重難點(diǎn)05 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合（解析版）-2024中考數(shù)學(xué)查缺補(bǔ)漏

重難點(diǎn)05反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合考點(diǎn)一：一次函數(shù)一次函數(shù)在中考數(shù)學(xué)中主要考察其圖象、性質(zhì)以及其簡單應(yīng)用，考察題型較為靈活。但是一張中考數(shù)學(xué)與試卷中，單獨(dú)考察一次函數(shù)的題目占比并不是很大，更多的是考察一次函數(shù)與其他幾何知識的結(jié)合。占比也比較大，需要對該考點(diǎn)掌握的更為熟練。題型01一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解題大招01：一次函數(shù)解析求法是待定系數(shù)法，即：①設(shè)，②代，③解，④寫；解題大招02：當(dāng)說明“點(diǎn)在函數(shù)圖象上”時(shí)，立刻想“點(diǎn)的坐標(biāo)符合其解析式”；解題大招03：一次函數(shù)的k決定直線的增減性，b決定直線與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)；解題大招04：一次函數(shù)圖象平移規(guī)律：左加右減（x），上加下減（整體）；【中考真題練】1．（2023?臨沂）對于某個(gè)一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），根據(jù)兩位同學(xué)的對話得出的結(jié)論，錯(cuò)誤的是（）A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷即可．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象不經(jīng)過第二象限，∴b≤0，又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴錯(cuò)誤的是k+b＞0．故選：C．2．（2023?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝x的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向上平移1個(gè)單位長度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1【分析】找出y＝x上一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到旋轉(zhuǎn)后一次函數(shù)解析式，再根據(jù)上加下減的平移規(guī)則即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+1．【解答】解：在函數(shù)y＝x的圖象上取點(diǎn)A（1，1），繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)A′（﹣1，1），則旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式為y＝﹣x，再向上平移1個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝﹣x+1．故選：A．3．（2023?荊州）如圖，直線y＝﹣x+3分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，將△OAB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）【分析】先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則OA＝2，OB＝3，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+3＝3，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3＝0，解得x＝2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則OA＝2，OB＝3，∵△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x軸，CD∥x軸，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，2）．故選：C．4．（2023?無錫）一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2．【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式，即可求出一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1×0﹣2＝﹣2，∴一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，﹣2）；當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣2＝0，解得：x＝2，∴一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)（2，0）．∴一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是×|﹣2|×2＝2．故答案為：2．5．（2023?蘇州）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（﹣1，2），則k2﹣b2＝﹣6．【分析】利用待定系數(shù)法即可解得．【解答】解：由題意得，將點(diǎn)（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一種解法：由題意得，將點(diǎn)（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案為：﹣6．6．（2023?南充）如圖，直線y＝kx﹣2k+3（k為常數(shù)，k＜0）與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，則+的值是1．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式，可以求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后即可計(jì)算出+的值．【解答】解：∵直線y＝kx﹣2k+3，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2k+3；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝；∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣2k+3），∴OA＝，OB＝﹣2k+3，∴+＝+＝﹣＝＝1，故答案為：1．7．（2023?青海）如圖是平面直角坐標(biāo)系中的一組直線，按此規(guī)律推斷，第5條直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是10．【分析】根據(jù)每條直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)解答即可．【解答】解：由題知，這組直線是平行直線，每條直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是2，4，6...，∴第5條直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是10．故答案為：10．8．（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在直線l1：y＝x上，頂點(diǎn)B在x軸上，AB垂直x軸，且OB＝2，頂點(diǎn)C在直線l2：y＝x上，BC⊥l2；過點(diǎn)A作直線l2的垂線，垂足為C1，交x軸于B1，過點(diǎn)B1作A1B1垂直x軸，交l1于點(diǎn)A1，連接A1C1，得到第一個(gè)△A1B1C1；過點(diǎn)A1作直線l2的垂線，垂足為C2，交x軸于B2，過點(diǎn)B2作A2B2垂直x軸，交l1于點(diǎn)A2，連接A2C2，得到第二個(gè)△A2B2C2；如此下去，…，則△A2023B2023C2023的面積是24046．【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC＝，證明△ABC∽△A1B1C1，△ABC∽△A2B2C2，得出＝4S△ABC，＝42?S△ABC＝（22）2?S△ABC，總結(jié)得出＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，從而得出＝22×2023×＝24046．【解答】解：∵OB＝2，∴B（2，0），∵AB⊥x軸，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，∵直線l1：y＝x，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為＝，∴∠AOB＝，∴∠AOB＝30°，∵直線l2：y＝x，∴C（xC，），∴＝，∴∠BOC＝60°，∴OC＝，∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：＝，∴S△ABC＝＝，∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，∴BC∥B1C1∥B2C2，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，∵AB⊥x軸，A1B1⊥x軸，∴OB＝，OB1＝，∵AB⊥x軸，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴AB∥A1B1∥A2B2，∴，，∵BC∥B1C1∥B2C2，∴，，∴，∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC∽△A1B1C1，同理△ABC∽△A2B2C2，∴＝4S△ABC，＝42?S△ABC＝（22）2?S△ABC，∴＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，＝22×2023×＝24046．故答案為：24046．9．（2023?西寧）一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B（m，4）．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直接在圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象；（3）點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）把y＝0和4分別代入函數(shù)解析式，即可求得相應(yīng)的x和m的值，即可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）利用描點(diǎn)法畫圖象即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，∴令y＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），∵點(diǎn)B（m，4）在一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象上，把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，∴m＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，4）；（2）圖象過點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，4），如圖：（3）∵A（2，0），B（4，4），∴AB＝＝2，∵點(diǎn)P在x軸的正半軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，∴P的坐標(biāo)為（6，0）或（2+2，0）．