專題2.6 兩直線平行的判定的四大題型（北師大版）（解析版）

第=1+1頁(yè)共sectionpages39頁(yè)專題2.6兩直線平行的判定的四大題型【北師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)兩直線平行的判定的四大題型的理解！【題型1利用鄰補(bǔ)角判定兩直線平行】1.（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E．(1)AD與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：AD∥∵∠ADE+∠ADF=180°（鄰補(bǔ)角的定義），∠ADE+∠BCF=180°（已知），∴∠ADF=∠______（同角的補(bǔ)角相等）．∴AD∥(2)AB與EF的位置關(guān)系如何？為什么？∵BE平∠ABC（已知），∴∠ABE=12∠ABC又∵∠ABC=2∠E（已知），即∠E=1∴∠E=∠______（_________）∴______∥______（_________）【答案】(1)BCF(2)角平分線的定義；ABE；等量代換；AB，【分析】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證得∠ADF=∠BCF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證得結(jié)論即可；（2）根據(jù)角平分線定義證得∠ABE=12∠ABC【詳解】（1）解：AD∥∵∠ADE+∠ADF=180°（鄰補(bǔ)角的定義），∠ADE+∠BCF=180°（已知），∴∠ADF=∠BCF（同角的補(bǔ)角相等）．∴AD∥故答案為：BCF；（2）解：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠ABE=1又∵∠ABC=2∠E（已知），即∠E=1∴∠E=∠ABE（等量代換）∴AB∥故答案為：角平分線的定義；ABE；等量代換；AB，【點(diǎn)睛】本題考查同角的補(bǔ)角相等、平行線的判定、角平分線定義、鄰補(bǔ)角定義，熟練掌握平行線的判定是解答的關(guān)鍵．2.（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，請(qǐng)說(shuō)明AB與DE平行的理由．解：將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠4，則∠2+∠4＝°（）因?yàn)椤?+∠3＝180°（）所以∠3＝∠4（）因?yàn)椋ǎ┧浴?＝∠4（）所以AB//DE（）【答案】180，鄰補(bǔ)角的意義；已知；同角的補(bǔ)角相等；∠1＝∠3，已知；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義，得出∠2+∠4＝180°，由同角的補(bǔ)角相等得出∠3＝∠4，等量代換得出∠1＝∠4，由同位角相等，兩直線平行得出結(jié)論AB//DE．【詳解】解：將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠4，則∠2+∠4＝180°（鄰補(bǔ)角的意義）因?yàn)椤?+∠3＝180°（已知）所以∠3＝∠4（同角的補(bǔ)角相等）因?yàn)椤?＝∠3（已知）所以∠1＝∠4（等量代換）所以AB//DE（同位角相等，兩直線平行）故答案為：180，鄰補(bǔ)角的意義；已知；同角的補(bǔ)角相等；∠1＝∠3，已知；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．3.（2023下·寧夏銀川·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D是一種躺椅及其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面，靠背DM與支架OE平行，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，當(dāng)∠EOF=90°，∠ODC=30°時(shí)，人躺著最舒服，求此時(shí)扶手AB與支架OE的夾角∠AOE和扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．

