（學(xué)生版）第1講 數(shù)與式-提高班

第1講數(shù)與式

知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)

無(wú)理數(shù)與實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類

?正有理數(shù)'

有理數(shù)零有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)

‘正無(wú)理數(shù)'

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)——對(duì)應(yīng)

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)

應(yīng).

3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù).我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即|20；

(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)”的平方是非負(fù)數(shù)，即/>0;

(3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即620(?>0).

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負(fù)數(shù)有最小值零；

(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

(3)幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

數(shù)”的相反數(shù)是-a;一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反

數(shù)；。的絕對(duì)值是0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、

開方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算，按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.

5.實(shí)數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而?。?/p>

法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

6.平方根和立方根

平方根立萬(wàn)根

項(xiàng)目

非負(fù)數(shù)

±n\1a

f行神，TiBBf有一個(gè)正的立方根；

一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)&的立方根；

零的平方根為零；零的立方根是零；

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；

(力1=a(a>0)(yfo)=a

重要結(jié)論行=卜|=阿。2。)=a

a=

【典例】

1

例1(2020秋?句容市月考)請(qǐng)將下列各數(shù)：］,7,-0.01,-3.2020020002-,-15,2.95,

7T

0,-；填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).

2

(1)整數(shù)集合｛…｝;

(2)分?jǐn)?shù)集合｛-｝；

(3)負(fù)有理數(shù)集合｛-｝；

(4)無(wú)理數(shù)集合｛_

例2(2020秋?錦江區(qū)校級(jí)月考)實(shí)數(shù)mb在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)|a+b|+|-

0+府的結(jié)果為()

--------------------1--------------------------------------1--------------------1---------------------------->

a0b

A.-2aB.2h-2aC.0D.2b

例3(2020?河北模擬)對(duì)于題目：實(shí)數(shù)a,b,。的大小如圖中數(shù)軸所示，化簡(jiǎn)：|a-c|-|a

-b\+\c-b\+2c.

A

0b

張皓程的解法如圖所示：

張皓程的試卷

①

原式=(a-c)-(a-b}+<c-bK2c②

=a-c-a+b^c-b+2c③

=(a-a)^(b-b)+(2c-c)④

⑤

=c

(1)張皓程從第一步開始出錯(cuò).

(2)請(qǐng)你寫出正確的解答過(guò)程.

_____________x

例4(2020秋?東坡區(qū)月考)叼*與^-2y-4互為相反數(shù),則］的算術(shù)平方根為一.

1

例5(2020秋?肇源縣期末)計(jì)算：(-1)2020+(n-3.14)°-(-)'2-|l-V3|.

例6(2020秋?錦江區(qū)校級(jí)月考)已知有理數(shù)人b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示.

(1)判斷。、b、c、-a.-b、-c的大小關(guān)系，并用符號(hào)連接；

(2)化簡(jiǎn)12a-h\-|a+c|+|a-b-c\.

I■■I、

ahc

【隨堂練習(xí)】

1.(2020秋?亭湖區(qū)期中)請(qǐng)將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：

73

一；,0,71,—,-1.010010001-,0.5

411

有理數(shù)集合：{…};

無(wú)理數(shù)集合：{—…};

非負(fù)數(shù)集合：{-}.

2.(2020秋?南安市期中)實(shí)數(shù)a、6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,則|a-V3I+I6+V3I

的值為()

b-0Qa6x

A.a+bB.a-bC.-a+6D.-a-b

]

3.(2020秋?法庫(kù)縣期末)|VI-2|+(TT-2021)°-(-)■I+3tan300.

4.(2020秋?吳興區(qū)校級(jí)期中)如圖，a、6兩數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示：

111111■

-1a01b2

(1)在數(shù)軸上標(biāo)出-a、-6對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并將a、b、-a,-b用連接起來(lái)：

(2)化簡(jiǎn)：「a|-|6-2|.

5.(2020春?崇川區(qū)校級(jí)期中)己知？2y—1+—3x=0,|z-1|=-Jx—2y+4,求"y+z

的平方根.

知識(shí)點(diǎn)2二次根式

二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如&(aN0)的式子叫做二次根式，如6,,而應(yīng),TO等式子，都叫做二次根式.

