江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析

南京師大附中2022-2023學(xué)年度第2學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)試卷(總分150分，考試時間120分鐘)注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.第I卷(選擇題共60分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題繪出的四個選項中.只有一項是符合題目要求的)1.已知向量，且//，則實數(shù)的值為()A.或 B. C.或 D.2.已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角的正弦值為()A. B. C. D.3.如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A. B. C. D.4.將邊長為的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).則異面直線與所成的角的大小為()A. B.C. D.5.2023年五一假期，小明同學(xué)外出去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機會，小明需從9個外觀完全相同的盲盒中，隨機抽取3個，已知這9個盲盒中有3個盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另外6個盲盒中各裝有不同的1個小飾品，則拆開選取的3個盲盒后，小明收獲獎品的所有情形的種類有()A. B. C. D.6.如圖，在三棱柱中，與相交于點，，，，，，則線段長度為()A. B.C. D.7.已知函數(shù)若方程恰好有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知正方形的中心在坐標(biāo)原點，四個頂點都在函數(shù)的圖象上．若正方形唯一確定，則實數(shù)的值為()A. B. C. D.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分1)9.若，則正整數(shù)的值是()A. B. C. D.10.有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是()A.6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)為480B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240C.6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀(每個工廠都有人)，則有90種不同的安排方法D.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種11.初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的復(fù)合產(chǎn)生的，且能用一個解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)，我們可作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù)，已知初等函數(shù)，，則()A.極小值點為B.極小值為1C.D.直線是曲線與一條公切線12.如圖①，在矩形中，，為的中點將沿直線翻折至的位置，使得平面平面，如圖②所示，下列說法法正確的有()A.平面平面B.異面直線與所成角的余弦值為C.點到平面的距離為D.二兩角的正弦值為第II卷(非選擇題共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián):“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為:“回文數(shù)”.如44，585，2662等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為_______.14.有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點出發(fā)不經(jīng)過C、D點到達B點的最短路徑有___________種.15.已知不等式對任意恒成立，則的最大值為________．16.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題(本大題共5小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知數(shù)列滿足，().記(1)求證：等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，，，.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角正弦值.19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，.(1)求角的大小；(2)若，點滿足，點滿足，求.20.如圖，已知在三棱柱中，，，，，平面平面.(1)求與所成角的余弦值；(2)在棱上是否存在一點，使得二而角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．21.已知，為實數(shù)．(1)若，求的值，并討論的單調(diào)性；(2)若時，，求實數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時，若，且在處取極值，求證：

南京師大附中2022-2023學(xué)年度第2學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)試卷(總分150分，考試時間120分鐘)注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.第I卷(選擇題共60分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題繪出的四個選項中.只有一項是符合題目要求的)1.已知向量，且//，則實數(shù)的值為()A.或 B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示分析運算.【詳解】顯然，若//，則，可得，解得.故選：D.2.已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角的正弦值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得，設(shè)兩平面所成的二面角為，求得，即可求解.【詳解】由兩平面的法向量分別為，，可得，設(shè)兩平面所成的二面角為，其中，可得.即兩平面所成二面角的正弦值為.故選：B.3.如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)區(qū)域同色和不同色分類討論即可得.【詳解】區(qū)域同色的方法數(shù)為區(qū)域不同色的方法數(shù)為，總的方法數(shù)為．故選：C．4.將邊長為的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).則異面直線與所成的角的大小為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計算出異面直線與所成的余弦值，即可得解.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、.所以，，則，所以.因此，異面直線與所成的角為.故選：B.【點睛】本題考查利用空間向量法求解異面直線所成角的大小，考查計算能力，屬于中等題.5.2023年五一假期，小明同學(xué)外出去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機會，小明需從9個外觀完全相同的盲盒中，隨機抽取3個，已知這9個盲盒中有3個盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另外6個盲盒中各裝有不同的1個小飾品，則拆開選取的3個盲盒后，小明收獲獎品的所有情形的種類有()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)裝有相同鋼筆的3個盲盒抽取的個數(shù)分類討論可得.【詳解】由題意裝有相同鋼筆的3個盲盒抽取的個數(shù)分別為,因此小明收獲獎品所有情形的種類個數(shù)為.故選：C．6.如圖，在三棱柱中，與相交于點，，，，，，則線段的長度為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積求模即可.【詳解】由圖形易得，所以，