【中考模擬練】1．（2024?長豐縣模擬）如圖，直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B．（﹣6，0） C． D．【分析】直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，得到，結(jié)合CB⊥AB，得到∠ACB＝∠ABO，利用正切函數(shù)計(jì)算OC即可．【解答】解：∵直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，∴，∴，∴，∵CB⊥AB，CO⊥OB，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，∴，解得，∴，故選：A．2．（2024?靜安區(qū)二模）一次函數(shù)y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么該函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)一次函數(shù)y＝kx+b中k＜0，b≥0，該函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第三象限，故選：C．3．（2024?太白縣一模）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣5x+m（m是常數(shù)）的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．y1≥y2【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出y隨x的增大而減小，再結(jié)合x1＞x2，即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函數(shù)y＝﹣5x+m（m是常數(shù)）的圖象上，且x1＞x2，∴y1＜y2．故選：B．4．（2024?衡南縣模擬）已知：如圖，直線y＝﹣2x+4分別與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0），若在直線AB上取一點(diǎn)M，在y軸上取一點(diǎn)N，連接MN、MP、NP，則MN+MP+NP的最小值是（）A．3 B． C． D．【分析】作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接EN，EM，EF，F(xiàn)M，F(xiàn)P，設(shè)FP交AB于C，過點(diǎn)F作FD⊥x軸于D，則EN＝NP，F(xiàn)M＝MP，F(xiàn)P⊥AB，OE＝OP，F(xiàn)C＝PC，MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得MN+FM+EN≥EF，則MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP的最小值為線段EF的長；先求出點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，4），則OA＝2，OB＝4，再由點(diǎn)P（1，0）得OP＝1，則OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝，證△PAC∽△BAO得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝，則PF＝，再證△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得FD＝，PD＝，則ED＝OE+OP+PD＝，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接EN，EM，EF，F(xiàn)M，F(xiàn)P，設(shè)FP交AB于C，過點(diǎn)F作FD⊥x軸于D，如圖所示：則EN＝NP，F(xiàn)M＝MP，F(xiàn)P⊥AB，OE＝OP，F(xiàn)C＝PC，∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值為線段EF的長，對于y＝﹣2x+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，x＝2，∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，又∵點(diǎn)P（1，0），∴OP＝1，∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，由勾股定理得：AB＝＝，∵FP⊥AB，F(xiàn)D⊥x軸，∠BOA＝90°，∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，又∵∠PAC＝∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，即，∴PC＝，∴FC＝PC＝，∴PF＝FC+PC＝，∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，即，∴FD＝，PD＝，∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+＝，在Rt△EFD中，ED＝，F(xiàn)D＝，由勾股定理得：EF＝＝．故選：C．5．（2024?普陀區(qū)二模）已知直線y＝2x+4與直線y＝1相交于點(diǎn)A，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣．【分析】代入y＝1，求出x的值即可．【解答】解：將y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，解得：x＝﹣，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣．故答案為：﹣．6．（2023?鄲城縣三模）某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)y＝﹣2|x﹣1|+3的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下：（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y＝﹣2|x﹣1|+3…﹣5m﹣1131n﹣3﹣5…填空：m＝﹣3，n＝﹣1；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形；②該函數(shù)有最大值3（答案不唯一）；（4）點(diǎn)A（a，b）是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，現(xiàn)已知點(diǎn)A在直線y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范圍是﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．【分析】（1）分別求出x＝﹣2和x＝3時(shí)對應(yīng)的y值即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，描點(diǎn)后畫出函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合增減性和最值寫出性質(zhì)；（4）分別求得y＝2與y＝﹣2時(shí)的自變量的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，m＝﹣2|﹣2﹣1|+3＝﹣3，當(dāng)x＝3時(shí)，n＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1，故答案為：﹣3，﹣1；（2）根據(jù)描點(diǎn)連線，如圖所示．（3）觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形；②該函數(shù)有最大值3（答案不唯一）．故答案為：①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形；②該函數(shù)有最大值3（答案不唯一）；（4）當(dāng)y＝2時(shí)，即﹣2|x﹣1|+3＝2，解得：x＝0.5或x＝1.5，當(dāng)y＝﹣2時(shí)，﹣2|x﹣1|+3＝﹣2解得x＝﹣1.5或x＝3.5，根據(jù)函數(shù)圖象可得，點(diǎn)A在直線y＝2的下方，且b＞﹣2，∴﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．7．（2023?太平區(qū)二模）小明在學(xué)習(xí)一次函數(shù)后，對形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n為常數(shù)，且k≠0）的一次函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，過程如下：【特例探究】（1）如圖所示，小明分別畫出了函數(shù)y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的圖象（網(wǎng)格中每個(gè)小方格邊長為1），請你根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線的步驟在圖中畫出函數(shù)y＝﹣2（x﹣2）+1的圖象．【深入探究】（2）通過對上述幾個(gè)函數(shù)圖象的觀察、思考，你發(fā)現(xiàn)y＝k（x﹣2）+1（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象一定會(huì)經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1）．歸納：函數(shù)y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n為常數(shù)，且k≠0）的圖象一定會(huì)經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，n）．【實(shí)踐運(yùn)用】（3）已知一次函數(shù)y＝k（x+2）+3（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象一定過點(diǎn)N，且與y軸相交于點(diǎn)A，若△OAN的面積為4，求k的值．【分析】（1）根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線作圖．（2）將x＝2代入解析式求解．（3）將x＝m代入解析式求解．（4）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)N及點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）列表：x﹣10123y﹣5﹣3﹣113如圖：（2）將x＝2代入y＝k（x﹣2）+1得y＝1，∴函數(shù)y＝k（x﹣2）+1的圖象一定經(jīng)過（2，1）．故答案為：（2，1）．