機(jī)械振動(dòng)學(xué)-第五章-兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)(講)

第五章兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)§5-1概述單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論是振動(dòng)理論的根底。在實(shí)際工程問題中，還經(jīng)常會(huì)遇到一些不能簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題，因此有必要進(jìn)一步研究多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論。兩自由度系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)。從單自由度系統(tǒng)到兩自由度系統(tǒng)，振動(dòng)的性質(zhì)和研究的方法有質(zhì)的不同。研究?jī)勺杂啥认到y(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性的根底。所謂兩自由度系統(tǒng)是指要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)的幾何位置的振動(dòng)系統(tǒng)。很多生產(chǎn)實(shí)際中的問題都可以簡(jiǎn)化為兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。①汽車動(dòng)力學(xué)模型：圖3.1兩自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型§5-2兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程②以圖3.2的雙彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例。設(shè)彈簧的剛度分別為k1和k2，質(zhì)量為m1、m2。質(zhì)量的位移分別用x1和x2來表示，并以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向下為正方向。(分析)在振動(dòng)過程中的任一瞬間t，m1和m2的位移分別為x1及x2。此時(shí)，在質(zhì)量m1上作用有彈性恢復(fù)力，在質(zhì)量m2上作用有彈性恢復(fù)力。這些力的作用方向如下圖。應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可建立該系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程式： 〔3.1〕令 那么〔3.1〕式可改寫成如下形式：〔3.2〕這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次聯(lián)立微分方程組。(分析)在第一個(gè)方程中包含項(xiàng)，第二個(gè)方程中那么包含項(xiàng)，稱為“耦合項(xiàng)”〔couplingterm〕。這說明，質(zhì)量m1除受到彈簧k1的恢復(fù)力的作用外，還受到彈簧 k2的恢復(fù)力的作用。m2雖然只受一個(gè)彈簧k2恢復(fù)力的作用，但這一恢復(fù)力也受到第一質(zhì)點(diǎn)m1位移的影響。我們把這種位移之間有耦合的情況稱為彈性耦合。假設(shè)加速度之間有耦合的情況，那么稱之為慣性耦合。二、固有頻率和主振型[創(chuàng)造思維：]從單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論得知，系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。我們也希望在兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)中找到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解。因此可先假設(shè)方程組〔3.2〕式有簡(jiǎn)諧振動(dòng)解，然后用待定系數(shù)法來尋找有簡(jiǎn)諧振動(dòng)解的條件。設(shè)在振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量按同樣的頻率和相位角作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，故可設(shè)方程組〔3.2〕式的特解為： 〔3.3〕其中振幅A1與A2、頻率、初相位角都有待于確定。對(duì)〔3.3〕式分別取一階及二階導(dǎo)數(shù)：〔3.4〕將〔3.3〕、〔3.4〕式代入〔3.2〕式，并加以整理后得： 〔3.5〕上式是A1、A2的線性齊次代數(shù)方程組。