壓軸題01集合新定義、函數與導數13題型 （學生版）

壓軸題01集合新定義、函數與導數13題型匯總命題預測本專題考查類型主要涉及點為集合、函數、導數的綜合類型，尤其以性定義為主，同時包含了多個知識點的綜合問題預計2024年后命題會再新定義以及知識點的綜合方面進行考察。高頻考法題型01函數導數與數列結合題型02構造法比較函數的大小題型03抽象函數問題題型04同構相關問題題型05函數性質綜合問題題型06放縮與裂項相消法的運用題型07集合新定義問題題型08函數新定義問題題型09集合、函數與數列結合新定義問題題型10函數新考點問題題型11多個函數數形結合問題題型12函數最值與取值范圍問題題型13三角函數與導數結合問題01函數導數與數列結合數列與導函數結合的題目，關鍵是找到兩者間的遞推關系或通項關系，理解數列的規(guī)律，即研究透通項，利用數列的求和方法求出對應數列的和即可。1.（23-24高三下·浙江·開學考試）已知函數fx滿足fx=f1?x,f'x為fx2.（2024·安徽蕪湖·二模）在數列an中，Sn為其前n項和，首項a1=1，且函數A．26 B．63 C．57 D．253.（2024·浙江·二模）已知函數fx滿足對任意的x,y∈1,+∞且x<y都有fx?y1?xy=f1A．f253385 B．f253380 C．4.（2024·上海閔行·二模）已知定義在（0,+∞）上的函數y=f(x)的表達式為fx=sin(1)求函數y=fx在區(qū)間0,(2)求證：函數y=fx在區(qū)間nπ,(3)求證：π<5.（2024·四川成都·三模）已知函數fx=ln①任取ai=a（其中a>0），并令正整數②求函數fx圖象在ai,fai③判斷ai+1④令i=i+1，返回第②步；⑤結束算法，確定數列an的項依次為a根據以上信息回答下列問題：(1)求證：ai+1(2)是否存在實數a使得an為等差數列，若存在，求出數列an的項數n；若不存在，請說明理由．參考數據：02構造法比較函數的大小構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小.6.（2024·浙江臺州·二模）已知x，y為正實數，則可成為“x<y”的充要條件的是（

）A．1x<1C．sinx<siny7.（2024·吉林延邊·一模）已知α，β均為銳角，且lnα?A．sinα<sinβC．cosα<sinβ8.（多選）（23-24高三上·江西贛州·期末）若正數a，b滿足a+b=1，則（

）A．log2a+logC．a+lnb<0 9.（2024·陜西商洛·模擬預測）設a=sinA．a>c>b B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b10.（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數fx=(1+x)(1)討論fx(2)若0<b≤a<1，證明：aa03抽象函數問題對于含有x,y的抽象函數的一般解題思路是：觀察函數關系，發(fā)現可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數一般通過賦值法來確定、判斷某些關系，特別是有x,y雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設條件以及選項來決定.11.（多選）（2024·浙江臺州·二模）已知fx是定義域為xx≠0的非常數函數，若對定義域內的任意實數x，y均有A．f1=2 B．fC．fx=f1x12.（2024·四川瀘州·二模）已知fx，gx都是定義在R上的函數，對任意x，y滿足fx?yA．g0=?1 B．若fC．函數f2x?1的圖像關于直線x=12對稱13.（2024·四川瀘州·二模）已知fx，gx都是定義在R上的函數，對任意x，y滿足fx?yA．g0=0 B．若fC．函數f2x?1的圖象關于直線x=12對稱14.（2024·安徽·二模）已知函數y=fxx≠0滿足fxy=fxA．fx為奇函數 B．若f2x+1C．若f2=12，則f102415.（多選）（2024·全國·模擬預測）已知函數fx及其導函數f'x的定義域均為R，若fx是奇函數，f2A．f'1=C．k=120fk04同構相關問題同構幾技巧：與ex和ln①aea≤blnb?②eaa<bln③ea±a>b±lnb?e16.（2024·浙江臺州·二模）已知關于x的不等式lnx+1≤axe17.（2024·全國·模擬預測）若關于x的不等式e?1lnx+ax≥xeA．0,2+2ln2 B．1e,e 18.（2024·全國·模擬預測）若關于x的不等式a(lnx+lna)≤2eA．(0,e] C．(0,e] 19.