（3）將x＝m代入y＝k（x﹣m）+n得y＝n，∴函數(shù)y＝k（x﹣m）+n的圖象一定經(jīng)過（m，n），故答案為：（m，n）．（4）將x＝﹣2代入y＝k（x+2）+3得y＝3，∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣2，3），將x＝0代入y＝k（x+2）+3得y＝2k+3，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，2k+3），∴OA＝|2k+3|，∴S△OAN＝OA?|xN|＝OA＝|2k+3|＝4，解得k＝﹣或k＝．8．（2023?花都區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+4（k≠0）交x軸于點(diǎn)A（8，0），交y軸于點(diǎn)B．（1）k的值是﹣；（2）點(diǎn)C是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在x軸和y軸上．①如圖，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），若四邊形OECD的面積是9，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)CE平行于x軸，CD平行于y軸時(shí)，若四邊形OECD的周長是10，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出k值；（2）①利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由四邊形OECD的面積是9，得出S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）?m+（﹣m+4）?（6﹣m）＝9，解方程求得m的值，即可求得C的坐標(biāo)；②由題意可知2（m﹣m+4）＝10，解方程求得m的值，即可求得C的坐標(biāo)【解答】解：（1）將A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣，故答案為：﹣；（2）①如圖1，由（1）可知直線AB的解析式為y＝﹣x+4．∴設(shè)C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM＝﹣m+4，∵四邊形OECD的面積是9，∴S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）?m+（﹣m+4）?（6﹣m）＝9，整理得2m＝6，解得m＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）；②∵CE平行于x軸，CD平行于y軸，∴四邊形CEOD是矩形，∵四邊形OECD的周長是10，∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，解得m＝2或m＝6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）或（﹣，）．題型02一次函數(shù)的應(yīng)用解題大招01：常用等量關(guān)系：總利潤=單件利潤×數(shù)量解題大招02：利用函數(shù)的增減性得到最大利潤解題大招03：和函數(shù)圖象結(jié)合時(shí)，注意圖象對應(yīng)的“起點(diǎn)”、“拐點(diǎn)”、“終點(diǎn)”的意義【中考真題練】1．（2023?山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時(shí)彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【分析】根據(jù)不掛物體時(shí)彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，可得在彈性限度內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：根據(jù)題意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故選：B．2．（2023?聊城）甲乙兩地相距a千米，小亮8：00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時(shí)刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為（）A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35【分析】設(shè)小亮與小瑩相遇時(shí)，小亮乘車行駛了x小時(shí)，因?yàn)樾×?、小瑩乘車行駛的速度分別是a千米/時(shí)，2a千米/時(shí)，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解決問題．【解答】解：設(shè)小亮與小瑩相遇時(shí)，小亮乘車行駛了x小時(shí)，∵小亮、小瑩乘車行駛完全程用的時(shí)間分別是小時(shí)，小時(shí)，∴小亮、小瑩乘車行駛的速度分別是a千米/時(shí)，2a千米/時(shí)，由題意得：ax+2a（x﹣）＝a，∴x＝，小時(shí)＝28分鐘，∴小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為8：28．故選：A．3．（2023?郴州）第11屆中國（湖南）礦物寶石國際博覽會(huì)在我市舉行，小方一家上午9：00開車前往會(huì)展中心參觀．途中汽車發(fā)生故障，原地修車花了一段時(shí)間．車修好后，他們繼續(xù)開車趕往會(huì)展中心．以下是他們家出發(fā)后離家的距離s與時(shí)間的函數(shù)圖象．分析圖中信息，下列說法正確的是（）A．途中修車花了30min B．修車之前的平均速度是500m/min C．車修好后的平均速度是80m/min D．車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍【分析】根據(jù)圖象即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)“路程÷時(shí)間＝速度”即可判斷B和C選項(xiàng)，進(jìn)一步可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：由圖象可知，途中修車時(shí)間是9：10到9：30共花了20min，故A不符合題意；修車之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合題意；車修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合題意；900÷600＝1.5，∴車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍，故D符合題意，故選：D．4．（2023?朝陽）甲乙兩人騎自行車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲勻速騎行到B地，乙勻速騎行到A地，甲的速度大于乙的速度，兩人分別到達(dá)目的地后停止騎行．兩人之間的距離y（米）和騎行的時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①a＝450；②b＝150；③甲的速度為10米/秒；④當(dāng)甲、乙相距50米時(shí)，甲出發(fā)了55秒或65秒．其中正確的結(jié)論有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出甲和乙的速度，從而可以判斷③；然后根據(jù)甲的速度可以計(jì)算出a的值，即可判斷①；根據(jù)乙的速度，可以計(jì)算出b的值，可以判斷②；根據(jù)甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以計(jì)算出甲出發(fā)的時(shí)間，即可判斷④．【解答】解：由圖可得，甲的速度為：600÷100＝6（米/秒），故③錯(cuò)誤，不符合題意；乙的速度為：600÷60﹣6＝4（米/秒），a＝4×100＝400，故①錯(cuò)誤，不符合題意；b＝600÷4＝150，故②正確，符合題意；設(shè)當(dāng)甲、乙相距50米時(shí)，甲出發(fā)了m秒，兩人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），解得m＝55；兩人相遇后：（600+50）＝m（6+4），解得m＝65；故④正確，符合題意；故選：C．5．（2023?鎮(zhèn)江）小明從家出發(fā)到商場購物后返回，如圖表示的是小明離家的路程s（m）與時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系，已知小明購物用時(shí)30min，返回速度是去商場的速度的1.2倍，則a的值為（）A．46 B．48 C．50 D．52【分析】設(shè)小明家距離商場為sm，先根據(jù)題意求出小明去商場的所用時(shí)間，再根據(jù)速度＝得出小明去商場時(shí)的速度速度，，再根據(jù)返回速度是去商場的速度的1.2倍，求出小明返回時(shí)所用時(shí)間即可．【解答】解：設(shè)小明家距離商場為sm，∵小明購物用時(shí)30min，∴小明從家到商場所用時(shí)間為42﹣30＝12（min），∴小明從家到商場的速度為（m/min），∵小明返回速度是去商場的速度的1.2倍，∴小明返回所用時(shí)間為＝10（min），∴a＝42+10＝52，故選：D．6．（2023?威海）一輛汽車在行駛過程中，其行駛路程y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)0≤x≤0.5時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝60x；當(dāng)0.5≤x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝80x﹣10．【分析】根據(jù)當(dāng)0≤x≤0.5時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝60x，可得當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＝30，設(shè)當(dāng)0.5≤x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得答案．【解答】解：∵當(dāng)0≤x≤0.5時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝60x，∴當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＝30，設(shè)當(dāng)0.5≤x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，把（0.5，30），（2，150）代入得：，解得，故答案為：y＝80x﹣10．7．（2023?恩施州）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長?書香恩施”的號召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動(dòng)需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購買一套服裝．經(jīng)市場調(diào)查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費(fèi)用相同．（1）男裝、女裝的單價(jià)各是多少？