2.二次根式的性質(zhì)

(1)y/a>0(a>0);

(2)(G)=a(a>0)；

a(a>0)

(3)=|a|=<

-a(a<0)

3.最簡(jiǎn)二次根式

(1)被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如0,9壽等都是最簡(jiǎn)

二次根式.

4.同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.

5.二次根式的運(yùn)算

①乘除法

(1)乘除法法則：

類型法則逆用法則

積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

二次根式的乘法4axyfb=\[ah(a>(),/?>0)

y[ab=y/ax4b(a>0,b>0)

商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

二次根式的除法專=思之。，3)

合於0,“0)

②.加減法

將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變,

即合并同類二次根式.

【典例】

例1(2020春?龍巖期末)若下列代數(shù)式都是二次根式，則其中x的取值為全體實(shí)數(shù)的是

)

[2^x

A.V%+3B.V%2+1C.12+x

例2(2020春?江漢區(qū)期末)在根式遮，接加府中，是最簡(jiǎn)二次根式的有一個(gè).

例3(2020春?郁南縣期末)計(jì)算：

(1)V3+V2-(2V3-3V2)；

(2)4V5+V45-V8+4V2.

例4（2020秋?嘉定區(qū)期中）計(jì)算：|

J25xy+xj1—"y[xy^,其中

例5（2020春?蔡甸區(qū)校級(jí)月考）化簡(jiǎn)并求值:x=l,

y=2.

【隨堂練習(xí)】

1.（2020秋?偃師市期中）已知〃是正整數(shù)，是整數(shù)，則〃的值可以是（）

A.5B.7C.9D.10

2.（2020春?民權(quán)縣期末）在根式遮，阮，J|,V025,V20,最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)有」

個(gè).

3.（2020春?微山縣期末）計(jì)算：（代+岳）一（/一遍）.

4.（2020秋?松江區(qū)期中）計(jì)算：-y/xy*\[12xV3x.

5.（2020秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）已知：〃=遙+2,6=V5-2.

（1）求ab.

（2）求/+廿一

知識(shí)點(diǎn)3代數(shù)式

1.代數(shù)式的定義：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式.

注：?jiǎn)为?dú)一個(gè)字母或一個(gè)數(shù)也是代數(shù)式.

2.代數(shù)式的分類:

［單項(xiàng)式

「整式I多項(xiàng)式

「有理式＜

代數(shù)式41分式

I無(wú)理式

3.代數(shù)式的書寫規(guī)則：

(1)數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘，通常把乘號(hào)寫作"?"或省略不寫，字母之間的

順序可以交換，但一般按字母表中的先后順序?qū)?數(shù)字應(yīng)在字母之前.如：3。不要寫成。3

(2)在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般都變成分?jǐn)?shù)和乘法來(lái)計(jì)算.如：勿寫成二

h

3

(3)代數(shù)式中，如果字母系數(shù)是分?jǐn)?shù)，要寫成假分?jǐn)?shù),不能寫成帶分?jǐn)?shù).如：44/不要寫成

2

1-6(

2

(4)代數(shù)式運(yùn)算中結(jié)果是加減運(yùn)算的式子，若需注明單位，那么必須用括號(hào)把代數(shù)式括起

來(lái)，?

4.簡(jiǎn)單的代數(shù)式求值

1、求代數(shù)式的值的一般步驟：

(1)代入，才常旨定的字母數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時(shí),必須將相應(yīng)的字母換成

數(shù)值，其他的運(yùn)算符號(hào)，原來(lái)的數(shù)字都不能改變,對(duì)原來(lái)省略的乘號(hào)應(yīng)還原.

(2)計(jì)算，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果,運(yùn)算時(shí)應(yīng)分清運(yùn)算種類及運(yùn)算的順序，按

照先乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)的順序進(jìn)行.

2、求代數(shù)式值的一般方法:Q)直接代入求值；(2)整體代入求值

3、對(duì)于比較復(fù)雜的代數(shù)式，往往需要先化簡(jiǎn)再求值.

