壓軸題06向量、復數(shù)壓軸題16題型（學生版）

壓軸題06向量、復數(shù)壓軸題十六大題型匯總命題預測本專題考查類型主要涉及點為向量與復數(shù)，包含了向量的最值，新定義等，包含了復數(shù)的相關性質與新定義等。預計2024年后命題會繼續(xù)在上述幾個方面進行。高頻考法題型01向量新考點問題題型02投影向量問題題型03向量最值取值范圍問題題型04向量與不等式結合題型05向量新定義問題題型06復數(shù)性質相關問題題型07復數(shù)最值問題題型08復數(shù)的三角形式題型09復數(shù)方程的根相關問題題型10向量與解析幾何結合題型11向量與實際模型題型12向量與四心題型13向量與數(shù)列結合題型14向量與三角換元題型15復數(shù)新定義問題題型16復數(shù)與數(shù)列問題01向量新考點問題1.（2024·上海嘉定·二模）已知OA=x1,y1，OB=A．12x1C．12x12.（多選）（2023·廣東深圳·模擬預測）已知Px1,y1，QA．2x1B．2x1C．x1?3D．x1?33.（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知A1,A2,A3,A4.（2024·浙江·二模）設正n邊形的邊長為1，頂點依次為A1,A2,?,An，若存在點P滿足P5.（2022·浙江·三模）已知平面向量x1,x2,x3,x4,02投影向量問題向量投影的理解是很重要的，在出題中往往會畫出圖形來進行思考問題，利用幾何法來解決問題。6.（2022·上海金山·一模）已知向量a與b的夾角為120°，且a?b=?2，向量c滿足c=λa+1?λb0<λ<1，且a?c=b?cA．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立7.（2023·廣東·二模）已知O是坐標原點，點N2,1，且點M是圓C：x2+y28.（2023·天津·二模）在△ABC中，AB=32，角A為銳角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，則A=；若AC=6，則函數(shù)fx=9.（2024·全國·模擬預測）已知非零向量a與b的夾角為銳角，c為b在a方向上的投影向量，且|c|=|a|=2，則a+10.（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量a,b的夾角為π3，滿足a+b=1．平面向量c在03向量最值取值范圍問題處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標法：即通過建立直角坐標系，通過向量坐標運算求得；（2）基向量表示法：即通過選設平面的基底，用基底表示相關向量，運算求得；（3）構造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.11.（多選）（2024·浙江寧波·二模）若平面向量a,b,c滿足A．a(chǎn)+B．a(chǎn)+C．a(chǎn)?D．a(chǎn)?b12.（23-24高三下·上海浦東新·期中）正三棱錐S?ABC中，底面邊長AB=2，側棱AS=3，向量a，b滿足a?a+AC=a?13.（2023·河南鄭州·模擬預測）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AMA．423,C．173,4114.（2022·浙江臺州·二模）已知平面向量e1,e2,e3,|e1|=|A．?3+66 B．?3+5615.（2024·上海徐匯·二模）如圖所示，已知△ABC滿足BC=8,AC=3AB，P為△ABC所在平面內一點.定義點集D=PAP=3λAB+1?λ3AC,λ∈R.若存在點P04向量與不等式結合16.（2024·安徽蕪湖·二模）若實數(shù)x，y滿足x2+y2=2517.（2022·浙江湖州·模擬預測）已知平面向量a,b,c滿足|b|?|c18.（2024高三·全國·專題練習）已知a=b=2，c=1，A．6?1,6+1C．7?1,7+119.（2024·天津·二模）在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中點，延長AP交BC于點D．設AB=a，AC=b，則AP可用a，b表示為，若AD=620.（2024·上海長寧·二模）已知平面向量a,b,c滿足：a=b=05向量新定義問題新定義問題，理解定義內容、會運用新定義運算，是解決問題的關鍵21.（2023·福建泉州·模擬預測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術．在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設Ax1,y1，Bx2,y2，則曼哈頓距離dA,B（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，5A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.94822.