A1、A2=0顯然不是我們所要的振動(dòng)解，要使A1、A2有非零解，那么〔3.5〕式的系數(shù)行列式必須等于零，即：=0將上式展開得： 〔3.6〕解上列方程，可得如下的兩個(gè)根： 〔3.7〕由此可見，〔3.6〕式是決定系統(tǒng)頻率的方程，故稱為系統(tǒng)的頻率方程〔frequencyequation〕或特征方程〔characteristicequation〕。特征方程的特征值〔characteristicvalue〕即頻率只與參數(shù)a，b，c有關(guān)。而這些參數(shù)又只決定于系統(tǒng)的質(zhì)量m1，m2和剛度k1，k2，即頻率只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，故稱為系統(tǒng)的固有頻率。兩自由度系統(tǒng)的固有頻率有兩個(gè)，即稱為第一階固有頻率〔firstordernaturalcircularfrequency〕[基頻]。稱為第二階固有頻率〔secondordernaturalcircularfrequency〕。[〔推廣〕理論證明，n個(gè)自由度系統(tǒng)的頻率方程是的n次代數(shù)方程，在無阻尼的情況下，它的n個(gè)根必定都是正實(shí)根，故主頻率的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)的自由度數(shù)目相等。]將所求得的和代入〔3.5〕式中得： 〔3.8〕式中：——對(duì)應(yīng)于的質(zhì)點(diǎn)m1，m2的振幅；——對(duì)應(yīng)于的質(zhì)點(diǎn)m1，m2的振幅。由此可見，對(duì)應(yīng)于和，振幅A1與A2之間有兩個(gè)確定的比值。稱之為振幅比〔amplituderatio〕。將〔3.8〕式與〔3.3〕式聯(lián)系起來可以看出，兩個(gè)m1與m2任一瞬間位移的比值。系統(tǒng)的其它點(diǎn)的位移都可以由x1及x2來決定。這樣，在振動(dòng)過程中，系統(tǒng)各點(diǎn)位移的相比照值都可以由振幅比確定，也就是振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)。因此，我們將振幅比稱為系統(tǒng)的主振型〔principalmode〕，也可稱為固有振型〔naturalmode〕。其中：——第一主振型，即對(duì)應(yīng)于第一主頻率的振幅比；——第二主振型，即對(duì)應(yīng)于第二主頻率的振幅比。當(dāng)系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動(dòng)時(shí)，即稱為系統(tǒng)的主振動(dòng)〔principalvibration〕。所以，第一主振動(dòng)為： 〔3.9〕第二主振動(dòng)為： 〔3.10〕為了進(jìn)一步研究主振型的性質(zhì)，可以將〔3.7〕式改寫成如下形式：因?yàn)橐驗(yàn)樯鲜降牡仁接疫吅愦笥诹?，所以，由?.8〕式知，因?yàn)樯鲜降牡仁接疫吅阈∮诹?，所以，由?.8〕式知，。(說明)由此可見，表示的符號(hào)相同，即第一主振動(dòng)中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位相同。因此，假設(shè)系統(tǒng)按第一主振型進(jìn)行振動(dòng)的話，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)就同時(shí)向同方向運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)經(jīng)過平衡位置，又同時(shí)到達(dá)最大偏離位置。而，那么表示第二主振動(dòng)中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位相反，永遠(yuǎn)相差180°。當(dāng)質(zhì)量m1到達(dá)最低位置時(shí)，質(zhì)量m2恰好到達(dá)最高位置。它們一會(huì)相互別離，一會(huì)又相向運(yùn)動(dòng)，這樣，在整個(gè)第二主振動(dòng)的任一瞬間的位置都不改變。這樣的點(diǎn)稱為“節(jié)點(diǎn)”〔nodalpoint〕?！肮?jié)點(diǎn)”圖3.3兩自由度系統(tǒng)的主振動(dòng)與主振型振動(dòng)理論證明，多自由度系統(tǒng)的i階主振型一般有i－1個(gè)節(jié)點(diǎn)。這就是說，高一階的主振型就比前一階主振型多一個(gè)節(jié)點(diǎn)。階次越高的主振動(dòng)，節(jié)點(diǎn)數(shù)就越多，故其相應(yīng)的振幅就越難增大。相反，低階的主振動(dòng)由于節(jié)點(diǎn)數(shù)少，故振動(dòng)就容易激起。所以，在多自由度系統(tǒng)中，低頻主振動(dòng)比高頻主振動(dòng)危險(xiǎn)。