【典例】

例1(2020秋?樂(lè)亭縣期末)下列代數(shù)式中符合書寫要求的是()

1

A.aMB.4-xC.x-i-yD.—yz

3

例2（2020秋?訥河市期末）若2r-歹=-1,則3+4x-2y的值是（）

A.5B.-5C.1D.-1

例3（2020秋?蘭州期末）如圖，是一個(gè)運(yùn)算程序的示意圖，若開始輸入x的值為625,則

第2020次輸出的結(jié)果為（）

A.1B.5C.25D.625

例4（2020秋?會(huì)寧縣期末）觀察下列各算式:2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26

=64,27=128,28=256,…根據(jù)上述算式的規(guī)律，你認(rèn)為22°2。的末位數(shù)字應(yīng)該是（）

A.2B.4C.6D.8

【隨堂練習(xí)】

1.（2020秋?惠安縣期中）下列代數(shù)式中，符合書寫規(guī)范的是（）

A.ax-i-4B.a2bC.3xyD.13ab

2.（2020秋?涪城區(qū)校級(jí)期末）若a+26=3,則多項(xiàng)式24+4b-1的值為（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2020秋?懷安縣期末）計(jì)算1+2-3-4+5+6-7-8+-+2017+2018-2019-2020的值

為（）

A.0B.-1C.2020D.-2020

4.（2020秋?遼陽(yáng)期末）按如圖所示的運(yùn)算程序，當(dāng)輸入工=2,了=3時(shí);輸出的結(jié)果是.

知識(shí)點(diǎn)4整式

1.單項(xiàng)式：數(shù)與字母的乘積，叫做單項(xiàng)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).

3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

4.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.

5.多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).

6.常數(shù)項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

7.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

8.升幕排列：按某個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列.

9.降幕排列：按某個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列.

10.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

11.同類項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).

12.合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)的運(yùn)算叫做合并同類項(xiàng)；合并同類項(xiàng)后，

所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母不變.

13.合并同類項(xiàng)的步驟：①找同類;②同類項(xiàng)系數(shù)相加，字母部分不變;③不是同類項(xiàng)的項(xiàng)

照抄為結(jié)果的一項(xiàng).

14.去括號(hào)法則：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)

相同；

如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反

15.添括號(hào)法則：如果添括號(hào)的前面是正號(hào)，添括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)不變；

如果添括號(hào)的前面是負(fù)號(hào)，添括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)與以前的相反

整式加減的運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同

類項(xiàng).

【典例】

例1（2020秋?靖江市期中）下列代數(shù)式：一，2x+y,-cz2/?,——,—,0.5,a,其中整式

a37i4x

有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

例2（2020秋?荔灣區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x,y的多項(xiàng)式任/-用-3盯2+中+/廠人是二次

多項(xiàng)式，則人的值是（）

A.3B.-3C.1D.-1

1

例3（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）計(jì)算：一（12m+4）+2（"-1）.

4

例4（2020秋?思明區(qū)校級(jí)期中）（1）計(jì)算：54x"?（r）4+（3x）\

（2）因式分解：m（〃-3）+2（3-a）.

例5（2020秋?長(zhǎng)春期末）已知多項(xiàng)式4=2加2-4〃2〃+2〃2,B=m2+mn-3/z2,求：

（1）34+B；

（2）A-3B.

例6(2020秋?宛城區(qū)校級(jí)期中)閱讀理解：

已知a+6=4,ab=3,求a2+b2的值.

22

解：Va+b=49/.(〃+b)2=42,gpa+2a/?+/>=16.

'：ab=3,.,./+/=(。+6)2-2。6=10.

參考上述過(guò)程解答：

(1)若x-y=-3,9=-2,則,(A+y)2—；

(2)若機(jī)+〃-p—-10,("?-p)n--12,求(m-p)2+n2的值.

例7(2020秋?越秀區(qū)校級(jí)期中)填空：

(x-1)(x+1)=.

(x-1)(7+x+l)=.

(x-1)(4+/+用?])=.

(X-1)(x4+x3+f+x+l)=.

(1)根據(jù)上面的規(guī)律得：(x-1)(x"7+/-2+…+/+X+1)=(其中〃為正整數(shù),

且"22).

(2)當(dāng)x=3時(shí),計(jì)算：(3-1)(32017+32016+32015+-+33+32+3+1)=；

(3)a=220l7+22016+220l5+-+23+22+2+l,則a的個(gè)位數(shù)字為；

(4)計(jì)算：52020+52019+52018+52017+22016+52015+-+53+52+5.

