2020-2021學年北京市西城區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

2020-2021學年北京市西城區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1一10題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個

1.（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<4B.x>4C.x>4D.x20

2.（3分）如圖，在。ABC。中，ZC=70°,于點E,則NADE的度數(shù)為（）

.4,________________D

Bc

A.30°B.25°C.20°D.15°

3.（3分）下列各式中是最簡二次根式的是（）

A.娓B.V8C.舊D.

4.（3分）下列線段a,b,c組成的三角形中，能構成直角三角形的是（）

A.a—\,b=2,c—2B.a—2,b—3,c—4

C.a—3,b=4,c—6D.a—1,b—1,c—y[2

5.（3分）在一次學校田徑運動會上，參加男子跳高的20名運動員的成績?nèi)绫硭荆?/p>

成績/m1.551.601.651.701.751.80

人數(shù)143462

這些運動員成績的眾數(shù)是（）

A.1.65B.1.70C.1.75D.1.80

6.（3分）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=4,。是AB邊的中點，則

CD的長為（）

D.717

7.（3分）下列命題中，正確的是（）

A.有一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有兩個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

8.（3分）學校組織?？萍脊?jié)報名，每位學生最多能報3個項目.下表是某班30名學生報

名項目個數(shù)的統(tǒng)計表：

報名項目個數(shù)0123

人數(shù)514ab

其中報名2個項目和3個項目的學生人數(shù)還未統(tǒng)計完畢.無論這個班報名2個項目和3

個項目的學生各有多少人，下列關于報名項目個數(shù)的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是（）

A.中位數(shù)，眾數(shù)B.平均數(shù)，方差

C.平均數(shù)，眾數(shù)D.眾數(shù)，方差

9.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OA8C的頂點A的坐標為（0,2）,頂點

B,C在第一象限，且點C的縱坐標為I,則點8的坐標為（）

A.(2,3)B.(3,3)C.(?,2b)D.(?,3)

2

10.（3分）如圖1,四邊形ABCQ是平行四邊形，連接BQ,動點尸從點A出發(fā)沿折線AB

-BO-QA勻速運動，回到點A后停止.設點戶運動的路程為x,線段4尸的長為y,圖

2是y與x的函數(shù)關系的大致圖象，貝gABC。的面積為（）

A.2475B.IOVTI

二、填空題（本題共21分，第11?15題每小題3分，第16?18題每小題3分）

11.（3分）計算：（??）2=.

12.（3分）已知正方形ABCD的對角線AC的長為3雙,則正方形ABCD的邊長為.

13.（3分）如圖，在nABCD中，對角線AC、8。相交于點。，點E是AB的中點，0E=5cm,

則AD的長是cm.

14.（3分）已知n是正整數(shù),且＞/百三也是正整數(shù),寫出一個滿足條件的〃的值:〃=.

15.（3分）如圖，在矩形A8CQ中，點E在邊AO上，EF平分乙4EC交8c于點尸.若A。

=7,AE=CD=3,則BF的長為.

16.（2分）用4張全等的直角三角形紙片拼接成如圖所示的圖案，得到兩個大小不同的正

方形.若正方形ABC。的面積為10,AH=3,則正方形的面積為.

18.（2分）如圖，點C在線段AB上，4c是等邊三角形，四邊形CCEf"是正方形.

（1）ZDAE=°；

（2）點P是線段AE上的一個動點，連接PB,PC.若AC=2,BC=3,貝IPB+PC的最

小值為.

ACB

三、解答題（本題共49分，第19?25題每小題6分，第26題7分）

19.（6分）計算：

（1）3亞X近；

②0WI方而

20.（6分）如圖，在。A8CD中，點E,尸分別在邊AB,C￡＞上，BE=DF,EF與對角線4c

21.（6分）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.（1丈=10尺）

大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水

的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬A8=10

尺，線段CD,CB表示蘆葦，CDLAB于點E.

（1）圖中。E=尺，EB=尺；

（2）求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度.

