第09講相似多邊形與圖形的位似（3大考點(diǎn)）（解析版）

第09講相似多邊形與圖形的位似（3大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．相似多邊形的性質(zhì)（1）如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．（4）相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等．二．位似變換（1）位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心．注意：①兩個圖形必須是相似形；②對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)；③對應(yīng)邊平行．（2）位似圖形與坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．三．作圖-位似變換（1）畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．借助橡皮筋、方格紙、格點(diǎn)圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計(jì)算機(jī)也很好地將一個圖形放大或縮小．（2）注意：①畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結(jié)果是不唯一的．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．相似多邊形的性質(zhì)（共7小題）1．（2016秋?鄞州區(qū)期末）如圖，把矩形ABCD中的AB邊向上翻折到AD邊上，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)F重合時，折痕與BC邊交于點(diǎn)E，連接EF，若四邊形EFDC與矩形ABCD恰好相似，若AB＝1時，AD的長為（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【分析】可設(shè)AD＝x，由四邊形EFDC與矩形ABCD相似，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB＝1，設(shè)AD＝x，則FD＝x﹣1，F(xiàn)E＝1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴＝，，解得x1＝，x2＝（不合題意舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x1＝是原方程的解．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式．2．（2021秋?上城區(qū)校級月考）下列語句中，正確的有（）①相等的圓心角所對的弧相等；②等弦對等?。虎廴魞蓚€相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個相似多邊形的周長比是4：3；④已知線段AB＝2，點(diǎn)C是AB的黃全分割點(diǎn)，則；⑤三角形的外心到三角形的三邊距離相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，圓心角，弧，弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形的外接圓與外心對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故不符合題意；②在同圓或等圓中，等弦對等弧，故不符合題意；③若兩個相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個相似多邊形的周長比是4：3，故符合題意；④已知線段AB＝2，點(diǎn)C是AB的黃全分割點(diǎn)，則或+1，故不符合題意；⑤三角形的外心到三角形的三個頂點(diǎn)距離相等，故不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，圓心角，弧，弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握相似形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2019秋?杭州期中）如圖，已知矩形ABCD，AB：BC＝1：2，P為線段AB上的一點(diǎn)，以BP為邊作矩形EFBP，使點(diǎn)F在線段CB的延長線上，矩形ABCD∽矩形EFBP，設(shè)EF＝a，AB＝b，當(dāng)EP平分∠AEC時，則＝．【分析】根據(jù)PE∥CF，得到＝，代入a、b的值計(jì)算求出a：b的值．【解答】解：∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP＝PG＝b﹣a，BG＝b﹣2（b﹣a）＝2a﹣b∵PE∥CF，∴＝，即＝，解得，a＝b；∴a：b＝：2．故答案是：．【點(diǎn)評】考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)．4．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在?ABCD的AD、AB、BC、CD邊上，EG∥CD，F(xiàn)H∥AD，EG與FH交于點(diǎn)P，連結(jié)BD交FH于點(diǎn)Q，連結(jié)BP，設(shè)?AEPF、?EDHP、?FPGB、?PHCG的面積分別為S1、S2、S3、S4，若?AEPF∽?PHCG，則只需知道（），就能求△BPQ的面積．A．S2﹣S1 B．S3﹣S1 C．S4﹣S1 D．S4﹣S3【分析】證明S△BPQ＝（S4﹣S3），可得結(jié)論．【解答】解：如圖，∵?AEPF∽?PHCG，設(shè)相似比＝＝k，AE＝m，AF＝n，∠AFP＝θ．則DE＝PH＝CG＝kAE，BF＝PG＝CH＝kAF＝kn，∴S1＝mn?sinθ，S2＝kmn?sinθ，S3＝kmn?sinθ，S4＝k2S1＝k2mn?sinθ，∵△BFQ∽△DHQ，∴＝＝＝k，∴FQ＝FH＝（AE+DE）＝（m+km）＝km，∴PQ＝FQ﹣FP＝km﹣m＝（k﹣1）m，過點(diǎn)B作BM⊥FH于點(diǎn)M，則BM＝BF?sin∠BFM＝kn?sinθ，∴S△BPQ＝?BM?PQ＝kn?sinθ?（k﹣1）m＝k（k﹣1）mn?sinθ，∴S4﹣S3＝k2mn?sinθ﹣kmn?sinθ＝k（k﹣1）mn?sinθ，∴S△BPQ＝（S4﹣S3），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．5．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，把矩形Ⅰ、一個小正方形和由大小相同的四個正方形組成的L型放入矩形ABCD中．矩形I的一個頂點(diǎn)落在L型中正方形的頂點(diǎn)E處，其他頂點(diǎn)在矩形ABCD的邊上；L型中的正方形有三個頂點(diǎn)恰好在矩形ABCD的邊上，另有一個頂點(diǎn)和小正方形頂點(diǎn)合．若矩形I與矩形ABCD相似，則AB：BC的值為或．【分析】如圖，設(shè)BF＝FG＝a，DW＝x．利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求出AB，BC即可解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)BF＝FG＝a，DW＝x．由題意HJ：JT：HT＝1：2：，△GFH∽△HJT∽△TCR∽△RWE，可得，F(xiàn)H＝2a，GH＝HJ＝a，JT＝2a，TH＝5a，CT＝a，CR＝2a，WR＝2a，EW＝4a，∵矩形I與矩形ABCD相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得，x＝a或x＝2a﹣2a（負(fù)根已經(jīng)舍去），∴BC＝9a，AB＝CD＝a+4a＝a或AB＝CD＝2a+2a，∴＝＝或＝＝，故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．（2021秋?嘉興期末）如圖，矩形ABCD∽矩形BCEF，若AB＝8，BC＝6，則CE的值為．【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形BCEF，∴＝，∴CE＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．7．（2020秋?慈溪市期末）如圖，矩形相框的外框矩形的長為12dm，寬為8dm，上下邊框的寬度都為xdm，左右邊框的寬度都為ydm．則符合下列條件的x，y的值能使內(nèi)邊框矩形和外邊框矩形相似的為（）A．