高等數(shù)學(xué)教案

第一講極限、無窮小與連續(xù)性

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

二、重點(diǎn)考核點(diǎn)

這部分的重點(diǎn)是：

①掌握求極限的各種方法.

②掌握無窮小階的比較及確定無窮小階的方法.

③判斷函數(shù)是否連續(xù)及確定間斷點(diǎn)的類型(本質(zhì)上是求極限).

④復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算.

§1極限的重要性質(zhì)

1.不等式性質(zhì)

設(shè)limx0==8,且/>8,則存在自然數(shù)N,使得當(dāng)時(shí)有x”>為.

“TOO"TOO

設(shè)limx,=N,limy“=8,且存在自然數(shù)N,當(dāng)〃〉N時(shí)有則

?->00”TOO

作為上述性質(zhì)的推論，有如下的保號(hào)性質(zhì)：設(shè)limx“=N,且4>0,則存在自然數(shù)M使得當(dāng)

M—>00

時(shí)有與>0.設(shè)limX"=/,且存在自然數(shù)M當(dāng)〃〉N時(shí)有則

“TOO

對(duì)各種函數(shù)極限有類似的性質(zhì).例如：設(shè)lim/(x)=4,limg(x)=8,且則存在3>o,使

x—>.r0x—>.r0

得當(dāng)0<卜-/|v6有/(x)>g(X).設(shè)Iim/(X)=N,limg(x)=8,且存在6>0,使得當(dāng)0

XTX()X->X0

<Ix-xoI<8忖/(x)與g(x),則A^B.

2.有界或局部有界性性質(zhì)

設(shè)limx,=/,則數(shù)列｛尤“｝有界，即存在M>0,使得lx,"WM(〃=1,2,3,…).

〃一>8

設(shè)limf(x)=4則函數(shù)/(x)在x=x0的某空心鄰域中有界，即存在6>0和河>0,使得當(dāng)0

<IX—xoI<6時(shí)有|/(X)I&M.對(duì)其他類型的函數(shù)極限也有類似的結(jié)論.

§2求極限的方法

1.極限的四則運(yùn)算法則及其推廣設(shè)lim/(x)=A,hmg(x)=B，則

X->X0XT'S

lim[/(x)±g(x)]=A+B；lim/(x)g(x)=AB；=—(5^0).

XTX0XfX。XTX?g(x)B

只要設(shè)limf(x),limg(x)存在或是無窮大量，上面的四則運(yùn)算法則可以推廣到除“9"，“巴”,

XfXox?o000

“0?8”，“8—8”四種未定式以外的各種情形.即：1。設(shè)lim/a)=8,limg(x)=5,

X—X。X—>%0

則lim[/(x)±g(x)]=co.lim/°)=oo(g(x)W0)又3和,則lim[/(x)g(x)]=oo.2°設(shè)

XTXOXT與g(x)X->X0

lim/(x)=oo，當(dāng)時(shí)g(x)局部有界，(即第>0,加>0,使得O<|x-Xo|<5時(shí)|g(x)|<M),

x—>x0

則lim"(x)+g(x)]=oo.

XT.%

設(shè)lim/(x)=oo,當(dāng)x-x。時(shí)Ig(x)I局部有正下界，(E歸8>0,b>0使得OVI%-xI

Xf%0

V6時(shí)|g(%)|26>0),則lim[/(x)g(x)]=8.

XfXo

3°設(shè)lim/(x)=oo,limg(x)=8,則lim(/(x)g(x))=8,又m8>0使得OVIx—x0I

XfX。X—>x0X—>x0

V5時(shí)/(%)g(%)>0,則lim[/(x)+g(x)]=oo.

40設(shè)lim/(x)=0,LX。時(shí)g(x)局部有界，則lim(/(x)g(x))=O(無窮小量與有界

X—>X°X—>X0

變量之積為無窮小.)

2.基指函數(shù)的極限及其推廣

設(shè)limf(x)=A>0,limg(x)=8則limf(x嚴(yán))=AB.

XTX。X—>X0X—>X0

(lim/(x)g⑴=limeg(x)ln/w=e-=eB,n^=T)

x—>.r0x—

只要設(shè)lim/(x),limg(x)存在或是無窮大量，上面的結(jié)果可以推廣到除“廣”，“0°”及“8?！比?/p>

XfX。XT/

種未定式以外的各種情形.這是因?yàn)閮H在這三個(gè)情況下limg(x)In/(x)是“0?8”型未定式.