（2）如果參加活動(dòng)的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的，購買服裝的總費(fèi)用不超過17000元，那么學(xué)校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？【分析】（1）設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）設(shè)參加活動(dòng)的女生有a人，則男生有（150﹣a）人，列不等式組找到a的取值范圍，再設(shè)總費(fèi)用為w元，得到w與a的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)a取最小值時(shí)w有最小值，據(jù)此求解即可．【解答】解：（1）設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：男裝單價(jià)為100元，女裝單價(jià)為120元．（2）設(shè)參加活動(dòng)的女生有a人，則男生有（150﹣a）人，根據(jù)題意可得，解得：90≤a≤100，∵a為整數(shù)，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個(gè)數(shù)，故一共有11種方案，設(shè)總費(fèi)用為w元，則w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，∵20＞0，∴當(dāng)a＝90時(shí)，w有最小值，最小值為15000+20×90＝16800（元），此時(shí)，150﹣a＝60（套），答：當(dāng)女裝購買90套，男裝購買60套時(shí)，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為16800元．8．（2023?青島）某服裝店經(jīng)銷A，B兩種T恤衫，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：品名AB進(jìn)價(jià)（元/件）4560售價(jià)（元/件）6690（1）第一次進(jìn)貨時(shí)，服裝店用6000元購進(jìn)A，B兩種T恤衫共120件，全部售完獲利多少元？（2）受市場因素影響，第二次進(jìn)貨時(shí)，A種T恤衫進(jìn)價(jià)每件上漲了5元，B種T恤衫進(jìn)價(jià)每件上漲了10元，但兩種T恤衫的售價(jià)不變．服裝店計(jì)劃購進(jìn)A，B兩種T恤衫共150件，且B種T恤衫的購進(jìn)量不超過A種T恤衫購進(jìn)量的2倍．設(shè)此次購進(jìn)A種T恤衫m(xù)件，兩種T恤衫全部售完可獲利W元．①請求出W與m的函數(shù)關(guān)系式；②服裝店第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)條件，購進(jìn)AT恤衫x件，購進(jìn)BT恤衫y件，列出方程組解出x、y值，最后求出獲利數(shù)；（2）①根據(jù)條件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函數(shù)W隨m的增大而減小，當(dāng)m＝50時(shí)，W取最大值計(jì)算出來和第一次獲利比較即可．【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)AT恤衫x件，購進(jìn)BT恤衫y件，根據(jù)題意列出方程組為：，解得，∴全部售完獲利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．（2）①設(shè)第二次購進(jìn)A種T恤衫m(xù)件，則購進(jìn)B種T恤衫（150﹣m）件，根據(jù)題意150﹣m≤2m，即m≥50，∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利，理由如下：由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），∵﹣4＜0，一次函數(shù)W隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝50時(shí)，W取最大值，W大＝﹣4×50+3000＝2800（元），∵2800＜2880，∴服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利．9．（2023?黑龍江）已知甲，乙兩地相距480km，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時(shí)，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距120km，貨車?yán)^續(xù)出發(fā)h后與出租車相遇．出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離y（km）與貨車行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）圖中a的值是120；（2）求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長時(shí)間與出租車相距12km．【分析】（1）由圖象知，C（4，480），設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到結(jié)論；（2）由停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距120km，可得此時(shí)出租車距離乙地為120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得貨車裝完貨物時(shí)，x＝2，B（2，120），根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)h后與出租車相遇，可得×*出租車的速度+貨車的速度）＝120，根據(jù)直線OC的解析式為y＝120x，可得出租車的速度為120km/h，于是得到相遇時(shí)，貨車的速度為120﹣120＝60（km/h）故可設(shè)直線BG的解析式為y＝60x+b，將B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直線BG的解析式為y＝60x，故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，于是得到結(jié)論；（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根據(jù)出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，經(jīng)過比貨車早15分鐘到達(dá)甲地，可得EF＝，設(shè)在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)t小時(shí)，與出租車相距12km，此時(shí)貨車距離乙地為60tkm，出租車距離乙地為128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租車和貨車第二次相遇前，相距12km時(shí)，②出租車和貨車第二次相遇后，相距12km時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）由圖象知，C（4，480），設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，解得k＝120，∴直線OC的解析式為y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，故答案為：120；（2）由停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時(shí)與出租車相距120km，貨車行駛時(shí)間為小時(shí)，∵a＝120（km），∴貨車卸貨時(shí)與乙地相距120km，∴出租車距離乙地為120+120＝240（km），∴出租車距離甲地為480﹣240＝240（km），把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，解得x＝2，∴貨車裝完貨物時(shí)，x＝2，B（2，120），根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)h后與出租車相遇，可得×（出租車的速度+貨車的速度）＝120，根據(jù)直線OC的解析式為y＝120x（0≤x≤4），可得出租車的速度為120km/h，∴相遇時(shí)，貨車的速度為120﹣120＝60（km/h），故可設(shè)直線BG的解析式為y＝60x+b，將B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，解得b＝0，∴直線BG的解析式為y＝60x（2≤x≤8），故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝60x，（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，解得x＝8，∴G（8，480），∴F（8，0），根據(jù)出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，經(jīng)過比貨車早15分鐘到達(dá)甲地，可得EF＝，∴，∴出租車返回后的速度為480÷（）＝128km/h，設(shè)在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)t小時(shí)，與出租車相距12km，此時(shí)貨車距離乙地為60tkm，出租車距離乙地為128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租車和貨車第二次相遇前，相距12km時(shí)，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，解得t1＝；②出租車和貨車第二次相遇后，相距12km時(shí)，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，解得t2＝，故在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)h或h與出租車相距12km．【中考模擬練】1．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）甲、乙兩家商場平時(shí)以同樣的價(jià)格出售相同的商品．端午節(jié)期間兩家商場都讓利酬賓，兩家商場的購物金額y甲、y乙（單位：元）與商品原價(jià)x（單位：元）之間的關(guān)系如圖所示，張阿姨計(jì)劃在其中一家商場購原價(jià)為620元的商品，從省錢的角度你建議選擇（）A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不確定【分析】利用待定系數(shù)法即可求出y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將x＝620代入計(jì)算即可作出判斷．【解答】解：設(shè)y甲＝kx，把（1200，960）代入，得1200k＝960，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x，當(dāng)0＜x＜200時(shí)，設(shè)y乙＝ax，把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1，所以y乙＝x；當(dāng)x≥200時(shí)，設(shè)y乙＝mx+n，把（1200，900），（200，200）代入，得，解得．所以y乙＝，x＝620時(shí)，y甲＝0.8×620＝496，y乙＝0.7×620+60＝494，494＜496，∴從省錢的角度建議選擇乙商場，故選：B．