福建省永春縣第一中學高二數(shù)學下學期期中試題理

福建省永春縣第一中學2018-2019學年高二數(shù)學下學期期中試題理考試時間：120分鐘試卷總分：150分本試卷分第I卷和第II卷兩部分第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求，每小題選出答案后，請把答案填寫在答題卡相應位置上。1．若復數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i（i為虛數(shù)單位），則z＝（）A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i2．已知f(x)＝x2＋，則等于（）A．0 B．1 C．－2 D．－43．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C<D，這里①是②的（）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．的值等于 （） A．1 B．－1 C．i D．－i5．已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是（）A．使用了歸納推理B．使用了“三段論”，但推理形式有錯誤C．使用了“三段論”，但大前提錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤7．求曲線，所圍成圖形的面積（） A．1 B． C．9 D．8．已知在正三角形ABC中，若D是BC邊的中點，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)，則有：在棱長都相等的四面體ABCD中，若三角形BCD的重心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等，則eq\f(AO,OM)等于（）A．1B．2C．3 D．49．對于下列四個命題，正確的是（）①z1，z2∈C，若z12+z22=0，則z1=z2=0②虛數(shù)不能比較大?、踷是虛數(shù)的充要條件是z+∈RA．0個 B．1個 C．2個 D.．3個10．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，y=的圖象如圖所示，則導函數(shù)y=的圖象，可能是（）A． B．C．D．11．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是（）A． B．C． D．12．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)f(x)的各極小值之和為（）A．－eq\f(e2π（1－e2012π）,1－e2π)B．－eq\f(e2π（1－e1006π）,1－eπ)C．－eq\f(e2π（1－e1006π）,1－e2π)D．－eq\f(e2π（1－e2010π）,1－e2π)第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在答題卡的橫線上。13．若，則．14．．15．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：b19＝________．16．若定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，其中，則的最大值為．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。請在答題卡各自題目的答題區(qū)域內(nèi)作答。17、（本小題滿分12分）已知復數(shù),分別對應向量、（O為原點），若向量對應的復數(shù)為純虛數(shù)；（1）求a的值；（2）求的值．18．（本小題滿分12分）（1）用反證法證明：若、、，且，，，則、、中至少有一個不小于0（2）用數(shù)學歸納法證明下面等式對所有n∈N*均成立．19．【選修4－5：不等式選講】（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖像與直線圍成圖形的面積不小于14，求實數(shù)a的取值范圍．20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)在最大值為，求的值.21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）若直線x=2與曲線和分別交于A,B兩點，且曲線在A處的切線與在B處的切線相互平行，求a的值；（2）設(shè)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．22．【選修4－4：坐標系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù).以坐標原點為極點，．（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值．永春一中高二年級期中考試（理科）數(shù)學科參考答案（2019.04）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）123456789101112ABBCDBCCBAAD12．【答案】Df′(x)＝(ex)′(sinx－cosx)＋ex(sinx－cosx)′＝2exsinx，若f′(x)<0，則x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)，k∈Z；若f′(x)>0，則x∈(2π＋2kπ，3π＋2kπ)，k∈Z.所以當x＝2π＋2kπ，k∈Z時，f(x)取得極小值，其極小值為f(2π＋2kπ)＝e2kπ＋2π·[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e2kπ＋2π×(0－1)＝－e2kπ＋2π，k∈Z.因為0≤x≤2012π，又在兩個端點的函數(shù)值不是極小值，所以k∈[0，1004]，所以函數(shù)f(x)的各極小值構(gòu)成以－e2π為首項，以e2π為公比的等比數(shù)列，共有1005項，故函數(shù)f(x)的各極小值之和為S1005＝－e2π－e4π－…－e2010π＝－eq\f(e2π（1－e2010π）,1－e2π).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，13．-114．15．122516．215．【解析】由圖可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*)．所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（1＋n）,2).當n＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…時，an能被5整除，即b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，所以b2k＝a5k(k∈N*)．則b2k－1＝a5k－1＝eq\f(1,2)×5k(5k－1)＝eq\f(5k（5k－1）,2).b19＝122516．【解析】，令，綜上所述，，即的最大值為2。三、解答題：本大題共6小題，共70分，17．（本小題滿分12分）解：（1）對應的復數(shù)為z2－z1，則z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i∵z2－z1是純虛數(shù)，∴解得a=－1.（2）=18．（本小題滿分12分）（1）證明：假設(shè)、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，這與矛盾，則假設(shè)不成立，∴、、中至少有一個不小于0………6分（2）證明：i)當n=1時，左式=，右式=，∴左式=右式，等式成立．ii)假設(shè)當n=k(k∈N)時等式成立，即，則當n=k+1時，即n=k+1時，等式也成立，由i)ii)可知，等式對n∈N*均成立．………12分19．（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）……3分則不等式解得………………5分故不等式的解集為……………6分（Ⅱ）作出函數(shù)的圖象，如圖.若的圖象與直線圍成的圖形是三角形，則當時，△ABC的面積取得最大值，的圖象與直線圍成圖形的面積不小于14，該圖形一定是四邊形，即………………………9分△ABC的面積是6，的面積不小于8.…10分……………11分又故實數(shù)的取值范圍是………12分20．（本小題滿分12分）（Ⅰ）當時，，定義域故 令，得故的單調(diào)遞增區(qū)間為 5分（Ⅱ）方法1：令，定義域則∴函數(shù)在為減函數(shù)，由， ∴當時，，所以解得故的值為 12分（Ⅱ）方法2：的最大值為的充要條件為對任意的，且存在，使得，等價于對任意的，且存在，使得，等價于的最大值為.，令，得.所以函數(shù)為增函數(shù)，故的最大值為，即. 12分21．（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）依題意，函數(shù)的定義域為（0，），因為曲線在A處的切線與在B處的切