經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)1.7-無(wú)窮小的比較

19五月20241第七節(jié)無(wú)窮小的比較

第一章為什么要研究“無(wú)窮小的比較”？本節(jié)內(nèi)容提要：一、無(wú)窮小的比較的定義二、無(wú)窮小的比較的性質(zhì)及應(yīng)用三、本節(jié)小結(jié)及思考練習(xí)19五月20242若則稱(chēng)

是比

高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱(chēng)

是比

低階的無(wú)窮小;則稱(chēng)

是

的同階無(wú)窮小;則稱(chēng)

是關(guān)于

的k階無(wú)窮小;則稱(chēng)

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作定義一、無(wú)窮小的比較19五月20243～時(shí)～～又如，故時(shí)是關(guān)于x的二階無(wú)窮小,～且例如,

當(dāng)19五月20244時(shí),～證:～例1證明:當(dāng)19五月20245二、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)及應(yīng)用～定理1～證:即即例如,～～故19五月20246且存在,則證:定理2（等價(jià)無(wú)窮小替換定理）設(shè)應(yīng)用舉例：習(xí)題1－73（1）定理319五月20247～～常用等價(jià)無(wú)窮小:～～～～～～～例2求解:19五月20248例3

求解:原式

等價(jià)無(wú)窮小代換只適用于因式乘積的整體代換，而對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.特別注意：19五月20249例4求解當(dāng)時(shí)，，，所以19五月202410解:例5求當(dāng)時(shí)，所以，事實(shí)上，我們有以下補(bǔ)充規(guī)則（書(shū)上沒(méi)有的）：設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程,

,

為無(wú)窮小,由等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì),可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.（1）和差取大規(guī)則:若

=o(

),例如,19五月202411例如,（2）和差代替規(guī)則:（3）因式代替規(guī)則:界,則例如,

19五月202412內(nèi)容小結(jié)1.無(wú)窮小的比較設(shè)

,

對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小,且

是

的高階無(wú)窮小

是

的低階無(wú)窮小

是

的同階無(wú)窮小

是

的等價(jià)無(wú)窮小

是

的k階無(wú)窮小19五月202413～～～～～常用等價(jià)無(wú)窮小:Th22.等價(jià)無(wú)窮小替換定理19五月202414課前預(yù)習(xí)1、函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)要滿(mǎn)足哪些條件？2、間斷點(diǎn)有哪些類(lèi)型？19五月202415思考與練習(xí)解:不能．例當(dāng)時(shí),都是無(wú)窮小量.但不存在且不為無(wú)窮大.1、任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？故當(dāng)時(shí),19五月202416解2、課本習(xí)題1－73（7）和差取大規(guī)則19五月2024173、當(dāng)時(shí),若與是等價(jià)無(wú)窮小，解依題意有，因?yàn)?，，試求故則課本習(xí)題1－74