2．（2024?錫山區(qū)一模）明明和亮亮都在同一直道A、B兩地間做勻速往返走鍛煉．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉頭等時(shí)間）．明明從A地出發(fā)，同時(shí)亮亮從B地出發(fā)．圖中的折線段表示從開始到第二次相遇止，兩人之間的距離y（米）與行走時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系的圖象，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．【分析】由兩次相遇知兩人共走了（3×2800）米，且速度不變，得c＝60÷3＝20（分）．故C選項(xiàng)不符合題意；由拐點(diǎn)得此時(shí)亮亮到達(dá)A地，故亮亮的速度為2800÷35＝80（米/分），由速度和為2800÷20＝140（米/分），得明明的速度為60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A選項(xiàng)不符合題意；在35～d時(shí)，兩人相向而行，速度之差為80﹣60＝20（米/分），最后一段兩人相對而行，速度之和為80+60＝140（米/分），第二次相遇時(shí)距離A地距離為60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B選項(xiàng)符合題意；最后一段兩人相對而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D選項(xiàng)符合題意．【解答】解：∵第一次相遇兩人共走了2800米，第二次相遇兩人共走了（3×2800）米，且二者速度不變，∴c＝60÷3＝20（分）．故C選項(xiàng)不符合題意；∵x＝35時(shí)，出現(xiàn)拐點(diǎn)，∴此時(shí)亮亮到達(dá)A地，路程為2800米，亮亮的速度為2800÷35＝80（米/分），兩人的速度和為2800÷20＝140（米/分），明明的速度為140﹣80＝60（米/分），∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；故A選項(xiàng)不符合題意；在35～d時(shí)，兩人相向而行，速度之差為80﹣60＝20（米/分），最后一段兩人相對而行，速度之和為80+60＝140（米/分），第二次相遇時(shí)距離A地距離為60×80﹣2800＝2000（米），所以b＝2000．故B選項(xiàng)不符合題意；最后一段兩人相對而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（2024?中山市校級模擬）我市供暖改造工程，現(xiàn)甲、乙兩工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩條600米長的管道，所挖管道長度y（米）與挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中：①甲隊(duì)每天挖100米；②乙隊(duì)開挖兩天后，每天挖50米；③當(dāng)x＝4時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所挖管道長度相同；④甲隊(duì)比乙隊(duì)提前2天完成任務(wù)．正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先建立函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意逐個(gè)判斷即可．【解答】解：設(shè)y甲＝kx，代入點(diǎn)（6，600）得：600＝6k，∴k＝100．∴y＝100x，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，設(shè)y乙＝kx，代入點(diǎn)（2，300）得：300＝2k．∴k＝150，∴y乙＝150x，當(dāng)x≥2時(shí)，設(shè)y乙＝kx+b，代入點(diǎn)（2，300），（6，500）得：解得：k＝50，b＝200．∴y乙＝50x+200．∵600÷6＝100米/天，∴①正確．∵（500﹣300）÷（6﹣2）＝50，∴②正確．∵當(dāng)x＝4時(shí)，y甲＝100x＝400（米）．y乙＝50×4+200＝400（米）．∴③正確．當(dāng)y甲＝100x＝600時(shí)，x＝6．當(dāng)y乙＝50x+200＝600時(shí)，x＝8，8﹣6＝2，∴④正確．故選：D．4．（2024?市中區(qū)一模）A，B兩地相距60km，甲、乙兩人騎車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，勻速行駛．乙在途中休息了0.5h后按原速度繼續(xù)前進(jìn)．兩人到A地的距離s（km）和時(shí)間t（h）的關(guān)系如圖所示，則出發(fā)2.1h后，兩人相遇．【分析】根據(jù)圖形求出兩人的速度，設(shè)出發(fā)x小時(shí)后兩人相遇，再根據(jù)兩人相遇時(shí)路程之和等于60即可求解．【解答】解：根據(jù)圖像：乙的速度為：（60﹣40）÷1＝20（km/h），甲的速度為：（20﹣0）÷1.5＝（km/h），設(shè)出發(fā)x小時(shí)后兩人相遇，根據(jù)題意得20（x﹣0.5）+x＝60，解得x＝2.1，故答案為：2.1．5．（2024?昆山市一模）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)長方體蓄水池，將甲池中的水勻速注入乙池，甲、乙兩個(gè)蓄水池中水的深度y（米）與注水時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)甲、乙兩池中水的深度相同時(shí)，注水時(shí)間為時(shí)．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得相應(yīng)的函數(shù)解析式；聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，解方程組求出x即可．【解答】解：設(shè)y1為甲池中的水深度與注水時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式是y1＝k1x+b1，∴，解得，即y1＝﹣4x+4（0≤x≤1），設(shè)y2乙池中的水深度與注水時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式是y2＝k2x+b2，∴，解得，即y2＝6x+2（0≤x≤1）；令y1＝y(tǒng)2，則﹣4x+4＝6x+2，解得：x＝，∴當(dāng)甲、乙兩池中水的深度相同時(shí)，則注水時(shí)間為小時(shí)．故答案為：．6．（2024?桑植縣一模）某校運(yùn)動(dòng)會(huì)需購買A，B兩種獎(jiǎng)品，若購買A種獎(jiǎng)品2件和B種獎(jiǎng)品1件，共需35元；若購買A種獎(jiǎng)品1件和B種獎(jiǎng)品2件，共需40元．（1）求A、B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各是多少元？（2）學(xué)校計(jì)劃購買A，B兩種獎(jiǎng)品共100件，購買費(fèi)用不超過1135元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件，購買費(fèi)用為W元，寫出W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式．求出自變量m的取值范圍，并確定最少費(fèi)用W的值．【分析】（1）根據(jù)題意可以寫出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為a元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為b元，由題意可得：，解得，答：A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為15元；（2）由題意可得，W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500，∴W隨m的增大而減小，∵購買費(fèi)用不超過1135元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，∴，解得73≤m≤75，∴當(dāng)m＝75時(shí)，W取得最小值，此時(shí)W＝1125，答：W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式是W＝﹣5m+1500（73≤m≤75），最少費(fèi)用W的值為1125．7．（2024?綏化模擬）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)一：如何設(shè)計(jì)購買方案？素材1某校40名同學(xué)要去參觀航天展覽館，e知展覽館分為A，B，C三個(gè)場館，且購買1張A場館門票和1張B場館門票共需90元，購買3張A場館門票和2張B場館門票共需230元．C場館門票為每張15元素材2由于場地原因，要求到A場館參觀的人數(shù)要少于到B場館參觀的人數(shù)，且每位同學(xué)只能選擇一個(gè)場館參觀．參觀當(dāng)天剛好有優(yōu)惠活動(dòng)：每購買1張A場館門票就贈(zèng)送1張C場館門票．問題解決任務(wù)1確定場館門票價(jià)格求A場館和B場館的門票價(jià)格．任務(wù)2探究經(jīng)費(fèi)的使用若購買A場館門票贈(zèng)送的C場館門票剛好夠參觀C場館的同學(xué)使用，求此次購買門票所需總金額的最小值．任務(wù)3擬定購買方案若參觀C場館的同學(xué)除了使用掉贈(zèng)送的門票外，還需購買部分門票，且讓去A場館的人數(shù)盡量的多，最終購買三種門票共花費(fèi)了1100元，請你直接寫出購買方案．購買方案門票類型ABC購買數(shù)量/張?zhí)剿魍瓿扇蝿?wù)二：如圖，在參觀航天展覽館活動(dòng)中，某班學(xué)生分成兩組，第一組由A場館勻速步行到B場館后原路原速返回，第二組由A場館勻速步行到B場館繼續(xù)前行到C場館后原路原速返回．兩組同時(shí)出發(fā)，設(shè)步行的時(shí)間為t（單位：h），兩組離B場館的距離為s（單位：km），圖中折線分別表示兩組學(xué)生s與t之間的函數(shù)關(guān)系．（1）B，C兩場館之間的距離為2km；（2）第二組步行的速度為10km/h；（3）求第二組由A場館出發(fā)首次到達(dá)B場館所用的時(shí)間．【分析】任務(wù)一．任務(wù)1．根據(jù)購買1張A場館門票和1張B場館門票共需90元，購買3張A場館門票和2張B場館門票共需230元列出二元一次方程組求解即可得到A場館和B場館的門票價(jià)格；任務(wù)2．若購買A場館門票贈(zèng)送的C場館門票剛好夠參觀C場館的同學(xué)使用，那么參觀A場館的人數(shù)和參觀C場館的人數(shù)相等．購買門票所需總金額＝購買A場館的門票費(fèi)用+購買B場館的門票費(fèi)用．根據(jù)到A場館參觀的人數(shù)要少于到B場館參觀的人數(shù)可得自變量的取值范圍，根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的符號及自變量的取值范圍可得此次購買門票所需總金額的最小值；任務(wù)3．設(shè)購買A場館門票m張，購買B場館門票n張，則購買C場館門票（40﹣m﹣n）張．