即.故選：A7.已知函數(shù)若方程恰好有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】題意說明直線與曲線有三個交點，由時，它們一定有且只有一個交點，因此直線與有兩個交點，求出它們相切時的值后可得結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖象(示意圖)，如圖，作直線，時，是增函數(shù)，且，由圖可知直線與始終有一個交點，即對任意值都有一個負根，由題意直線與有兩個交點，設(shè)直線與曲線的切點為，的導(dǎo)函數(shù)為，由得，，所以，由圖形知，即，故選：D．8.已知正方形的中心在坐標(biāo)原點，四個頂點都在函數(shù)的圖象上．若正方形唯一確定，則實數(shù)的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】法一：設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，討論得到不合要求，即，分別聯(lián)立曲線方程，得到，，再根據(jù)得到，換元后必有有兩個相等的實數(shù)根，由，解得，檢驗后得到答案.法二：設(shè)出，表達出，代入曲線方程，得到，由基本不等式得到的范圍，并結(jié)合題意得到實數(shù)的值.【詳解】法一：因為四邊形為正方形，為其中心，所以⊥于點，且，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點，，則，當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增，與僅有1個交點為原點，不合題意，當(dāng)時，聯(lián)立直線與曲線方程，得到，解得，聯(lián)立直線與曲線方程，得到，解得，因為，所以，整理得，即，設(shè)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為R，要使符合題意的正方形只有1個，則必有有兩個相等的實數(shù)根，即，解得，正根舍去，此時，解得，負根舍去，所以；法二：不妨設(shè)點在第一象限，且四點逆時針排布，設(shè)，，則，由題意得兩點存在曲線上，所以，由①得，由②得，聯(lián)立兩式得，因為，，故，，又，所以只有時，才能使得兩式恒成立，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，由題意，有唯一解，故.故選：C【點睛】正方形唯一性轉(zhuǎn)化為根的個數(shù)問題，再結(jié)合問題特征(包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等)進行求解，需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分1)9.若，則正整數(shù)的值是()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)得到，列出方程，求出答案.【詳解】因為，所以，即或，解得或3，經(jīng)檢驗均滿足要求.故選：AC10.有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是()A.6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240C.6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀(每個工廠都有人)，則有90種不同的安排方法D.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種【答案】ACD【解析】【分析】A選項，利用插空法求解甲、乙兩人不相鄰的排法；B選項，利用倍縮法求解；C選項，先進行平均分組，再進行全排列，得到答案；D選項，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分組，再進行全排列，得到答案.【詳解】A選項，6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，A正確；B選項，6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進行求解，即種不同的站法，B錯誤；C選項，6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀(每個工廠都有人)，則有種不同的安排方法，C正確；D選項，6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，若還有一位同學(xué)與他們一組，共有種分法；若三組同學(xué)分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有種分法；共有種分組方法，D正確.故選：ACD11.初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的復(fù)合產(chǎn)生的，且能用一個解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)，我們可作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù)，已知初等函數(shù)，，則()A.極小值點為B.極小值為1C.D.直線是曲線與的一條公切線【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷．【詳解】，設(shè)，即，則，，同理，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點，A正確；時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞增，所以有極大值為，無極小值，B錯誤；，時，，，，；時，，即；時，，，，所以時，，所以，C正確；由C知，又，所以直線即直線是曲線的切線也是曲線的切線，即為它們的一條公切線，D正確．故選：ACD．12.如圖①，在矩形中，，為的中點將沿直線翻折至的位置，使得平面平面，如圖②所示，下列說法法正確的有()A.平面平面B.異面直線與所成角的余弦值為C.點到平面的距離為D.二兩角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A項，通過勾股定理證得，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，再運用面面垂直的判定定理證得平面平面.建立空間直角坐標(biāo)系，運用異面直線所成角公式、點到面的距離公式及二面角公式計算可分別判定B項、C項、D項.【詳解】對于A項，如圖所示，在中，，所以，在中，，所以，又因為，所以，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以面平面，故A項正確；對于B項，取BE中點M，AB中點N，連接、，則，，由A項知，平面，所以平面，所以以點M為原點，分別以、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B項正確；對于C項，因為，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，所以，所以點B到平面的距離為，故C項錯誤；對于D項，由C項知，平面一個法向量為，設(shè)平面一個法向量為，又，則，取，則，，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為，故D項正確.