1。設(shè)lim/(x)=0(OVIx—/IV3時(shí)/(x)>0),limg(x)=8wO,則

X—>.r0x—>x0

，,o(B〉0)

limf(x)g(x)=<

xfXo4-00(5<0)

0(0</<l)

2°設(shè)lim/(x)=A>0,AW1,limg(x)=+則lim/(x嚴(yán))=.

I%+oo(A>1)

0(B<0)

3。設(shè)lim/(x)=+8,limg(x)=5^0,則lim/(x)"*=<

XTX0XT/Xfx(4-oo(5>0)

【例1】設(shè)lim」0)=4,又limg(x)=O,則lim/(x)

XT"°g(x)XTX°XTX°

【分析】lim/(x)=lim?g(x))=/X0=0.

XfXo

【例2】設(shè){%},{bn},{cn}均為非負(fù)數(shù)列，且lim=0,limb,,=1,lim%=8,則必有

M—>oo//—>00〃一>+oo

(A)?！?lt;力〃對(duì)任意〃成立.(B)b"Vc〃對(duì)任意〃成立.

(C)極限lima〃c〃不存在.(D)lim"7c〃不存在.

w—>oon->oo

用相消法求。或差型極限

0oo

V1+tanx-Vl+sinx

【例。求/=lim

x(l-cosx)

【解】作恒等變形，分子、分母同乘Jl+tanx+Jl+sinx得

tanx-sinx

I=lim

XTOx(l-cosx)V1+tanx+Jl+sinx

..tanx(l-cosx)..1

lim------------------lim]:----/.

I。x(l-cosx)3Jl+tanx+Jl+sinx

-1.V4x2+x—14-x+l

［r例2］求/=hm------/——

\Jx2+sinx

【解】作恒等變形，分子、分母同除得

J■■Vxx2xV4+0-1-0

1=lim-------1--------=----------.----=1

LsinxVI+0

利用洛必達(dá)法則求極限

【例1】設(shè)/G）在x=0有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又

求/(0)與/?'(()).

2sinx+x2cos-

［例2］求lim-------------------二

XTO(l+cosx)ln(l+x)

【例3】求/=

X

xsinx

【例4】求/=lim—

XT°x-sinx

6sinx+xf(x)八..6+f(x)

【例5】若hm------,--------=0,則nilhm―=__________

XTO￡x->0

【例6】求/=lim(tanx)ln(1-Jt).

【例7】設(shè)a>0,僅#0為常數(shù)且/=limK/+x"戶——]=￡,則（?,萬）

XT+co

【分析】8—8型極限.

,t=l1

1=limx2[(l+x-a)a-1]=^limk?

2

xf+00/->0+t

1i-1.

(l+/")〃a,尸

=lim---------------

一。+2t

0(a〉2)

1--i1

lim上(l+/")"-ta-2=\-(a=2)

~。+22

+00(0<a<2)

因此（a,B）=（2，；）.

分別求左、右極限的情形，分別求lim/I與Hmx2,7的情形

74-AXQinY

【例。設(shè)/(x)——+意，求lim/(x).

|X|—°

1+e'

〃+」1l、（T）”

【例2】求/=lim

利用函數(shù)極限求數(shù)列極限

【例1】求/=lim3(a〉l).

+00QJ”

12

【例2】求/=lim(wtan—)H.

?->+x〃

12?

--------：——n~Z(ntan——1)

n

"tan——1

【解1】I=lim1+(wtan--l)n

M->+OOln

1

tan—

___n_i

1tanx]

轉(zhuǎn)化為求limn2(ntan--1)=lim——---=lim—三——=lim則二_1

〃->+oo〃1x—>0+x_r—>0+X'

-2

n~

.1-cos2X1!

=ltim----；——=—=>/r=e3

2

XTO+3x3

【解2】用求指數(shù)型極限的一般方法.

tan-

n2in-^-

1=lime〃

轉(zhuǎn)化為求

tanx

------1

=lim——(等價(jià)無窮小因子替換)，余下同前.

x2

§3無窮小和它的階

1.無窮小、極限、無窮大及其聯(lián)系

(1)無窮小與無窮大的定義

(2)極限與無窮小，無窮小與無窮大的關(guān)系

limf(x)=A<^>=4+6r(x)

XT/

其中l(wèi)ima{x)=0(f(x)=A+o(l),xf%).

XfXo

o(1)表示無窮小量.

