高二(上學(xué)期)期末數(shù)學(xué)試卷及答案

高二（上學(xué)期）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

題號一二三四總分

得分

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.直線廣履+6經(jīng)過第二、三、四象限，則斜率左和在y軸上的截距b滿足的條件為（）

A.k>0,b>QB,k<0,b<0C.^>0,b<0D.k<0,b>0

2.已知廠為雙曲線C：更=1|的左焦點(diǎn)，P,Q為C上的點(diǎn).若尸。的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A（5,0）

型W

在線段PQ上，則^尸。尸的周長為（）

A.11B.22C.33D.44

3,"。=2"是"li：or+4y-l=0與/2：x+ay+3=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2

4.已知拋物線和?產(chǎn)=1的公切線尸。（尸是尸。與拋物線的切點(diǎn)，未必是尸。與雙曲線的切點(diǎn)）與

A.x2=4yB.x2=2yj3yC.x2=6yD.N=2也y

5.已知根，〃是兩條不重合的直線,a,B是不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A.若加la,mI。，aip,則加1〃

B.若mLi,mla,川|0,則a10

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C.若m\\n,m\\a,n||p,則a||p

D,若相l(xiāng)a,"la,則m||n

6.直線/：y=x與圓x2+y2-2x-6y=0相交于A,8兩點(diǎn)，則|AB|=（）

A.2也B.4C.4也D.8

7.橢圓5N+打2=5的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,2）,那么女的值為（）

A.4B.2C.V3D.1

直線與曲線。一苧=的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

8.y=2x-31

A.1B.2C.3D.4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.矩形A8CD中，AB=4,BC=3,將AAB。沿3。折起，使A到A'的位置，A'在平面BCD的射影E恰

落在C。上，則（）

A.三棱錐A'-BCD的外接球直徑為5B.平面A'Bin平面NBC

C,平面A'8。1平面A'CDD.A'。與BC所成角為60。

22

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)l,仍是雙曲線亍彳=1（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn).在雙曲線的右支上存在點(diǎn)尸滿

ab

足4ApB=60。，且線段的中點(diǎn)B在y軸上，則（）

_2

A.雙曲線的離心率為面B.雙曲線的方程可以是，產(chǎn)=1

C.\OP\=^7aD.APF1F2的面積為但a?

11.在平行六面體ABCDAiBiCid中，點(diǎn)M,P,。分別為棱AB,CD,8C的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱

長均相等，乙41A8=zAiA。，則有（）

A.AMB。B.AAilPQC.AiM||?DxPQBxD.PQlffiA1ACC1

12.已知拋物線C：儼=4元的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,過點(diǎn)P的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P（xi,ji）,Q（及，”），

點(diǎn)尸在/上的射影為P,貝I（）

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A.|PQ的最小值為4

B.已知曲線C上的兩點(diǎn)S,T到點(diǎn)尸的距離之和為10,則線段ST的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是4

C.設(shè)M(0,1),貝!IIPM+IPP1巨招

D.過M(0,1)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),點(diǎn)。在直線AC上，若區(qū)也|2。|恒成立，貝h的取值范圍

是.

14.直線2了+也廣1=0的傾斜角是.

15.湖面上漂著一個(gè)小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下一個(gè)直徑為12cm深為2ow的空穴，則該球

的半徑為cm,表面積是.

16.已知雙曲線C：/一(=l(a〉0,b〉0)的右焦點(diǎn)為F，。為坐標(biāo)原點(diǎn).過P的直線交雙曲線右支于A,B

兩點(diǎn)，連結(jié)A。并延長交雙曲線C于點(diǎn)P.若|4月=2|8尸|,且NPFB=60。，則該雙曲線的離心率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知圓C的圓心在直線3x—y-5=0上，且與x軸交于兩點(diǎn)4(-2,0),B(4,0).⑺求圓C的方程；

(〃)過點(diǎn)P(3,2)的直線2與圓C交于MJV兩點(diǎn)，且|MN|=2^，求直線，的方程.