【答案】∠AOE=60°,∠ANM=120°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠ODC=∠BOD=30°，再根據(jù)∠EOF=90°，即可得到∠AOE=60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AND的度數(shù)，進(jìn)而得出∠ANM的度數(shù)．【詳解】解：∵扶手AB與底座CD都平行于地面，∴AB∥∴∠ODC=∠BOD=30°，又∵∠EOF=90°，∴∠AOE=180°?∠EOF?∠BOD=60°，∵DM∥∴∠AND=∠AOE=60°，∴∠ANM=180°?∠AND=120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等．4.（2023下·北京延慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．求證：AB∥CD．請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（），∴∠1=∠B（）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝（）．∴AB∥CD（）．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行的判定定理證明即可．【詳解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（平角定義），∴∠1=∠B（同角的補(bǔ)角相等）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠B（等量代換）．∴AB∥CD（同位角相等，兩條直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．5.（2023下·浙江麗水·七年級(jí)青田縣第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線l1，l2被直線l3所截，∠1=45°，∠2=135°，判斷l(xiāng)【答案】直線l1與l【分析】根據(jù)平行線的判定解答即可．【詳解】解：直線l1與l∵∠2=135°，∴∠3=180°?∠2=45°，∴∠1=∠3=45°，∴直線l1與l【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定、平角，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．6.（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一條公路繞湖而過(guò)，測(cè)得三個(gè)拐彎的角度分別為∠A＝120°，∠B＝150°，∠C＝150°，試判斷公路AE與CF是否平行，并說(shuō)明理由．【答案】AE∥CF.【分析】延長(zhǎng)CB交AE于點(diǎn)D，先由鄰補(bǔ)角定義得出∠ABD的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求得∠BDA，從而得到∠BDE，即∠BDE＝∠C，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AE∥CF.【詳解】AE∥CF.理由：延長(zhǎng)CB交AE于點(diǎn)D，∵∠ABC＝150°，∴∠ABD＝180°－∠ABC=180°-150°=30°，∵∠A＝120°，∴∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－120°－30°＝30°，∴∠BDE＝180°－∠BDA=180°－30°=150°，∴∠BDE＝∠C，∴AE∥CF【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定、鄰補(bǔ)角定義以及三角形內(nèi)角和是180°，得到∠BDE＝∠C是解答此題的關(guān)鍵.【題型2利用垂直判定兩直線平行】1．（2023下·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)根據(jù)所給圖形回答下列問(wèn)題：

(1)若∠DCF+∠GFC=180°，CD⊥AB，請(qǐng)寫出FG與AB的位置關(guān)系，并給予證明；證明：FG與AB垂直．∵CD⊥AB∴∠CDB=90°∵∠DCF+∠GFC=180°∴DC∥FG（__________）∴∠CDB=∠FGB=90°（__________）∴FG⊥AB(2)在（1）的結(jié)論下，如果∠1=∠2，又能得到哪兩條線段平行呢？下面是小明同學(xué)不完整的解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．∵DC∥FG∴∠2=∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴__________（__________）【答案】(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等(2)∠3；兩直線平行，同位角相等；DE∥【分析】（1）根據(jù)垂直得∠CDB=90°，根據(jù)∠DCF+∠GFC=180°得DC∥FG（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），根據(jù)兩直線平行同位角相等得（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等得∠2=∠3，根據(jù)∠1=∠2等量代換得∠1=∠3，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得．【詳解】（1）FG與AB垂直；證明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠DCF+∠GFC=180°，∴DC∥∴∠CDB=∠FGB=90°（兩直線平行，同位角相等），∴FG⊥AB，故答案為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；（2）解：∵DC∥∴∠2=∠3（兩直線平行，同位角相等），∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴DE∥故答案為：∠3；兩直線平行，同位角相等；DE∥【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握平行線的判定與性質(zhì)．2．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)期中）如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，（1）請(qǐng)說(shuō)明∠1=∠A的理由；（2）若∠1+∠2=180°，HF與AB是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）垂直，見(jiàn)解析【分析】（1）利用同角的余角相等進(jìn)行證明；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行線的判定證明即可．【詳解】解：（1）∵DE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠CED=90°，∴∠1+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠1=∠A；（2）∵AC⊥BC，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠1=∠DCB，∵∠1+∠2=180°，∴∠DCB+∠2=180°，∴CD∥FH，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠HFB=90°，∴HF⊥AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查余角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及平行線的判定，命題意圖在于訓(xùn)練學(xué)生的證明書(shū)寫過(guò)程．3．（2023上·安徽銅陵·七年級(jí)銅陵市第十五中學(xué)?？计谥校鰽BC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OD垂直O(jiān)B，交邊BC于點(diǎn)D．(1)如圖1，猜想并直接寫出∠COD與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，不需要說(shuō)明理由；(2)如圖2，作△ABC的外角∠ABE的角平分線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：BF∥【答案】(1)∠COD=1(2)見(jiàn)解析【分析】（1）則根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理得出∠BOC與∠BAC的關(guān)系，然后根據(jù)∠COD=∠BOC?∠BOD即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)得出∠FBO即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：猜想：∠COD=1證明：∵BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB，∴∠OBC=1∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?=180°?=90°+1∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°，∴∠COD=∠BOC?∠BOD=90°+=1即∠COD=1（2）解：∵BF平分∠ABE，BO平分∠ABC，∴∠ABF=1∴∠FBO=∠ABF+∠ABO=1∵作△ABC的外角∠ABE交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠ABE+∠ABC=180°，∴∠FBO=180°×1∴∠FBO=∠BOD=90°，∴BF∥【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．4．（2023上·江蘇南通·七年級(jí)?？计谀┨顚懤碛桑喝鐖D所示，EF⊥AB，CD⊥AB，AC⊥BC，∠1=∠2，求證：DG⊥BC．證明：∵EF⊥AB，CD⊥AB①.∴∠EFA=∠CDA=90°（垂直定義）∴EF//CD②∴∠1=∠③∴∠1=∠2（已知）∴∠2=∠ACD（等量代換）∴DG//AC④．∴∠DGB=∠ACB⑤．∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（垂直定義）∴∠DGB=90°即