（多選）（2022·山東濰坊·三模）定義平面向量的一種運算“Θ”如下：對任意的兩個向量a=x1,yA．對任意的λ∈R，有λB．存在唯一確定的向量e使得對于任意向量a，都有aΘC．若a與b垂直，則aΘbΘD．若a與b共線，則aΘbΘ23.（多選）（2022·廣東·模擬預測）已知集合E是由平面向量組成的集合，若對任意a,b∈E，t∈A．x,yy≥exC．x,yx+2y?1≥0 D．24.（2024·全國·模擬預測）設有n維向量a=a1a2???an，b=b1b2???bn，稱a,(1)若a=1234(2)令B=x,yx,(3)若n=4，f4是從S4中選出向量的個數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足a,25.（2022·浙江紹興·模擬預測）定義兩個向量組X=(x1,x2,x3),Y=(y1,y06復數(shù)性質相關問題26.（多選）（2024·河南信陽·模擬預測）設z為復數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（

）A．若(1+i)z=?B．對任意復數(shù)z1，z2C．對任意復數(shù)z1，z2D．在復平面內，若M={z|z?2≤2}27.(多選)（23-24高三上·遼寧·開學考試）設復數(shù)z1,z2,A．若z1z2B．若z1z2=C．若z1z3D．若z2+28.（多選）（2024·河北滄州·一模）在復數(shù)城內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數(shù)域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數(shù)域中也相應的有復數(shù)的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復數(shù)的正負即可，我們規(guī)定復數(shù)的“長度”即為模長，規(guī)定在復平面x軸上方的復數(shù)為正，在x軸下方的復數(shù)為負，在x軸上的復數(shù)即為實數(shù)大?。按笮　庇梅?“長度”表示，我們用[z]來表示復數(shù)的“大小”，例如：[1+2i]=5，[1?2i]=?5，A．[z]=1在復平面內表示一個圓B．若z∈C，則方程[z]2C．若z1,z2D．復平面內，復數(shù)z對應的點在直線y=?x+4上，則|[z]|最小值為229.（多選）（2024·遼寧·二模）已知復數(shù)z,w均不為0，則（

）A．z2z=C．zw=zw 30.（多選）（2024·廣東韶關·二模）已知復數(shù)z1A．若z1=z2，則z1C．若z1是非零復數(shù)，且z12=z1z07復數(shù)最值問題31.（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習）若復數(shù)z滿足z?1=z+iA．12 B．22 C．1 32.（2024·貴州貴陽·模擬預測）如果復數(shù)z=x+yix∈R,y∈R，z1=?2，z2=?12，z3=i在復平面內對應的點分別為Z，33.（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）若i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足1≤z+1+i≤2，則34.（2022·福建·模擬預測）對任意三個模長小于1的復數(shù)z1，z2，z3，均有z1z35.（2023·河北·模擬預測）若復數(shù)a+bii=6+8i，且a08復數(shù)的三角形式36.（2023·湖北·二模）復數(shù)21?A．cos?π3C．32+137.（2016·安徽淮北·一模）現(xiàn)定義eiθ=cosθ+isinθ，其中i為虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底數(shù)，θ∈R，且實數(shù)指數(shù)冪的運算性質對eiθA．cos5θ+isin5θC．sin5θ+icos5θ38.（2022·上海奉賢·一模）復數(shù)cos2θ+isin3θ?cosθ+isinA．9 B．10 C．11 D．無數(shù)39.（2022·江蘇蘇州·模擬預測）任何一個復數(shù)z=a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常稱之為復數(shù)z的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn=[r(cosθ+isin40.（2019·上海楊浦·一模）已知復數(shù)z1=cosx+2f(x)i，z2=(3sinx+cosx)+i（x∈R，i為虛數(shù)單位），在復平面上，設復數(shù)z1、09復數(shù)方程的根相關問題41.（多選）（2024·浙江杭州·二模）已知關于x的方程x2+tx+1=0(?2<t<2)的兩根為z1A．z1=zC．z1=z42.（2020·上海閔行·二模）關于x的實系數(shù)方程x2?4x+5=0和A．