（23-24高三上·浙江寧波·期末）對任意x∈(1,+∞)，函數f(x)=a20.（2024·河南信陽·模擬預測）已知正數a,b滿足lnb+1b4≤05函數性質綜合問題21.（2024·浙江杭州·二模）設集合M={?1,1}，N={x|x>0且x≠1}，函數fx=ax+λA．?λ∈M,?a∈N,fx為增函數 B．?λ∈M,?a∈N,fC．?λ∈M,?a∈N,fx為奇函數 D．?λ∈M,?a∈N,f22.（多選）（2024·河南信陽·模擬預測）已知f(x)=esin2x+2A．fx是周期為πB．fx在(?C．fx在(?2D．設gx=fx?x，則23.（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數fx的定義域為R，且fx+2?2為奇函數，f3x+1為偶函數，A．4036 B．4040 C．4044 D．404824.（2023·江西南昌·三模）若實數m,n滿足m3+6mA．-4 B．-3 C．-2 D．-125．（2024·陜西西安·一模）已知函數fx=2sin2πA．x32+x42<8 B．06放縮與裂項相消法的運用導函數證明與整數n相關不等式，常根據已知函數不等式，用關于整數的不等式代替函數不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據特征式的特征而得到.26.（23-24高三下·浙江·開學考試）已知函數fx=cosx+λln(1)求fx(2)若fx≤ax+1恒成立，求(3)求證：k=n+12n27.（2024·廣西·模擬預測）函數fx(1)求函數fx(2)當a=1時，若fx1+f(3)求證：對于任意n∈N?都有28.（2024·內蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數f(x)=ln(1)判斷函數f(x)的單調性(2)證明：①當a≥0時，f(x)≤0；②sin129.（2024·貴州黔西·一模）已知函數f(x)=9(1)判斷fx(2)證明:9130.（23-24高二下·山東·階段練習）帕德近似是法國數學家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數m，n，函數f(x)在x=0處的[m,n]階帕德近似定義為：R(x)=a0+a1x+?+amx（注：f″(x)=f'(x)'，f'''已知f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1,1]階帕德近似為(1)求實數a，b的值；(2)當x>0，f(x)>kR(x)恒成立，求實數k的取值范圍；(3)證明：?n∈N?，07集合新定義問題解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點的關鍵所在；（2）用好集合的性質，解題時要善于從試題中發(fā)現可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之外用好集合的運算與性質.31.（2024·浙江臺州·二模）設A，B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應，并且不同的x對應不同的y；同時B中的每一個元素y，都有一個A中的元素x與它對應，則稱f：A→B為從集合A到集合B的一一對應，并稱集合A與B等勢，記作A=B.若集合A與B之間不存在一一對應關系，則稱A與B不等勢，記作例如：對于集合A=N?，B=2nn∈N(1)已知集合C=x,yx2+y(2)證明：①0,1=②N?32.（多選）（2024·江蘇泰州·模擬預測）對任意A,B?R，記A⊕B=xx∈A∪B,x?A∩B，并稱A⊕B為集合A,B的對稱差．例如：若A=A．若A,B?R且A⊕B=B，則A=?B．若A,B?R且A⊕B=?，則A=BC．若A,B?R且A⊕B?A，則A?BD．存在A,B?R，使得A⊕B≠33.（2024·北京順義·二模）已知點集Mn=x1,y1,x2,y2,?,xn,ynn≥3滿足0≤xi，(1)寫出M3=1,1,2,0(2)對于任意點集M3，求證：存在M3的一個優(yōu)劃分A,B，滿足(3)對于任意點集Mn，求證：存在Mn的一個優(yōu)劃分A,B，滿足XA34.（2024·北京豐臺·一模）已知集合Mn=x∈N?x≤2n（①a1②ak則稱集合Mn為“好集合”，并稱數陣T為M(1)已知數陣T=xyz67w12是M4(2)若集合Mn為“好集合”，證明：集合M(3)判斷Mnn=5,6是否為“好集合”．若是，求出滿足條件35.