江蘇省蘇州市2022-2023學年高一上學期期末學業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研數(shù)學試題(學生版+解析)

蘇州市2022~2023學年第一學期學業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研卷高一數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知角，那么的終邊在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.命題“”的否定為()A.“” B.“”C“” D.“”3.已知一個面積為的扇形所對的弧長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C.2 D.4.已知，，則“”是“”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.6.已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.三個數(shù)，之間的大小關(guān)系為()A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a取值范圍是()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)集合，集合，則下列對應(yīng)關(guān)系中是從集合A到集合B的一個函數(shù)的有()A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()A. B.的定義域為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.若，則的最小值為11.若a，b均為正數(shù)，且滿足，則()A.的最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值是6 D.的最小值為12.已知指數(shù)函數(shù)(，且)與對數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)，它們的定義域和值域正好互換．若方程與的解分別為，，則()A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.求值：__________．14.已知冪函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞減，請寫出一個這樣的函數(shù)__________．15.已知，則__________．16.我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果對任意，都有，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形．若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，則實數(shù)c的值為__________；若，則實數(shù)t的取值范圍是__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)集合．(1)若，；(2)若，．18.已知．(1)若角的終邊過點，求；(2)若，分別求和的值．19.某公司為了提升銷售利潤，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案．公司規(guī)定獎勵方案中的總獎金額y(單位：萬元)是銷售利潤x(單位：萬元)的函數(shù)，并且滿足如下條件：①圖象接近圖示；②銷售利潤x為0萬元時，總獎金y為0萬元；③銷售利潤x為30萬元時，總獎金y為3萬元．現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供公司選擇：A．；B．；C．．(1)請你幫助該公司從中選擇一個最合適的函數(shù)模型，并說明理由；(2)根據(jù)你在(1)中選擇的函數(shù)模型，解決如下問題：①如果總獎金不少于9萬元，則至少應(yīng)完成銷售利潤多少萬元？②總獎金能否超過銷售利潤的五分之一？20.已知函數(shù)圖象經(jīng)過點．(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)記關(guān)于x的方程在區(qū)間上的解從小到大依次為，試確定正整數(shù)n的值，并求的值．21.已知為奇函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，并證明你的判斷；(2)若關(guān)于x的方程有8個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．22.已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且．(1)求和的解析式；(2)若函數(shù)在上值域為，求正實數(shù)a的值；(3)證明：對任意實數(shù)k，曲線與曲線總存在公共點．蘇州市2022~2023學年第一學期學業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研卷高一數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知角，那么終邊在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用角終邊相同公式得到的終邊與的終邊相同，從而得到的終邊所在象限．【詳解】因為，又，所以的終邊在第三象限．故選：C．2.命題“”的否定為()A.“” B.“”C.“” D.“”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式可直接得到結(jié)果.【詳解】由全稱命題的否定可知:的否定為故選：D3.已知一個面積為的扇形所對的弧長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形面積和弧長公式求得正確答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則，解得.故選：B4.已知，，則“”是“”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.【詳解】若“”，則“”必成立；但是“”，未必有“”，例如.所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.5.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、單調(diào)性確定正確選項.【詳解】的最小正周期是，不符合題意.在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意.對于，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意.對于，畫出圖象如下圖所示，由圖可知的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，B選項正確.故選：B6.已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)二次不等式求出集合A，再分類討論集合B，根據(jù)集合間包含關(guān)系即可求解.【詳解】的定義域為A，所以，所以或，①當時，,滿足，所以符合題意；②當時，，所以若，則有或，所以或(舍)③當時，，所以若，則有或(舍)，，綜上所述，，故選：B.7.三個數(shù)，之間的大小關(guān)系為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及臨界值，求解即可.【詳解】由題意，即，，即，，綜上：故選：A8.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出、和的圖象，結(jié)合圖象以及函數(shù)有兩個零點求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)有兩個零點，即有兩個不相等的實數(shù)根，即與的圖象有兩個交點.畫出、和的圖象如下圖所示，由解得，設(shè).由解得，設(shè).對于函數(shù)，要使與的圖象有兩個交點，結(jié)合圖象可知，.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)集合，集合，則下列對應(yīng)關(guān)系中是從集合A到集合B的一個函數(shù)的有()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷求解.【詳解】對于A，任意，，即任意，都有唯一的與之對應(yīng)，所以A正確；對于B，存在，，所以B錯誤；對于C，任意，，即任意，都有唯一的與之對應(yīng)，所以C正確；對于D，任意，，即任意，都有唯一的與之對應(yīng)，所以D正確；故選:ACD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()A. B.的定義域為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.若，則的最小值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)周期,定義域,函數(shù)值和單調(diào)性等選項逐個判斷即可.【詳解】已知函數(shù),函數(shù)的定義域為,