DG⊥BC．【答案】已知ACD同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

兩直線平行，同位角相等．【分析】根據(jù)題意，利用平行線的判定和性質(zhì)，以及垂直的定義，進(jìn)行證明，即可得到答案.【詳解】∵EF⊥AB，CD⊥AB已知.∴∠EFA=∠CDA=90°（垂直定義）∴∠1=∠ACD.∴EF//CD（同位角相等，兩直線平行）∴∠1=∠2（已知）∴∠2=∠ACD（等量代換）∴DG//AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠DGB=∠ACB（兩直線平行，同位角相等）.∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（垂直定義）∴∠DGB=90°，即DG⊥BC.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的性質(zhì)進(jìn)行解題.5．（2023下·山東威?！ち昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖1，線段BA⊥AC于點(diǎn)A，BD平分∠ABC，M為射線AC上一點(diǎn)，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F．

(1)如圖1，當(dāng)M為線段AC上一點(diǎn)，你能判斷BD、MF的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖2，M為線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，你能判斷BD、MF的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)BD∥(2)BD⊥MF，見(jiàn)解析【分析】（1）利用平行線的判定即可證明；（2）利用各角之間的關(guān)系，證明BD所在的直線與MF的夾角為90°即可．【詳解】（1）解：∵BA⊥AC，∴∠A=90°，∵M(jìn)E⊥BC，∴∠A=∠CEM，∴∠CME=∠ABC，∴∠ABC+∠AME=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠AMF+∠ABD=90°，∴∠AFM=∠ABD，∴BD∥（2）延長(zhǎng)BD，交MF于點(diǎn)G，

∵在Rt△ABC和Rt△CMF中，∠BAC=∠CEM，∴∠ABC=∠CME，又∵BD、MF分別為∠ABC和∠CME的平分線，∴∠FBG=∠AMF，又∵∠AMF+∠AFM=90°，∴∠FBG+∠AFM=90°，∴∠BGF=90°，∴BD⊥MF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定以及垂線的判定，熟練掌握平行線的判定以及垂線的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·上海奉賢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC

【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)垂直的定義可得∠BAC=90°，進(jìn)而得到∠BAD+∠B=180°，然后根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可證明即可．【詳解】解：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=90°（垂直的定義），∵∠1=30°，∴∠1+∠BAC+∠B=180°，即∠BAD+∠B=180°．∴AD∥【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定、垂直定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵．7．（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）完成下面的證明．

