2024年高考數(shù)學(xué)臨考押題卷02-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)臨考押題（全解全析）

第第頁(yè)2024年高考數(shù)學(xué)臨考押題卷02（新高考通用）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由一元二次不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，集合的交集運(yùn)算得到結(jié)果即可.【詳解】集合，因?yàn)?，所以，所以集合，所以，故選：B.2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為.故選：B.3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把等比數(shù)列各項(xiàng)用基本量和表示，根據(jù)已知條件列方程即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得：，即：，所以，，又，所以，，所以，.故選：A.4．若，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，即可求解.【詳解】由，，，可得，所以，則.故選：B.5．關(guān)于函數(shù)（，，），有下列四個(gè)說(shuō)法：①的最大值為3②的圖象可由的圖象平移得到③的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱若有且僅有一個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可得②和③相互矛盾，然后分別驗(yàn)證①②④成立時(shí)與①③④成立時(shí)的結(jié)論，即可得到結(jié)果.【詳解】說(shuō)法②可得，說(shuō)法③可得，則，則，②和③相互矛盾；當(dāng)①②④成立時(shí)，由題意，，，．因?yàn)?，故，，即，；說(shuō)法①③④成立時(shí)，由題意，，，，則，故不合題意.故選：D.6．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓與軸切于點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn)，其中在第二象限，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求出線段的長(zhǎng)度，再求出直線的傾斜角，即可求得與的的夾角，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由題意，圓心，到直線距離為，所以，直線的斜率為，則其傾斜角為，則與的的夾角為，所以.故選：D．

7．祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家．祖暅原理用現(xiàn)代語(yǔ)言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．例如，可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為的圓柱與半徑為的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為，高為的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用平行于半球底面的平面去截半徑為的半球，且球心到平面的距離為，則平面與半球底面之間的幾何體的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求得面截圓錐時(shí)所得小圓錐的體積和平面與圓柱下底面之間的部分的體積，結(jié)合祖暅原理可求得結(jié)果.【詳解】平面截圓柱所得截面圓半徑，平面截圓錐時(shí)所得小圓錐的體積，又平面與圓柱下底面之間的部分的體積為根據(jù)祖暅原理可知：平面與半球底面之間的幾何體體積.故選：C.8．定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值進(jìn)而得，化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】設(shè)，則，得，設(shè)，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得即為題意所求.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則【答案】ACD【分析】寫(xiě)出的表達(dá)式，根據(jù)，，得到或，由此即可判斷AB，進(jìn)一步根據(jù)遞增數(shù)列的定義分別與的關(guān)系即可判斷CD.【詳解】由題意可知，且，，故有且（否則若，則的符號(hào)會(huì)正負(fù)交替，這與，，矛盾），也就是有或，無(wú)論如何，數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若數(shù)列是遞增數(shù)列，即，由以上分析可知只能，故C正確；對(duì)于D，若數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然不可能是，（否則的符號(hào)會(huì)正負(fù)交替，這與數(shù)列是遞增數(shù)列，矛盾），從而只能是，且這時(shí)有，故D正確.故選：ACD.10．有n（，）個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，…，n的盒子，1號(hào)盒子中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，其余盒子中均有1個(gè)白球和1個(gè)黑球．現(xiàn)從1號(hào)盒子任取一球放入2號(hào)盒子；再?gòu)?號(hào)盒子任取一球放入3號(hào)盒子；…；以此類推，記“從號(hào)盒子取出的球是白球”為事件（，2，3，…，n），則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由概率的公式即可判斷AC，由條件概率的公式即可判斷B，由與的關(guān)系，即可得到，從而判斷D【詳解】對(duì)A，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故，所以B正確；對(duì)C，，所以C正確；對(duì)D，由題意：，所以，，，所以，所以，則，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．11．拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則（