（2024·北京石景山·一模）已知集合Sn=XX=x1,x2,???,x(1)已知A=1,1,1,0∈S4，寫出所有的(2)已知I=1,1,???,1∈Sn，若A,B∈S(3)設集合P?Sn，P中有mm≥2個元素，若P中任意兩個元素間的距離的最小值為t08函數新定義問題針對一般的函數新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.36.（2024·浙江寧波·二模）定義：對于定義在區(qū)間a,b上的函數，若存在實數c∈a,b，使得函數在區(qū)間a,c上單調遞增（遞減），在區(qū)間c,b上單調遞減（遞增），則稱這個函數為單峰函數且稱c為最優(yōu)點.已知定義在區(qū)間a,b上的函數fx是以c為最優(yōu)點的單峰函數，在區(qū)間a,b上選取關于區(qū)間的中心a+b2對稱的兩個試驗點x1,x2，稱使得fxi?fci=1,2較小的試驗點xi為好點（若相同，就任選其一），另一個稱為差點.容易發(fā)現，最優(yōu)點c與好點在差點的同一側.我們以差點為分界點，把區(qū)間a,b分成兩部分，并稱好點所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設存優(yōu)區(qū)間為a1,b1，再對區(qū)間a1,b1重復以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間a2,b2，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間a3,b3,a(1)求證：函數fx(2)已知c為函數fx的最優(yōu)點，d為函數g（i）求證：c+d<π（ii）求證：xε注：2≈1.414,37.（2024·安徽池州·模擬預測）在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成了一般不動點定理的基石．簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數fx，存在一個點x0，使得fx0=x0，那么我們稱fx為“不動點”函數．若fx存在nA．fx=1?lnC．fx=438.（多選）（2023·湖北·模擬預測）在平面直角坐標系中，將函數f(x)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉α?(0<α≤90°)后，所得曲線仍然是某個函數的圖象，則稱f(x)為“A．存在90°旋轉函數B．80°旋轉函數一定是70°旋轉函數C．若g(x)=ax+1x為45°D．若?(x)=bxex為39.（2024·浙江金華·模擬預測）設全集為U，定義域為D的函數y=fn(x)是關于x的函數“函數組”，當n取U中不同的數值時可以得到不同的函數．例如：定義域為R的函數fn(x)=nx，當U=N?時，有f1(x)=x,f2(x)=2x?若存在非空集合(1)設U=Z,D=(?∞,2]，若函數fn(x)=2(2)設fn(x)=4nx3?(6n+1)x2+2x,D=(1,+∞(3)設U=N?，fn(x)為A上的“跳躍函數”，D=(1,+∞（i）證明：A=n（ii）求實數a的最大值，使得對于任意n∈A，均有fn(x)的零點40.（2023·上海浦東新·二模）設P是坐標平面xOy上的一點，曲線Γ是函數y=fx的圖象．若過點P恰能作曲線Γ的k條切線k∈N，則稱P是函數y=fx(1)判斷點O0,0與點A2,0是否為函數(2)已知0<m<π，gx=sinx(3)求函數y=x09集合、函數與數列結合新定義問題關于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結合數學知識進行解答.41.（2024·河北石家莊·二模）設集合M是一個非空數集，對任意x,y∈M，定義ρ(x,y)=|x?y|，稱ρ為集合M的一個度量，稱集合M為一個對于度量ρ而言的度量空間，該度量空間記為(M,ρ).定義1：若f:M→M是度量空間(M,ρ)上的一個函數，且存在α∈(0,1)，使得對任意x,y∈M，均有：ρ(f(x),f(y))≤αρ(x,y)，則稱f是度量空間(M,ρ)上的一個“壓縮函數”.定義2：記無窮數列a0,a1,a2,?為ann=0+∞，若ann=0+(1)設f(x)=sinx+12，證明：(2)已知f:R→R是度量空間(R,ρ)上的一個壓縮函數，且a0∈R，定義an+1=fan，42.（2024·安徽蕪湖·二模）對稱變換在對稱數學中具有重要的研究意義．若一個平面圖形K在m（旋轉變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記m為K的一個對稱變換．