22.（6分）在Rt/XABC中，ZACB=90°，點。是邊AB上的一個動點，連接CD作4E

//DC,CE//AB,連接ED.

(1)如圖1,當CD_LAB時，求證：AC=ED-,

(2)如圖2,當。是AB的中點時，

①四邊形ADCE的形狀是；(填“矩形”、“菱形”或“正方形”)

②若AB=10,ED=8,則四邊形AOCE的面積為.

23.(6分)對于函數(shù)y=|x-1|,小蕓探究了該函數(shù)的部分性質(zhì)，下面是小蕓的探究過程，

請補充完整：

(1)①對于函數(shù)y=|x-1|,當xWl時，y=-JC+1；當x>l時，y=；

②當時、函數(shù)y=|x-1|的圖象如圖所示，請在圖中補全函數(shù)y=|x-1|的圖象；

(2)當y=3時，X—；

(3)若點A(-1,>,1)和B(%2,”)都在函數(shù)y=|x-1|的圖象上，且”>yi,結合函

數(shù)圖象，直接寫出k的取值范圍.

24.(6分)某校七年級和八年級學生人數(shù)都是200人，學校想了解這兩個年級學生的閱讀

情況，分別從每個年級隨機抽取了40名學生進行調(diào)查，收集了這80名學生一周閱讀時

長的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.七、八年級各抽取的40名學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖(不完整)如圖(兩個年級的數(shù)

據(jù)都分成6組：0WxV2,2<xV4,4Wx<6,6Wx<8,8<x<10,10Wx<

12)

八年級學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖

七年級學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖

圖1圖2

b.八年級學生一周閱讀時長在6Wx<8這一組的數(shù)據(jù)是：66666.56.5777

77.57.5.

c.七、八年級學生一周閱讀時長的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級6.22577

八年級6.375m8

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)圖1中0％=%；

(2)①補全八年級學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖(圖2)；

②上表中m的值為.

(3)將收集的這80名學生的數(shù)據(jù)分年級由大到小進行排序，其中有一名學生一周閱讀

時長是6.5小時，排在本年級的前20名，由此可以推斷他是年級的學生;(填“七”

或“八”)

(4)估計兩個年級共400名學生中，一周閱讀時長不低于8小時的人數(shù).

25.(6分)在平面直角坐標系xO)，中，點A在x軸的正半軸上，點8在第一象限，作射線

OB.給出如下定義：如果點P在/的內(nèi)部過點P作尸M_LOA于點PNLOB于

點N,那么稱與PN的長度之和為點P關于Z80A的“內(nèi)距離”，記作“(P,NBOA),

即d(P,NBOA)=PM+PN.

(1)如圖1,若點P(3,2)在N8OA的平分線上，則PM=,PN=,

d（尸，NBOA）-；

（2）如圖2,若NBOA=75°，點C（a,a）（其中a>0）滿足"（C,ABOA）=2+圾,

求a的值；

（3）若NBOA=60°，點。（w，〃）在NBO4的內(nèi)部，用含血"的式子表示"（。，

ZBOA）,并直接寫出結果.

圖1圖2

26.（7分）已知NMCW=90°,點A是射線ON上的一個定點，點8是射線0M上的一個

動點，且滿足OB>OA.點C在線段04的延長線上，且AC=08.

（1）如圖1,CD//OB,CD=OA,連接A。，BD；

①△408與4______全等，ZOBA+ZADC^°；

②若04=〃，OB=b,則B￡）=；（用含a,6的式子表示）

（2）如圖2,在線段80上截取BE,使BE=OA,連接CE.若N054+N0CE=B，當

點B在射線0M上運動時，0的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出這個定值；如

果變化，請說明理由.