5 B．?1 C．0,1 D．0,143.（多選）（2022·福建莆田·模擬預測）意大利數(shù)學家卡爾達諾（Cardano.Girolamo，1501-1576）發(fā)明了三次方程的代數(shù)解法.17世紀人們把卡爾達諾的解法推廣并整理為四個步驟：第一步，把方程x3+a2x2+第二步，利用公式x3+y第三步，求得y，z的一組值，得到方程x3+px+q=0的三個根：?y?z，?ωy?ω2z，?第四步，寫出方程x3+a2x2+某同學利用上述方法解方程8x3?12x2A．a(chǎn)2=?32 B．yz=2 C．44.（2001·全國·高考真題）對任意一個非零復數(shù)z，定義集合Mz(1)設a是方程x+1x=2的一個根，試用列舉法表示集合(2)設復數(shù)ω∈Mz，求證：45.（2024·全國·模擬預測）設a,b為實數(shù)，且ab≠0，虛數(shù)z為方程ax2+bx+a=0的一個根，則z10向量與解析幾何結合平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關知識進行求解.46.（2024·全國·模擬預測）拋物線E:y2=x的焦點為F，P為其準線上任意一點，過點P作E的兩條切線，切點為A，B（點AA．1 B．2 C．3 D．147.（2024·山東日照·一模）過雙曲線x24?y212=1A．28 B．29 C．30 D．3248.（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知a=3，b=1，a?b=0，A．2213+1 B．4 C．449.（2023·四川攀枝花·一模）在平面四邊形OACB中，OA⊥OB，OA=3，∠OBA=∠ACB=π3，OC=λA．3 B．2 C．3 D．250.（2023·新疆·二模）已知平面向量a，b，c，滿足a=2，a?b=23，若對于任意實數(shù)x，都有bA．2 B．4 C．6 D．811向量與實際模型51.（2023·全國·模擬預測）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知ABCHIJ與CDEFGH為全等的正六邊形，且AB=2，點P為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則AP?A．0,42 B．?1,42 C．0,36 D．?1,3652.（2023·河南安陽·二模）如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉伯數(shù)字中的“8”．在平面直角坐標系中，圓M:x2+y+m2=n2和A．32+22 B．22+1 53.（2023·全國·模擬預測）中國結是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它身上所顯示的情致與智慧正是中華民族古老文明中的一個側面.已知某個中國結的主體部分可近似地視為一個大正方形（內部是16個全等的邊長為1的小正方形）和凸出的16個半圓所組成，如圖，點A是大正方形的一條邊的四等分點，點C是大正方形的一個頂點，點B是凸出的16個半圓上的任意一點，則AC?A．33+3172 B．33+2172 C．54.（多選）（2023·吉林·一模）中華人民共和國國旗是五星紅旗，國旗上每個五角星之所以看上去比較美觀，是因其圖形中隱藏著黃金分割數(shù)．連接正五邊形的所有對角線能夠形成一個標準的正五角星，正五角星中每個等腰三角形都是黃金三角形．黃金三角形分兩種：一種是頂角為36°的等腰三角形，其底邊與一腰的長度之比為黃金比5?12；一種是頂角為108°的等腰三角形，其一腰與底邊的長度之比為黃金比5?12．如圖，正五角星ABCDE中，

A．AG=FI C．AG在AF上的投影向量為5+12AF55.（多選）（2022·重慶·模擬預測）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中∠COD=2π3,OC=3OA=3，動點P在CD上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧AB圖1

圖2A．若y=x，則x+y=23 B．若y=2xC．AB?PQ≥?212向量與四心三角形重心、內心和外心的向量形式的常用結論：設△ABC的角A，B，C所對邊分別為a，b，c，則（1）△ABC的重心G滿足GA+（2）△ABC的內心P滿足aPA（3）△ABC的外心M滿足MA=56.（2023·全國·模擬預測）已知△ABC中，AO=λAB+(1?λ)AC，且O為△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量為μBCA．23,56 B．15,57.（2021·四川成都·三模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線CA．3 B．4 C．5 D．658.（2022·河南·模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1A．13 B．25 C．3359.（多選）（2023·湖北黃岡·模擬預測）點O，H分別是△ABC的外心?垂心，則下列選項正確的是（