x＝y(tǒng) B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2【分析】分兩種情形，利用相似多邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，當(dāng)矩形ABCD∽矩形EFGH時，則有＝，∴＝，可得3x＝2y，選項(xiàng)B符合題意，當(dāng)矩形ABCD∽矩形EHFG時，則有＝，∴＝，推不出：x＝y(tǒng)或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故選項(xiàng)A，B，C，D都不滿足條件，此種情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．二．位似變換（共7小題）8．（2022?瑞安市校級三模）如圖，已知平行四邊形ABCD的面積為24，以B為位似中心，作平行四邊形ABCD的位似圖形平行四邊形EBFG，位似圖形與原圖形的位似比為，連接AG、DG．則△ADG的面積為4．【分析】延長EG交CD于點(diǎn)H，由題意可得四邊形AEHD是平行四邊形，則可得此平行四邊形的面積為8，從而可得△ADG的面積．【解答】解：延長EG交CD于點(diǎn)H，如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形EBFG是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，∴AD∥EG，∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴．∵位似圖形與原圖形的位似比為，∴，即，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022?嘉興二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以P（0，﹣1）為位似中心，在y軸右側(cè)作△ABP放大2倍后的位似圖形△DCP，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6）【分析】建立新的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，原y軸為y軸建立新的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），∵△ABP與△DCP的位似比為1：2，∴點(diǎn)C在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（4，6），則點(diǎn)C在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（4，5），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．10．（2022?樂清市三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，則位似中心為（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)O D．點(diǎn)P【分析】連接BB′，交AA′于點(diǎn)P，根據(jù)位似中心的概念解答即可．【解答】解：連接BB′，交AA′于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為位似中心，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心．11．（2022?鹿城區(qū)校級三模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA：OD＝1：3，且△ABC的面積為2，則△DEF的面積為（）A．6 B．9 C．18 D．27【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，證明△OAB∽△ODE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵△ABC的面積為2，∴△DEF的面積為18，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．12．（2022?定海區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，﹣1）．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，A（4，3），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4×（﹣），3×（﹣）），即（﹣，﹣1），故答案為：（﹣，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．13．（2021秋?嵊州市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），則△OAB與△OCD的面積比為1：9．【分析】根據(jù)信息，找到OB與OD的比值即為相似比，然后由兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方求得答案．【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3，∵△OAB以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB與△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，∴△OAB與△OCD的面積的比是1：9．故答案是：1：9．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．關(guān)鍵在于找到相似比就是對應(yīng)邊的比．14．（2022?舟山一模）如圖，四邊形AEFH與四邊形ABCD是位似圖形，位似比為，且四邊形ABCD的面積為900cm2，則四邊形AEFH的面積為400cm2．【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方即可求出四邊形AEFH的面積．【解答】解：∵四邊形AEFH與四邊形ABCD是位似圖形，位似比為，∴S四邊形AEFH：S四邊形ABCD＝4：9，∵四邊形ABCD的面積為900cm2，∴四邊形AEFH的面積＝400cm2，故答案是：400cm2．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，位似比等于相似比，位似圖形的面積比等于位似比的平方．三．作圖-位似變換（共4小題）15．（2022?永嘉縣校級一模）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，E均在格點(diǎn)上，請用無刻度的直尺，按要求畫圖，保留畫圖痕跡．（1）在圖中畫出格點(diǎn)D（不與格點(diǎn)A，E重合），使△BCD的面積與△ABC的面積相等；（2）在圖中以格點(diǎn)E為位似中心，作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長縮小到原來的．【分析】（1）把BC平移使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D1；把BC向上平移1個單位，再向右平移4個單位得到D2、D3，同樣方法得到D4；（2）連接EA、EB、EC，然后利用網(wǎng)格特點(diǎn)得到EA、EB、EC的中點(diǎn)，從而得到△ABC的位似圖形△A′B′C′．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D1、D2、D3、D4為所作；（2）如圖，△A′B′C′為所作．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣熟練掌握畫位似圖形的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵（先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形）．16．（2022?鹿城區(qū)校級一模）如圖，在8×8的網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形，請分別在圖1和圖2中按要求作圖．（1）在圖1中以O(shè)為位似中心，作格點(diǎn)三角形△A1B1C1，使其與△ABC位似比為1：2．（2）在圖2中作格點(diǎn)線段BM⊥AC．【分析】（1）連接OA，OB，OC，取OA，OB，OC的中點(diǎn)A1，B1，C1，連接A1B1，B1C1，C1A1即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想作出線段BM即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，線段BM即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．17．（2021秋?新昌縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個△ABO，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣4，2），（﹣2，4）．