即函數(shù)的定義域為,故選項正確;則,故選項錯誤;當,則在區(qū)間上單調(diào)遞增,故選項正確;因為的周期,

所以若，則的最小值為,故選項錯誤;故選:.11.若a，b均為正數(shù)，且滿足，則()A.的最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值是6 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，當且僅當時等號成立，A選項正確.B選項，，但由解得，不滿足，所以等號不成立，所以B選項錯誤.C選項，，當且僅當時等號成立，所以C選項錯誤.D選項，，所以當，時，取得最小值，D選項正確.故選：AD12.已知指數(shù)函數(shù)(，且)與對數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)，它們的定義域和值域正好互換．若方程與的解分別為，，則()A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意可得，直線與兩函數(shù)和的交點橫坐標分別為、，結(jié)合圖像即可判斷各選項.【詳解】由方程和可化為和，即直線與兩函數(shù)和的交點橫坐標分別為、，由于和互為反函數(shù)，則它們的圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示，點、關(guān)于點對稱，，且，所以，故A正確；因為，所以，又，所以，故B正確；由和它們的圖像關(guān)于直線對稱，所以，，所以，故C正確；對于D，由，則，即，與矛盾，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.求值：__________．【答案】1【解析】【分析】利用指數(shù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可得到結(jié)果.【詳解】故答案為：114.已知冪函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞減，請寫出一個這樣的函數(shù)__________．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)滿足題意.故答案為：.15.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得,再求,進而運算求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：；由得：又因為,且,所以即所以則故答案為：.16.我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果對任意，都有，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形．若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，則實數(shù)c的值為__________；若，則實數(shù)t的取值范圍是__________．【答案】①.2②.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得即可求出c的值；(2)根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)不等式得，利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，所以，即，即，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，令，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減，因為，即，即，也即，所以則解得或，故實數(shù)t的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)集合．(1)若，；(2)若，．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)解不等式求得集合，由此求得.(2)根據(jù)并集、補集、交集的知識求得正確答案.【小問1詳解】，所以，所以.，解得，所以.若，則，所以.【小問2詳解】或，若，則，所以.18.已知．(1)若角的終邊過點，求；(2)若，分別求和值．【答案】(1)(2)，【解析】【分析】(1)利用誘導公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得.(2)根據(jù)齊次式的知識求得正確答案.【小問1詳解】，若角的終邊過點，則，所以.【小問2詳解】若，所以；.19.某公司為了提升銷售利潤，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案．公司規(guī)定獎勵方案中的總獎金額y(單位：萬元)是銷售利潤x(單位：萬元)的函數(shù)，并且滿足如下條件：①圖象接近圖示；②銷售利潤x為0萬元時，總獎金y為0萬元；③銷售利潤x為30萬元時，總獎金y為3萬元．現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供公司選擇：A．；B．；C．．(1)請你幫助該公司從中選擇一個最合適函數(shù)模型，并說明理由；(2)根據(jù)你在(1)中選擇的函數(shù)模型，解決如下問題：①如果總獎金不少于9萬元，則至少應(yīng)完成銷售利潤多少萬元？②總獎金能否超過銷售利潤的五分之一？【答案】(1)模型C,理由見解析(2)①210萬元;②不會.【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可選擇模型；(2)①令解對數(shù)不等式求解，②即，結(jié)合函數(shù)圖象的增長速度解釋.【小問1詳解】模型A．，因為，所以勻速增長，模型B．，因為，先慢后快增長，模型C．，因為，先快后慢增長，所以模型C最符合題意.【小問2詳解】因為銷售利潤x為0萬元時，總獎金y為0萬元，所以，即，又因為銷售利潤x為30萬元時，總獎金y為3萬元，所以，即，由解得，所以，①如果總獎金不少于9萬元，即，即，即，解得，所以至少應(yīng)完成銷售利潤210萬元.②設(shè)，即，因為與有交點，且增長速度比慢，所以當時，恒在的下方，所以無解，所以總獎金不會超過銷售利潤的五分之一.20.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)記關(guān)于x的方程在區(qū)間上的解從小到大依次為，試確定正整數(shù)n的值，并求的值．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)，.【解析】【分析】(1)將代入，求出函數(shù)的解析式，根據(jù)求出的范圍，即可求出函數(shù)的最大值和最小值；(2)由方程可得，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得n的值和的值.【小問1詳解】將代入，得，即，解得，，因為，所以，所以，當時，，所以，所以，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為；【小問2詳解】因為，所以，即，，由余弦函數(shù)性質(zhì)可知，在上有4個解，所以，即，，，累加可得，.21.已知為奇函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的判斷；(2)若關(guān)于x的方程有8個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；證明見解析.(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求得的值，用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)的單調(diào)性.(2)將已知方程因式分解得，，作出的圖像，數(shù)形結(jié)合即可得到的