18.已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25,直線/：(2/”+1)x+(m+1)y-lm-4=Q(meR).

(1)證明：不論7"為何值時(shí)，直線/恒過定點(diǎn)；

(2)求直線/被圓C截得的弦長最小時(shí)的方程.

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19.如圖，.iff為圓。的直徑，點(diǎn)尸在圓。上，且.13,EF，矩形一158所在的平面和圓。所在的

平面互相垂直，且.姐=2，,W=￡F=1

⑴設(shè)FC的中點(diǎn)為A/，求證：0M’平面必；

(2)求四棱錐F--18CD的體積.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與拋物線y2=2尤相交于A,8兩點(diǎn).求證：“如果直線/過(3,，那么

神?^=3”是真命題.

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2i.如圖，四棱錐中，底面4SUA是菱形，其對角線的交點(diǎn)為0,且Si=SC總1即

⑴求證：SD1平面肥5

⑵設(shè)/必。=60°，杷=即=2,尸是側(cè)棱配上的一點(diǎn)，且ESII平面Q。，求三棱錐

4_Pi⑦的體積.

22.(本題滿分16分)己知橢圓L+21=1的兩焦點(diǎn)分別為￡、白，尸是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，并

42

滿足麗-甌=1,過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線以、理分別交橢圓于43兩點(diǎn)?

(1)求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)直線〃經(jīng)過點(diǎn)(1,物時(shí)，求直線43的方程；

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（3）求證直線4月的斜率為定值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：要使直線產(chǎn)a+6經(jīng)過第二、三、四象限，則斜率左和在y軸上的截距6滿足的條件[屋8,

故選：B.

由題意利用確定直線的位置的幾何要素，得出結(jié)論.

本題主要考查確定直線的位置的幾何要素，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】由雙曲線C的方程，知a=3,b=4,c=5,

.?.點(diǎn)A(5,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，

且1尸。1=1。4|+1尸川=46=16，

由雙曲線定義，\PF\~\PA\=6,\QF]~\QA\=6.

.-.\PF\+\QF\^12+\PA\+\QA\^28,

因此AP。尸的周長為

任同+|。川+|尸。|=28+16=44,選D

3.【答案】A

【解析】解：若。=2.則兩條直線的方程為2x+4y-l=0與x+2y+3=0滿足兩直線平行，即充分性成立.

當(dāng)。=0時(shí)，兩直線等價(jià)為4y-l=0與尤+3=0不滿足兩直線平行，故(#0,

若"h：ax+4y-l=0與〃：x+ay+3=0平行”，貝

解得。=2或。=-2,即必要性不成立.

故ua=2n是uh：ax+4y-l=0與『2：x+ay+3=0平行”的充分不必要條件，

故選：A

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根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)直線平行的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】解：如圖過尸作PE1拋物線的準(zhǔn)線于E,根據(jù)拋物線的定

義可知，PE=PF

■■^■\PQ\=^\PF\,在昭APOE中，sinzP(2E=|,??.tandQE=也,

即直線P。的斜率為也，故設(shè)尸。的方程為：y=^2x+m(能<0)

(J2=i

由1j業(yè)x+加消去y得3/+4但mx+2m2+2=0.

則△1=8/-24=0,解得加二-4，BPPQ：產(chǎn)業(yè)%-低

%—20V

!丫=唇_?得--2曲刀+2廊=0,A2=8p2-8,p=0，得p=*.

則拋物線的方程是無2=2擲y.

故選：B.

如圖過尸作PE1拋物線的準(zhǔn)線于E,根據(jù)拋物線的定義可知，PE=PF

可得直線P。的斜率為亞，故設(shè)尸。的方程為：y=^x+m(/77<0)

再依據(jù)直線PQ與拋物線、雙曲線相切求得p.

