江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

蘇州市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知角，那么的終邊在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.命題“”的否定為()A.“” B.“”C“” D.“”3.已知一個(gè)面積為的扇形所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C.2 D.4.已知，，則“”是“”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.6.已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.三個(gè)數(shù)，之間的大小關(guān)系為()A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)集合，集合，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中是從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)的有()A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()A. B.的定義域?yàn)镃.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.若，則的最小值為11.若a，b均為正數(shù)，且滿足，則()A.的最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值是6 D.的最小值為12.已知指數(shù)函數(shù)(，且)與對(duì)數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)，它們的定義域和值域正好互換．若方程與的解分別為，，則()A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.求值：__________．14.已知冪函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞減，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的函數(shù)__________．15.已知，則__________．16.我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)任意，都有，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)c的值為__________；若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)集合．(1)若，；(2)若，．18.已知．(1)若角的終邊過(guò)點(diǎn)，求；(2)若，分別求和的值．19.某公司為了提升銷售利潤(rùn)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案．公司規(guī)定獎(jiǎng)勵(lì)方案中的總獎(jiǎng)金額y(單位：萬(wàn)元)是銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的函數(shù)，并且滿足如下條件：①圖象接近圖示；②銷售利潤(rùn)x為0萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為0萬(wàn)元；③銷售利潤(rùn)x為30萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為3萬(wàn)元．現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供公司選擇：A．；B．；C．．(1)請(qǐng)你幫助該公司從中選擇一個(gè)最合適的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；(2)根據(jù)你在(1)中選擇的函數(shù)模型，解決如下問(wèn)題：①如果總獎(jiǎng)金不少于9萬(wàn)元，則至少應(yīng)完成銷售利潤(rùn)多少萬(wàn)元？②總獎(jiǎng)金能否超過(guò)銷售利潤(rùn)的五分之一？20.已知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)記關(guān)于x的方程在區(qū)間上的解從小到大依次為，試確定正整數(shù)n的值，并求的值．21.已知為奇函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，并證明你的判斷；(2)若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22.已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且．(1)求和的解析式；(2)若函數(shù)在上值域?yàn)椋笳龑?shí)數(shù)a的值；(3)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，曲線與曲線總存在公共點(diǎn)．蘇州市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知角，那么終邊在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用角終邊相同公式得到的終邊與的終邊相同，從而得到的終邊所在象限．【詳解】因?yàn)椋?，所以的終邊在第三象限．故選：C．2.命題“”的否定為()A.“” B.“”C.“” D.“”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式可直接得到結(jié)果.【詳解】由全稱命題的否定可知:的否定為故選：D3.已知一個(gè)面積為的扇形所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形面積和弧長(zhǎng)公式求得正確答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則，解得.故選：B4.已知，，則“”是“”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.【詳解】若“”，則“”必成立；但是“”，未必有“”，例如.所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.5.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、單調(diào)性確定正確選項(xiàng).【詳解】的最小正周期是，不符合題意.在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意.對(duì)于，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意.對(duì)于，畫出圖象如下圖所示，由圖可知的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確.故選：B6.已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)二次不等式求出集合A，再分類討論集合B，根據(jù)集合間包含關(guān)系即可求解.【詳解】的定義域?yàn)锳，所以，所以或，①當(dāng)時(shí)，,滿足，所以符合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或，所以或(舍)③當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或(舍)，，綜上所述，，故選：B.7.三個(gè)數(shù)，之間的大小關(guān)系為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及臨界值，求解即可.【詳解】由題意，即，，即，，綜上：故選：A8.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出、和的圖象，結(jié)合圖象以及函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).畫出、和的圖象如下圖所示，由解得，設(shè).由解得，設(shè).對(duì)于函數(shù)，要使與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)集合，集合，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中是從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)的有()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷求解.【詳解】對(duì)于A，任意，，即任意，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，所以A正確；對(duì)于B，存在，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，任意，，即任意，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，所以C正確；對(duì)于D，任意，，即任意，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，所以D正確；故選:ACD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()A. B.的定義域?yàn)镃.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.若，則的最小值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)周期,定義域,函數(shù)值和單調(diào)性等選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】已知函數(shù),函數(shù)的定義域?yàn)?

即函數(shù)的定義域?yàn)?故選項(xiàng)正確;則,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng),則在區(qū)間上單調(diào)遞增,故選項(xiàng)正確;因?yàn)榈闹芷?