根據(jù)最終購買三種門票共花費(fèi)了1100元可得二元一次方程，進(jìn)而根據(jù)去A場館的人數(shù)少于去C場館的人數(shù)，去A場館的人數(shù)盡量多求得合適的正整數(shù)解即可；任務(wù)二、（1）、由題意得：“W”形狀的函數(shù)圖象表示第二組同學(xué)離B場館的距離與步行的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，第二組由A場館勻速步行到B場館繼續(xù)前行到C場館后原路原速返回．到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)對應(yīng)y軸上的數(shù)是2，那么B，C兩場館之間的距離為2km；（2）、由圖象可得：第二組同學(xué)從A場館到B場館，步行了8千米，從B場館到C場館，步行了2千米，原路返回后，步行的總路程為20千米，除以總用時(shí)，即為第二組步行的速度；（3）、第二組由A場館出發(fā)首次到達(dá)B場館所用的時(shí)間＝第二組同學(xué)從A場館到B場館的路程÷第二組步行的速度，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：任務(wù)一．任務(wù)1：設(shè)A場館門票為x元/張，B場館門票為y元/張．由題意，得：．解得：．答：A場館門票的單價(jià)為50元，B場館門票的單價(jià)為40元．任務(wù)2：設(shè)購買A場館門票a張，則購買B場館門票（40﹣2a）張．依題意，得a＜40﹣2a．解得．設(shè)此次購買門票所需總金額為w元，則w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600．∵﹣30＜0，∴w隨a的增大而減?。?，且a為整數(shù)，∴當(dāng)a＝13時(shí)，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210（元），答：此次購買門票所需總金額的最小值為1210元．任務(wù)3：設(shè)購買A場館門票m張，購買B場館門票n張，則購買C場館門票（40﹣m﹣n）張．根據(jù)題意，得：50m+40n+15（40﹣m﹣n）＝1100．50m+40n+600﹣15m﹣15n＝1100．35m+25n＝500．25n＝500﹣35m．n＝20﹣m．∵m、n均為正整數(shù)，m足夠多，m＜40﹣m﹣n，∴m＝10，n＝6，c＝24．購買10張A場館門票，6張B場館門票，24張C場館門票．任務(wù)二．（1）由題意得：“W”形狀的函數(shù)圖象表示第二組同學(xué)離B場館的距離與步行的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，第二組由A場館勻速步行到B場館繼續(xù)前行到C場館后原路原速返回．到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)對應(yīng)y軸上的數(shù)是2，∴B，C兩場館之間的距離為2km．故答案為：2．（2）由題意得：第二組同學(xué)步行的路程為：2（8+2）＝20（km），步行用的時(shí)間為2小時(shí)，∴步行的速度為20÷2＝10（km/h）故答案為：10．（3）∵第二組從A場館出發(fā)首次到達(dá)B場館所走的路程為8km，第二組的速度是10km/h，∴第二組由A場館出發(fā)首次到達(dá)B場館所用的時(shí)間為8÷10＝0.8h．答：第二組由A場館出發(fā)首次到達(dá)B場館所用的時(shí)間為0.8小時(shí)．題型03一次函數(shù)與幾何的綜合解題大招：一次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合時(shí)，與誰結(jié)合，就想結(jié)合圖形具有的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征；【中考真題練】1．（2023?蘭州）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)P稱為直線EF的“伴隨點(diǎn)”．例如：如圖1，已知點(diǎn)A（1，2），B（3，2），P（2，2）在線段AB上，則點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”．（1）如圖2，已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），P是線段AB上一點(diǎn)，直線EF過G（﹣1，0），T（0，）兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P是直線EF的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖3，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥y軸，頂點(diǎn)A在y軸上且在BC上方，OC＝，點(diǎn)P是△ABC上一點(diǎn)，且點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形ABC的邊長；（3）如圖4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）為頂點(diǎn)的正方形ABCD上始終存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是直線EF：y＝﹣x+b的“伴隨點(diǎn)”，請直接寫出b的取值范圍．【分析】（1）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)可求出∠TGO＝30°且P到EF的距離為2，從而利于三角比可求出線段GP的長，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)等邊三角形△ABC的邊長為2a（0＜a＜），當(dāng)P在線段BC上時(shí)，P到x軸的距離最小，從而可得＝2a，求出a即可求出三角形的邊長；（3）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出正方形的邊長為1，即可求出P到EF的距離為，從而可得P既在正方形的邊上，也在到EF距離為的直線上，當(dāng)b≤1時(shí)，EF向上平移2個(gè)單位長度得l1，分別求出l1過A，C時(shí)b的值；當(dāng)b＞1時(shí)，EF向下平移2個(gè)單位長度得l1，分別求出l1過A，C時(shí)b的值，即可求出b的取值范圍．【解答】解：（1）AB線段上任意兩點(diǎn)距離的最大值為3﹣1＝2，即P到EF的距離為2，過P作PC⊥EF于點(diǎn)C，由題意知，GO＝1，TO＝，則tan∠TGO＝＝，∴∠TGO＝30°，∴GP＝＝＝4，∴P（3，0）．（2）設(shè)等邊三角形△ABC的邊長為2a（0＜a＜），則C（a，），△ABC上任意兩點(diǎn)距離的最大值即為2a，當(dāng)P在線段BC上時(shí)，P到x軸的距離最小，距離為，由題意知，＝2a，解得，a＝1或﹣1（舍去），所以此時(shí)等邊三角形ABC的邊長為2．（3）由題意知，正方形ABCD的邊長為1，所以正方形ABCD上任意兩點(diǎn)距離的最大值為＝，即正方形ABCD上始終存在點(diǎn)P，P到EF的距離為．則EF向上或者向下平移2個(gè)單位長度得到直線l1，l1與EF平行，且兩直線間的距離為，所以P既在l1上，又在正方形ABCD的邊上，即l1與正方形ABCD有交點(diǎn)．當(dāng)b≤1時(shí)，l1為y＝﹣x+b+2，當(dāng)l1過A時(shí)，b＝﹣1，當(dāng)l1過C時(shí)，b＝1，即﹣1≤b≤1；當(dāng)b＞1時(shí)，l1為y＝﹣x+b﹣2，當(dāng)l1過A時(shí)，b＝3，當(dāng)l1過C時(shí)，b＝5，即3≤b≤5；綜上所述，當(dāng)﹣1≤b≤1或3≤b≤5時(shí)，正方形ABCD上始終存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是直線EF：y＝﹣x+b的“伴隨點(diǎn)”．2．（2023?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交x軸于點(diǎn)A（8，0），交y軸于點(diǎn)B．直線y＝x﹣與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)C（6，a）．點(diǎn)M是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線交直線CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）以線段MN，MC為鄰邊作?MNQC，直線QC與x軸交于點(diǎn)E．①當(dāng)0≤m＜時(shí)，設(shè)線段EQ的長度為l，求l與m之間的關(guān)系式；②連接OQ，AQ，當(dāng)△AOQ的面積為3時(shí)，請直接寫出m的值．【分析】（1）根據(jù)直線y＝x﹣的解析式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；（2）①用含m的代數(shù)式表示出MN，再根據(jù)MN＝CQ得出結(jié)論即可；②根據(jù)面積得出l的值，然后根據(jù)①的關(guān)系式得出m的值即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C（6，a）在直線y＝x﹣上，∴a＝＝，∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)C（6，），∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；（2）①∵M(jìn)點(diǎn)在直線y＝﹣x+6上，且M的橫坐標(biāo)為m，∴M的縱坐標(biāo)為：﹣m+6，∵N點(diǎn)在直線y＝x﹣上，且N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：m﹣，∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，∵點(diǎn)C（6，），線段EQ的長度為l，∴|CQ|＝l+，∵|MN|＝|CQ|，∴﹣＝l+，即l＝（0≤m＜）；②∵△AOQ的面積為3，∴OA?EQ＝3，即，解得EQ＝，由①知，EQ＝6﹣，∴|6﹣|＝，解得m＝或，即m的值為或．3．