高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練25 圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題突破練25圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題1.(2019云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三第八次月考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=(1)求橢圓C的方程;(2)斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)在直線x=-12上,求直線l與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值2.(2019安徽合肥高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P1,22在橢圓C上,且△(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求F2A3.(2019河南駐馬店高三上學(xué)期期末考試)已知拋物線Γ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),其焦點(diǎn)F在y軸正半軸上,E為直線y=12x上一點(diǎn),圓E與x軸相切(E為圓心),且E,F關(guān)于點(diǎn)M(-2,0)對稱(1)求圓E和拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過M的直線l交圓E于A,B兩點(diǎn),交拋物線Γ于C,D兩點(diǎn),求證:|CD|>2|AB|.4.(2019遼寧朝陽重點(diǎn)高中高三第四次模擬)已知F為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P(1,m)在C上,且(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l:y=kx+2與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且OA·OB>2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求k5.(2019湖北恩施高三2月教學(xué)質(zhì)量檢測)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線l:x=-1與x軸的交點(diǎn)為K,過點(diǎn)K的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D,證明:存在實(shí)數(shù)t∈(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD.6.(2019河南濮陽高三5月模擬考試)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1)求橢圓C的方程;(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)P到直線l的距離為d,且M,O,P三點(diǎn)共線,求1213|AB|2+1316d2參考答案專題突破練25圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題1.解(1)由已知得橢圓的離心率為e=ca=2解得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為x22+y2=(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,則直線AB與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).將直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立y=kx+m,x22+y2=1,化簡得(2k2+由韋達(dá)定理得x1+x2=-4km2k2+1,x1Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0,化簡得m2<2k2+1.由線段AB的中點(diǎn)在直線x=-12上,得x1+x2=-故-4km2k2+1=-1,即4km=所以m=2k2+1當(dāng)且僅當(dāng)k2=14k,即k=22時(shí)取等號,此時(shí)m2<2因此,直線l與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為22.解(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P1,22,且△PF1F2的面積為22,得1a2又a2=b2+c2,且12×2c×22解得a2=2,b2=1.所以橢圓C的方程為x22+y2=(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).若直線l的斜率不存在,可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為-1,22,-1,-22,則F2A當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l:y=k(x+1),代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.則Δ=16k4-8(1+2k2)(k2-1)=8k2+8>0恒成立.所以x1+x2=-4k21+2k2,x所以F2A·F2B=(x1-1)(x2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=7又k2≥0,則F2A·F2B綜上可知,F2A·F2B的取值范圍為3.(1)解設(shè)拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0),則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,p2.已知E在直線y=12x上,故可設(shè)E(2a,a)因?yàn)镋,F關(guān)于點(diǎn)M(-2,0)對稱,所以2a+0所以Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y.因?yàn)閳AE與x軸相切,故半徑r=|a|=2,圓心E(-4,-2),所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+4)2+(y+2)2=4.(2)證明由(1)知,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為y=k(x+2),則E(-4,-2)到直線l的距離為d=|所以|AB|=24-d2=42k由x2=8y,y=k(x+2),消去設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=8k,x1x2=-16k,Δ=64k2+64k>0.所以|CD|=1+k2|x1-x2|=1+k因?yàn)閗>0,k2+k>k,k2+1>1,所以|CD|2所以|CD|2>2|AB|2,即|CD|>2|AB|.4.解(1)因?yàn)镕(c,0)為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P(1,m)在C又橢圓C的離心率為12,所以a=2因此b2=a2-c2=4-1=3.所以橢圓C的方程為x24+(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+2,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,Δ=162k2-16(3+4k2x1+x2=-16k3+4k2,x1故y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-28k由OA·OB>2,得x1x2+y1y2>2,即4-28整理得k2<12,解得-22綜上,k的取值范圍是-22,-12∪12,25.(1)解因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為直線l:x=-1,所以-p2=-1,解得p=2所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)證明易知點(diǎn)K的坐標(biāo)為(-1,0),據(jù)此可設(shè)直線l的方程為x=my-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立x=my-1,y2=4x,因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D,A(x1,y1),所以D(x1,-y1).則直線BD的方程為y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2得y-y2=y2+y1即y-y2=4y2-y1令y=0,得0-y2=4y2-y1x-y224,得x=y所以直線BD恒過定點(diǎn)(1,0).所以點(diǎn)F(1,0)在直線BD上,所以不妨令DF=tDB(t∈(0,1)).因?yàn)镵F=所以KF=KD+t所以KF=KD+t(所以KF=(1-t)KD+tKB所以存在實(shí)數(shù)t∈(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD,命題得證.6.解(1)由題意得2c=2,2a+2c=6,解得a=2,c=1.∴b2=a2-c2=3.∴橢圓C的方程為x24+(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),由橢圓的對稱性可知,點(diǎn)M在x軸上,且與O點(diǎn)不重合,顯然M,O,P三點(diǎn)不共線,不符合題設(shè)條件.故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0).由y=kx+m,3x2+4y2=12,消去y整理得(3+4k2)x2則Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0.∴x1+x2=-8km3+4k2,x所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為-4km3+4∵M(jìn),O,P三點(diǎn)共線,∴kOM=kOP.∴∵m≠0,∴k=-3此時(shí)方程①為3x2-3mx+m2-3