本題考查了拋物線、雙曲線的切線，充分利用圓錐曲線的定義及平面幾何的知識是關(guān)鍵，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：當(dāng)機(jī)la,川|0,aip時(shí)，直線〃2與〃可能異面不垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)初J_",/Mia,川||3時(shí)，比如”平行于a與P的交線，且滿足ml","zla,但a與［3可能不垂直，故選項(xiàng)B

錯(cuò)誤；

當(dāng)機(jī)|歷，根||a,川IB時(shí)，比如相與“都平行于a與P的交線，且滿足刑團(tuán)，m||a,但a與|3不平行，故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故選項(xiàng)。正確.

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故選：D.

直接利用空間中線、面之間的關(guān)系進(jìn)行分析判斷即可.

本題考查了空間中線面位置關(guān)系的判斷，此類問題一般都是從反例的角度進(jìn)行考慮，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，掌握直線和圓相交的弦長公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（j-3）2=10,

圓心坐標(biāo)為（1,3）,半徑R=\,，IU,

則圓心到直線尤-y=0的距離4=品$=的,

則河1=2/?2_&2=2所2=2祁=4業(yè)

故選C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

把橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出。與6的值，然后根據(jù)。2=62+02,表示出°,并根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出c的值，兩

者相等即可列出關(guān)于左的方程，求出方程的解即可得到上的值.

【解答】

解：把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：N+〈=i,

k

因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,所以長半軸在y軸上，

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則C=G-1=2,解得I.

故選D

8.【答案】B

【解析】解：當(dāng)定0時(shí)，曲線苧=i的方程為/一）=1，一條漸

近線方程為：產(chǎn)-，，

當(dāng)尤＜0時(shí)，曲線口苧=i的方程為0+==1，

...曲線苧=1的圖象為右圖，

在同一坐標(biāo)系中作出直線y=-2x-3的圖象，

可得直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B.

分x大于等于0,和1小于0兩種情況去絕對值符號,可得當(dāng)x＞0時(shí)，

曲線:一竽=i為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，當(dāng)尤＜°時(shí)，曲線。一苧=i

為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，在同一坐標(biāo)系中作出直線y=-2x-3與曲線。—竽=1的圖象，就可找到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

本題主要考查圖象法求直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是去絕對值符號，化簡曲線方程.

9.【答案】AB

【解析】解：對于A，取BD中點(diǎn)E,連接A'E,CE,

貝UME=BE=DE=CE」屋+3蘭.

二三棱錐4-BCD的外接球直徑為5,故A正確；

對于2,■.DA'LBA',BC1CD,A'F1平面BCD,：.BC1A'F,

又A'FHCD=F,A'F、CZ)u平面A'CD,.??8C1平面A'CD,

■.■A'Ou平面A'CD,-.DA'IBC,

■■■BCCiBA'=B,：.DA'_L平面A'BC,

■-DA'u平面A，2￡),.?.平面A，BDL平面A，BC,故B正確；

對于C,BC1A'C,：.A'B與A'C不垂直，

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.??平面M8。與平面MCD不垂直，故C錯(cuò)誤；

對于。，???D4IIBC,??.”以，是M。與8c所成角(或所成角的補(bǔ)角)，

■.?A'C=J16-9="\：.A'F=~~,DF=19—(字)2=；,

AF=J+@)2=4,AV=心2+(蛤2=3也,

Q-LQ—1Q

/1

.-,coszADA=2：3X3=。，■■■^ADA=90°,

■■A'。與BC所成角為90。，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

對于A,取8。中點(diǎn)E,連接A'E,CE,推導(dǎo)出A'E=BE=DE=CE=3,從而三棱錐A'-BCD的外接球直徑

為5；對于8,推導(dǎo)出OA'LBA',BC1CD,A'BCD,BC1A'F,BOL平面A'CD,DA'IBC,

DA'_L平面A，BC,從而平面A'BDL平面4BC-,對于C,A'B與山C不垂直，從而平面A'與平

面A，CO不垂直；對于。，由ZMIIBC,得ZAD4'是。與BC所成角(或所成角的補(bǔ)角)，推導(dǎo)出A'D

與BC所成角為90。.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、

運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題.