是無窮大量，則!是無

在同一個(gè)極限過程中，〃是無窮小量("WO)是無窮大量.反之若

uII

窮小量.

2.無窮小階的概念

(1)定義同一極限過程中，a(x),p(x)為無窮小，

7聲0為有限數(shù)，稱a(x)與夕(x)為同階無窮小

/=1時(shí)，稱c(x)與夕(x)為等價(jià)無窮小，記為

設(shè)lim空立=/a(x)~p(x)(極限過程)

/=0時(shí)，a(x)是比0(x)高階的無窮小，記為

a(x)=o(夕(x))(極限過程)

定義設(shè)在同一極限過程中a(x),B(x)均為無窮小，a(x)為基本無窮小，若存在正數(shù)k

與常數(shù)/使得lim華］=/H0稱6(x)是a(x)的k階無窮小，特別有l(wèi)im*H0,

a(x)1的(工一10)

稱x—xo時(shí)￡(x)是(X—x0)的女階無窮小.

(2)重要的等價(jià)無窮小

X-0時(shí)sinx?x,tanx?x,In(1+x)~x,e'-1?x；，一1?xlna,arcsi〃x?x,

,1,

arctanx~x；(1+x)1?ax,1-cosx?—x.

2

(3)等價(jià)無窮小的重要性質(zhì)

在同一個(gè)極限過程中

1。若a?0,比y=a?Y.

2°a-/3oa=+o([)

3。在求“9”型與“0?8”型極限過程中等價(jià)無窮小因子可以替換

0

廠1.1(2+cosxYx1

[^J1]^.1=hm-------------1.

A。/I3J

1叩+?〃;)]

【例2】設(shè)lim-------迎M工=5,則1而卒=

,io3X-11。X2

【分析】由已知條件及l(fā)im(3'—l)=0=>limln(l+42)=0nlim/9L=0.又在x=0

io3。sin2x—。sin2x

某空心鄰域/(x)#0=ln(l+」9L)~」91~/3(xf0),又3"—1?xln3.于是

sin2xsin2x2x

f(x)/2xf(x)/(x)々

hm-----=lim；=5=>hm=i1n0l1n3.

x-oxln3XTO2Xln3―。x

【例3】設(shè)x-*a時(shí)a(x),分(x)分別是x—a的〃階與〃7階無窮小，又lim〃(x)=4w0,則x

K—>a

f4時(shí)

(1)a(x)h(x)是4一夕的階無窮小.

(2)a(x)(3(x)是x—〃的階無窮小.

(3)〃<加時(shí)，a(x)±〃(x)是x一夕的階無窮小.

(4)時(shí)是x—a的階無窮小.

夕⑴----------

(5)人是正整數(shù)時(shí)，〃是x—。的階無窮小.

以上結(jié)論容易按定義證明。例如，已知lim/(Y)=A^0，

u(x-a)n

咧#=B'°n四此需=理號(hào).'".BHORG)g⑴是x

~a的勿+〃7階無窮小.

【例4】設(shè)/(%)連續(xù)，x-p時(shí)f(x)是x—a的n階無窮小，求證：，f(t}dt是x—。的〃+1

階無窮小.

【例5】x~0時(shí)，是*的階無窮??；值―五是x的階無窮小;

"1"+xx'2D--------

--------是x的----------階無窮小，|sin廣力是x的階無窮小.

ln(l+x)小

【例6】xf0時(shí)，下列無窮小中()比其他三個(gè)的階高,

(A)x2(B)1—cosx(C)\l\-x2—1(D)X—tanx

【例7】當(dāng)x-0時(shí)，/(x)=￡sin廣成與g(x)=/+工4比較是()的無窮小.

(A)等價(jià)(B)同階非等價(jià)

(C)高階(D)低階

§4連續(xù)性及其判斷

i.連續(xù)性概念

(1)連續(xù)的定義：

函數(shù)/(x)滿足limf(x)=f(x),則稱/(x)在點(diǎn)x=x()處連續(xù);/(x)滿足lim/(x)=/'(x)

xfo0XT/+0

(或limf(x)=/(x0)),則稱/(x)在x=x()處右(或左)連續(xù).

若/(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)；若/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，

且在x=。處右連續(xù)，在點(diǎn)x=b處左連續(xù)，則稱/(x)在口，勾上連續(xù).

(2)單雙側(cè)連續(xù)性

f(X)在X=Xo處連續(xù)旬(X)在X=Xo處既左連續(xù)，又右連續(xù).

