2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型4 多邊形證明 類型2 特殊四邊形證明（專題訓(xùn)練）（教師版）

PAGE類型二特殊四邊形證明（專題訓(xùn)練）1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形SKIPIF1<0中，點E、F分別在邊SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】見解析【分析】平行四邊形的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，進而推出SKIPIF1<0，得到四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，即可得到SKIPIF1<0．【詳解】解：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點E；SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點F．求證：SKIPIF1<0．

【答案】證明見解析【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0．【詳解】證明：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目已知條件熟練運用平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3.如圖，點E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且BE＝DF．求證：∠BAE＝∠DAF．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，AB＝AD，再證明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．【解答】證明：四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．4．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在對角線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．求證：

(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出相應(yīng)的線段和相應(yīng)的角度相等，再利用已知條件求證SKIPIF1<0，最后證明SKIPIF1<0即可求出答案．（2）根據(jù)三角形全等證明角度相等，再利用鄰補角定義推出SKIPIF1<0即可證明兩直線平行．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（2）證明：由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，鄰補角定義，三角形全等，平行線的判定，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．5．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在SKIPIF1<0中，點D、E分別為SKIPIF1<0的中點，點H在線段SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，點G、F分別為SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形(2)SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長度．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由三角形中位線定理得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可證明四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形；（2）由四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由勾股定理即可得到線段SKIPIF1<0的長度．【詳解】（1）解：∵點D、E分別為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∵點G、F分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形；（2）∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形和利用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在菱形ABCD中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和F，使得AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．求證：四邊形BEDF是菱形．【分析】四邊形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以證明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，進而證明平行四邊形BEDF是菱形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可證：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵DF＝BF，∴平行四邊形BEDF是菱形．7．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．

【答案】見詳解【分析】先證明SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形SKIPIF1<0的對角線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點O，SKIPIF1<0．

(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是菱形；(2)若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得SKIPIF1<0，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形分析推理；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得SKIPIF1<0的面積，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，又∵矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴平行四邊形SKIPIF1<0是菱形；（2）解：矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，∴菱形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定，屬于中考基礎(chǔ)題，掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，正確推理論證是解題關(guān)鍵．9．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，其對角線相交于點O，SKIPIF1<0．

(1)SKIPIF1<0是直角三角形嗎？請說明理由；(2)求證：四邊形SKIPIF1<0是菱形．【答案】(1)SKIPIF1<0是直角三角形，理由見解析．(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得SKIPIF1<0，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0是直角三角形，理由如下：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形．（2）證明：由（1）可得：SKIPIF1<0是直角三角形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．9．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形SKIPIF1<0的對角線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在對角線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．(2)若SKIPIF1<0的面積等于2，求SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即可證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得SKIPIF1<0，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（2）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分．10．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形SKIPIF1<0中，過對角線SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，證明：四邊形SKIPIF1<0是菱形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，可得SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0；（2）根據(jù)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，進而可得四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的四邊形是菱形，即可得證．【詳解】（1）證明：如圖所示，

∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是菱形．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點．求證：DE=BF．【答案】證明見試題解析．【分析】由矩形的性質(zhì)和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分別是邊AB、CD的中點，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF．考點：1．矩形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定．12．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）直接證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，即可得證；（2）證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，進而根據(jù)SKIPIF1<0，推導(dǎo)出SKIPIF1<0是等邊三角形，進而可得SKIPIF1<0，即可證明四邊形SKIPIF1<0是矩形．【詳解】（1）證明：在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13.已知：如圖，在?ABCD中，點O是CD的中點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E，求證：AD＝CE．【分析】只要證明△AOD≌△EOC（ASA）即可解決問題；【解答】證明：∵O是CD的中點，∴OD＝CO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．14.如圖，在?ABCD中，點E在AB的延長線上，點F在CD的延長線上，滿足BE＝DF．連接EF，分別與BC，AD交于點G，H．求證：EG＝FH．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，在△BEG與△DFH中，∠E=∠FBE=DF∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．15．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的平分線，且SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．