三、系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)[思維方式：]前面分析了兩自由度系統(tǒng)的主振動(dòng)，而這些主振動(dòng)又都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但兩自由度系統(tǒng)在受到干擾后出現(xiàn)的自由振動(dòng)究竟是什么形式呢？這要取決于初始條件。從微分方程的理論來說，兩階主振動(dòng)只是微分方程組的兩組特解。而它的通解那么應(yīng)由這兩組特解相疊加組成。從振動(dòng)的實(shí)踐來看，兩自由度系統(tǒng)受到任意的初干擾時(shí)，一般來說，系統(tǒng)的各階主振動(dòng)都要激發(fā)。因而出現(xiàn)的自由振動(dòng)應(yīng)是這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。所以，在一般的初干擾下，系統(tǒng)的響應(yīng)是：〔3.11〕式中，四個(gè)未知數(shù)要由振動(dòng)的四個(gè)初始條件來決定。設(shè)初始條件為：t=0時(shí)，經(jīng)過運(yùn)算，可以求出：〔3.12〕將〔3.12〕式代入〔3.11〕就得到系統(tǒng)在上述初始下響應(yīng)。四、振動(dòng)特性的討論1．運(yùn)動(dòng)規(guī)律從〔3.11〕式可以看出，兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)是由兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。但從〔3.7〕式來看，這兩個(gè)分振動(dòng)的頻率的比值卻不一定是有理數(shù)，因此合成不一定呈周期性。所以系統(tǒng)的自由振動(dòng)一般來說是一種非周期的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。在這一振動(dòng)中，各階主振動(dòng)所占的比例由初始條件決定。但由于低階振型易被激發(fā)，所以通常情況下總是低階主振動(dòng)占優(yōu)勢(shì)。只有在某種特殊的初始條件下，系統(tǒng)才按一種主振型進(jìn)行振動(dòng)。2．頻率和振型兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)不同數(shù)值的固有頻率，稱為主頻率，當(dāng)系統(tǒng)按任一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng)時(shí)，即稱為主振動(dòng)。系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，任何瞬間的各點(diǎn)位移之間具有一相比照值，即整個(gè)系統(tǒng)具有確定的振動(dòng)形態(tài)，稱為主振型。3．節(jié)點(diǎn)和節(jié)面在兩自由度系統(tǒng)的第二階主振型中存在著節(jié)點(diǎn)，而在第一階主振型中卻不存在節(jié)點(diǎn)。對(duì)多自由度系統(tǒng)來說也是如此，而且主振型的階數(shù)越高，那么節(jié)點(diǎn)數(shù)也就越多。一般來說，第i階主振型有i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于彈性體來說，節(jié)點(diǎn)已經(jīng)不再是一個(gè)點(diǎn)，而是聯(lián)成線或面，稱為節(jié)線〔nodalline〕和節(jié)面〔nodalsurface〕。4．阻尼假設(shè)系統(tǒng)存在阻尼，那么阻尼對(duì)多自由度系統(tǒng)的影響和單自由度系統(tǒng)相似。由于在工程結(jié)構(gòu)中一般阻尼較小，故可略去不計(jì)。[例]試求如圖3.4所示的系統(tǒng)的固有頻率和主振型。。又假設(shè)初始條件為，試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為令那么可解出：[類比前面形式]因?yàn)?故 根據(jù)給定的初始條件，代入〔3.12〕式得：故系統(tǒng)的響應(yīng)為：§5-3兩自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)一、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和單自由度系統(tǒng)一樣，兩自由度系統(tǒng)在受到持續(xù)的激振力作用時(shí)就會(huì)產(chǎn)生受迫振動(dòng)，而且在一定條件下也會(huì)產(chǎn)生共振。圖3.8所示為兩自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。我們稱簡(jiǎn)諧激振力作用的m1-k1質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)。把不受激振力作用的m2-k2質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為副系統(tǒng)。