10.【答案】AC

【解析】解：如圖，F(xiàn)i(-c,0),Fi(c,0),

???B為線段尸乃的中點(diǎn),。為為讓的中點(diǎn)，.■。明|尸92,

.?.ZPF2FI=90°,

由雙曲線定義可得，\PFi\-\PF2\=2a,

設(shè)|PFi|=2〃z(〃z>0),則|尸尸2|=:小|F1F2|=

.,.2m-m=2af即〃=g,

又揚(yáng)n=2c,.,.占fm,則6=￡=平，故A正確；

2222

Z)=c-a=|m,則6=%,雙曲線的漸近線方程為廣土質(zhì),

選項(xiàng)8的漸近線方程為產(chǎn)土緊，故8錯(cuò)誤；

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對于C,為尸F(xiàn)2的中點(diǎn)，??.pFi+pFz=P0，

則V+ph=4j即I；/+|丁+2.11；|皿60。=4|」,

rrYrr2rl/rr21廣12ru

即以"p』+m；l=4|J,①

22

而IPHHP尸2|=2a,兩邊平方并整理得，+\PF2\-2\PF1\\PF2\=4a,②

2

聯(lián)立①②可得，|PF1||PF2|=8a,4|以2=28。2,即『。仁舊心故C正確；

PF

sAPFJ2=|llIIP/21S譏60°=|X8。2x*=2點(diǎn)。2,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

由已知可得乙尸尸2尸1=90。，設(shè)|尸臼=2根（加＞0）,再由已知結(jié)合雙曲線定義可得a,b,c與機(jī)的關(guān)系，即可

求得雙曲線的離心率及漸近線方程，從而判斷A與3由。為B仍的中點(diǎn)，得pi+pln2/,兩邊平方后

結(jié)合雙曲線定義聯(lián)立求得|尸。|判斷C；進(jìn)一步求出△PBP2的面積判斷D

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：連接MP,可得MP4AD“ALDI,可得四邊形M2UD1是平行四

邊形

??AMI。尸，又AJWC平面DCCiDi,APu平面OCCiG,4MI平面DCCiDi,

連接08,由三角形中位線定理可得：PQ^DB,DBLDB,可得四邊形

PQBbDi為梯形，

。81與PA不平行，因此4M與囪。不平行，

又AM",AM/C平面DiP02i,DiPu平面PiPQBi,

??AMI平面OiPQB.故A不正確，C正確；

連接AC,由題意四邊形ABCD是菱形，.?.ACL2Z）,

-P,。分別為棱。，BC的中點(diǎn)，.?.PQIIBO,.?.PQ1AC,

???平行六面體的所有棱長都相等，且ZA1A2=ZA1AD,

二直線AAi在平面ABC。內(nèi)的射影是AC,且8O1AC,

■■.AA11BD,.-.AAilPQ,故B正確;

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?.?44iriAC=A,二產(chǎn)。！面A1ACC1,故。正確.

故選：BCD.

連接MP,推導(dǎo)出四邊形MPALDI是平行四邊形，從而4MIGP,連接。8,推導(dǎo)出四邊形PQBiOi為梯形，

A1M與81。不平行，推民出4MII平面OiPQBi；連接AC,推導(dǎo)出四邊形ABC。是菱形,AC1BD,從而PQ1AC,

由平行六面體的所有棱長都相等，且41A樂乙4欣。，推志出A4ilP。，從而尸Q1面4ACG.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對于4設(shè)直線P。的方程為x=h+l,

聯(lián)立解方程組V2.4?，可得y2_4(y-4=0,X1X2=*=1,

|尸。|=X1+尤2+。=尤1+及+2>2//2+2=4,故A正確；

對于民根據(jù)拋物線的定義可得，|SF|+|7F|=XS+XT+P=10,則xs+xr=8,

則線段ST的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是空=4,故B成立；

對于C,M(0,1),\PM\+\PPi\=\MP\+\PF\>\MF]=^,所以C正確;

對于。，過M(0,1)相切的直線有2條，與x軸平行且與拋物線相交且有一個(gè)交點(diǎn)的直線有一條，所以最

多有三條.所以。不正確；

故選：ABC.