(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是菱形；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，求平行線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0間的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先證SKIPIF1<0，再證SKIPIF1<0，從而四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，又SKIPIF1<0，于是四邊形SKIPIF1<0是菱形；（2）連接SKIPIF1<0，先求得SKIPIF1<0，再證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再證SKIPIF1<0，從而根據(jù)面積公式即可求得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【詳解】（1）證明：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形；（2）解：連接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴平行線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0間的距離SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離等知識是解題的關(guān)鍵．16.如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于點E、F，連接AF、CE．（1）若OE=3（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=3（2）先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC，即可得到四邊形AECF是菱形．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3∴EF＝2OE＝3；（2）四邊形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．17．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)的三角形全等即可證明SKIPIF1<0．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可推出SKIPIF1<0度數(shù)，再根據(jù)第一問的三角形全等和直角三角形的性質(zhì)可求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0度數(shù)，從而求出SKIPIF1<0度數(shù)，證明了等邊三角形SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的度數(shù)．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（2）解：SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等邊三角形．SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等的方法和菱形的性質(zhì)．18.已知：如圖，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求證：四邊形ABFE是菱形．【答案】見解析【分析】先證四邊形ABFE是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證AB＝AE，依據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四邊形ABFE是菱形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、菱形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)知識進行推理證明，特別注意角平分線加平行，可證等腰三角形．19．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0時，求證：四邊形SKIPIF1<0是菱形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意得出SKIPIF1<0，再由全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判定證明即可；（2）方法一：利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，再由菱形的判定證明即可；方法二：利用（1）中結(jié)論得出SKIPIF1<0，結(jié)合菱形的判定證明即可．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）方法一：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是菱形；方法二：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是菱形．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運用這些知識點是解題關(guān)鍵．20.如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長線上，且SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根據(jù)SAS證明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，∴∠CDF=∠CBE，在△BEC和△DFC中，SKIPIF1<0，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形得到判定全等的條件．21．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0的中點，E是SKIPIF1<0的中點，過點A作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點F．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析；【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出SKIPIF1<0，然后利用“角角邊”證明三角形全等，再由全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點E為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）證明：SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴平行四邊形SKIPIF1<0是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．22.如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的角平分線交SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0．（1）試判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）4【分析】（1）根據(jù)DE∥AB，DF∥AC判定四邊形AFDE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可證明；（2）根據(jù)∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根據(jù)對角線AD求出邊長，再根據(jù)面積公式計算即可．【詳解】解：（1）四邊形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四邊形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四邊形AFDE是正方形，∵AD=SKIPIF1<0，∴AF=DF=DE=AE=SKIPIF1<0=2，∴四邊形AFDE的面積為2×2=4．【點睛】本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．23．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D為SKIPIF1<0邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點E、F，連接SKIPIF1<0．

(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形；(2)若SKIPIF1<0，求點C到SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)證明SKIPIF1<0，再利用四邊形內(nèi)角和為SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，即可由矩形判定定理得出結(jié)論；（2）先由勾股定理求出SKIPIF1<0，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形．（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0設(shè)點C到SKIPIF1<0的距離為h，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0答：點C到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段長是解題的關(guān)鍵．24.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求菱形AOBE的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)BE∥AC，AE∥BD，可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到OA=OB，由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE邊OA上的高，然后根據(jù)菱形的面積=底×高，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解析】解：（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AOBE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=SKIPIF1<0AC，OB=OD=SKIPIF1<0BD，∴OA=OB，∴四邊形AOBE是菱形；（2）解：作BF⊥OA于點F，∵四邊形ABCD是矩形，AC=4，∴AC=BD=4，OA=OC=SKIPIF1<0AC，OB=OD=SKIPIF1<0BD，∴OA=OB=2，∵∠AOB=60°，∴BF=OB?sin∠AOB=SKIPIF1<0，∴菱形AOBE的面積是：OA?BF=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【點睛】本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面積=底×高或者是對角線乘積的一半．25.如圖，點C是SKIPIF1<0的中點，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）如果SKIPIF1<0，求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點C是BE的中點，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵點C是BE的中點，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．26.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明SKIPIF1<0，則可得到AE＝CF；（2）連接BF，DE，由SKIPIF1<0，得到OE=OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據(jù)EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴AE＝CF（2）當(dāng)EF⊥BD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)BF，DE∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴OB＝OD∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∵EF⊥BD，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)，能全等三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．27.如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長線上，且DE＝BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連接AF，CE．當(dāng)BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，從而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根據(jù)SAS即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)BD平分∠ABC和平行四邊形的性質(zhì)，可以證明?ABCD是菱形，從而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根據(jù)題目中的條件，可以證明四邊形AFCE是平行四邊形，然后根據(jù)AC⊥EF，即可得到四邊形AFCE是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）當(dāng)BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE是菱形．28.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，分別過點A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分