(3)間斷點(diǎn)的分類：

設(shè)/.(X)在點(diǎn)x=xo的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且我是/G)的間斷點(diǎn).

若/(x)在點(diǎn)x=xo處的左、右極限/(加一0)與/(必+0)存在并相等，但不等于函數(shù)值/(xo)

或/(X)在Xo無定義，則稱點(diǎn)X。是可去間斷點(diǎn)；若/(X)在點(diǎn)X=Xo處的左、右極限/(Xo—0)

與/(xo+O)存在但不等，則稱點(diǎn)Xo是跳躍間斷點(diǎn)：它們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).

若/(x)在點(diǎn)x=x()處的左、右極限)(x()—0)與/(xo+0)至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)沏為第

二類間斷點(diǎn).

2.函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的判斷：

若/(X)為初等函數(shù)，則/(x)在其定義域區(qū)間D上連續(xù)，即當(dāng)開區(qū)間(a,b)uD,則/(x)

在(a,b)內(nèi)連續(xù)；當(dāng)閉區(qū)間［c,旬uD,則/(x)在［c,山上連續(xù).若/(x)是非初等函數(shù)或不

清楚它是否為初等函數(shù),則用連續(xù)的定義和連續(xù)性運(yùn)算法則(四則運(yùn)算，反函數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算)

來判斷.當(dāng)/(x)為分段函數(shù)時(shí)，在其分界點(diǎn)處則需按定義或分別判斷左、右連續(xù)性.

判斷了(x)的間斷點(diǎn)的類型，就是求極限lim/(x).

x—>xo±0

3.有界閉區(qū)間［a,加上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：

最大值和最小值定理：設(shè)/(X)在閉區(qū)間口，儀上連續(xù)，則存在f和〃b］,使得

/(Ug(x)W/("),(aWxWb)

有界性定理：設(shè)/(x)在閉區(qū)間口，句上連續(xù)，則存在M>0,使得

If(x)IWA/,(aWxWb)

介值定理：設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［。，與上連續(xù)，且/(a)刊(b),則對(duì)/Q)與/(b)之間的

任意一個(gè)數(shù)c,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)己，使得=c

推論1(零值定理)：設(shè)/'(x)在閉區(qū)間口，b］上.連續(xù)，且/(a)/(/>)<0,則在(a,b)內(nèi)至

少存在一點(diǎn)使得/(&)=0

推論2：設(shè)/(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),且加和“分別是/G)在［a,句上最小值和最大值，

若m<M,則/(x)在口，回上的值域?yàn)榘?，M\.

【例1】函數(shù)/(%)=,⑻s:、二2)在下列?那個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.

x(x-l)(x-2)2

(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).

【分析一】這里二有界.只須考察g(x):sin(x-2)是初等函數(shù)，它在定義域(x

|x|S(x-l)(x-2)2

#1,x/2)上連續(xù)，有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界，［-1,0］u定義域，g(x)在［一1,0］有界，選

(A).

【分析二】設(shè)〃(x)定義在(a,b)上，若lim〃(x)=oo或limh{x)=oo,則〃(x)在(a,b)

x—>a+0x->h-Q

無界.因lim/(x)=oolim/(x)=oo=>/(x)在(0,1),(1,2),(2,3)均無界.選(A).

x->\x->2

X，xW2

x2XW1

【例2】設(shè)/(x)=〈g(x)=<2(x-l)2<xW5

1-xX>1

x+35<x

討論y=/(g(%))的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型.

【分析與解法1】先求/(g(x))的表達(dá)式.

gXx)(g(x)Wl)

/(g(x))=?

l-g(x)(g(x))>1)

x2(xWl)

1-x(Kx^2)

n/(g(x))=,

l-2(x-l)(2<xW5)

1—(x+3)(5<x)

在(一8,1),(1,2),(2,5),(5,+8),/(四))分別與初等函數(shù)相同，故連續(xù).x=2或

5時(shí)可添加等號(hào)，左、右連接起來，即左連續(xù)又右連續(xù)=/(g(x))在x=2或5連續(xù).x=l時(shí)

lim/(g(x))=lim(1-x)=0

x->l+0x->l+0

2

Alim/(g(x))=Hmx=l

nx=l是/(g(x))的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn)).