如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求證：∠BAC+∠AGD=180°．證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠EFB=90°，∠ADB=90°（______），∴∠EFB=∠ADB（等量代換），∴EF∥∴∠1=∠BAD（______），又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠_____（______）∴DG∥∴∠BAC+∠AGD=180°（______）．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)垂直定義可得∠EFB=90°，∠ADB=90°，根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到EF∥AD，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠1=∠BAD，結(jié)合已知等量代換可得∠2=∠BAD，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可推出【詳解】證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定義），∴∠EFB=∠ADB（等量代換），∴EF∥∴∠1=∠BAD（兩直線平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠BAD（等量代換），∴DG∥∴∠BAC+∠AGD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．【點(diǎn)睛】本題考查了平分線的判定與性質(zhì)，垂直定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023上·廣東廣州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，線段BA⊥AC于點(diǎn)A，BD平分∠ABC，ME⊥BC，垂足為E

(1)如圖1，當(dāng)M為線段AC上一點(diǎn)，你能判斷BD、MF的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖2，M為線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，你能判斷BD、MF的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)BD∥(2)BD⊥MF，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用交平分線的定義、等角的余角性質(zhì)，結(jié)合平行線的判定即可證明；（2）利用各角之間的關(guān)系，證明BD所在的直線與MF的夾角為90°即可．【詳解】（1）解：BD∥理由：∵BA⊥AC，∴∠A=90°，∵M(jìn)E⊥BC，∴∠A=∠CEM，∴∠CME=∠ABC=90°?∠C，∠ABC+∠AME=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠AMF=12∠AME∴∠AMF+∠ABD=90°，又∠AMF+∠AFM=90°，∴∠AFM=∠ABD，∴BD∥（2）BD⊥MF，理由：延長(zhǎng)BD，交MF于點(diǎn)G，

∵在Rt△ABC和Rt△CME中，∠BAC=∠CEM，又∴∠ABC=∠CME，又∵BD、MF分別為∠ABC和∠CME的平分線，∴∠FBG=∠AMF，又∵∠AMF+∠AFM=90°，∴∠FBG+∠AFM=90°，∴∠BGF=90°，∴BD⊥MF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、等角的余角相等、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的判定以及垂線的判定，熟練掌握平行線的判定以及垂線的判定是解題的關(guān)鍵．【題型3利用平行公理判定兩直線平行】1．（2023下·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，已知AB∥CD，∠B=120°，∠C=25°，求∠E的大?。?/p>

【答案】85°【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由EF∥AB可得∠B+∠BEF=180°，由此得出∠BEF的度數(shù)，由EF∥CD可得∠CEF=∠C，再結(jié)合∠E=∠BEF+∠CEF即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B+∠BEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠BEF=180°?∠B=180°?120°=60°，又AB∥CD，∴EF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）∴∠CEF=∠C=25°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=60°+25°=85°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是得出∠BEF和∠CEF的度數(shù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角，再根據(jù)角與角之間的關(guān)鍵即可得出結(jié)論．2．（2023下·河南安陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校﹫D1是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭系上皮筋，拉動(dòng)皮筋可形成如圖2的平面示意圖，彈弓的兩邊可看成是平行的，即AB∥CD，活動(dòng)小組在探索∠APD與∠A，∠D之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，有如下發(fā)現(xiàn)：當(dāng)拉起皮筋使∠A=∠D時(shí)，瞄準(zhǔn)最準(zhǔn)確．現(xiàn)測(cè)得∠A=140°，