（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOCB的邊OC在x軸上，∠AOC＝60°，OC的長是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交對角線OB于點(diǎn)D，直線AD分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長度的速度沿FE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求直線AD的解析式；（2）連接MN，求△MDN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以A，C，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥OC于H，解方程可得OC＝6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的長，得到點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）首先證明△EOD是等邊三角形，求出DO＝DF＝4，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)N在DF上，即0≤t≤2時(shí)，過點(diǎn)M作NP⊥OB于P，②當(dāng)點(diǎn)M在DE上，即2＜t≤4時(shí)，過點(diǎn)M作NT⊥OB于T，分別解直角三角形求出NP和NT，再利用三角形面積公式列式即可；（3）分情況討論：①當(dāng)AN是直角邊時(shí)，則CN⊥EF，過點(diǎn)M作NK⊥CF于K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)AN是對角線時(shí)，則∠ACN＝90°，過點(diǎn)M作NL⊥CF于L，證明∠NCF＝∠NFC，可得CL＝FL＝3，然后解直角三角形求出NL，再利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2，∴OC＝6，∵四邊形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，∴OA＝OC＝6，∠BOC＝∠AOC＝30°，∴CD＝OC?tan30°＝6×＝2，∴D（6，2），過點(diǎn)A作AH⊥OC于H，∵∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝3，AH＝OA?sin60°＝6×＝3，∴A（3，3），設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入A（3，3），D（6，2）得：，解得：，∴直線AD的解析式為y＝﹣；（2）解：由（1）知在Rt△COD中，，∠DOC＝30°，∴，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵直線與y軸交于點(diǎn)E，∴，∴OE＝OD，∴△EOD是等邊三角形，∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，，∴∠OFE＝30°＝∠DOF，∴，①當(dāng)點(diǎn)N在DF上，即時(shí)，由題意得：，，過點(diǎn)N作NP⊥OB于P，則NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4﹣2t）×＝6﹣t，∴S＝DM×NP＝（4﹣t）×（6﹣t）＝t2﹣9t+12；②當(dāng)點(diǎn)N在DE上，即時(shí)由題意得：DM＝OD﹣OM＝，DN＝2t﹣4，過點(diǎn)N作NT⊥OB于T，則NT＝DN?sin∠NDT＝DN?sin60°＝（2t﹣4）×＝，∴S＝＝；綜上，S＝；（3）解：存在，分情況討論：①如圖，當(dāng)AN是直角邊時(shí)，則CN⊥EF，過點(diǎn)N作NK⊥CF于K，∵∠NFC＝30°，，∴∠NCK＝60°，，∴CF＝12﹣6＝6，∴，∴CK＝CN×cos60°＝3×＝，NK＝CN×sin60°＝3×＝，∴將點(diǎn)N向左平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)C，∴將點(diǎn)A向左平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)Q，∵，∴Q（，）；②如圖，當(dāng)AN是對角線時(shí)，則∠ACN＝90°，過點(diǎn)N作NL⊥CF于L，∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC，∴CL＝FL＝CF＝3，∴NL＝CL?tan30°＝3×＝，∴將點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)N，∴將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)Q，∵，∴Q（6，4）；∴存在一點(diǎn)Q，使得以A，C，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或（6，4）．【中考模擬練】1．（2024?潮陽區(qū)校級一模）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為2．【分析】連接OP、OQ．根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，線段OP最短，即線段PQ最短．【解答】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短；∵一次函數(shù)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴A（0，3），當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，∴B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴AB＝＝6，∴OP＝AB＝3，∴PQ＝＝2．故答案為：2．2．（2024?邯鄲模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，﹣2），直線AB與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式及線段AC的長；（2）點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D．①請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；②在直線BD上找點(diǎn)E，使△ACE是直角三角形，請直接寫出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或7或3+或3﹣．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；表示出線段OA，OC，利用勾股定理即可求得線段AC的長度；（2）①利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征解答即可；②分三種情況討論解答，當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)和當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，求出直線EC，AE的解析式，令y＝﹣2，即可求得結(jié)論；當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥FE，交FE的延長線于點(diǎn)G，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段AF，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x﹣3；令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），∴OA＝6，∴AC＝＝＝3；（2）①∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱，∴D（﹣2，﹣2）；故答案為：（﹣2，﹣2）；②當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，如圖，∵EC⊥AC，∴直線EC的解析式為y＝﹣2x﹣3，令y＝﹣2，則﹣2x﹣3＝﹣2，∴x＝﹣，∴E（，﹣2）；當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，如圖，∵EC⊥AC，∴設(shè)直線EC的解析式為y＝﹣2x+m，∴0＝﹣2×6+m＝0，∴m＝12，∴直線EC的解析式為y＝﹣2x+12，令y＝﹣2，則﹣2＝﹣2x+12，∴x＝7，E（7，﹣2）；當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥FE，交FE的延長線于點(diǎn)G，∵∠AEC＝90°，∴∠FEA+∠CEG＝90°，∵CG⊥FE，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∠GCE＝∠FEA，∵∠CGE＝∠AFE＝90°，∴△CGE∽△EFA，∴．由題意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，∴．∴AF＝﹣3．∴OF＝3+，∴E（3+，﹣2），同理可求當(dāng)點(diǎn)E在y軸左側(cè)時(shí)，E（3﹣，﹣2）．綜上，在直線BD上找點(diǎn)E，使△ACE是直角三角形，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或7或3+或3﹣．故答案為：或7或3+或3﹣．3．（2024?邯鄲模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A（﹣4，1），B（1，6）兩點(diǎn)，在線段AB處放置一平面鏡．從點(diǎn)C（﹣1，0）發(fā)出一束光線照向平面鏡AB上的動(dòng)點(diǎn)P．（1）求AB所在直線的解析式；（2）若光線CP的解析式為y＝﹣3x+b，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若光線CP經(jīng)過AB的反射后落在x軸上的點(diǎn)D（﹣2，0）處，直接寫出光線從點(diǎn)C出發(fā)經(jīng)點(diǎn)P反射后到達(dá)點(diǎn)D的路徑長．【分析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+t，把A，B坐標(biāo)代入解析式，用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）把C（﹣1，0）代入y＝﹣3x+b即可得出b的值；再聯(lián)立y＝x+5解方程組，即可求出P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)光反射原理，先找到點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′，再連接C′D交AB于點(diǎn)P，求出直線DC′的長即可．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+t（k≠0），∵A（﹣4，1），B（1，6），則，解得，∴直線AB的解析式為y＝x+5；（2）∵直線CP：y＝﹣3x+b過點(diǎn)C（﹣1，0），∴3+b＝0，∴b＝﹣3，即直線CP：y＝﹣3x﹣3，聯(lián)立方程組，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3）；（3）如圖：作出點(diǎn)C關(guān)于直線y＝x+5的對稱點(diǎn)C′，根據(jù)光反射原理，反射光線經(jīng)過點(diǎn)C′，連接C′D交AB于P，∴PC′＝PC，CC′⊥AB，∵直線AB的解析式為y＝x+5，∴E（﹣5，0），F(xiàn)（0，5），∴∠PEC＝45°，∵C（﹣1，0），∴Q（﹣3，2），∴C′（﹣5，4），∴光線從點(diǎn)C出發(fā)經(jīng)點(diǎn)P反射后到達(dá)點(diǎn)D的路徑長為CP+PD＝C′P+PD＝C′D，∵點(diǎn)D（﹣2，0），∴C′D＝＝5，∴光線從點(diǎn)C出發(fā)經(jīng)點(diǎn)P反射后到達(dá)點(diǎn)D的路徑長為5．4．（2024?龍湖區(qū)一模）綜合運(yùn)用（1）如圖1，∠ACE＝90°，頂點(diǎn)C在直線BD上，過點(diǎn)A作AB⊥BD于點(diǎn)B，過點(diǎn)E作ED⊥BD于點(diǎn)D，當(dāng)BC＝DE時(shí)，判斷線段AC與CE的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）（2）如圖2，直線l1：y＝x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，將直線l1繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，求直線l2的函數(shù)解析式．