（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，作出△AOB的一個位似△A1OB1，并把△ABO的邊長縮小到原來的．（2）點(diǎn)C（﹣2.4，3.6）是邊AB上一點(diǎn)，根據(jù)你所畫圖形寫出它對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，分在同側(cè)和異側(cè)兩種情形；（2）利用位似圖形的性質(zhì)即可解答．【解答】解（1）如圖所示，△A1OB1即為所求；（2）點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣1.8）或（1.2，﹣1.8）．【點(diǎn)評】本題主要考查了作圖﹣位似變換，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意兩種情形．18．（2022?鹿城區(qū)校級三模）如圖，9×9的方格都是由邊長為1的小正方形組成．平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請按以下要求在圖1，圖2中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）畫出平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的平行四邊形AB′C′D′，使得點(diǎn)B′落在邊BC上．（2）請以A為位似中心，作與平行四邊形ABCD的面積比為的位似圖形平行四邊形AEFG．【分析】（1）根據(jù)題意，先找到B'點(diǎn)的位置，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)作圖即可．（2）由題意可得位似比為1：2，根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可．【解答】解：（1）如圖1，平行四邊形AB'C'D'即為所求．（2）如圖2，平行四邊形AEFG即為所求（畫出其中一種即可）．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、位似變換、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)和位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一．選擇題（共11小題）1．（2021秋?蕭山區(qū)校級月考）如圖，取一張長為a，寬為b的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊a、b應(yīng)滿足的條件是（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝2b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝4b【分析】根據(jù)對折表示出小長方形的長和寬，再根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．【解答】解：對折兩次后的小長方形的長為b，寬為a，∵小長方形與原長方形相似，∴＝，∴a＝2b．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，準(zhǔn)確表示出小長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵．2．（2022?瑞安市二模）如圖，已知△ABC與△DEF是位似圖形，O是位似中心，若OA＝2OD，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AB：DE，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，∴AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴＝＝2，∴△ABC與△DEF的周長之比是2：1，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形的對應(yīng)邊平行是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?舟山期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，C（﹣1，﹣），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1×（﹣3），﹣×（﹣3）），即（3，2），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．4．（2022?嵊州市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們的位似中心的坐標(biāo)是（）A．（4，4） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，4）【分析】連接DB、OA并延長交于點(diǎn)P，根據(jù)位似中心的概念得到點(diǎn)P為位似中心，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系解答即可．【解答】解：連接DB、OA并延長交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為位似中心，由平面直角坐標(biāo)系可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2022?嘉興一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（2，2），以點(diǎn)P（1，0）為位似中心，將線段AB放大得線段CD，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（7，0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（3，6） B．（4，6） C．（5，6） D．（6，6）【分析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立新的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求出位似比，根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立新的平面直角坐標(biāo)系，則在新坐標(biāo)系中，A（2，0），B（1，2），P（0，0），C（6，0），則PA＝2，PC＝6，∴△PAB和△PCD的位似比為1：3，∴點(diǎn)D在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（1×3，2×3），即（3，6），則點(diǎn)D在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（4，6），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，正確建立新的平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．6．（2022?平陽縣一模）如圖，右邊的“E”與左邊的“E”是位似圖形，A是位似中心，位似比為3：5．若BC＝75，則GH的長為（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】根據(jù)位似圖形的相似比成比例解答．【解答】解：∵右邊的“E”與左邊的“E”是位似圖形，A是位似中心，位似比為3：5，BC＝75，∴GH：BC＝3：5，即GH：75＝3：5．∴GH＝45．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了位似的相關(guān)知識，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．7．（2021秋?嘉興期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（4，1），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，作與△OAB的位似比為的位似圖形△OA′B′，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，作與△OAB的位似比為的位似圖形△OA′B′，A（2，4），∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（2×，4×）或（2×（﹣），4×（﹣）），即（1，2）或（﹣1，﹣2），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．8．（2021秋?