故選：ABD.第II卷(非選擇題共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián):“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為:“回文數(shù)”.如44，585，2662等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，②4位“回文數(shù)”中有2個不同的數(shù)字，求出每種情況下4位“回文數(shù)”的數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有6種情況，即此時有6個4位“回文數(shù)”；②4位“回文數(shù)”中有2個不同的數(shù)字，有種情況，即此時有30個4位“回文數(shù)”；則一共有個4位“回文數(shù)”；故答案為：．【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解“回文數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題．14.有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點出發(fā)不經(jīng)過C、D點到達B點的最短路徑有___________種.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)已知，要想避開C、D點，需分步考慮.得到每一步的方法種類，用分步計數(shù)原理乘起來即可得出答案.【詳解】如圖，由已知可得，應(yīng)從點，先到點，再到點，最后經(jīng)點到點即可.第一步：由點到點，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為；第二步：由點到點，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為；第三步：由點經(jīng)點到點，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為.根據(jù)分步計數(shù)原理可得，最短路徑有種.故答案為：24.15.已知不等式對任意恒成立，則的最大值為________．【答案】2【解析】【分析】由題可得，對任意恒成立，根據(jù)二次不等式恒成立可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值可得，進而可得，結(jié)合進而可得的最大值.【詳解】因為不等式對任意恒成立，所以，對任意恒成立，由可得，即，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，顯然不恒成立，不合題意，當(dāng)時，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，由可得，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以，由，可得，即，因為函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時，，即，所以的最大值為2.故答案為：2.【點睛】方法點睛：恒(能)成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則(1)恒成立：；；(2)能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：(或)，則(1)恒成立：；；(2)能成立：；.16.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】.【解析】【分析】令，不等式轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，求得，當(dāng)時，得到單調(diào)遞增，結(jié)合時，，不符合題意；當(dāng)時，求得函數(shù)單調(diào)性和最小值，得到，即可求解.【詳解】令，由時，可得，則，則不等式，即為在恒成立，令，可得，當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，可得，可得單調(diào)遞增，因為時，，不符合題意，舍去；當(dāng)時，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，即為最小值，因不等式恒成立，即為恒成立，則滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題(本大題共5小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知數(shù)列滿足，().記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)由等比數(shù)列定義證明即可；(2)使用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項不為，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由第(1)問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項和為.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，，，.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見詳解；(2)【解析】【分析】(1)由線線垂直證線面垂直即，即可證明結(jié)論；(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，，又，PA、PD平面PAD，，所以平面，而平面，所以，DC、PD平面PAD，，所以平面；【小問2詳解】由(1)知PD、DA、DC兩兩垂直，如圖所示以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)面PBC的一個法向量為，則有，即，令，則，即設(shè)直線與平面所成角為，則.19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，.(1)求角的大?。?2)若，點滿足，點滿足，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得到，因為，求得，進而求得，即可求得的大??；(2)在中，由余弦定理求得，再由，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，求得，再在中，求得，得到，進而得到，分別在和中，求得，，利用余弦定理求得，進而求得的值.【小問1詳解】解：因為，可得，由正弦定理得，可得，又因為，可得，則，因，所以，可得，所以，又因為，可得，所以.【小問2詳解】解：在中，因為且，由余弦定理得，即，即，解得或(舍去)，設(shè)，因為，可得，所以，所以，即，又因為，所以，所以，在中，可得，可得，因為，所以，在中，可得，所以，在中，可得，所以，在中，可得，所以20.如圖，已知在三棱柱中，，，，，平面平面.(1)求與所成角的余弦值；(2)在棱上是否存在一點，使得二而角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，且．【解析】【分析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求異面直線所成的角；(2)假設(shè)存在點滿足題意，設(shè)(，由空間向量法求二面角得值