設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式判斷A,結(jié)合拋物線的定義，判斷8；利用拋物線的性質(zhì)判斷C；

直線與拋物線的切線情況判斷D.

考查拋物線的性質(zhì)，拋物線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

13.【答案】(-00,0]

【解析】解：設(shè)。(尤，y),由。在AC上，

得;+y=1,即x+ty-t=Of

由|AZ隼物得

第13頁共21.頁

&2+(y—1)2三亞?+y2,

化為(尤-2)2+(y+1)2>4,

依題意，線段與圓(x-2)2+(y+1)2=4至多有一個(gè)公共點(diǎn)，

.巴匕

一川3，

解得:1<0,

則/的取值范圍為(-a),0],

故答案為：("，0],

先設(shè)出。(尤，y),得到的方程為：x+ty-t=Q,由區(qū)也|3D|得到圓的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，

解不等式即可得到所求范圍.

本題考查直線與圓的方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

14.【答案】兀-arctan也

【解析】解：直線2x+也川=0的斜率為-洛

設(shè)直線2尤+也y-l=0的傾斜角為。(0<0<71),

貝I]tan。=—但，--Q=n-arctan^2..

故答案為：兀-arctan也.

由直線方程求直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求解.

本題考查由直線方程求直線的斜率，考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】10；400兀

【解析】解：設(shè)球的半徑為r,依題意可知36+(r-2)2=產(chǎn)，解得尸10,

球的表面積為4兀產(chǎn)=400兀

故答案為10,400兀

先設(shè)出球的半徑，進(jìn)而根據(jù)球的半徑，球面上的弦構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理建立等式，求得「，最

后根據(jù)球的表面積公式求得球的表面積.

本題主要考查了球面上的勾股定理和球的面積公式.屬基礎(chǔ)題.

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16.【答案】苧

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的定義以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.屬于中檔題.

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為尸，連結(jié)AF,BF,設(shè)則|4尸|=2t,推出立尸42=60。.在AfUB中，由余弦定

理求解t=￡結(jié)合雙曲線的定義，求出|獷|=黑|陰=等.在△尸A尸中，由余弦定理推出a,c關(guān)系，得

到離心率即可.

【解答】

解：設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為尸，連結(jié)A尸，BF,^\BF\=t,則|AQ=2f,

所以|AF*|=2〃+23\BF\=2a+t.

由對稱性可知，四邊形A尸尸尸為平行四邊形，故NFAB=60。.

在△尸A8中，由余弦定理得

(2〃+力2=(2〃+2力2+(302-2x(2〃+2/)x3rxcos60°,

在AFAF中，由余弦定理得，4c2=^+^-2XyXyXCOs60°=^，

解得：e=￡

故答案為：手.

17.【答案】解:⑺因?yàn)閳AC與x軸交于兩點(diǎn)4(一2,0)鳳4,0),

所以圓心在直線％=1上，

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%=](x-1-

!3x—y—5—0＜得|y=-2，

C(1-2)

即圓心的坐標(biāo)為

r=\BC\=J(4-l)2+(0+2)2=尺

半徑，

C(x-1)2+(y+2)2=13

所以圓的方程為；

II%=3

(〃)若直線的斜率不存在，則直線的方程為，

\MN\=6

此時(shí)可得，不符合題意；

IIy-2=k(x-3)kx—y+2-3k-0

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即

CCDIMND

過點(diǎn)作于點(diǎn)，則。為線段MN中點(diǎn)，

\CD\2=\CM\2-\MD\2

=/一弊)2=13_3=10

；

\CD\=\/--1-0-+r2r+p21—3k\=7^rr-T-

???，即點(diǎn)。到直線/的距離#+,

1

k=3

解得或g3；

綜上，直線的方程為x-3y+3=0或3x+y-ll=0.