【隨堂練習(xí)】

51

I.（2020秋?福田區(qū)校級(jí)期中）在代數(shù)式7+5,-a,?-3x+2,m-，7+士中，整式

X%十1

有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2.（2020秋?郵城縣期中）下列說(shuō)法中：①-。表示負(fù)數(shù)；②多項(xiàng)式-3/什7/*-2M+1

的次數(shù)是3；③單項(xiàng)式一,My的系數(shù)為-2；④若|x|=x,則x>0,正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

3.(2020秋?松江區(qū)期末)計(jì)算：2x+(x+3y-1)-(4廠5).

11a

4.(2020秋?永吉縣期末)觀察下列五個(gè)式子，解答問(wèn)題：-ab2,—+b,--3b,-a+b,

3a2

—^a+2b.

(1)這五個(gè)式子中，多項(xiàng)式有一個(gè)；

(2)選擇兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算，要求計(jì)算結(jié)果為單項(xiàng)式.

5.(2020春?市中區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算：[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]4-4y.

6.(2020秋?雙流區(qū)校級(jí)月考)解答下列問(wèn)題：

(1)已知/+y=10,〃+6=4,求a-b的值.

(2)關(guān)于x的代數(shù)式(ar-3)(2x+l)-4工2+切化簡(jiǎn)后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，且m+加〃

=1,求5/+9〃+2的值.

7.(2020秋?內(nèi)江期中)仔細(xì)觀察，探索規(guī)律：

(1)(a-b)(a+ft)=a2-h2；

(a-b)(a1+ab+b1)=a3-b3；

(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4.

(a-b)(a"'{+an'2b+-+abn'2+bn'h=①.(其中〃為正整數(shù)，且〃22).

②(2-1)(2+1)=；③(2-l)(22+2+1)=；

④(2-1)(23+22+2+1)=；⑤(2"-1+2"-2+”.+2+1)=___；

(2)根據(jù)上述規(guī)律，求2269+22018+22017+…+2+1的個(gè)位數(shù)字是多少？

(3)根據(jù)上述規(guī)律,求29-28+27--+23-22+2的值？

知識(shí)點(diǎn)5因式分解

L分解因式

(1)把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

(2)因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

注意：因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：

①整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；

②因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.

2.提公共因式法

(1)如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化

成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:ab+ac=a(b+c)

(2)概念內(nèi)涵：

①因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是"積"；

②公因式可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式；

③提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律，即:ma+mb-mc=m(a+b-c)

3.運(yùn)用公式法

(1)如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做

運(yùn)用公式法.

(2)主要公式：

①平方差公式：a2-b2=(a+bXa-b)

②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a+b)2

⑶易錯(cuò)點(diǎn):

因式分解要分解到底.如x4-/=(X2+/)(X2-/)就沒(méi)有分解徹底.

【典例】

例1(2020秋?南宮市校級(jí)期中)下列多項(xiàng)式：①/+/；②-x2-4/；③-1+/；@0.081/

-屬，其中能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例2(2020?浙江自主招生)分解因式：2?+7孫-15/-3X+11廠2=.

例3(2020春?富平縣期末)先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題

分解因式：(〃+/>)2-2Ca+b)+1

將：將a+6看成整體，設(shè)M=a+6,則原式=序-2"+1=(.M-1)2

再將M換原，得原式=(.a+b-1)2

上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)

你仿照上面的方法將下列式子進(jìn)行因式分解：

(1)(3。+26)2-(2。+3萬(wàn))2.

(2)(J+3〃+2)(n2+3?)+1.

例4(2020春?紹興期中)【閱讀理解】如何將y+(p+q)m7應(yīng)型式子分解因式呢？我們知

道(x+p)(x+q)=/+(p+g)x+pq,所以根據(jù)因式分解與整式乘法是互逆變形，可得;

/+(p+q)x+pq—(x+p)(x+q).例如：(x+1)(x+2)=?+3x+2,.*.x2+3x+2—

(x+1)(x+2).

上述過(guò)程還可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉

線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交

叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)的系數(shù)，如圖：

這樣，我們可以得到：?+3x+2=(x+1)(x+2).

【遷移運(yùn)用】利用上述的十字相乘法，將下列多項(xiàng)式分解因式：

(1)f+7x+12.

(2)-2X2-2x+12.

4

[/、'2

1X2+1X1=3

【隨堂練習(xí)】

1.（2020?雨花區(qū)校級(jí)模擬）因式分解：m2-my+mx-yx=.

