重難點07 圓中的計算及其綜合（原卷版）-2024中考數(shù)學查缺補漏

重難點07圓中的計算及其綜合考點一：圓中的角度計算圓中角度的相關考點主要是圓周角定理和圓心角定理，這兩個定理都有對應推論，考察難度不大，題型基本以選擇、填空題為主，所以重點是要把這兩個定理及其推論熟練掌握即可！題型01圓中常見的角度計算易錯點：圓中角度定理都有一個大前提——在同圓或等圓中，特別是一些概念性選擇題，沒有這個前提的話，對應結論是不正確的。解題大招01：圓中角度計算口訣——圓中求角度，同弧或等?。睆剿鶎A周角是90度圓心角定理、圓周角定理以及其推論為圓中角的計算提供了等量關系，圓中的等角也是解決角度問題中常見的轉化關系，所以特別要注意同弧或等弧所對的圓周角相等，以及直徑所對圓周角=90°的固定關系解題大招01：圓中求角度常用的其他規(guī)律：圓內(nèi)接四邊形的一個外角=其內(nèi)對角折疊弧過圓心→必有30°角以等腰三角形的腰長為直徑的圓→必過底邊中點圓中出現(xiàn)互相垂直的弦，常作兩弦心距→必有矩形（當弦相等，則得正方形）【中考真題練】1．（2023?河南）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．110°2．（2023?吉林）如圖，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半徑，點P為OB上任意一點（點P不與點B重合），連接CP．若∠BAC＝70°，則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．70° B．105° C．125° D．155°3．（2023?棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（）A．32° B．42° C．48° D．52°4．（2023?眉山）如圖，AB切⊙O于點B，連結OA交⊙O于點C，BD∥OA交⊙O于點D，連結CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．40° D．45°5．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE于點F，則∠AFD＝．【中考模擬練】1．（2024?連云區(qū)一模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點P是劣弧上一點（點P不與點C重合），則∠CPD＝（）A．45° B．36° C．35° D．30°2．（2024?岱岳區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是的中點，∠BAC＝40°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．40° B．25° C．40°． D．30°3．（2024?甘井子區(qū)校級一模）如圖，在⊙O中，OA、OB、OC為半徑，連接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，則∠OAC的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°4．（2024?連云區(qū)一模）如圖，一塊直角三角板的30°角的頂點P落在⊙O上，兩邊分別交⊙O于A，B兩點，連結AO，BO，則∠AOB的度數(shù)°．5．（2024?新城區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，M，N，K是切點，連接OA，OC．交⊙O于E，D兩點．點F是上的一點，連接DF，EF，則∠EFD的度數(shù)是．題型02“知1得4”模型的常見題型解題大招：圓中模型“知1得4”由圖可得以下5點：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5個結論，知道其中任意1個，剩余的4個都可以作為結論使用?！局锌颊骖}練】1．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，2．（2023?臺灣）圖1為一圓形紙片，A、B、C為圓周上三點，其中AC為直徑，今以AB為折線將紙片向右折后，紙片蓋住部分的AC，而AB上與AC重疊的點為D，如圖2所示，若＝35°，則的度數(shù)為何（）A．105° B．110° C．120° D．145°3．（2023?深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點，∠BAC的角平分線與⊙O交于點D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝°．4．（2023?煙臺）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為．【中考模擬練】1．（2024?惠城區(qū)模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點D是弧AC的中點，若∠BAC＝44°，則∠DAC等于（）A．22° B．44° C．23° D．46°2．（2024?漢臺區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，OD∥AC交⊙O于點D，連接AD、CD，若∠CAD＝125°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°3．（2024?西山區(qū)一模）如圖，點A，B，C在⊙O上，AB平分∠CAO，∠C＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°4．（2024?碑林區(qū)校級二模）如圖，⊙O半徑長2cm，點A、B、C是⊙O三等分點，點D為圓上一點，連接AD，且AD＝2cm，CD交AB于點E，則∠BED＝（）A．75° B．65° C．60° D．55°5．（2024?泗縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是半圓上一點，CD平分∠ACB交⊙O于點D，與AB交于點G，過點A作AE⊥CD于點E，AE與⊙O交于點F，連接AD，CF．若AG＝CF，則∠D的度數(shù)為．考點二：圓中的長度計算圓中長度的計算主要考察的是圓的垂徑定理及其推論、垂徑定理的應用等，相對綜合點的問題還會和特殊三角形或者相似三角形等知識點結合。而求弧長及扇形面積則主要考察對應公式，綜合難度不大，小心審題即可！題型01圓中常見的長度計算易錯點01：弧長與扇形面積：不規(guī)則圖形面積想割補法常用公式：解題大招01：圓中線段計算口訣——“圓中求長度，垂徑加勾股”弦長、半徑、直徑是圓中的主要線段，相關計算主要利用垂徑定理及其推論，構造“以半徑、弦心距、弦長一半為三邊的直角三角形”，通過勾股定理列方程求解；解題大招02：常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角=90°解題大招03：圓中模型“知2得3”由圖可得以下5點：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過圓心O；④；⑤；以上5個結論，知道其中任意2個，剩余的3個都可以作為結論使用?！