（3）如圖3，四邊形ABCO為長方形，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，﹣6），點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，D是直線y＝﹣2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限，若△APD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)ASA可判定△ACB≌△CED，即可得出結(jié)論；（2）過過點(diǎn)A做AC⊥AB交直線l2于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，根據(jù)△ADC≌△BOA，求得C（﹣7，3），最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（3）根據(jù)△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D是直線y＝﹣2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，﹣2x+6），分別根據(jù)△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，又∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，∴∠ACB＝∠CED，∵BC＝DE，∴△ACB≌△CED（ASA），∴AC＝CE；（2）∵直線l1：y＝x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，∴B（0，4）、A（﹣3，0），如圖2，過點(diǎn)A做AC⊥AB交直線l2于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，∴∠BAO+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ACD，∵將直線l1繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，∴∠ABC＝45°，∴BC＝CA，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴CD＝AO＝3，AD＝BO＝4，∴OD＝OA+AD＝3+4＝7，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，3），設(shè)l2的解析式為y＝kx+b，將B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，∴l(xiāng)2的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+4；（3）當(dāng)點(diǎn)D是直線y＝﹣2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，﹣2x+6），則OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF＝AE，即：12﹣2x＝8﹣x，解得x＝4，∴﹣2x+6＝﹣2，∴D（4，﹣2），此時(shí)，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合題意；當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，﹣2x+6），則OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，同理可得：△ADE≌△DPF，則AE＝DF，即：2x﹣12＝8﹣x，解得x＝，∴﹣2x+6＝﹣，∴D（，﹣），此時(shí)，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF﹣BF＝＜6，符合題意，綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，﹣2）或，﹣）．考點(diǎn)二：反比例函數(shù)反比例函數(shù)在中考中的占比比一次函數(shù)更大，也常和一次函數(shù)的圖象結(jié)合考察；在填空題中，對反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征和k的幾何意義考察的比較多，而且難度逐漸增大，考題常結(jié)合其他規(guī)則幾何圖形的性質(zhì)一起出題，多數(shù)題目的技巧性較強(qiáng)，復(fù)習(xí)中需要多加注意。另外解答題中還會(huì)考察反比例函數(shù)的解析式的確定，也是常和一次函數(shù)結(jié)合，順帶也會(huì)考察其與不等式的關(guān)系等。題型01反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 易錯(cuò)點(diǎn)：在說反比例函數(shù)的增減性之前，必須帶上自變量的取值范圍，不然就是錯(cuò)的解題大招：當(dāng)說明“點(diǎn)在函數(shù)圖象上”時(shí)，立刻想“點(diǎn)的坐標(biāo)符合其解析式”；【中考真題練】1．（2023?泰州）函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表所示，則下列函數(shù)表達(dá)式中，符合表中對應(yīng)關(guān)系的可能是（）x124y421A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0） C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的坐標(biāo)特征即可判斷．【解答】解：A、若直線y＝ax+b過點(diǎn)（1，4），（2，2），則，解得，所以y＝﹣2x+6，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣2，故（4，1）沒在直線y＝ax+b上，故A不合題意；B、由表格可知，y與x的每一組對應(yīng)值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數(shù)，a＝4＞0，不合題意；C、把表格中的函數(shù)y與自變量x的對應(yīng)值代入y＝ax2+bx+c得，解得，符合題意；D、由C可知，不合題意．故選：C．2．（2023?浙江）已知點(diǎn)A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出y1，y2，y3的大小關(guān)系．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝，∴該函數(shù)的圖象位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴y2＜y1＜y3，故選：B．3．（2023?通遼）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由x1＜0＜x2，可判斷y1＞0＞y2，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，而x1＜0＜x2，∴點(diǎn)A（x1，y1）在第二象限反比例函數(shù)的圖象上，B（x2，y2）在第四象限反比例函數(shù)的圖象上，∴y1＞0＞y2，∴y1﹣y2＞0，故選：D．4．（2023?牡丹江）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在y軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和AD的中點(diǎn)E，若AB＝2，則k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及結(jié)合已知表示出E，C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出等式求出答案．【解答】解：由題意可得：設(shè)C（2，a），則E（1，a+2），可得：2a＝1×（a+2），解得：a＝2，故C（2，2），則k＝2×2＝4．故選：B．5．（2023?邵陽）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）【分析】由題意，首先根據(jù)B的坐標(biāo)求出k，然后可設(shè)E（a，），再由正方形ADEF，建立關(guān)于a的方程，進(jìn)而得解．【解答】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴4＝．∴k＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，∴可設(shè)（a，）．∴AD＝a﹣2＝ED＝．∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故選：D．6．（2023?湖北）在反比例函數(shù)y＝的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，有y1＜y2，則k的取值范圍是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：∵當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，有y1＜y2，∴反比例函數(shù)y＝的圖象位于一、三象限，4﹣k＞0，解得k＜4，故選：C．7．（2023?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3），D是OA的中點(diǎn)，AC，BD交于點(diǎn)E，函數(shù)的圖象過點(diǎn)B．E．且經(jīng)過平移后可得到一個(gè)反比例函數(shù)的圖象，則該反比例函數(shù)的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)E，求出a和b，再由所得函數(shù)解析式即可解決問題．【解答】解：由題知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y1＝k1x+b1，則，解得，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，所以D（3，0），同理可得，直線BD的函數(shù)解析式為y2＝x﹣3，由得，x＝4，則y＝4﹣3＝1，所以點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，1）．將B，E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，，解得．所以，則，將此函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為：．故選：D．8．（2023?深圳）如圖，Rt△OAB與Rt△OBC位于平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函數(shù)y＝（k≠0）恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則k＝4．【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的長，再求出∠COx的度數(shù)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得k的值．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，在Rt△OBC中＝，即＝，∴OC＝4，在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，＝，即＝，∴OE＝2，∴點(diǎn)C（2，2），∴k＝2×2＝4．故答案為：4．9．