【答案】此次瞄準(zhǔn)不是最準(zhǔn)確的，見(jiàn)解析【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，可得∠APE=180°?140°=40°，可得∠EPD=∠APD?∠APE=70°?40°=30°，證明PE∥CD，可得【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∴∠A+∠APE=180°．∵∠A=140°，∴∠APE=180°?140°=40°．∵∠APD=70°，∴∠EPD=∠APD?∠APE=70°?40°=30°．∵AB∥CD，∴PE∥∴∠D+∠EPD=180°．∴∠D=180°?30°=150°．∴∠A≠∠D，∴此次瞄準(zhǔn)不是最準(zhǔn)確的．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵．3．（2023下·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）補(bǔ)全下列證明過(guò)程：已知：如圖∠1+∠B=∠C，求證：BD∥證明：如圖，作射線AP，使AP∥

∴∠PAB=∠B（_______________）又∵∠1+∠B=∠C（________________）∴∠1+∠PAB=∠C（_________________）即∠PAC=∠C∴AP∥又∵AP∴BD∥【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】證明：如圖，作射線AP，使AP∥

∴∠PAB=∠B（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠1+∠B=∠C（已知），∴∠1+∠PAB=∠C（等量代換），即∠PAC=∠C，∴AP∥CE（又∵AP∥∴BD∥CE（【點(diǎn)睛】本題考查了平行直線的性質(zhì)與判定，平行線公里推論的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．4．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）如圖①，AB∥CD，∠1=∠2，求證：（2）如圖②，AB∥CD，直接寫出

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠BCD，再利用平行線的判定即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作EP∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FH∥【詳解】解：（1）∵AB∥∴∠ABC=∠BCD，∴∠1+∠PBC=∠2+∠BCM，∵∠1=∠2，∴∠PBC=∠BCM，∴PB∥

（2）∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EP∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FH∥∴AB∥∴∠ABE=∠BEP，∠PEF=∠EFH，∠HFG=∠FGT，∠TGD=∠CDG，∴∠BEF=∠BEP+∠EFH，∠FGD=∠FGT+∠D，∴∠BEF+∠FGD=∠BEP+∠EFH+∠FGT+∠D，∵∠B=∠BEP，∠EFG=∠EFH+∠HFG，∠TGD=∠CDG，∴∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，平行公理，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線AB∥CD，點(diǎn)P為直線AB，問(wèn)題提出：（1）如圖1，∠A=120°，∠C=130°，求∠APC的度數(shù)；問(wèn)題遷移：（2）如圖2，寫出∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；問(wèn)題應(yīng)用：（3）如圖3，點(diǎn)E在射線BA上，過(guò)點(diǎn)E作EF∥PC，作∠PEG=∠PEF，點(diǎn)G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點(diǎn)H，若∠APC=20°，∠PAB=150°，求

【答案】（1）110°；（2）∠APC=∠A?∠C，理由見(jiàn)解析；（3）65°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠APQ=180°，根據(jù)∠A=120°，求出∠APQ=180°?∠A=60°，根據(jù)PQ∥（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠APQ，根據(jù)平行公理得出PQ∥CD，求出∠C=∠CPQ，根據(jù)（3）根據(jù)∠APC=20°，∠PAB=150°，得出∠AQP=∠PAB?∠APC=130°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BEF=∠AQP=130°，設(shè)∠PEF=∠PEG=x，則∠PEB=∠BEF?∠PEF=130°?x，∠BEG=∠PEG?∠PEB=x?130°?x=2x?130°，根據(jù)角平分線定義得出∠BEH=1【詳解】解：（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥

∴∠A+∠APQ=180°，∵∠A=120°，∴∠APQ=180°?∠A=60°，∵AB∥CD，∴PQ∥∴∠C+∠CPQ=180°，∵∠C=130°，∴∠CPQ=180?∠C=50°∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=60°+50°=110°；（2）結(jié)論：∠APC=∠A?∠C；理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥

∴∠A=∠APQ，∵AB∥∴PQ∥∴∠C=∠CPQ，又∵∠APC=∠APQ?∠CPQ，∴∠APC=∠A?∠C；（3）∵∠APC=20°，∠PAB=150°，∴∠AQP=∠PAB?∠APC=130°，∵EF∥∴∠BEF=∠AQP=130°，設(shè)∠PEF=∠PEG=x，∴∠PEB=∠BEF?∠PEF=130°?x，∴∠BEG=∠PEG?∠PEB=x?130°?x∵EH平分∠BEG，∴∠BEH=1∴∠PEH=∠PEB+∠BEH=130°?x+x?65°=65°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合．6．（2023下·江西南昌·七年級(jí)江西師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校菊n本再現(xiàn)】（1）①如圖1，已知AB∥CD，直接寫出∠B，∠D和∠E

②如圖2，已知AB∥CD，直接寫出∠B，∠D和∠E

【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖3是微信聊天對(duì)話框，圖4是其示意圖的一部分，已知AB∥CD，∠B=∠D=90°，寫出∠E，∠F和∠G

【答案】（1）①∠BED+∠B+∠C=360°；②∠BED=∠B+∠D；（2）∠F+∠G?∠FEG=180°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，可得AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B+∠BEF=∠D+∠DEF=180°，從而可得∠BED+∠B+∠C=360°；②過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，可得（2）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，結(jié)合（1）②中的結(jié)論可得∠F=90°+∠FEM，【詳解】解：（1）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B+∠BEF=∠D+∠DEF=180°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°?∠B+180°?∠C=360°?∠B?∠C，即∠BED+∠B+∠C=360°；

②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；

（2）∠F+∠G?∠FEG=180°，理由是：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM∥∵AB∥∴AB∥在折線A?B?F?E?M中，同（1）②可得：∠F=∠B+∠FEM=90°+∠FEM；同理可得：∠G=∠D+∠GEM=90°+∠GEM；∴∠FEG=∠FEM+∠GEM=∠F?90°+∠G?90°=∠F+∠G?180°，即∠F+∠G?∠FEG=180°．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)添加輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)建立角的關(guān)系．7．（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：直線a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線a上的點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D是直線b上的點(diǎn)，連接AD，BC，設(shè)直線AD和BC交于點(diǎn)

(1)在如圖1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度數(shù)；(2)在如圖2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF與DF交于點(diǎn)F，當(dāng)∠ABC=64°，∠ADC=72°時(shí)，求∠BFD的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于點(diǎn)F，設(shè)∠ABC=α，∠ADC=β，用含有α，β的代數(shù)式表示∠BFD的補(bǔ)角．【答案】(1)∠ABE+∠CDE=90°(2)∠BFD=68°(3)∠BFD的補(bǔ)角為1【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，證明EG∥CD，可得∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠DEG，（2）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，證明FH∥CD，可得∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF，求解（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥AB，證明FQ∥CD，可得∠ABF+∠BFQ=180°，∠CDF=∠DFQ，可得∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°?∠ABF+∠CDF，證明【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作EG∥

∵a∥∴EG∥∴∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠DEG，∴∠ABE+∠CDE=∠BEG+∠DEG=∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE=∠BED=90°；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH∥

∵a∥∴FH∥∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=64°，∠ADC=72°，∴∠ABF12∠ABC=32°∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=68°；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥

