高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級(jí)練（十七）直線與圓 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

能力升級(jí)練(十七)直線與圓一、選擇題1.(2019山西運(yùn)城中學(xué)、芮城中學(xué)期中聯(lián)考)直線l:xsin30°+ycos150°+1=0的斜率為()A.33 B.3 C.-3 D.-解析直線方程為12x-32y+1=0,整理為斜截式為y=33可知直線的斜率為33.故選A答案A2.圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程為()A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1解析由題意知圓心的坐標(biāo)為(1,2).易知(1,2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為(2,1),所以圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=1,故選A.答案A3.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43 B.-34 C.3 D解析圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-4)2=4,故圓心為(1,4),d=|a+4-1|答案A4.(2019重慶期末)直線mx+y+1-m=0與圓x2+y2+x-2y-6=0的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.無(wú)法確定解析把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式可得x+122+(y-1)2=294,直線方程可化為m(x-1)+y+1=0,故可得直線過(guò)定點(diǎn)A(1,-1),點(diǎn)A到圓心的距離為94+4=5答案A5.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓中過(guò)點(diǎn)M(3,5)的最長(zhǎng)弦、最短弦分別為AC,BD,則以點(diǎn)A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形ABCD的面積為()A.106 B.206 C.306 D.406解析已知圓的圓心為(3,4),半徑為5,則最短的弦長(zhǎng)為252-12=46,最長(zhǎng)的弦為圓的直徑為10,且最短的弦與最長(zhǎng)的弦垂直,于是四邊形的面積為12×46×10=答案B6.(2019江西臨川第一中學(xué)高三上學(xué)期期末)已知圓x2+y2-4x-5=0的弦AB的中點(diǎn)為Q(1,1),直線AB交x軸于點(diǎn)P,則|PA|·|PB|=()A.4 B.5 C.6 D.8解析x2+y2-4x-5=0可化為(x-2)2+y2=9,所以圓x2+y2-4x-5=0的圓心坐標(biāo)為C(2,0),半徑為3.它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M,N,所以|MO|=1,|NO|=5,因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為Q(1,1),所以QC⊥AB,kQC=1-01-2=-所以直線AB的方程為y-1=x-1,即y=x,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0),它與原點(diǎn)重合.由圓的性質(zhì)可得|PA|·|PB|=|MO|·|NO|=5,故選B.答案B7.(2019湖北沙市中學(xué)期末)已知圓C:(x-2)2+y2=4,直線l1:y=3x和l2:y=kx-1被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度之比為1∶2,則k的值為()A.12 B.33 C.1 D解析圓C:(x-2)2+y2=4的圓心為(2,0),半徑為2,圓心到線l1:y=3x的距離為3,l1被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度為222-3=2,圓心到l2的距離為|2k-1|k2+1,l2被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度為24-2k-1k2+12答案A8.(2019湖南永州模擬)自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點(diǎn)P(x,y)引該圓的一條切線,切點(diǎn)為Q,PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0 C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0解析由題意得,圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,因?yàn)閨PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x-8y-21=0,故選D.答案D9.直線y=x+m與圓x2+y2=16交于不同的兩點(diǎn)M,N,且|MN|≥3|OM+ON|,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)mA.(-22,-2]∪[2,22)B.(-42,-22]∪[22,42)C.[-2,2]D.[-22,22]解析設(shè)MN的中點(diǎn)為D,則OM+ON=2OD,|MN|≥23|OD|,由|OD|2+14|MN|2=16,得16=|OD|2+答案D二、填空題10.(2018山東日照六校聯(lián)考)已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,則兩圓有條公切線.

解析圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-3)2=9,圓心為C1(-1,3),半徑為r1=3,圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=16,圓心為C2(2,-1),半徑為r2=4,又|C1C2|=(-1-2)2+[3-(-1)]2=5,故r答案211.(2019山東濰坊期末)已知?jiǎng)又本€l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(1,m),且Q(4,0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3,則12a+2解析動(dòng)直線l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(1,m),所以a+bm+c-2=0.又Q(4,0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3,所以(4-1)2+(0-m)2=3,解得m=0.所以a+c=2.又a>0,c>0,所以12a+2c=12(a+c)1答案912.(2019四川綿陽(yáng)質(zhì)檢)若A(-33,y0)是直線l:3x+y+a=0(a>0)上的點(diǎn),直線l與圓C:(x-3)2+(y+2)2=12相交于M、N兩點(diǎn),若△MCN為等邊三角形,則過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為P,則|AP|=.

解析因?yàn)椤鱉CN為等邊三角形,圓C的圓心為C(3,-2),半徑為r=23,所以根據(jù)點(diǎn)C到直線l的距離可得:r2-r22=3=|3-2+a|3+1,即|a+1|=6,因?yàn)閍>0,所以a=5,所以直線l的方程為3x+y+5=0,又A(-33,y0)在直線l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A答案6213.設(shè)圓C:(x-3)2+(y-5)2=5,過(guò)圓心C作直線l交圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)P,若A恰好為線段BP的中點(diǎn),則直線l的方程為.

解析圓C:(x-3)2+(y-5)2=5的圓心C的坐標(biāo)為(3,5),半徑為5,設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b).因?yàn)锳是線段BP的中點(diǎn),AP=AB=2r,CP=3r=35,即(3-0)2+(5-b)2=(35)2,解得b=-當(dāng)b=-1時(shí),直線l的方程為2x-y-1=0,當(dāng)b=11時(shí),直線l的方程為2x+y-11=0.答案2x-y-1=0或2x+y-11=0三、解答題14.(2019安徽六安模考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C與y軸相切,且過(guò)點(diǎn)M(1,3),N(1,-3).(1)求圓C的方程;(2)已知直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),且直線OA與直線OB的斜率之積為-2.求證:直線l恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).解(1)因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)M(1,3),N(1,-3),所以圓心C在線段MN的垂直平分線上,即在x軸上,故設(shè)圓心為C(a,0),易知a>0,又圓C與y軸相切,所以圓C的半徑r=a,所以圓C的方程為(x-a)2+y2=a2.因?yàn)辄c(diǎn)M(1,3)在圓C上,所以(1-a)2+(3)2=a2,解得a=2.所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4.(2)記直線OA的斜率為k(k≠0),則其方程為y=kx.聯(lián)立,得(x-2)2+y2=4,y=kx解得x1=0,x2=4k所以A4k2+1由k·kOB=-2,得kOB=-2k,直線OB的方程為y=-2k在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用-2k代換k,得B4k2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),4k2+1=4k2k2+4當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),4k2+1≠4k則直線l的斜率為4=4k故直線l的方程為y-4kk2+1=即y=3k2-k2x-43,所以直線l過(guò)定點(diǎn)4綜上,直線l恒過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為43,0.15.在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(4,-3)為△OAB的直角頂點(diǎn),已知|AB|=2|OA|,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0.(1)求AB的坐標(biāo);(2)求圓x2-6x+y2+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程.解(1)設(shè)AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB·OA得x解得x若AB=(-6,-8),