這一振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為： 〔3.13〕令 那么〔3.13〕式可改寫成：〔3.14〕這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程組，其通解由兩局部組成。一是對(duì)應(yīng)于齊次方程組的解，即為上一節(jié)討論過的自由振動(dòng)。二是對(duì)應(yīng)于上述非齊次方程組的一個(gè)特解，它是由激振力引起的受迫振動(dòng)，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。我們只研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，故設(shè)上列微分方程組有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特解：〔3.15〕式中，B1、B2是m1、m2的振幅，在方程組中是待定常數(shù)。對(duì)〔3.15〕式分別求一階、二階導(dǎo)數(shù)，〔3.16〕將〔3.15〕及〔3.16〕式代入〔3.14〕式得： 〔3.17〕這是一個(gè)二元非齊次聯(lián)立代數(shù)方程，它的解可用行列式原理求出：〔3.18〕這就是說，我們期待的方程組〔3.14〕式的簡(jiǎn)諧振動(dòng)特解是可以得到的。二、振動(dòng)特性的討論1．運(yùn)動(dòng)規(guī)律由〔3.15〕式得知，兩自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2．頻率兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的頻率與激振力的頻率相同。3．振幅由〔3.18〕式得知，兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅決定于激振力力幅、激振力頻率，以及系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)?，F(xiàn)分別討論如下：〔1〕激振力幅值p0的影響因?yàn)閜∝p0，所以p0與B1、B2成線性關(guān)系。即p0越大，振幅B1、B2也越大?！?〕激振力頻率的影響為了說明對(duì)振幅的影響，我們以B1、B2為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，將〔3.18〕式作成曲線示圖3.9中，稱之為振幅頻率響應(yīng)曲線，或稱幅頻特性曲線。它說明了系統(tǒng)位移對(duì)頻率的響應(yīng)特性。討論：①當(dāng)，這說明，此時(shí)激振力的作用和靜力的作用相當(dāng)。②當(dāng)，即激振力頻率等于系統(tǒng)第一或第二階固有頻率時(shí)，系統(tǒng)即出現(xiàn)共振現(xiàn)象，振幅B1、B2均急劇增加。這就是說，在兩自由度系統(tǒng)中，如果激振力的頻率和系統(tǒng)的任何一階固有頻率相近時(shí)，系統(tǒng)都將產(chǎn)生共振。也就是說，兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振區(qū)?，F(xiàn)在我們來分析一下系統(tǒng)共振時(shí)的振型。由〔3.18〕式可得質(zhì)量m1和m2的振幅比為： 〔3.19〕這說明，在一定的激振頻率下，兩個(gè)質(zhì)量的振幅比是一個(gè)確定值。當(dāng)激振頻率等于第一階固有頻率時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量的振幅比的即為： 〔3.20〕當(dāng)時(shí)，那么 〔3.21〕這說明，系統(tǒng)以那一階固有頻率共振，那么此時(shí)的共振振型就是那一階主振型。這是多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的一個(gè)極為重要的特性。在實(shí)踐中，經(jīng)常用共振法測(cè)定系統(tǒng)的固有頻率，并根據(jù)測(cè)出的振型來判定固有頻率的階次，就是利用了上述這一規(guī)律。當(dāng)故這就是說，副系統(tǒng)通過彈簧k2傳給主系統(tǒng)的力，正好與作用在主系統(tǒng)上的激振力相平衡。這樣，主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)就被副系統(tǒng)吸收掉了。主系統(tǒng)的質(zhì)量m1就如同不受激振力作用一樣，保持靜止。這種現(xiàn)象可以被利用來作為減小振動(dòng)的一種措施。當(dāng)，即激振力的頻率很高時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量m1和m2都幾乎不動(dòng)。這時(shí)受迫振動(dòng)現(xiàn)象也進(jìn)入慣性區(qū)了。4．相位由于系統(tǒng)是無阻尼的情況，所以只要觀察振幅的正負(fù)變化就可以說明相位的變化?