局锌颊骖}練】1．（2023?永州）如圖，⊙O是一個盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為cm．2．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（），點O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，則的長為（）A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm3．（2023?青島）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長為（）A． B． C．π D．4．（2023?東營）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”轉化為現(xiàn)在的數(shù)學語言表達就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長度為寸．5．（2023?鄂州）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，OB長為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是（）A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π6．（2023?湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣7．（2023?河北）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB＝50cm，如圖1和圖2所示，MN為水面截線，GH為臺面截線，MN∥GH．計算：在圖1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于點C．（1）求OC的長．操作：將圖1中的水槽沿GH向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當∠ANM＝30°時停止?jié)L動．如圖2．其中，半圓的中點為Q，GH與半圓的切點為E，連接OE交MN于點D．探究：在圖2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長交GH于點F，求線段EF與的長度，并比較大小．【中考模擬練】1．（2024?上城區(qū)一模）如圖，在⊙O中，將沿弦AB翻折，使恰好經(jīng)過圓心O，C是劣弧AB上一點．已知AE＝2，tan∠CBA＝，則AB的長為（）A． B．6 C． D．2．（2024?連云區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝60°，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°后得到Rt△DEC，點B經(jīng)過的路徑為弧BE，將線段AB繞點A順時針旋轉60°后，點B恰好落在CE上的點F處，點B經(jīng)過的路徑為弧BF，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．3．（2024?歷城區(qū)一模）如圖，正八邊形ABCDEFGH的邊長為3，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為.（結果保留π）4．（2024?豐臺區(qū)一模）如圖，A，B，C是⊙O上的點，OA⊥BC，點D在優(yōu)弧上，連接BD，AD．若∠ADB＝30°，，則⊙O的半徑為．5．（2024?玄武區(qū)校級模擬）如圖，在半圓O中，點C在半圓O上，點D在直徑AB上，將半圓O沿過BC所在的直線折疊，使恰好經(jīng)過點D．若，BD＝1，則半圓O的直徑為．6．（2024?青浦區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB與CD相交于點E，弦AD與弦CD相等，且．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）如果OE＝1，求AD的長．7．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，CO的延長線交AB于點D．（1）求證：AO平分∠BAC；（2）若BC＝12，sin∠BAC＝，求AC和CD的長．題型02圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)易錯點：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，但還有一個推論是圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于與它相鄰內(nèi)角的對角【中考真題練】1．（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°2．（2023?赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°3．（2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是°．4．（2023?北京）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；（2）過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長．【中考模擬練】1．（2024?渭城區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，OD，若OD⊥AC，∠B＝64°，則∠DAC的度數(shù)是（）A．36° B．32° C．34° D．26°2．（2024?浙江模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若所對圓心角的度數(shù)為80°，則∠C＝（）A．110° B．120° C．135° D．140°3．（2024?綏棱縣校級一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，，BC的長為．4．（2024?順城區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，DE∥BC，交BO的延長線于點E，且BE平分∠ABD．（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；（2）若AD＝8，tan∠BDE＝，求AC的長．5．（2024?涼州區(qū)校級模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分線交⊙O于點D，連接DB，DC，DB交AC于點F．