例如，正三角形R在m1（繞中心O作120°的旋轉）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以m1是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應關系，記m1=12331I．?a,b∈G，a°b∈G；II．?a,b,c∈G，a°b°c=a°Ⅲ．?e∈G，?a∈G，a°e=e°a=a；Ⅳ．?a∈G，?a?1∈G對于一個群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的a?1為a在群G中的逆元．一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的代數運算°

(1)直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；(2)同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如m1=123①證明集合S對于給定的代數運算*來說作成一個群；②已知H是群G的一個子群，e，e'分別是G，H的單位元，a∈H，a?1，a'分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，e'之間的關系以及③寫出群S的所有子群．43.（22-23高三下·北京·開學考試）給定整數n≥3，由n元實數集合S定義其相伴數集T=a?b∣a?b∈S,a≠b，如果minT(1)判斷A=?0.1,?1.1,2,2.5、B=(2)任取一個n元規(guī)范數集S，記m、M分別為其中最小數與最大數，求證：minS(3)當S=a1,注：minX、maxX分別表示數集44.（2024·福建廈門·二模）設集合A=?1,0,1，B=x1,xA．60 B．100 C．120 D．13045.（2024·湖南益陽·模擬預測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數組a1,a2表示；三維空間向盤可用三元有序數組a1,a2,a3表示．一般地，n維空間向量用n元有序數組a1,a2,?,a(1)若空間向量a1,a2,(2)對于空間向量a1,a2,?,an．若1(3)若空間向量a1,a2,a310函數新考點問題46.（2024·浙江寧波·二模）已知集合P=x,y|x4+ax?2024=0且xy=2024，若PA．?∞,?2023∪C．?∞,?2024∪47.（2024·廣西·二模）記函數y=fx的導函數為y'，y'的導函數為y″，則曲線y=fxA．23 B．22 C．2348.（2024·山西呂梁·二模）已知函數fx的圖象關于點1,0中心對稱，也關于點0,?1中心對稱，則f1,f49.（2024·貴州黔西·一模）已知f(x)=f'(1)eex+x50.（2024·貴州遵義·一模）已知直線nx?y+2=0與函數f(x)=8πcosπ2A．6 B．7 C．8 D．1211多個函數數形結合問題51.（21-22高三上·河南三門峽·階段練習）已知函數y=axex與y=lnA．(0,1e) B．(0,2e)52.（多選）（2024·安徽池州·模擬預測）已知函數fx=1x+1+1x?x，設A．存在實數a，使得x2?x1>1C．存在實數a，使得x3?x2>353.（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程2x+x+3=0和方程log2x+x+3=0的根分別為A．f2=f0C．f3<f254.（2023·湖北黃岡·模擬預測）已知函數fx=e55.（2024·上海金山·二模）設f(x)=x①函數y=f(x)的圖象與圓x2②存在唯一的正方形ABCD，其四個頂點都在函數y=f(x)的圖象上．則下列說法正確的是（

）．A．①正確，②正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①不正確，②不正確12函數最值與取值范圍問題56.（2023·安徽蕪湖·模擬預測）已知函數fx=kx+xe?x+k2,x<0ex57.（2024·浙江·模擬預測）函數fx=x58.（2024·浙江金華·模擬預測）若對任意實數x>1,m(1+lnx?x)≥3ex?e59.（2024·浙江杭州·二模）函數fx=?60.（2023·全國·模擬預測）若對于?m∈?e,e，?y∈?1,+13三角函數與導數結合問題61.（2024·安徽·二模）已知函數fx=x?1sinx+x+1cos62.（多選）（2024·河南信陽·模擬預測）已知f(x)=esin2x+2A．fx是周期為πB．fx在(?C．fx在(?2D．設gx=fx?x，則63.（23-24高三·廣東廣州·模擬）對于函數y=f(x),x∈D