2.（2020秋?紅橋區(qū)期末）若（工+〃）2,則加，〃的值分別為（）

255255

A.彳,n=2B.陽(yáng)=彳,〃=5C.掰=25,〃=5D.用=5,n=

3.（2020秋?集賢縣期末）分解因式：

（1）-x2-4y2+4xy

（2）（x-1）2+2（x-5）

4.（2020春?市中區(qū)期末）小剛碰到一道題目：“分解因式/+2x-3”，不會(huì)做，去問(wèn)老

師，老師說(shuō)：“能否變成平方差的形式？在原式加上1,再減去1,這樣原式化為（J+lr+l）

-4,…”，老師話沒(méi)講完，小剛就恍然大悟，他馬上就做好了此題.

（1）請(qǐng)你完成他分解因式的步驟；

（2）運(yùn)用這種方法分解因式:a2-2ab-3b1.

知識(shí)點(diǎn)6分式

分式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1.分式：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子々叫做分式.

其中A叫做分子，B叫做分母.

2.分式的基本性質(zhì)

A_AxMA_A^M

BBxM'BB+M(M為不等于0的整式).

3.最簡(jiǎn)分式

分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).

分式的運(yùn)算

1.約分：利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，

這樣的分式變形叫做分式的約分.

2.通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異?/p>

母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.

3.基本運(yùn)算法則

分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下：

(1)加減運(yùn)算

-+-=—；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

CCC

-±-=/主竺;異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.

baba

(2)乘法運(yùn)算7-4=77，其中以從c、。是整式，仇/NO.

baba

兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.

(3)除法運(yùn)算=>其中b、c>d是整式，bed0.

babcbe

兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.

(4)乘方運(yùn)算￡)*4

分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.零指數(shù)

a°=1(以H0)

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)

0"=十3"°結(jié)為正整數(shù)）

6.分式的混合運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的.

【典例】

]

例1（202。秋?松桃縣月考）⑴（-1）2+（”4-5+（2。。55）°；

⑵字巴一)

xz-xyxy-yL

%—5AB

例2（2。2。春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）若正衣Hi—---+----,求力、8的值.

X4-1X-1

例3（2。2°秋?盧龍縣期末）老師所留的作業(yè)中有這樣一個(gè)分式的計(jì)算題：亮+言,甲、

乙兩位同學(xué)完成的過(guò)程分別如下:

甲同學(xué)：京+%+52%+6

------=---------------+--------------第一步=湍群D第二步=

x2-l(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)

鬲法可第三步

-、、，2x+52(x-l)x+5….

乙同學(xué)：3+"=至W+(久+l)(x-l)第一步=益一2+X+5第二步=3/3

第三步

老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答都有錯(cuò)誤:

（1）甲同學(xué)的解答從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；乙同學(xué)的解答從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤;

⑵請(qǐng)重新寫出完成此題的正確解答過(guò)程等+若

2aa

例4（2。2。秋?訥河市期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（工-樂(lè)）+號(hào)Y，其中4=2.

例5(2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考)先化簡(jiǎn)，再求值：(號(hào)9——若七)一等，其中。=

az-2aaz-4a+4a

2-V2.

【隨堂練習(xí)】

1.(2020春?鎮(zhèn)平縣期末)計(jì)算：

(1)-22-|-7|+V9x(3-1)°+(-1)'；

x-yxy-xz2

(2)=上一.一^—1?

x^+xy產(chǎn)

2.(2020秋?沂源縣期中)計(jì)算：

a2a3a

(1)+......-......；

b+1b+11+b

X2-2X3x-2

(2)(―----------------)4-

x2-4x+4x-2%'—4

3.(2020秋?烏海期末)先化簡(jiǎn)，再求值：(竽^-二一)+-^￡7,其中x=-3.

x2-lx-1xz-2x+l

4x4-8

4.(2020春?羅湖區(qū)校級(jí)期中)若x為整數(shù)，且丁一的值也為整數(shù)，則所有符合條件的x

%2-4

的值之和.

綜合運(yùn)用

1.(2020秋?靖江市期中)將下列數(shù)按要求分類，并將答案填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).

357r30

-3,1-,-0.25,|-12|,-3-,-(-1.5),-|-5.2|,206,0,21%,—f2.010010001-

分?jǐn)?shù)集合{…};

負(fù)有理數(shù)集合{—…};

無(wú)理數(shù)集合{…}.

2.（2020秋?達(dá)州期中）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示:

（1）用“〉"或"<