（1）若∠EAD＝75°，求的度數(shù)．（2）求證：DB＝DC．（3）若DA＝DF，當∠ABC＝α，求∠DFC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．考點三：圓與直線的位置關系圓與直線的位置關系有三種，直線與圓無交點直線與圓相離；直線與圓有一個交點直線與圓相切；直線與圓有2個交點直線與圓相交；其中，切線的性質(zhì)與判定是該考點的重點，特別是綜合問題，基本都與切線有關，需要加以重視。題型01切線的性質(zhì)與判定解題大招：①切線的判定：常用方法→有切點，連半徑，證垂直！無切點，作垂直，證半徑！☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉化而來的，故有“想證⊥，先找⊥”②切線的性質(zhì)：常用方法→見切點，連半徑，得垂直！因切線所得結論必為⊥，故常以直角三角形來展開后續(xù)問題。【中考真題練】1．（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（）A．2 B．5 C．6 D．82．（2023?重慶）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點，連接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，則OC的長度是（）A．3 B． C． D．63．（2023?山西）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設的重要標志．如圖是高鐵線路在轉向處所設計的圓曲線（即圓弧），高鐵列車在轉彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線的長為（）A． B． C． D．4．（2023?湘西州）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝10，PC＝12，則sin∠CAD等于（）A． B． C． D．5．（2023?無錫）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，OA與BC交于點D，AB＝AD，若∠C＝20°，則∠OAB等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°6．（2023?鎮(zhèn)江）已知一次函數(shù)y＝kx+2的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，以坐標原點O為圓心，r為半徑作⊙O．若對于符合條件的任意實數(shù)k，一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與⊙O總有兩個公共點，則r的最小值為．7．（2023?江西）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB為直徑的⊙O與AC相交于點D，E為上一點，且∠ADE＝40°．（1）求的長；（2）若∠EAD＝76°，求證：CB為⊙O的切線．8．（2023?宜賓）如圖，以AB為直徑的⊙O上有兩點E、F，＝，過點E作直線CD⊥AF交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C，過C作CM平分∠ACD交AE于點M，交BE于點N．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：EM＝EN；（3）如果N是CM的中點，且AB＝9，求EN的長．9．（2023?常德）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，C是的中點，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的長．10．（2023?眉山）如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，AE平分∠BAC，過點E作ED⊥AC于點D，延長DE交AB的延長線于點P．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）若，BP＝4，求CD的長．【中考模擬練】1．（2024?襄城縣一模）如圖，線段AB是⊙O的直徑，⊙O交線段BC于D，且D是BC中點，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結論正確的個數(shù)是（）①CE?CA＝CD?CB；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切線；⑤AD2＝AE?AB．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2024?潼南區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓恰好與AC相切于一點D，交BC于點E．若∠A＝35°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．35° B．55° C．62.5° D．70°3．（2024?澤州縣二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，過點O作OE∥BC，交CD于點E．若∠BAC＝30°，則∠OEC的度數(shù)為（）A．35° B．30° C．25° D．204．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）不倒翁是一種受人喜愛的兒童玩具，小華在手工課上用一球形物體做了一個戴帽子的不倒翁（如圖1），圖2是從正面看到的該不倒翁的形狀示意圖（設圓心為O）．已知帽子的邊緣PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，若該圓半徑是3cm，tanP＝，則的長是（）A．6πcm B．4πcm C．3πcm D．2πcm5．（2024?石阡縣模擬）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOD＝30°，半徑為2cm的⊙P的圓心在直線AB上，且位于點O左側10cm處．若⊙P以2cm/s的速度由A向B的方向移動，則s后，⊙P與直線CD相切．6．（2024?光明區(qū)二模）如圖，過圓外一點P作⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的直徑．連接PO，過點A作PO的垂線，垂足為D，同時交⊙O于點C，連接BC，PC．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若BC＝2，，求切線PA的長．題型02切線的綜合應用解題大招：常見輔助線①連半徑——有關切線時，連接的是過切點的半徑②作弦心距——構造Rt△，進而用知2得3——或做兩條弦心距，構造矩形或正方形③連接弦——使直徑所對的圓周角=90°，進而在Rt△中展開問題【中考真題練】1．（2023?