四川省眉山市仁壽縣文宮鎮(zhèn)古佛九年制學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(含解析)

九年級（上）期末數(shù)學(xué)檢測試題（3）（滿分：150分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題（每小題4分，共48分）1．下列式子中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．2．式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．若，則的值為（）A．1 B． C． D．4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，下列各式成立的是（）A．b=a·sinB B．a(chǎn)=b·cosB C．a(chǎn)=b·tanB D．b=a·tanB5．若二次函數(shù)y=x2-6x+c的圖象過A(-1，y1)，B（2，y2）,C(3+，y3)三點(diǎn)，則y1，y2，y3大小關(guān)系正確的是（

）A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y1>y26．若是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過程正確的是（）A．先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B．先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位C．先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位D．先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位8．下列四個(gè)三角形，與如圖中的三角形相似的是（

）A． B． C． D．9．如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，和交于點(diǎn)O，設(shè)的面積為m，的面積為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．11．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜3；⑤當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而減?。渲薪Y(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)12．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP，CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BD，DP，BD與CF交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC，其中正確的結(jié)論是

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④二、填空題（每小題4分，共24分）13．若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．14．已知拋物線經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，則這兩個(gè)定點(diǎn)是和；15．如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正弦值是．16．在一個(gè)陡坡上前進(jìn)5米，水平高度升高了3米，則坡度i=．17．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，則AC的長為．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα＝.下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；④0＜CE≤6.4.其中正確的結(jié)論是.(填序號)三、解答題（共78分）19．計(jì)算：20．解方程：21．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，且E為AD的中點(diǎn)，，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G（1）求證：：（2）若正方形的邊長為4，求的面積．22．已知△ABC的邊BC長為5，另兩邊AB,AC的長分別為關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)k=2時(shí)，請判斷△ABC的形狀并說明理由；23．2021年，“碳中和，碳達(dá)峰”成為高頻熱詞，為了解學(xué)生對“碳中和、碳達(dá)峰”知識的知曉情況，某校團(tuán)委隨機(jī)對該校九年級部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分成四個(gè)類別：A表示“從未聽說過”，B表示“不太了解”，C表示“比較了解”，D表示“非常了解”．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制成兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問題．（1）參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B，C部分扇形所對應(yīng)的圓心角分別是、；（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（4）在D類的學(xué)生中，有2名男生和2名女生，現(xiàn)需從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名“碳中和、碳達(dá)峰”知識的義務(wù)宣講員，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求所抽取的2名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的概率．24．某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價(jià)每千克50元，連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？25．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，連結(jié)FC（AB＞AE）．（1）△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；（2）設(shè)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似，若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，說明理由．26．如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段所在直線的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案與解析

1．B【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；D、，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．2．C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴，故選：C3．D【詳解】∵，∴==，故選：D4．D【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知：A、∵sinB=，∴b=c?sinB，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵cosB=，∴a=c?cosB，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵tanB=，∴a=，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵tanB=，∴b=a?tanB，故選項(xiàng)正確．故選：D．5．B【詳解】根據(jù)題意，得y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c；y2=4-12+c=-8+c，即y2=-8+c；y3=9+2+6-18-6+c=-7+c，即y3=-7+c；∵7＞-7＞-8，∴7+c＞-7+c＞-8+c，即y1＞y3＞y2．故選B．6．A【分析】本題考查了一元二次方程的根以及根與系數(shù)的關(guān)系．若一元二次方程的兩個(gè)根為，則．由題意得，，根據(jù)即可求解．【詳解】解：由題意得：，，∴，，故選：A7．B【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、拋物線先向左平移2個(gè)單位，可得到拋物線，再向上平移3個(gè)單位,可得到拋物線，平移過程不正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、拋物線先向左平移2個(gè)單位，可得到拋物線，再向下平移3個(gè)單位即可得到拋物線，平移過程正確，故此選項(xiàng)符合題意；C、拋物線先先向右平移2個(gè)單位，可得到拋物線，再向下平移3個(gè)單位即可得到拋物線，平移過程不正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、拋物線先先向右平移2個(gè)單位，可得到拋物線，再向上平移3個(gè)單位即可得到拋物線，平移過程不正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．8．D【詳解】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，解答此題先根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長，然后看三邊是否對應(yīng)成比例即可．【解答】解：設(shè)單位正方形的邊長為，則給出的三角形三邊長分別為，，．A.三角形三邊分別是，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.三角形三邊，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.三角形三邊，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.三角形三邊，，，，與給出的三角形的各邊成正比例，故D選項(xiàng)正確．故選D．9．B【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴，又∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，即，解得，故選：B．10．D【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)此，分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意得∠DAE=∠CAB，A、當(dāng)∠AED=∠B時(shí)，△ABC∽△AED，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)∠ADE=∠C時(shí)，△ABC∽△AED，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)=時(shí)，△ABC∽△AED，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)=時(shí)，不能推斷△ABC∽△AED，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．11．B【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可對②進(jìn)行判斷；由對稱軸方程得到b＝﹣2a，則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進(jìn)行判斷．【詳解】函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞0，故①錯(cuò)誤；函數(shù)的對稱軸是x＝1，則與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），則方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正確；函數(shù)的對稱軸是x＝﹣＝1，則2a+b＝0成立，故③正確；函數(shù)與x軸的交點(diǎn)是（﹣1，0）和（3，0）則當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜3，故④正確；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，則⑤錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．12．C【分析】由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】∵△BPC是等邊三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正確；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正確；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD與△PDB不會(huì)相似；故③錯(cuò)誤；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2=PH?PC，故④正確；故選C．13．【分析】討論：當(dāng)時(shí)，方程化為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，根據(jù)根的判別式的意義得到△，解得且，然后綜合兩種情況得到的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程化為，解得；當(dāng)時(shí)，則△，解得且，綜上所述，的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．14．【分析】本題考查了拋物線的對稱性，根據(jù)解析式求出對稱軸是解題關(guān)鍵．【詳解】解：令，則，∴拋物線過定點(diǎn)，∵拋物線的對稱軸為：直線，根據(jù)對稱性可知，拋物線還過定點(diǎn)，故答案為：；15．【分析】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正弦的定義，連接，由勾股定理判斷出為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)正弦的定義即可求解，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，由勾股定理可得，，，，∵，∴為等腰三角形，∵，∴，∴，∴，故答案為：．16．.【詳解】試題分析：如圖所示：AC=5米，BC=3米，先求出水平方向上前進(jìn)的距離AB=，然后根據(jù)山坡的坡度=豎直方向上升的距離：水平方向前進(jìn)的距離，即可解得坡度i=．17．．【詳解】解：∵EF是△ODB的中位線∴DB=2EF=2×2=4∵AC∥BD∴△AOC∽△BOD∴，即解得AC=故答案為．18．①、②、③、④．【詳解】試題分析：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正確，②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∴BC=2ABcosB=2×10×=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，在△ABD與△DCE中，∠BAD＝∠CDE