）A．若，則直線的斜率為或B．若，則C．若和不平行，則D．若，則的最大值為【答案】ABD【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷B選項(xiàng)；利用三角形三邊關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用余弦定理、基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，對(duì)于A選項(xiàng)，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，因?yàn)?，則在直線上，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此時(shí)，直線的斜率為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在直線上，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)和不平行時(shí)，則、、三點(diǎn)不共線，所以，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，由C選項(xiàng)可得，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，D對(duì).故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．的展開(kāi)式中的系數(shù)為.【答案】【分析】借助二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)，有，則當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，則有，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.13．設(shè)雙曲線C：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為．【答案】【分析】由直線EF與漸近線方程聯(lián)立求出E的坐標(biāo)，代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出離心率．【詳解】直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，∴EF中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又M點(diǎn)在雙曲線上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，得，化簡(jiǎn)得，∴，．故答案為：．14．已知，且，，則．【答案】/【分析】變形后得到，利用輔助角公式得到，得到，兩邊平方后得到，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出.【詳解】由題可知，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，故，所以，兩邊平方后得，故，．故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若為銳角三角形，，求b的取值范圍．【答案】(1);(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）利用正弦定理、和角的正弦公式化簡(jiǎn)，再利用正切函數(shù)的取值范圍求解即得.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，則，即，而，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由為銳角三角形，得，解得，則，,則，所以b的取值范圍是.16．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，.(1)證明：//平面BDM；(2)求平面AMB與平面BDM的夾角.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）連接交于，連接,根據(jù)條件證明//即得；（2）先證明平面，依題建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，分別求得平面AMB與平面BDM的法向量，最后由空間向量的夾角公式求解即得.【詳解】（1）如圖，連接交于，連接,由是的中點(diǎn)可得，易得與相似，所以，又，所以//，又平面平面，所以//平面；（2）因平面平面，且平面平面，由，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)可得又平面，故得平面.如圖，取的中點(diǎn)為,分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，則，.設(shè)平面的法向量為，由，則，故可??；設(shè)平面的法向量為，由，則，故可取.故平面與平面的夾角余弦值為，所以平面與平面的夾角為.17．已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過(guò)200V；②在200V~240V之間③超過(guò)240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．附：若，取，．【答案】(1)0.09；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計(jì)算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由二項(xiàng)分布的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記電壓“不超過(guò)200V”、“在200V~240V之間”、“超過(guò)240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因?yàn)?，所以，，．所以，所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以最大．因此當(dāng)時(shí)，最大．18．已知點(diǎn)是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為1．（i）求橢圓的方程；（ii）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，直線與交于C，D兩點(diǎn)，與交于E，G兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值．(2)若橢圓的短軸長(zhǎng)為2，直線AQ，BQ與直線分別交于M，N兩點(diǎn)，若與的面積之比的最小值為，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)（i）；（ii）(2)【分析】（1）（i）根據(jù)，求出，再由點(diǎn)在橢圓上，求出，即可求解；（ii）直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理分別求出、,求出的值，再分與方向相同和與方向相反兩種情況求解即可.（2）由三點(diǎn)共線分別求出、，從而表示出，利用換元得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，得到方程解出，進(jìn)一步求解點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）（i）根據(jù)已知條件，有，解得，又在橢圓上，將的坐標(biāo)代入橢圓方程有：，解得，所以橢圓的方程為：.（ii）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，所以拋物線方程為；直線與橢圓聯(lián)立，整理有：，由韋達(dá)定理得：，，；直線與拋物線聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得：，，；，若與方向相同，則，若與方向相反，則，故.（2）橢圓的短軸長(zhǎng)為2，所以橢圓方程為：，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，解得；同理：，，三點(diǎn)共線，所以，解得；設(shè)，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以；又設(shè)，，所以，因?yàn)?，令，，此時(shí)，所以，其中，，因?yàn)?，所以為開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，其中，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為：，所以有最小值為，令，解得或，因?yàn)?，所以（舍去），所以，解得，此時(shí)，，又，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵為求出，利用換元法將化為，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求解.19．已知，函數(shù)，．(1)若，證明：；(2)若，求a的取值范圍；(3)設(shè)集合，對(duì)于正整數(shù)m，集合，記中元素的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值即可證明；（2）對(duì)的值分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值，判斷能否滿足；（3）利用（1）中結(jié)論，，通過(guò)放縮并用裂項(xiàng)相消法求，有，可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，．設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，因此．（2）函數(shù)，，方法一：，當(dāng)時(shí)，注意到，故，因此，由（1）得，因此，所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，，因?yàn)?，所以存在，使得，則當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；綜上，．方法二：，當(dāng)時(shí)，注意到，故，因此，由（1）得，因此，所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；當(dāng)時(shí)，先證明當(dāng)時(shí)，.令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，有，所以在上單調(diào)遞減，有，因此當(dāng)時(shí)，.又由（1）得，此時(shí)，則且，當(dāng)時(shí)，。所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；綜上，．所以a的取值范圍為；（3）由（1）可知時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，，則，即，，則，得，又，