【分析與解法2】不必求出/(g(x))的表達(dá)式.

g(x)的表達(dá)式中，x=2或5處可添加等號(hào)，左、右連接起來=>g(x)在(-8,+co)處處連續(xù).

/(")=<""、1,"W1時(shí)連續(xù).

1-wu>\

u=g(x)=l=x=1

因此，xWl時(shí)由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的R(g(x))連續(xù)x=1時(shí)

lim/(g(x))=lim/(x)=lim(1-x)=0

X->l+OXTl+OX-?l+O

lim/(g(x))=Hm/(x)=Hmx21

n工=1是/(8(工))的第?類間斷點(diǎn).

第二講一元函數(shù)微分學(xué)的概念、計(jì)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

定義

導(dǎo)數(shù)，可微性與微分概念

一相互聯(lián)系可微=可導(dǎo):連續(xù)

一

元

函［奇偶函數(shù)與周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

數(shù)

微

分

學(xué)

的

概求導(dǎo)方法導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則

念

計(jì)」復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)當(dāng)與一階微分形式不變困

算

-微分法則-「嘉指斐函數(shù)『口”6求導(dǎo)法

與

簡(jiǎn)

由復(fù)合函數(shù)_反函數(shù)求導(dǎo)法

單

應(yīng)一求導(dǎo)法導(dǎo)出

隱函數(shù)求導(dǎo)法

用的微分法則

校限積分求導(dǎo)法I

-分段函數(shù)求導(dǎo)法

參數(shù)式求導(dǎo)法（數(shù)三，數(shù)四不要求）

求n階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式的方法

二、重點(diǎn)考核點(diǎn)

這部分的重點(diǎn)是

①導(dǎo)數(shù)與微分的定義、幾何意義，討論函數(shù)的可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)，可導(dǎo)

與連續(xù)的關(guān)系.

②按定義或微分法則求各種類型函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)或微分（包括：初等函數(shù)，基指數(shù)函數(shù)，反

函數(shù)，隱函數(shù)，變限枳分函數(shù)，參數(shù)式，分段函數(shù)及帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)），求〃階導(dǎo)數(shù)

表達(dá)式.

③求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變化率.

④導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用如“彈性”，“邊際”等（只對(duì)數(shù)三，數(shù)四）.

§1一元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系

1.可導(dǎo)與可微的定義及其聯(lián)系

/(X)在X?？蓪?dǎo)：

lim~~~~~—?lim/-/(’Q)—/'(X。)

XTX。X—玉)—Ax

/(4.卜彳)二,(&)=〃+0(1)(Axfo),。⑴即無窮小量

0

/(X)在/可微：

/(x0-FAx)-/(x0)=Atsx+o(Ar)(Ax—>0)

/(刈邑=Xo的微分"(x)[f=NAr=/'(Xo)Ax=/'(%)小

U

〃x)在x=x。連續(xù)

2.幾何意義與力學(xué)意義----------------

/'(Xo)是曲線產(chǎn)/(X)在點(diǎn)(劭，<xo))處切線的斜率.

#(x)|v=jro=/'(X。)Ax是相應(yīng)于At該切線上縱坐標(biāo)的增量?

質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，/時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=x。)，x'?o)是/=如

時(shí)刻的速度.

3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)與雙側(cè)導(dǎo)數(shù)

f(X)在X=Xo可導(dǎo)。/'+X0),/_(工0)均存在且相等.

此時(shí)/'(%)=/'+(/)=(%)

/(/)=lime+—"),/<。)=lim八通十竺)一八陶.

Ax-->o+AxAXT(TAX

【例。說明下列事實(shí)的幾何意義(1)/(xo)=g(xo),f'(x0)=g'(x0).

(2)/(x),蛉)在AXo處有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，f(x0)=g(x°),/(X。)=g'(x0),

f(x0)=g"(xo)^O.

(3)Ax)在X=Xo處存在/+(Xo),/'_(Xo),但/+(Xo)H/'_(Xo).

(4)y=fix')在x=xo處連續(xù)且lim―'"。)=oo.

?f%x-x0

e(x)x-d<x^x,,

【例2】/(x)=:nnB>0為某常數(shù).設(shè)8(/)=〃(/)這_(%)，3(/)均存

h{x)x0<x<x0+o

在且g'_(Xo)=〃：(Xo).

求證：/'(X。)存在且廣(X。)=g'.(x0)=h+(x0).