【解析】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

(/)根據(jù)題意，即可得解；

(〃)分類討論，進(jìn)行求解即可.

18.【答案】(1)證明：將直線化為直線束方程：x+y-4+(2x+y-7)=0.聯(lián)立方程x+y-4=0與2x+y-7=0,得

點(diǎn)(3,1)；

將點(diǎn)(3,1)代入直線方程，不論相為何值時(shí)都滿足方程，所以直線/恒過定點(diǎn)(3,1)；

(2)解:當(dāng)直線/過圓心與定點(diǎn)(3,1)時(shí)，弦長最大，代入圓心坐標(biāo)得機(jī)=：.

當(dāng)直線/垂直于圓心與定點(diǎn)(3,1)所在直線時(shí)弦長最短，斜率為2,代入方程得加=】

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此時(shí)直線/方程為2x-y-5=0,圓心到直線的距離為衽，所以最短弦長為痛.

【解析】（1）通過直線/轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點(diǎn)；

（2）說明直線/被圓C截得的弦長最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線/垂直，求出斜率即可求出機(jī)的值，再

由勾股定理即可得到最短弦長.

本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于

中檔題.

19.【答案】（1）證明詳見解析；（2）直.

-

【解析】試題分析：（1）要證0.T/平面，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證04與平

面D,F內(nèi)一直線平行即可，設(shè)DF的中點(diǎn)為.V,則V工TO為平行四邊形，貼想酸.盤包皴，又HVu平

面。P,0.U不在平面ZUF內(nèi)，滿足定理所需條件；（2）過點(diǎn)尸作尸G一."于G，根據(jù)面面垂直

的性質(zhì)可知尸G一平面.擔(dān)CD，F(xiàn)G即正、。廳的高，然后根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

試題解析：（1）設(shè)OF的中點(diǎn)為\,貝LWX=〈CD

又a。=3W。

???為平行四邊形5巡'部趣F

又zLVc平面DJF，0.1/工平面ZUF

0M平面尸

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⑵過點(diǎn)尸作FG_.15于G

...平面aSCD一平面."EF，「FG一平面A8CD，F(xiàn)G即正“>￡F的高

???FG=???56二=2

一

1jQ

333

考點(diǎn)：1.空間中的平行關(guān)系；2.空間中的垂直關(guān)系；3.棱錐的體積計(jì)算.

20.【答案】證明：設(shè)過點(diǎn)7(3,0)的直線/交拋物線V=2x于點(diǎn)A(為，yi)、B(x2,y2).

當(dāng)直線/的車斗率不存在時(shí)，直線/的方程為43,

此時(shí)，直線/與拋物線相交于點(diǎn)A(3,亞)、B(3,-^6).

-?-?

：'OA08=3

當(dāng)直線/的鋅率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為產(chǎn)左(x-3),其中原0,

[y2=2%

由jy=k(x-3)得ky2-2y-6k=0^yiy2=-6,

22

Xvxi=iyi,X2=1y2f

?'-XlX2=9，

-?-?

■■OA'。尸1及+””=3,

綜上所述，命題“如果直線/過點(diǎn)T(3,0),那么神,在=3"是真命題；

綜上，命題成立.

【解析】設(shè)出48兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量的點(diǎn)乘運(yùn)算求證即可得到：“如果直線/過(3,0),那么袖,06=3”

是真命題.

本題考查了真假命題的證明，拋物線的簡單性質(zhì)，向量數(shù)量積，是拋物線與平面向量的綜合應(yīng)用，難度中

檔.

21.【答案】(1)證明：???底面NSUA是菱形，

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又'.'Mi劭平面弱小

又：SOc斗面例C.初IS。

7M=SCJ0=0C.:.50UC

又;ACn8D=0...S01平面ABCD-

(2)連接。戶，

???SB二平面肚e，SBU平面S3。，平面SRDc平面APC=0P，網(wǎng)平面APC,.-.SBWOP.

又??,。