所以若，則的最小值為,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:.11.若a，b均為正數(shù)，且滿足，則()A.的最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值是6 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，但由解得，不滿足，所以等號(hào)不成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值，D選項(xiàng)正確.故選：AD12.已知指數(shù)函數(shù)(，且)與對(duì)數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)，它們的定義域和值域正好互換．若方程與的解分別為，，則()A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意可得，直線與兩函數(shù)和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為、，結(jié)合圖像即可判斷各選項(xiàng).【詳解】由方程和可化為和，即直線與兩函數(shù)和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為、，由于和互為反函數(shù)，則它們的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，如圖所示，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，又，所以，故B正確；由和它們的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，由，則，即，與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.求值：__________．【答案】1【解析】【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.【詳解】故答案為：114.已知冪函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞減，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的函數(shù)__________．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)滿足題意.故答案為：.15.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得,再求,進(jìn)而運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：；由得：又因?yàn)?且,所以即所以則故答案為：.16.我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)任意，都有，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)c的值為__________；若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________．【答案】①.2②.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得即可求出c的值；(2)根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)不等式得，利用函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，所以，即，即，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，令，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，且單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，也即，所以則解得或，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)集合．(1)若，；(2)若，．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)解不等式求得集合，由此求得.(2)根據(jù)并集、補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】，所以，所以.，解得，所以.若，則，所以.【小問(wèn)2詳解】或，若，則，所以.18.已知．(1)若角的終邊過(guò)點(diǎn)，求；(2)若，分別求和值．【答案】(1)(2)，【解析】【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得.(2)根據(jù)齊次式的知識(shí)求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】，若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則，所以.【小問(wèn)2詳解】若，所以；.19.某公司為了提升銷售利潤(rùn)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案．公司規(guī)定獎(jiǎng)勵(lì)方案中的總獎(jiǎng)金額y(單位：萬(wàn)元)是銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的函數(shù)，并且滿足如下條件：①圖象接近圖示；②銷售利潤(rùn)x為0萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為0萬(wàn)元；③銷售利潤(rùn)x為30萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為3萬(wàn)元．現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供公司選擇：A．；B．；C．．(1)請(qǐng)你幫助該公司從中選擇一個(gè)最合適函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；(2)根據(jù)你在(1)中選擇的函數(shù)模型，解決如下問(wèn)題：①如果總獎(jiǎng)金不少于9萬(wàn)元，則至少應(yīng)完成銷售利潤(rùn)多少萬(wàn)元？②總獎(jiǎng)金能否超過(guò)銷售利潤(rùn)的五分之一？【答案】(1)模型C,理由見解析(2)①210萬(wàn)元;②不會(huì).【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可選擇模型；(2)①令解對(duì)數(shù)不等式求解，②即，結(jié)合函數(shù)圖象的增長(zhǎng)速度解釋.【小問(wèn)1詳解】模型A．，因?yàn)椋詣蛩僭鲩L(zhǎng)，模型B．，因?yàn)?，先慢后快增長(zhǎng)，模型C．，因?yàn)?，先快后慢增長(zhǎng)，所以模型C最符合題意.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)殇N售利潤(rùn)x為0萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為0萬(wàn)元，所以，即，又因?yàn)殇N售利潤(rùn)x為30萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為3萬(wàn)元，所以，即，由解得，所以，①如果總獎(jiǎng)金不少于9萬(wàn)元，即，即，即，解得，所以至少應(yīng)完成銷售利潤(rùn)210萬(wàn)元.②設(shè)，即，因?yàn)榕c有交點(diǎn)，且增長(zhǎng)速度比慢，所以當(dāng)時(shí)，恒在的下方，所以無(wú)解，所以總獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)銷售利潤(rùn)的五分之一.20.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)記關(guān)于x的方程在區(qū)間上的解從小到大依次為，試確定正整數(shù)n的值，并求的值．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)，.【解析】【分析】(1)將代入，求出函數(shù)的解析式，根據(jù)求出的范圍，即可求出函數(shù)的最大值和最小值；(2)由方程可得，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得n的值和的值.【小問(wèn)1詳解】將代入，得，即，解得，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即，，由余弦函?shù)性質(zhì)可知，在上有4個(gè)解，所以，即，，，累加可得，.21.已知為奇函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的判斷；(2)若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；證明見解析.(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求得的值，用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)的單調(diào)性.(2)將已知方程因式分解得，，作出的圖像，數(shù)形結(jié)合即可得到的