27.(6分)在學習二次根式的過程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關

系:

例如：由(揚1)(圾-1)=1,可得揚?與1互為倒數(shù)，即—=72-—

V2+1V2-1

=揚1.類似地，1f-=M-近,31-=心近；—4=2—J

V3+V2V3-V22+V32-V3

2+?;

根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：

(1)」廠=_________,,1,=_______；("為正整數(shù))

V^)+\l5Vn+lWn

(2)若一A——=2近1-m,則，"=______；

2V2tm

(3)計算：/,+「］「+廠1廠+…I/1/=__

V2+1V3+V2V4N37100+799

五、解答題(本題共14分，第28題6分，第29題8分)

28.(6分)如圖，△ABC和△￡>"都是等邊三角形，ZACD=a(60°<a<120°)，點P,

Q,M分別是AZ),CD,CE的中點.

(1)求NPQM的度數(shù)；(用含a的式子表示)

(2)若點N是BC的中點，連接MW,NP,PM,求證：△PNM是等邊三角形.

if)

29.(8分)在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點M(xi,y]),NQxi,"),我們將|xi

-匐+2|yi-”|稱為點"與點N的“縱2倍直角距離”，記作dMN.

例如：點M(-2,7)與N(5,6)的“縱2倍直角距離”曲加=卜2-5|+2|7-6|=9.

(1)①已知點Pi(1,1),P2(-4,0),尸3(0,3),則在這三個點中，與原點O的

2

“縱2倍直角距離”等于3的點是；

②已知點P(x,y),其中y^O.若點P與原點。的''縱2倍直角距離”辦0=3,請在

下圖中畫出所有滿足條件的點P組成的圖形.

(2)若直線)，=2x+〃上恰好有兩個點與原點。的“縱2倍直角距離”等于3,求〃的取

值范圍；

(3)已知點A(1,1),8(3,1),點TG,0)是x軸上的一個動點，正方形CDEF的

頂點坐標分別為C(z-X0),D(n工)，E(r+1,0),F(n-1).若線段AB上

2222

存在點G,正方形CDEF上存在點、H,使得dGH=5,直接寫出f的取值范圍.

Vn

5-

4-

3-

2-

1.

IIIII_____I1111.

-5Y-3-2-1O12345x

-1一

-4

2020-2021學年北京市西城區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1—10題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個

L（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<4B.x24C.x>4D.x20

【解答】解：在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

貝Ijx-42O,

解得：x-4.

故選：B.

2.（3分）如圖，在aABCD中，/C=70°,￡>E_LAB于點E,則NAOE的度數(shù)為（)

【解答】解：???四邊形ABC。是平行四邊形,

.?.NC=/A=70°，

'：DELAB,

：.ZAED=90°,

：.ZADE=90°-NA=90°-70°=20°,

故選：C.

3.（3分）下列各式中是最簡二次根式的是（）

A.V5B.V8C.11D.^2

【解答】解：小正是最簡二次根式；

B、近=反方=2衣，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式;

C、后掾,被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；

D、J不=10,被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式；

故選：A.

4.（3分）下列線段a,b,c組成的三角形中，能構成直角三角形的是（）

A.a—\,b—2,c—2B.a—2,b—3,c—4

C.a—3,b—4,c—6D.a=\,b=1,

【解答】解：A,l2+22^22,故不能構成直角三角形，不符合題意；

B、22+32^42,故不能構成直角三角形，不符合題意；

C、32+42/62,故不能構成直角三角形，不符合題意；

D.12+12=（&）2,故能構成直角三角形，符合題意.

故選：D.

5.（3分）在一次學校田徑運動會上，參加男子跳高的20名運動員的成績?nèi)绫硭?

成績/團1.551.601.651.701.751.80

人數(shù)143462

這些運動員成績的眾數(shù)是（）

A.1.65B.1.70C.1.75D.1.80

【解答】解：這組數(shù)據(jù)中1.75米出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.

故選：C.

6.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=1,BC=4,力是AB邊的中點，則

CQ的長為（）

A.AB.2C.D.J17

22

【解答】解：在△A8C中，ZACB=90°,AC=1,BC=4,

則由勾股定理知：AB=VAC2+BC2=V12+42=^,

又；。為AB的中點，

:.CD=1AB=^-.