，F(xiàn)將振幅計(jì)算公式〔3.18〕式的分母作如下的變換： 〔3.23〕由系統(tǒng)的頻率方程〔3.6〕式，可以得知頻率方程的兩個(gè)根必定滿足以下關(guān)系式： 〔3.24〕將〔3.24〕式代入〔3.23〕式得： 〔3.25〕因而〔3.18〕式可改寫成： 〔3.26〕從〔3.26〕式中可以看出：在階段，B1、B2均為正值。故質(zhì)量m1、m2的位移和激振力是同相的，即兩個(gè)質(zhì)量的位移也同相。當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的相位對(duì)于激振力要出現(xiàn)相位突跳的反相。當(dāng)時(shí)，B1=0，此后，B1又重新成為正值，但B2卻仍保持負(fù)值。這就是說，在階段，B1與激振力同相，B2與激振力反相。即兩個(gè)質(zhì)量之間的相位相反。當(dāng)以后，B1又改變?yōu)樨?fù)值，而B2卻保持正值。根據(jù)以上分析，可作出如圖3.10所示的相頻特性曲線三、動(dòng)力減振器根據(jù)兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振動(dòng)特性的分析得知，只要適當(dāng)?shù)剡x擇系統(tǒng)的參數(shù)，就可以使主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)被副系統(tǒng)所吸收，從而使主系統(tǒng)不動(dòng)，動(dòng)力減振器就是應(yīng)用這一原理來設(shè)計(jì)的。動(dòng)力減振器是用彈性元件把一個(gè)輔助質(zhì)量固定到振動(dòng)系統(tǒng)上的一種減振裝置，其動(dòng)力學(xué)模型如圖3.11所示。圖中m1、k1為原振動(dòng)系統(tǒng)〔主系統(tǒng)〕的質(zhì)量〔主質(zhì)量〕和彈簧剛度。m2、k2為動(dòng)力減振器〔附加系統(tǒng)〕的質(zhì)量〔輔助質(zhì)量〕和彈簧剛度，c為動(dòng)力減振器的阻尼。為作用在主系統(tǒng)上的激振力。從圖3.11可以看出，在主系統(tǒng)上增加了附加系統(tǒng)后，即使原來的單自由度系統(tǒng)變?yōu)閮勺杂啥认到y(tǒng)。其運(yùn)動(dòng)微分方程式為：〔3.27〕設(shè)上列方程組的特解為：〔穩(wěn)態(tài)振動(dòng)〕〔3.28〕將〔3.28〕式及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入〔3.27〕式得：〔3.29〕解上列聯(lián)立方程，求出主系統(tǒng)的振幅B1，并化成實(shí)數(shù)形式：〔3.30〕為了簡(jiǎn)化計(jì)算，引進(jìn)以下符號(hào)：——主系統(tǒng)在激振力力幅p0作用下產(chǎn)生的靜變位；——主系統(tǒng)的固有頻率；——附加系統(tǒng)的固有頻率；——激振力頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；——減振器固有頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；——輔助質(zhì)量與主質(zhì)量之比；——減振器的阻尼比。那么〔3.29〕式可改寫成以下無量綱形式：〔3.31〕現(xiàn)根據(jù)減振器分類進(jìn)行討論：〔普遍式〕1．無阻尼動(dòng)力減振器假設(shè)減振器沒有阻尼元件，那么，故〔3.31〕式簡(jiǎn)化為： 〔3.32〕由此可見，當(dāng)時(shí)，B1=0。即當(dāng)減振器的固有頻率等于激振頻率時(shí)，輔助m2通過彈性元件k2作用于主質(zhì)量m1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系統(tǒng)振幅為零，從而到達(dá)消振的目的。當(dāng)激振頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即λ=1時(shí)，主系統(tǒng)產(chǎn)生共振。為了消除系統(tǒng)共振，應(yīng)使減振器固有頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即令。假設(shè)再取質(zhì)量比，那么〔3.32〕式中的四個(gè)變量就固定了兩個(gè)。對(duì)即可作出主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，如圖3.12所示。從圖中可以看到，主系統(tǒng)共振點(diǎn)的振幅已經(jīng)消失。但又出現(xiàn)了兩個(gè)新的共振點(diǎn)。這兩點(diǎn)的坐標(biāo)值可以從〔3.32〕式的分項(xiàng)等于零時(shí)求出：因?yàn)楣噬鲜匠蔀樗? 〔3.33〕對(duì)于，質(zhì)量比為的系統(tǒng)，兩個(gè)固有頻率〔主頻率〕為： 〔3.34〕顯然，當(dāng)激振頻率正好等于或時(shí)，都會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生新的共振。