∠B＝∠C

AB＝DC

∴△ABD≌△DCE（ASA）．故②正確，③當(dāng)∠AED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==∴BD=．故③錯(cuò)誤．④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，設(shè)BD=y，CE=x，∴∴整理得：-16y+64=64-10x，即=64-10x，∴0＜x≤6.4．故④正確．考點(diǎn)：（1）、三角形全等；（2）、三角形相似.19．【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算．【詳解】解：．20．【分析】本題主要考查解一元二次方程，方程移項(xiàng)后運(yùn)用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，，，∴．21．(1)詳見解析;(2)20.【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．【詳解】（1）證明：設(shè)正方形的邊長為4，為AD的中點(diǎn)，，．，，，，，，又，；（2），，，，，，，的面積．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（1）見解析；（2）直角三角形，見解析【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求出答案；（2）將k的值代入原方程并求解后，根據(jù)勾股定理逆定理即可求出答案.【詳解】（1）△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，∴無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)k=2時(shí)，∴原方程化為：x2-7x+12=0，解得：x=3或x=4，∴32+42=52，∴△ABC是直角三角形；【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式，解一元二次方程的能力以及勾股定理逆定理的應(yīng)用．23．（1）40；（2）；；（3）見解析；（4）【分析】（1）綜合條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖中A類信息直接求解即可；（2）先結(jié)合（1）的結(jié)論，求出C類人數(shù)，從而用每一類人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得到每一類的占比，然后分別乘360°，即可得到對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，直接作圖即可；（4）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：（1）由A類人數(shù)和占比可得，參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人），故答案為：40；（2）由（1）可得，C類人數(shù)為：（人），∴B類對應(yīng)圓心角度數(shù)為：；C類對應(yīng)圓心角度數(shù)為：；故答案為：；；（3）由（2）知，C類人數(shù)為18人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（4）由題意，列樹狀圖如下：共有12種情況，其中，恰為1男1女的有8種情況，∴抽到恰為1男1女的概率．【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息綜合，以及列樹狀圖或表格求概率，理解并準(zhǔn)確分析統(tǒng)計(jì)圖中的個(gè)數(shù)據(jù)信息，掌握列樹狀圖或表格的方法求解概率是解題關(guān)鍵．24．(1)每次下降的百分率為(2)每千克應(yīng)漲價(jià)5元【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用．（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為a，為兩次降價(jià)的百分率，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，則每千克盈利元，每天可售出千克，利用每天銷售該種水果獲得的利潤=每千克的利潤×每天的銷售量，即可列出一元二次方程，然后求出其解，最后根據(jù)題意確定其值．【詳解】（1）設(shè)每次下降的百分率為a，根據(jù)題意得：，解得：，（不合題意，舍去）或，答：每次下降的百分率為；（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，則每千克盈利元，每天可售出千克，由題意得：，整理，得，解得：（舍），∵商場規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，∴，答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元．25．如圖，是相似．【證明】延長FE，與CD的延長線交于點(diǎn)G．在Rt△AEF與Rt△DEG中，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED．∵∠AEF＝∠DEG，∴△AFE≌△DGE．

∴∠AFE＝∠DGE．∴E為FG的中點(diǎn)．又CE⊥FG，∴FC＝GC．∴∠CFE＝∠G．∴∠AFE＝∠EFC．又△AEF與△EFC均為直角三角形，∴△AEF∽△EFC．

①存在．

如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝時(shí)，△AEF∽△BCF．證明：當(dāng)＝時(shí)，＝，∴∠ECG＝30°．∴∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴∠BCF＝90°－60°＝30°．又△AEF和△BCF均為直角三角形，∴△AEF∽△BCF．

②因?yàn)镋F不平行于BC，∴∠BCF≠∠AFE．∴不存在第二種相似情況．【詳解】（1）要求兩三角形相似，已知條件有一組直角，我們只需再證得一組對應(yīng)角相等即可得出兩三角形相似，根據(jù)FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我們只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通過構(gòu)建全等三角形來求解，延長FE交CD于G，我們不難得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根據(jù)一組直角和一條公共邊我們可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GC