）A．若BD=λBA|BAB．若2BO=BA+C．若∠B=π3，OB=mOAD．若2HA+360.（2023·廣東惠州·一模）已知點D在線段AB上，CD是△ABC的角平分線，E為CD上一點，且滿足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA13向量與數(shù)列結合61.（2023·四川達州·一模）已知O為平面四邊形ABCD內一點，數(shù)列an滿足a1=4，當n≥2時，恒有OD=an?2nOA?an+an?1?4n+1OB+a62.（2023·廣東廣州·三模）我們稱nn∈N?元有序實數(shù)組x1,x2,?,xn為n維向量，x1+x2+?+xn為該向量的范數(shù).已知n維向量63．（2023·北京海淀·二模）在數(shù)列xn中，x1=1，x2=2．設向量an=xn,xn+1，已知an?an+1?a64.（2022·全國·模擬預測）如圖，在△ABC中，D是AC邊上一點，且AD=12DC，Enn∈N?為直線AB上一點列，滿足：En65.（2022·山西太原·三模）如圖，已知點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，點Gn(n∈N?)在線段BD上，且滿足GnD14向量與三角換元66.（2022·天津和平·三模）在平面內，定點A,B,C,O，滿足OA=OB=OC=2，且OA+OB+OC=0，則AB=67.（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量a、b、c、e，滿足a⊥b，a=2b，c=a+68.（2022·天津河西·模擬預測）如圖，已知B，D是直角C兩邊上的動點，AD⊥BD，AD=3，∠BAD=π6，CM=69.（2024·廣東·模擬預測）已知O為△ABC的外接圓圓心，且AO?BC=1,BC=1．設實數(shù)λ,μ滿足AO70.（2024·甘肅隴南·一模）已知M是橢圓x210+y2=1上一點，線段AB是圓C:x15復數(shù)新定義問題新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．71.（23-24高三下·浙江麗水·開學考試）數(shù)學中的數(shù)，除了實數(shù)、復數(shù)之外，還有四元數(shù)．四元數(shù)在計算機圖形學中有廣泛應用，主要用于描述空間中的旋轉．集合H=d+ai+bj+ck∣a,b,c,d∈R中的元素α=d+ai+bj+c兩個四元數(shù)的乘法定義為：ij=?ji=k,jk=?kj=i,ki=?(1)設a,b,c,d∈R,四元數(shù)α=d+ai+bj+ck（i）計算αα（ii）若α≠0，求α?1（iii）若α≠0,β∈W，證明：αβα(2)在空間直角坐標系中，把空間向量α=(a,b,c)與純四元數(shù)α=ai+bj（i）證明：γ∈W;（ii）若α,β是平面X內的兩個不共線向量，證明：γ是X的一個法向量．72.（2024·安徽蚌埠·模擬預測）對于無窮數(shù)列a0,a1,a2,?,an,?(1)證明：e(?x)=(2)記c(x)=k=0∞(?1)(3)以函數(shù)xe(x)?1為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列Bn，xe(x)?1=n=073.（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在高等數(shù)學中，我們將y=fx在x=x0處可以用一個多項式函數(shù)近似表示，具體形式為：fx=fx0+f'x(1)分別求ex，sinx，cosx(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復數(shù)域，試證明：eiπ+1=0(3)若?x∈0,32，e74.（2024·全國·模擬預測）對于非空集合G，定義其在某一運算（統(tǒng)稱乘法）“×”下的代數(shù)結構稱為“群”G,×，簡記為G×．而判斷G1.（封閉性）對于規(guī)定的“×”運算，對任意a,b∈G，都須滿足a×b∈G；2.（結合律）對于規(guī)定的“×”運算，對任意a,b,c∈G，都須滿足a×b×c3.（恒等元）存在e∈G，使得對任意a∈G，e×a=a；4.（逆的存在性）對任意a∈G，都存在b∈G，使得a×b=b×a=e．記群G×所含的元素個數(shù)為n，則群G×也稱作“n階群”．若群G×的“×”運算滿足交換律，即對任意a，b∈G(1)證明：所有實數(shù)在普通加法運算下構成群R+(2)記C為所有模長為1的復數(shù)構成的集合，請找出一個合適的“×”運算使得C在該運算下構成一個群C×(3)所有階數(shù)小于等于四的群G×75.（2024高三上·全國·競賽）設M是由復數(shù)組成的集合，對M的一個子集A，若存在復平面上的一個圓，使得A的所有數(shù)在復平面上對應的點都在圓內或圓周上，且?M(1)判斷{1,2,3}是否是{i,