∵a∥∴FQ∥∴∠ABF+∠BFQ=180°，∠CDF=∠DFQ，∴∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°?∠ABF+∠CDF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β，∴∠ABF=12∠ABC=∴∠BFD=180°?∠ABF+∠CDF=180°?1∴∠BFD的補(bǔ)角=1【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．8．（2023下·陜西西安·七年級(jí)西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線l1∥l2，直線l3交直線l1，l2于點(diǎn)C，D，在直線l3上有動(dòng)點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)C，D不重合），點(diǎn)A，問(wèn)題發(fā)現(xiàn)(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．拓展探究(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)之外運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．問(wèn)題解決(3)如圖3所示的是一處海濱公園的平面圖，BD朝向大海，由于潮汐的作用，形成了∠BPD形狀的沙灘，試探究∠BPD，∠PBA，∠PDC，∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠APB=∠PAC+∠PBD(2)當(dāng)點(diǎn)P在l1的上方時(shí)，∠APB=∠PBD?∠PAC；當(dāng)點(diǎn)P在l2的下方時(shí)，(3)∠BPD=∠ABP+∠BQD+∠PDC，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，則可證PE∥l（2）分點(diǎn)P在l1的上方和l（3）過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，PE∥CD，PE與AB相交于點(diǎn)G，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABP=∠BPF，【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1∵l1∴PE∥∴∠EPB=∠PBD，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；故答案為：∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在l1如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥，由（1）可知：PE∥∴∠EPA=∠PAC，∠EPB=∠PBD，又∠APB=∠BPE?∠APE，∴∠APB=∠PBD?∠PAC；當(dāng)點(diǎn)P在l2如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥，同理可證：∠EPA=∠PAC，∠EPB=∠PBD，∵∠APB=∠APE?∠BPE，∴∠APB=∠PAC?∠PBD；（3）∠BPD=∠ABP+∠BQD+∠PDC；理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，PE∥CD，PE，∴∠ABP=∠BPF，∠BGP=∠FPE，∠BQD=∠BGP，∠EPD=∠PDC，∴∠BQD=∠FPE，∵∠BPD=∠BPF+∠EPF+∠DPE，∴∠BPD=∠ABP+∠BQD+∠PDC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，明確題意，添加合適輔助線，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵．【題型4利用角平分線判定兩直線平行】1．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠B＝∠C，D在BA的延長(zhǎng)線上，AE是∠DAC的平分線，試說(shuō)明AE與BC平行的理由．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)AE是∠DAC的角平分線和∠B＝∠C，求出∠DAE＝∠B，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得到AE與BC互相平行．【詳解】解：AE與BC平行，理由是：∵AE是∠DAC的平分線，∴∠DAC＝2∠DAE，∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，∴∠DAC＝2∠B，∴∠DAE＝∠B，∴AE//【點(diǎn)睛】本題主要利用角平分線的定義，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，平行線的判定定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線

(1)∠1與∠2有什么關(guān)系，為什么？(2)BE與DF有什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)∠1+∠2=90°，理由見(jiàn)解析(2)BE∥DF，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由角平分線的定義得∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠ABC+∠ADC=180°，進(jìn)而可求出結(jié)論；（2）由互余的性質(zhì)可得∠1=∠DFC，根據(jù)平行線的判定即可得出．【詳解】（1）∠1+∠2=90°，理由：∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF∵∠A=∠C=90°∴∠ABC+∠ADC=360°?90°?90°=180°∴2∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF，理由：在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，多邊形的內(nèi)角和，直角三角形兩銳角互余，關(guān)鍵是掌握四邊形內(nèi)角和為360°、同位角相等，兩直線平行．3．（2023下·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠DCB和∠ABC的平分線交于點(diǎn)E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，且∠1+∠2=90°

(1)試說(shuō)明AB∥CD；(2)若∠1=30°，求∠3的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出∠DCB=2∠2,∠ABC=2∠1，結(jié)合∠1+∠2=90°可證（2）先求出∠2=60°，根據(jù)角平分線的定義求出∠DCF=∠2，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵∠DCB和∠ABC的平分線交于點(diǎn)E，∴∠DCB=2∠2,∠ABC=2∠1又∵∠1+∠2=90°，∴∠DCB+∠ABC=2∠2+2∠1=2∠2+∠1∴AB∥CD．（2）∵∠1=30°，∠1+∠2=90°，∴∠2=60°．