【例3】請(qǐng)回答下列問題：

(1)設(shè)y=/(x)在x=xo可導(dǎo)，相應(yīng)于Ar有

r

Ay=/(xo+Ar)—f(xo),dy—/(x0)Ax

Ar-O時(shí)它們均是無窮小.試比較下列無窮?。?/p>

Ay是Ax的無窮??；\y-dy是Ar的無窮??；

/'(%())，。時(shí)W與均是無窮小?

(2)龍/與A〃是否相等？

【例4】設(shè)/(x)連續(xù)，試討論/'(%)的存在性與|/(8)|'|舊()的存在性之間的關(guān)系.

(1)考察下列兩個(gè)函數(shù)圖形，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義來分析/'(%)存在與存在之間的

關(guān)系.

(2)/(x0)￥0時(shí)，求證：/'(x。)存在o|/(x)L%存在.

【證明】因/(x0)W0,由連續(xù)性，^35>0,使得當(dāng)Ix-xoI<6時(shí)有/(x)>0或/(x)<0,

于是在劭該鄰域內(nèi)必有If(x)I=/x)或"(x)I=—危)之一成立，故在點(diǎn)％=劭處兩個(gè)

函數(shù)的可導(dǎo)性是等價(jià)的.

(3)/(x0)=0時(shí)，求證：=存在.

【證明】設(shè)/(xo)=0.

存在。liml/(Xo+Ar)|-|/(xo)LHm1/(…)T/(x0)l

Ar—o+?-o-Ax

lim0)=lim，您+人旬於0)

6->0+AXAr-。-Ax

Olimn魚但1:liml/(Xo+Ax)|=o

A-0+AxAsO-Ax

olim/(x°+Ax)-/(X。)=oQ0

aAr

綜合可得，題目中結(jié)論(2)和(3)成立.也可以概括為：點(diǎn)x=均是可導(dǎo)函數(shù)/(x)的絕對(duì)值

函數(shù)I/(x)I的不可導(dǎo)點(diǎn)的充分必要條件是它使得/(m)=0但/,'(Xo)。。.

【評(píng)注】論證中用到顯然的事實(shí)：lim/'(x)=0olim|/(x)|=0.

xTax->a'

【例5】設(shè)函數(shù)<x)連續(xù)，且/'(0)>0,則存在Q0,使得

(A)/(x)在(0,J)內(nèi)單調(diào)增加.(B)/(x)在(-50)內(nèi)單調(diào)減少.

(C)對(duì)任意的xe(0,3)有/(x)>/(0).(D)對(duì)任意的xe(-J,0)有/(x)>/(0).

§2一元函數(shù)求導(dǎo)法

反函數(shù)求導(dǎo)法:

設(shè)/(X)在區(qū)間可導(dǎo)，/'(x)#0,值域區(qū)間為/,,,則它的反函數(shù)x=9⑶)在4可導(dǎo)且

C\

夕，8)=」_|蟲

Idx>

d~x

【例】設(shè)y=y(x)滿足y'=2e、，求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)「??

的

dr1I-d-xd(1-1dr1_2x

dyy(x)2dy-dr12Jdy4

變限積分求導(dǎo)法：

設(shè)函數(shù)/(x)在［。，切上連續(xù)，則/(x)=(/⑺也在［a,6］上可導(dǎo)，且

F\x)-/(X),

設(shè)/(x)在［a包上連續(xù),當(dāng)xw［a,句時(shí)函數(shù)〃(x),v(x)可導(dǎo),且〃(x)和v(x)的值域不超出

［c,d］,則尸(x)=「'7(/)d/在?a上可導(dǎo)，且

F\x)=f(u(x))ur(x)-f(y{xy)u\x)，(a4Wb)

【例1】設(shè)/(X)在(-8,+OO)連續(xù)且

。(*)=］：―/(》"-5")由，

求0'(x).

1e

【例2】設(shè))(X)在(-8,+8)連續(xù)，又。(x)=5，(x—7)2八/)由，求“(X),0"(x).

【例3】設(shè)0(x)='(『言5山)的，求0〃(x).

【例4】設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(/)=Jdyji/(x)dx,則歹'(2)等于

(A)If(2).(B)f(2).(C)~f(2).(D)0.

【分析一】先用分部積分法將產(chǎn)(/)化為定積分.

E")=f/(x)dx)U=(yf/(x)dx),-{yd(f/(x)dx)

=-1/(x)dx+J#(y)dy=](x-1)/(x)dr

nF(f)=(1)/?),/(2)=/(2),選(B).