22

故選：C.

7.（3分）下列命題中，正確的是（）

A.有一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有兩個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

【解答】解：4、有一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，例如等腰梯形，本選項

說法錯誤，不符合題意；

B、有兩個角是直角的四邊形不一定是矩形，例如直角梯形，本選項說法錯誤，不符合題

意；

C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，本選項說法錯誤，不符合題意；

。、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，本選項說法正確，符合題意；

故選：D.

8.（3分）學校組織?？萍脊?jié)報名，每位學生最多能報3個項目.下表是某班30名學生報

名項目個數(shù)的統(tǒng)計表：

報名項目個數(shù)0123

人數(shù)514ab

其中報名2個項目和3個項目的學生人數(shù)還未統(tǒng)計完畢.無論這個班報名2個項目和3

個項目的學生各有多少人，下列關于報名項目個數(shù)的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是（）

A.中位數(shù)，眾數(shù)B.平均數(shù)，方差

C.平均數(shù)，眾數(shù)D.眾數(shù)，方差

【解答】解：；共有30名學生報名這3個項目，

把這些數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第15、16個數(shù)的平均數(shù)，

則不報的和報1個的就有19人了，

所以中位數(shù)不會發(fā)生改變，

因為報2個項目和3個項目的一共有11人，

而報1個項目的就有14人，

所以眾數(shù)也不會發(fā)生改變.

故選：A.

9.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形0ABe的頂點A的坐標為（0,2）,頂點

B,C在第一象限，且點C的縱坐標為1,則點8的坐標為（)

A.(2,3)B.(2,3)C.(5/3,25/3)D.(?,3)

【解答】解：延長BC交x軸于H,

?.?菱形。48c的頂點A的坐標為（0,2）,

：.OA^OC=BC=2,AO//BC,

...NB〃O=/4OH=90°,

?.?點C的縱坐標為1,

CH=1,BH=3,

OH--CH2='4-1=V3>

，點6（“，3）,

故選：D.

10.（3分）如圖I,四邊形ABCD是平行四邊形，連接8力，動點尸從點A出發(fā)沿折線48

~BZ5~ZM勻速運動，回到點A后停止.設點P運動的路程為x,線段AP的長為y,圖

2是y與x的函數(shù)關系的大致圖象，則QABCD的面積為（）

圖1圖2

A.2475B.loVTlC.125/5D.36

【解答】解：在圖1中，作垂足為E,

在圖2中，取M(6,6),N(12,10),

圖1圖2

當點P從點A到點B時，對應圖2中OM線段，得4B=x=6,

當點P從8到0時，對應圖2中曲線MN從點M到點N,得AB+BD=x=12,解得8。

=6,

當點P到點。時，對應圖2中到達點M得A￡）=AP=y=8=10,

在△ABO中，AB=BD=6,AD=\0,BE1.AD,

解得AE=5,

在RtZXABE中，AB=6,AE=5,

BP+AP=AB2,

解得8E=J五，

。A8CD的面積=AOXBE=10XVT1=10VT1，

故選：B.

二、填空題（本題共21分，第11~15題每小題3分，第16?18題每小題3分）

11.（3分）計算：（夜）2=7.

【解答】解：原式=7,

故答案為：7.

12.（3分）已知正方形ABC。的對角線AC的長為3&,則正方形A8CD的邊長為3.

【解答】解：???四邊形4BCC是正方形，

：.AB=BC,NABC=90°,

.?.18=24#,

：.AB=3,

故答案為3.

13.（3分）如圖，在QABCZ）中，對角線AC、8。相交于點。，點E是AB的中點，0E=5cw,

則AD的長是10cm.

AD

【解答】解：：四邊形ABC。為平行四邊形，

:.BO=DO,

?.?點E是AB的中點，

.,.OE為aAB。的中位線，

：.AD^2OE,

OE=5cm,

'.AD=10cm.