∵CF平分∠DCB，∴∠DCF=∠2．又∵AB∥CD，∴∠3=∠DCF=60°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中．4．（2023下·廣東江門·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點(diǎn)M，N，ME,NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，NE交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥EN交AB于點(diǎn)(1)若∠AMN=70°，則∠MNG=___________；(2)求證：EM∥(3)連接EG，在GN上取一點(diǎn)H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分線EP交AB于點(diǎn)P，求∠PEG的度數(shù)．【答案】(1)35°(2)見(jiàn)解析(3)45°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠CNM=110°，由角平分線定義求出∠ENM的度數(shù)，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線得到定義，即可得出∠MEN=90°，再根據(jù)NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180°，進(jìn)而得到EM∥（3）先設(shè)∠HEG=x，則∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°?2x，根據(jù)EP平分∠FEH，可得∠FEH=2∠PEG+x，再根據(jù)∠FEH+∠HEN=180°，可得方程2∠PEG+x+90°?2x=180°【詳解】（1）解：∵AB∥∴∠AMN+∠CNM=180°，∵∠AMN=70°，∴∠CNM=110°∵NE平分∠CNM，∴∠ENM=1∵NG⊥EN，∴∠ENG=90°，∴∠MNG=90°?∠ENM=35°，故答案為：35°；（2）∵AB∥∴∠AMN+∠CNM=180°，∵M(jìn)E,NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，∴∠EMN=1∴∠EMN+∠ENM=12∠AMN+∠CNM又∵NG⊥EN，∴∠ENG=90°，∴∠MEN+∠ENH=180°，∴EM∥（3）設(shè)∠HEG=x，則∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°?2x，∵EP平分∠FEH，∴∠FEH=2∠PEH=2∠PEG+x又∵∠FEH+∠HEN=180°，∴2∠PEG+x∴∠PEG=45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．5．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線AB，CD，AC上的點(diǎn)M，N，E滿足ME⊥NE，∠AME＋∠CNE＝90°，∠ACD的平分線交MN于G，作射線GF∥(1)求證：AB∥(2)若∠CAB＝66°，求∠CGF的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)123°【分析】（1）根據(jù)ME⊥NE可得∠AEM＋∠CEN＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理∠A＋∠ACD＝180°，根據(jù)平行線的判定即可得AB∥（2）由AB∥CD，GF∥AB可得GF∥CD．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACD＝114°，根據(jù)角平分線的定義可得∠GCD＝【詳解】（1）證明：∵M(jìn)E⊥NE，∴∠MEN＝90°，∴∠AEM＋∠CEN＝90°，∵∠A＋∠AEM＋∠AME＝180°，∠ACD＋∠CEN＋∠CNE＝180°，∴∠A＋∠ACD＋∠AEM＋∠CEN＋∠AME＋∠CNE＝180°，∵∠AME＋∠CNE＝90°，∠AEM＋∠CEN＝90°，∴∠A＋∠ACD＝180°，∴AB∥（2）解：∵GF∥∴∠BMG=∠FGN，∵AB∥∴∠BMG+∠DNG=180°,∴∠FGN+∠DNG=180°,∴GF∥∵∠CAB＝66°，∴∠ACD＝180°?∠CAB＝114°，∵CG平分∠ACD，∴∠GCD＝12∠ACD∵∠CGF＋∠GCD＝180°，∴∠CGF＝123°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，涉及到直角三角形兩銳角互余等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2023下·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，射線AG與直線EF相交于點(diǎn)C，在射線AG的右側(cè)分別過(guò)點(diǎn)A，C作射線AB，CD，且CE平分∠DCG，∠A=2∠ACF．(1)求證：AB∥(2)H是射線AB上的一點(diǎn)，CI平分∠ACD，連接HI，∠AHI的平分線交直線EF于點(diǎn)K．①如備用圖1，若HI∥AG，求證：②如備用圖2，若∠HKC=∠HIC，∠A=α，∠BHI=β，求α的值．（用含β的式子表示）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②3【分析】（1）由角平分線性質(zhì)得到∠DCG=2∠ECG，再結(jié)合∠A=2∠ACF，等量代換可得∠A=∠DCG，最后根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可解答；（2）①由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)解得∠A+∠ACD=180°，∠A+∠AHI=180