮與裂項相消法的運(yùn)用題型07集合新定義問題題型08函數(shù)新定義問題題型09集合、函數(shù)與數(shù)列結(jié)合新定義問題題型10函數(shù)新考點問題題型11多個函數(shù)數(shù)形結(jié)合問題題型12函數(shù)最值與取值范圍問題題型13三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問題01函數(shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合數(shù)列與導(dǎo)函數(shù)結(jié)合的題目，關(guān)鍵是找到兩者間的遞推關(guān)系或通項關(guān)系，理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項，利用數(shù)列的求和方法求出對應(yīng)數(shù)列的和即可。1.（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx滿足fx=f1?x,f'x為fx2.（2024·安徽蕪湖·二模）在數(shù)列an中，Sn為其前n項和，首項a1=1，且函數(shù)A．26 B．63 C．57 D．253.（2024·浙江·二模）已知函數(shù)fx滿足對任意的x,y∈1,+∞且x<y都有fx?y1?xy=f1A．f253385 B．f253380 C．4.（2024·上海閔行·二模）已知定義在（0,+∞）上的函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為fx=sin(1)求函數(shù)y=fx在區(qū)間0,(2)求證：函數(shù)y=fx在區(qū)間nπ,(3)求證：π<5.（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)fx=ln①任取ai=a（其中a>0），并令正整數(shù)②求函數(shù)fx圖象在ai,fai③判斷ai+1④令i=i+1，返回第②步；⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列an的項依次為a根據(jù)以上信息回答下列問題：(1)求證：ai+1(2)是否存在實數(shù)a使得an為等差數(shù)列，若存在，求出數(shù)列an的項數(shù)n；若不存在，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：02構(gòu)造法比較函數(shù)的大小構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.6.（2024·浙江臺州·二模）已知x，y為正實數(shù)，則可成為“x<y”的充要條件的是（

）A．1x<1C．sinx<siny7.（2024·吉林延邊·一模）已知α，β均為銳角，且lnα?A．sinα<sinβC．cosα<sinβ8.（多選）（23-24高三上·江西贛州·期末）若正數(shù)a，b滿足a+b=1，則（

）A．log2a+logC．a(chǎn)+lnb<0 9.（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)a=sinA．a(chǎn)>c>b B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b10.（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=(1+x)(1)討論fx(2)若0<b≤a<1，證明：aa03抽象函數(shù)問題對于含有x,y的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有x,y雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項來決定.11.（多選）（2024·浙江臺州·二模）已知fx是定義域為xx≠0的非常數(shù)函數(shù)，若對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，y均有A．f1=2 B．fC．fx=f1x12.（2024·四川瀘州·二模）已知fx，gx都是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y滿足fx?yA．g0=?1 B．若fC．函數(shù)f2x?1的圖像關(guān)于直線x=12對稱13.（2024·四川瀘州·二模）已知fx，gx都是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y滿足fx?yA．g0=0 B．若fC．函數(shù)f2x?1的圖象關(guān)于直線x=12對稱14.（2024·安徽·二模）已知函數(shù)y=fxx≠0滿足fxy=fxA．fx為奇函數(shù) B．若f2x+1C．若f2=12，則f102415.（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，若fx是奇函數(shù)，f2A．f'1=C．k=120fk04同構(gòu)相關(guān)問題同構(gòu)幾技巧：與ex和ln①aea≤blnb?②eaa<bln③ea±a>b±lnb?e16.（2024·浙江臺州·二模）已知關(guān)于x的不等式lnx+1≤axe17.（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式e?1lnx+ax≥xeA．0,2+2ln2 B．1e,e 18.（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式a(lnx+lna)≤2eA．(0,e] C．(0,e] 19.（23-24高三上·浙江寧波·期末）對任意x∈(1,+∞)，函數(shù)f(x)=a20.（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知正數(shù)a,b滿足lnb+1b4≤05函數(shù)性質(zhì)綜合問題21.（2024·浙江杭州·二模）設(shè)集合M={?1,1}，N={x|x>0且x≠1}，函數(shù)fx=ax+λA．?λ∈M,?a∈N,fx為增函數(shù) B．?λ∈M,?a∈N,fC．?λ∈M,?a∈N,fx為奇函數(shù) D．?λ∈M,?a∈N,f22.（多選）（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知f(x)=esin2x+2A．fx是周期為πB．fx在(?C．fx在(?2D．設(shè)gx=fx?x，則23.（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)fx的定義域為R，且fx+2?2為奇函數(shù)，f3x+1為偶函數(shù)，A．4036 B．4040 C．4044 D．404824.（2023·江西南昌·三模）若實數(shù)m,n滿足m3+6mA．-4 B．-3 C．-2 D．-125．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)fx=2sin2πA．x32+x42<8 B．06放縮與裂項相消法的運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)證明與整數(shù)n相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.26.