【分析二】轉(zhuǎn)化為可以用變限積分求導(dǎo)公式的情形.

，⑺=J(1/(x)*)dy+J(]/(x)dx)dy=[(]/(x)dx)dy+(/—1)J/(x)dr

=/⑺=J7(x)及+J/(x)dr+(-1)/(。=(/—1)/(。

F\2)=/(2).選(B).

【分析三】交換積分順序化為定積分.

勺)=JJ7(x)dxd湍伸./(9

D

=J(xT)/(x)dr

【分析四】特殊選取法.取/(X)=1(滿足條件)

nF(t)=[d“/(x)dx=Jd“l(fā)dx=J(Z=-1(/-y)2=1(/-1)

力，2y=l2

F(/)=/—1,尸⑵=l=/(2).選(B).

隱函數(shù)求導(dǎo)法：

【例。y=y(x)由sinQ?+y2)+e*—町之=0所確定，則包=

dr

【例2】y=y(x)山下列方程確定，求史,金?.

--drdx2

(1)x+arctany=y；

【解】對(duì)X求導(dǎo)=1+—=

1+廠

解出yWy=l+-L.再對(duì)X求導(dǎo)得y"=-^-y'=_2(1+尸).

yyy

(2)xefM=ey,其中/〃(x)存在，/'(x)Hl.

【解】對(duì)X求導(dǎo)得

f(y)y

e〃，)+xef'(y)y'^ey'

利用方程化簡(jiǎn)得

-+rw]

XMl—/'。))

再將y的方程對(duì)X求導(dǎo)得

-^+ny)y,2+f'(y)y"-yn

X

解出并代入二表達(dá)式ny"=

若先取對(duì)數(shù)得

Inx+/(y)=y

然后再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化計(jì)算.

d2y

【列3】設(shè)y=y(x)由方程y—xe「=1確定,求看的值.

x=0

【解】原方程中令x=0=y(0)=1.將方程對(duì)x求導(dǎo)得—xe'?'=0

令x=0=>V(0)=e.將上述方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得

y"-2eyy'-x(e>“=0ny"(0)=2e2

分段函數(shù)求導(dǎo)法：

【歹！)1】設(shè)/(x)=x2lxl,則使/5)(x)處處存在的最高階數(shù)〃為—

—ln(l+x3)sin—,x>0

xx

【例2】設(shè)/(x)=<0,x=0,則f(x)在x=0處

—fsintdt,x<0

x』

(A)不連續(xù)(B)連續(xù)，但不可導(dǎo)(C)可導(dǎo)但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)(D)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)

【分析】先按定義討論/(x)在x=0的可導(dǎo)性問題.

/仆1./⑴一八。)..1.3、?1八

/+(0)=hm=hm—ln(Zl1+x)sin—=0

l

x->0+xx->0+xX

[./(X)-/(0)1r2.sinx2-2x

/z_(0)=hm----------=hm—Isintdt=hm---------=0

x->0-%x->0-JQ1J0x->0-2x

=>/+(0)=/'.(0)=0=>r(0)=0.

進(jìn)一步考察/'(x)在X=0的連續(xù)性.

當(dāng)x>0時(shí)，

/,(x)=(-ln(l+x3)siniy

XX

ln(l+x3).13x2.1ln(l+x3)1

=---------sin—+-------sm-----------cos—

xxx(l+x)xxx

由此可知,1而一(、)不三=/(、)在二=0不連續(xù).因此，選(C).

x->0+

r2x23

【例3】求常數(shù)a,6使函數(shù)/(x)=《處處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)數(shù).

ax+b,x<3

【分析與求解】對(duì)V常數(shù)。，b,xH3時(shí)/(x)均可導(dǎo).現(xiàn)要確定a,6使/'⑶存在./(x)在

x=3必須連續(xù)且/'(3)=/'(3),由這兩個(gè)條件求出a與A

由lim/(x)=limx2=9,limf(x)=lim(ax+b)=3a+b

xf3+0x-?3+0A->3-0xf3-0

/(x)在x=3連續(xù)，a,6滿足/(3+0)=/(3—0)=/(3)即3a+b=9

x2x23

在此條件下，/(?=

ax+bx<3

n/，(x)=2x(x>3),/，(x)=a(x<3)f+(3)=2x|=6/(3)=a

/(3)3=f+⑶=f'_(3)即a=6代入3a+6=9=-9.