柯橋區(qū)期末）如圖是利用圖形的位似繪制的一幅“小魚”圖案，其中O為位似中心，且OA＝2OD，若圖案中魚身（△ABC）的周長為16，則魚尾（△DEF）的周長為（）A．16 B．8 C．4 D．4【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到DF∥AC，求出＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC和△DEF是位似圖形，∴DF∥AC，∴＝＝，∴△ABC與△DEF的位似比為2：1，∵△ABC的周長為16，∴△DEF的周長為8，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，正確求出△ABC與△DEF的位似比是解題的關(guān)鍵．9．（2022?南潯區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），若△ABC與△DEF是位似圖形，則的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AC∥DF，【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），∴OA＝1，OD＝3，即＝，∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴＝＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形是相似圖形、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022?上城區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（﹣6，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為，把△EFO縮小，則點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)F'的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣4，﹣4）或（4，4） D．（﹣1，﹣1）或（1，1）【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)F（﹣2，﹣2），以O(shè)為位似中心，相似比為，∴點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為：（﹣2×，﹣2×）或（﹣2×（﹣），﹣2×（﹣）），即（﹣1，﹣1）或（1，1），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．11．（2022?溫州一模）如圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形，位似比為2：3．若EF＝6，則BC的長為（）A．8 B．9 C．10 D．15【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形，位似比為2：3，∴四邊形ABCD∽四邊形AEFG，∴＝，∵EF＝6，∴BC＝9，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共3小題）12．（2021秋?鄞州區(qū)期末）如圖，矩形ABCD被分割為5個全等的長方形，若這5個矩形都與矩形ABCD相似，則AD：AB的值是．【分析】根據(jù)全等圖形的性質(zhì)得到AD＝5AE，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)AE＝a，∵三個小矩形全等，∴AD＝5AE＝5a，∵每個小矩形都與矩形ABCD相似∴＝，∴AB2＝AD?AE＝5AE2＝5a2，AB＝a，∴AD：AB＝5a：a＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．13．（2022?舟山模擬）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是O，＝，則＝．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴＝＝，∴＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵．14．（2019秋?海曙區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一個矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，則CF的長為1．【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，利用比例性質(zhì)求出CE，再利用勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，∵四邊形EFBC是矩形，∴EF＝BC＝2，CF＝BE，∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，∴，即，∴CF＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形；相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．三．解答題（共7小題）15．（2020秋?永嘉縣校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．（1）畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1BC1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：1，在y軸的左側(cè)，畫出將△ABC放大后的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、C的對應(yīng)點(diǎn)A1、C1即可；（2）延長OA到A2使OA2＝2OA，延長OB到B2使OB2＝2OB，延長OC到C2使OC2＝2OC，從而得到△A2B2C2，再點(diǎn)A2的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△A1BC1為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作，點(diǎn)A2的坐標(biāo)（﹣4，2）．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．也考查了旋轉(zhuǎn)變換．16．（2021秋?溫州校級月考）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在第一象限7×7的正方形網(wǎng)格中，A，B，C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請按要求完成下列作圖：（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心作△DEF，使△DEF與△ABC位似比為；（2）在圖中找出△ABC外接圓的圓心P，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）把A、B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以得到D、E、F的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，作AB和BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△DEF為所作；（2）如圖，點(diǎn)P為所作，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）．【點(diǎn)評】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．17．（2020秋?溫州期末）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，請按要求在方格紙內(nèi)作圖．（1）在圖1中以O(shè)為位似中心，作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長縮小到原來的．（2）在圖2中畫?ABEF，使得它與△ABC的面積相等，且E，F(xiàn)在格點(diǎn)上．【分析】（1）連接OA、OB、OC，分別取它們的中點(diǎn)即可；（2）取BC的中點(diǎn)E，把AB平移使B點(diǎn)落在E點(diǎn)，則A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)．【解答】解：（1）如圖1，△A′B′C′為所作；（2）如圖2，平行四邊形ABEF為所作．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．也