（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=cosx+λln(1)求fx(2)若fx≤ax+1恒成立，求(3)求證：k=n+12n27.（2024·廣西·模擬預(yù)測）函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)當(dāng)a=1時，若fx1+f(3)求證：對于任意n∈N?都有28.（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數(shù)f(x)=ln(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性(2)證明：①當(dāng)a≥0時，f(x)≤0；②sin129.（2024·貴州黔西·一模）已知函數(shù)f(x)=9(1)判斷fx(2)證明:9130.（23-24高二下·山東·階段練習(xí)）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x)在x=0處的[m,n]階帕德近似定義為：R(x)=a0+a1x+?+amx（注：f″(x)=f'(x)'，f'''已知f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1,1]階帕德近似為(1)求實數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)x>0，f(x)>kR(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：?n∈N?，07集合新定義問題解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之外用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).31.（2024·浙江臺州·二模）設(shè)A，B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的y；同時B中的每一個元素y，都有一個A中的元素x與它對應(yīng)，則稱f：A→B為從集合A到集合B的一一對應(yīng)，并稱集合A與B等勢，記作A=B.若集合A與B之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱A與B不等勢，記作例如：對于集合A=N?，B=2nn∈N(1)已知集合C=x,yx2+y(2)證明：①0,1=②N?32.（多選）（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）對任意A,B?R，記A⊕B=xx∈A∪B,x?A∩B，并稱A⊕B為集合A,B的對稱差．例如：若A=A．若A,B?R且A⊕B=B，則A=?B．若A,B?R且A⊕B=?，則A=BC．若A,B?R且A⊕B?A，則A?BD．存在A,B?R，使得A⊕B≠33.（2024·北京順義·二模）已知點集Mn=x1,y1,x2,y2,?,xn,ynn≥3滿足0≤xi，(1)寫出M3=1,1,2,0(2)對于任意點集M3，求證：存在M3的一個優(yōu)劃分A,B，滿足(3)對于任意點集Mn，求證：存在Mn的一個優(yōu)劃分A,B，滿足XA34.（2024·北京豐臺·一模）已知集合Mn=x∈N?x≤2n（①a1②ak則稱集合Mn為“好集合”，并稱數(shù)陣T為M(1)已知數(shù)陣T=xyz67w12是M4(2)若集合Mn為“好集合”，證明：集合M(3)判斷Mnn=5,6是否為“好集合”．若是，求出滿足條件35.（2024·北京石景山·一模）已知集合Sn=XX=x1,x2,???,x(1)已知A=1,1,1,0∈S4，寫出所有的(2)已知I=1,1,???,1∈Sn，若A,B∈S(3)設(shè)集合P?Sn，P中有mm≥2個元素，若P中任意兩個元素間的距離的最小值為t08函數(shù)新定義問題針對一般的函數(shù)新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.36.（2024·浙江寧波·二模）定義：對于定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)，若存在實數(shù)c∈a,b，使得函數(shù)在區(qū)間a,c上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間c,b上單調(diào)遞減（遞增），則稱這個函數(shù)為單峰函數(shù)且稱c為最優(yōu)點.已知定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)fx是以c為最優(yōu)點的單峰函數(shù)，在區(qū)間a,b上選取關(guān)于區(qū)間的中心a+b2對稱的兩個試驗點x1,x2，稱使得fxi?fci=1,2較小的試驗點xi為好點（若相同，就任選其一），另一個稱為差點.容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點c與好點在差點的同一側(cè).我們以差點為分界點，把區(qū)間a,b分成兩部分，并稱好點所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為a1,b1，再對區(qū)間a1,b1重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間a2,b2，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間a3,b3,a(1)求證：函數(shù)fx(2)已知c為函數(shù)fx的最優(yōu)點，d為函數(shù)g（i）求證：c+d<π（ii）求證：xε注：2≈1.414,37.（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動點定理的基石．簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)fx，存在一個點x0，使得fx0=x0，那么我們稱fx為“不動點”函數(shù)．若fx存在nA．fx=1?lnC．fx=438.（多選）（2023·湖北·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)f(x)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)α?(0<α≤90°)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱f(x)為“A．存在90°旋轉(zhuǎn)函數(shù)B．80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)C．若g(x)=ax+1x為45°D．若?(x)=bxex為39.（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）設(shè)全集為U，定義域為D的函數(shù)y=fn(x)是關(guān)于x的函數(shù)“函數(shù)組”，當(dāng)n取U中不同的數(shù)值時可以得到不同的函數(shù)．例如：定義域為R的函數(shù)fn(x)=nx，當(dāng)U=N?時，有f1(x)=x,f2(x)=2x?若存在非空集合(1)設(shè)U=Z,D=(?∞,2]，若函數(shù)fn(x)=2(2)設(shè)fn(x)=4nx3?(6n+1)x2+2x,D=(1,+∞(3)設(shè)U=N?