2x(xN3)

因此，僅當(dāng)。=6,6=—9時(shí)■/(x)處處可導(dǎo)且/'(x)=,

6(x<3)

【評(píng)注】求解此類問題常犯以下錯(cuò)誤

1°沒說明對(duì)V常數(shù)a,b,xW3時(shí)/(x)均可導(dǎo).

2°先由x=3處可導(dǎo)求出。值，再由連續(xù)性求出6值.請(qǐng)看以下錯(cuò)誤表達(dá):

“因/'+(3)=2x=6,/'_(3)=(ax+6)'=a

x=3x-3

由/+(3)=/1⑶得a=6.再由連續(xù)性/(3+0)=/(3-0)

即9=3。+"4一9"

錯(cuò)誤在于①當(dāng)3a+b/9時(shí)/'_(3)不存在，也不可能有/1(3)=(ax+/>)'.

x=3

②/'(3+0)=/(3-0)不能保證/(X)在x=3連續(xù).僅當(dāng)/(3+0)=/(3-0)=/(3)時(shí)才

能保證x=3連續(xù).

必須先由連續(xù)性定出3a+6=9,在此條件下就可得/'_(3)=a

高階導(dǎo)數(shù)與〃階導(dǎo)數(shù)的求法

常見的五個(gè)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：

(e@+b)(“)=q"e""+"

(sin3+6))(w)二八in(ar+力+?777r

(COS(QX+力))(")=ancos(ax+6+—)

(—1)"T(〃—l)!a"

(In|ax+61嚴(yán)=

(ax+b)n

((ax+6/)(B)=夕(6—1)…(￡—〃+1)/(改+6產(chǎn)”

§3一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（微分）概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例1】設(shè)〃x）=x",在點(diǎn)（1,1）處的切線與X軸的交點(diǎn)為?,0）,則吧/（4）=

【例2】若周期為4的函數(shù)/（x）可導(dǎo)且

如川）一

io2x

則曲線y=/（x）在點(diǎn)（5,/（5））處的切線斜率上=.

【例3】設(shè)y=/（x）由方程/”'一cos（孫）=e—1所確定，貝I］曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,1）處的

法線方程為.

7T

【例4】已知曲線/的極坐標(biāo)方程為o=2sin。，點(diǎn)帆的極坐標(biāo)為（1,一），則點(diǎn)擇處廠的切

6

線的直角坐標(biāo)方程為.

【分析一】（數(shù)學(xué)一，二）點(diǎn)加0在廠上，直角坐標(biāo)為：

A石-n1

x0=/?cost）=——,=psin6/=—.

（吟）2（嘮2

x=2sincos=sin20

，’的參數(shù)方程為

y=2sin。sin。二1-cos2。

「在”點(diǎn)處的切線的斜率：關(guān)噫=tan—=V3

3

66

〃在壞處的切線方程

y=g+V3(x——^),即y=y/3x—1.

【分析二】〃的方程可化為夕2=22sin。，于是廠的隱式方程為/+丁=2V.由隱函數(shù)求導(dǎo)法,

得2x+29'=2y'，y'=X.

i-y

(x0,%)=(等，；)代入得了(?)=百，于是切線方程為

第三講一元函數(shù)積分學(xué)

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

rWI

」不審和分卜|幾何意義與物理意義

原函數(shù)的存在怛

T基本概念I(lǐng)|^wL_幾何意義與物理意義

U函數(shù)的可枳因

，反常積分H無窮積分與暇積分（收斂與發(fā)散的定義）

等式表不的與不等式表不的I

卜定積分的性質(zhì)卜~1積分中值定理I

T奇函數(shù)與周期函數(shù)的積分性質(zhì)I

一

一-I非負(fù)連續(xù)函數(shù)的積分性質(zhì)I

元

函

數(shù)口變限積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性及求導(dǎo)網(wǎng)

積

m分H基本積分表

J分項(xiàng)積分法I

」分段積分法I

」常用的湊微分法I

一換元積分法

積（不定積分的第一、第二換常用的變量代換

分

法元法與定積分的換元法）（三角函數(shù)代換、黑函數(shù)代換、

則指數(shù)函數(shù)代換、倒數(shù)代換）

一

-4分部積分法H微分符號(hào)內(nèi)外函數(shù)的選擇，連續(xù)使用,遞推使用，導(dǎo)出方程等I

積

三角函數(shù)代換：

分有理函數(shù)

三角函數(shù)有理式的積分

計(jì)的積分（待