紹興）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長．2．（2023?廣安）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E是BC的中點，連接OE、DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的長；（3）求證：2DE2＝CD?OE．3．（2023?齊齊哈爾）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點E是斜邊AC上一點，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過點D，交AB于點F，連接DF．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BD＝5，，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）4．（2023?遂寧）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AD＝CD，過點D的直線l交BA的延長線于點M．交BC的延長線于點N且∠ADM＝∠DAC．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）求證：AD2＝AB?CN；（3）當AB＝6，sin∠DCA＝時，求AM的長．【中考模擬練】1．（2024?陽谷縣一模）把量角器和含30°角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處，短直角邊過量角器外沿刻度120處（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．則陰影部分的面積為．2．（2024?章丘區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC，作OD垂直于AB交AC于點E，交過點C的切線于點D．（1）求證：DE＝DC；（2）若，求CD的長．3．（2024?武漢模擬）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點O為邊BC中點，以點O為圓心的圓與AC相切于點D．（1）如圖1，求證：AB是⊙O的切線；（2）若⊙O與BC交于點G，過點G作AC的垂線，垂足為點F，交⊙O于點E，連AE交BC于點H，如圖2．求的值．4．（2024?亭湖區(qū)模擬）（1）問題研究：如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，C均落在格點上，點B在網(wǎng)格線上．以AB為直徑的半圓的圓心為O，在圓上找一點E，使AE平分∠CAB請用無刻度的直尺作圖；（2）嘗試應用：如圖2，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O切線，AC＝BC，AB交⊙O于P點．請用無刻度直尺作出BC的中點D；（3）問題解決：請在（2）償試應用的條件下，解決以下問題：①連接DP，判斷DP與⊙O的位置關系并證明；②若AC＝8，求DP，CD與⊙O圍成的圖形面積．考點四：圓的綜合證明問題圓的綜合問題包含初中數(shù)學中《圓的基本性質(zhì)》和《直線與圓的位置關系》兩大部分，題目一般較為綜合，常和三角形相似或三角函數(shù)結合考察。題型一般為解答題，考生在復習這塊內(nèi)容時，不僅需要熟悉圓的所以性質(zhì)，更需要熟悉常與之結合的幾何問題的方法技巧。題型01圓的綜合證明問題【中考真題練】1．（2023?河北）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB＝50cm，如圖1和圖2所示，MN為水面截線，GH為臺面截線，MN∥GH．計算：在圖1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于點C．（1）求OC的長．操作：將圖1中的水槽沿GH向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當∠ANM＝30°時停止?jié)L動．如圖2．其中，半圓的中點為Q，GH與半圓的切點為E，連接OE交MN于點D．探究：在圖2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長交GH于點F，求線段EF與的長度，并比較大?。?．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于⊙O的弦AB和⊙O外一點C給出如下定義：若直線CA，CB中一條經(jīng)過點O，另一條是⊙O的切線，則稱點C是弦AB的“關聯(lián)點”．（1）如圖，點A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在點C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“關聯(lián)點”是；②若點C是弦AB2的“關聯(lián)點”，直接寫出OC的長；（2）已知點M（0，3），N（，0），對于線段MN上一點S，存在⊙O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關聯(lián)點”．記PQ的長為t，當點S在線段MN上運動時，直接寫出t的取值范圍．3．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點F，交線段OB于點G（不與點O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結論．4．（2023?呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點D，點M為邊BC的中點，連接DM．（1）求證：DM是⊙O的切線；（2）點P為直線BC上任意一動點，連接AP交⊙O于點Q，連接CQ．①當tan∠BAP＝時，求BP的長；②求的最大值．5．（2023?臺州）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對應關系，用直線上點的位置刻畫圓上點的位置．如圖，AB是⊙O的直徑，直線l是⊙O的切線，B為切點．P，Q是圓上兩點（不與點A重合，且在直徑AB的同側），分別作射線AP，AQ交直線l于點C，點D．（1）如圖1，當AB＝6，弧BP長為π時，求BC的長；（2）如圖2，當，時，求的值；（3）如圖3，當，BC＝CD時，連接BP，PQ，直接寫出的值．6．（2023?樂山）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動．【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：如圖1，將一個三角形紙板△ABC繞點A逆時針旋轉θ到達的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵．故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（