根據(jù)〔3.33〕式可作出與的關(guān)系曲線，如圖3.13所示它們表示了系統(tǒng)的兩個(gè)主頻率或的相隔范圍。我們希望這兩個(gè)主頻率相距較遠(yuǎn)。但對(duì)于穩(wěn)定的定速運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)械，值那么還可以取得小些。由以上分析可見，使用無阻尼動(dòng)力減振器時(shí)要特別慎重，應(yīng)用不當(dāng)會(huì)帶來新的禍患。所以，這種減振器主要用于激振頻率變化不大的情況。{教學(xué)演示片：}2．有阻尼動(dòng)力減振器當(dāng)減振器有阻尼元件時(shí)，那么根據(jù)〔3.31〕式，以為參變量，仍令，所作出的主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖3.15所示?！病硰膱D上可以看出：1〕無論阻尼的為何值，幅頻響應(yīng)曲線均經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，也就是說，當(dāng)頻率比位于P點(diǎn)和Q點(diǎn)相應(yīng)的頻率比值時(shí)，主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)的振幅與阻尼比的大小無關(guān)，這一物理現(xiàn)象是設(shè)計(jì)有阻尼動(dòng)力減振器的重要依據(jù)。2〕假設(shè)令相等，就可求得P點(diǎn)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)值。當(dāng)時(shí)從〔3.31〕式得： 〔3.35〕令〔3.32〕式與〔3.35〕式相等得上式等號(hào)左邊假設(shè)取正號(hào)，那么解出λ=0，這對(duì)減振沒有意義。故取負(fù)號(hào)，那么上式可展開得：〔3.36〕解上列代數(shù)方程得：〔3.37〕將求得的值代入〔3.32〕式〔3.35〕式，即可得P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)值： 〔3.38〕這里需要說明一點(diǎn)，即Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)值之所以為負(fù)值，是因?yàn)镻、Q兩點(diǎn)在共振點(diǎn)〔〕的兩側(cè)，兩者的相位是相反的，所以這兩點(diǎn)的振幅的符號(hào)也相反，因此，在圖3.15中，在右邊的曲線，實(shí)際上應(yīng)該畫在橫坐標(biāo)軸的下方，〔現(xiàn)在為了直觀起見〕。3〕既然無論值是多少，所有的幅頻響應(yīng)曲線都要經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)。因此，的最高點(diǎn)都不會(huì)低于P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)。[思想方法]為了使減振器獲得較好的減振效果，就應(yīng)該設(shè)法降低P、Q兩點(diǎn)，并使P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，而且成為曲線上的最高點(diǎn)。這樣，減振后主系統(tǒng)振幅B1與靜變位的比值就會(huì)減小，并限制在P、Q兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的振幅以下〔見圖3.16〕。研究工作證明，為了使P、Q兩點(diǎn)等高，就要適中選擇值；為了使的最大值在P、Q兩點(diǎn)上，就要適中選擇值。所以選擇的和值，分別稱為最正確頻率比〔optimumfrequencyratio〕和最正確阻尼比〔optimumdampingratio〕。下面就來分別介紹它們確實(shí)定方法?！?〕最正確頻率比確實(shí)定。〔第一步〕為了使P、Q兩點(diǎn)等高，即使P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，應(yīng)使〔3.38〕式所表示的與相等。即：解之得： 〔3.39〕根據(jù)代數(shù)方程理論，由〔3.36〕式得知 〔3.40〕聯(lián)立〔3.39〕式及〔3.40〕式，并求解得：所以〔3.41〕將值代入〔3.37〕式，即得到與P、Q兩點(diǎn)相應(yīng)的橫坐標(biāo)值： 〔3.42〕將〔3.42〕式代入〔3.32〕式或〔3.35〕式，即得到在選取最正確頻率比的情況下，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)值： 〔3.43〕[分析]可見，要降低P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，應(yīng)使質(zhì)量比增大，即增加減振器中的輔助質(zhì)量m2。m2