，fn(x)為A上的“跳躍函數(shù)”，D=(1,+∞（i）證明：A=n（ii）求實數(shù)a的最大值，使得對于任意n∈A，均有fn(x)的零點40.（2023·上海浦東新·二模）設(shè)P是坐標(biāo)平面xOy上的一點，曲線Γ是函數(shù)y=fx的圖象．若過點P恰能作曲線Γ的k條切線k∈N，則稱P是函數(shù)y=fx(1)判斷點O0,0與點A2,0是否為函數(shù)(2)已知0<m<π，gx=sinx(3)求函數(shù)y=x09集合、函數(shù)與數(shù)列結(jié)合新定義問題關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.41.（2024·河北石家莊·二模）設(shè)集合M是一個非空數(shù)集，對任意x,y∈M，定義ρ(x,y)=|x?y|，稱ρ為集合M的一個度量，稱集合M為一個對于度量ρ而言的度量空間，該度量空間記為(M,ρ).定義1：若f:M→M是度量空間(M,ρ)上的一個函數(shù)，且存在α∈(0,1)，使得對任意x,y∈M，均有：ρ(f(x),f(y))≤αρ(x,y)，則稱f是度量空間(M,ρ)上的一個“壓縮函數(shù)”.定義2：記無窮數(shù)列a0,a1,a2,?為ann=0+∞，若ann=0+(1)設(shè)f(x)=sinx+12，證明：(2)已知f:R→R是度量空間(R,ρ)上的一個壓縮函數(shù)，且a0∈R，定義an+1=fan，42.（2024·安徽蕪湖·二模）對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記m為K的一個對稱變換．例如，正三角形R在m1（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以m1是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應(yīng)關(guān)系，記m1=12331I．?a,b∈G，a°b∈G；II．?a,b,c∈G，a°b°c=a°Ⅲ．?e∈G，?a∈G，a°e=e°a=a；Ⅳ．?a∈G，?a?1∈G對于一個群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的a?1為a在群G中的逆元．一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的代數(shù)運(yùn)算°

(1)直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；(2)同一個對稱變換的符號語言表達(dá)形式不唯一，如m1=123①證明集合S對于給定的代數(shù)運(yùn)算*來說作成一個群；②已知H是群G的一個子群，e，e'分別是G，H的單位元，a∈H，a?1，a'分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，e'之間的關(guān)系以及③寫出群S的所有子群．43.（22-23高三下·北京·開學(xué)考試）給定整數(shù)n≥3，由n元實數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集T=a?b∣a?b∈S,a≠b，如果minT(1)判斷A=?0.1,?1.1,2,2.5、B=(2)任取一個n元規(guī)范數(shù)集S，記m、M分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：minS(3)當(dāng)S=a1,注：minX、maxX分別表示數(shù)集44.（2024·福建廈門·二模）設(shè)集合A=?1,0,1，B=x1,xA．60 B．100 C．120 D．13045.（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組a1,a2表示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組a1,a2,a3表示．一般地，n維空間向量用n元有序數(shù)組a1,a2,?,a(1)若空間向量a1,a2,(2)對于空間向量a1,a2,?,an．若1(3)若空間向量a1,a2,a310函數(shù)新考點問題46.（2024·浙江寧波·二模）已知集合P=x,y|x4+ax?2024=0且xy=2024，若PA．?∞,?2023∪C．?∞,?2024∪47.（2024·廣西·二模）記函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為y'，y'的導(dǎo)函數(shù)為y″，則曲線y=fxA．23 B．22 C．2348.（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)fx的圖象關(guān)于點1,0中心對稱，也關(guān)于點0,?1中心對稱，則f1,f49.（2024·貴州黔西·一模）已知f(x)=f'(1)eex+x50.（2024·貴州遵義·一模）已知直線nx?y+2=0與函數(shù)f(x)=8πcosπ2A．6 B．7 C．8 D．1211多個函數(shù)數(shù)形結(jié)合問題51.（21-22高三上·河南三門峽·階段練習(xí)）已知函數(shù)y=axex與y=lnA．(0,1e) B．(0,2e)52.（多選）（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=1x+1+1x?x，設(shè)A．存在實數(shù)a，使得x2?x1>1C．存在實數(shù)a，使得x3?x2>353.（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)方程2x+x+3=0和方程log2x+x+3=0的根分別為A．f2=f0C．f3<f254.（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=e55.（2024·上海金山·二模）設(shè)f(x)=x①函數(shù)y=f(x)的圖象與圓x2②存在唯一的正方形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)y=f(x)的圖象上．則下列說法正確的是（

）．A．①正確，②正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①不正確，②不正確12函數(shù)最值與取值范圍問題56.（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=kx+xe?x+k2,x<0ex57.（2024·浙江·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=x58.（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）若對任意實數(shù)x>1,m(1+lnx?x)≥3ex?e59.（2024·浙江杭州·二模）函數(shù)fx=?60.（2023·全國·模擬預(yù)測）若對于?m∈?e,e，?y∈?1,+13三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問題61.（2024·安徽·二模）已知函數(shù)fx=x?1sinx+x+1cos62.（多選）（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知f(x)=esin2x+2A．fx是周期為πB．fx在(?C．fx在(?2D．設(shè)gx=fx?x，則63.（23-24高三·廣東廣州·模擬）對于函數(shù)y=f(x),x∈D