故答案為：10.

14.（3分）已知n是正整數(shù)，且5/返工也是正整數(shù)，寫出一個滿足條件的n的值：〃=2.

【解答】解：；〃是正整數(shù)，且近蒜也是正整數(shù)，

.?.18-〃是一個完全平方數(shù)，

\T8-心0,解得：“W18,

.?.0＜后18,

則18-〃=12,解得：”=17,

或18-a=22,解得：n=14,

或18-"=32,解得：”=9,

或18-”=42,解得：〃=2,

當18-"=5?時，解得：”=-7,不符合”的范圍.

故答案為：2或9或14或17（只填一個即可）.

15.（3分）如圖，在矩形A8CD中，點E在邊A。上，EF平分NAEC交BC于點F.若AO

=7,AE=CD=3,則BF的長為2

D

B1——《--------

FJ

【解答】解：:四邊形A3CQ是矩形，

：.AD//BC,AD=BC=7,

???ZAEF=NEFC,

???石尸平分NAEC,

???ZAEF=NCEF,

：?/CEF=/CFE,

:.CE=CF,

?.?AQ=7,AE=CD=3,

：.DE=4f

￡C=VDC2+DE2=^+^=5'

AFC=5,

:.BF=2,

故答案為2.

16.（2分）用4張全等的直角三角形紙片拼接成如圖所示的圖案，得到兩個大小不同的正

方形.若正方形45CQ的面積為10,AH=3,則正方形EFG4的面積為4.

【解答】解：:正方形ABCQ的面積為10,

?"。2=10,

'DH=JAD2_AH2=410-9=1,

絲△DGC,

：.AH=DG=3f

:?HG=DG-DH=2,

???正方形EFGH的面積=〃G2=4,

故答案為:4.

17.(2分)為了滿足不同顧客對保溫時效的要求，保溫杯生產(chǎn)廠家研發(fā)了甲、乙兩款保溫

杯.現(xiàn)從甲、乙兩款中各隨機抽取了5個保溫杯，測得保溫時效(單位：/?)如表：

甲組1112131415

乙組x6758

如果甲、乙兩款保溫杯保溫時效的方差是相等的，那么x=4或9.

【解答】解：甲組的平均數(shù)是2X(11+12+13+14+15)=13(h),

則甲的方差52=A[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]

乙組的平均數(shù)為X+6+7+5+8=26+X⑺,

55

乙的方差為：1[(X-26+x)2+(6.26+x)2+(7.26+x)2+(5.26+x)2+(8.26+x)

由題意得上[(x-26^)2+(6.26+^)2+。-26+^)2+(5.26+x)2+(8.26+x)

555555

2]=2,

解得x=4或x=9,

故答案為：4或9.

18.(2分)如圖，點C在線段AB上，△D4C是等邊三角形，四邊形CQEF是正方形.

(1)ZDAE=15°；

(2)點尸是線段AE上的一個動點，連接PB,PC.若AC=2,BC=3,則PB+PC的最

小值為_/藥_.

【解答】解：(1)4c是等邊三角形,

：.ZDAC=ZADC=60a,AD=DC,

?..四邊形CQEF是正方形,

：.CD=DE,NEDC=90°,

...△AQE是等腰三角形,

.-.ZDAE=A(180°-90°-60°)=15°,

2

故答案為15°；

(2)作C點關于4E的對稱點C,連接CB與4E交點為P,

:.PB+PC=BC,

,：ZEAD=15°,ZDAC=60°,

.?./GAC=45°,

：AG_LCG,

：.ZDCA=45°,

VAC=2,

.,.GC=V2>

；.CC=2&,

過。作CHJ_AC,則△CC〃為等腰直角三角形，

CH=2,

與A重合，

：.CAVAC,

在RtzMBC中，AB=AC+BC=5,AC=2,

技，

；.P8+PC的最小值為技，

故答案為J藥.

三、解答題（本題共49分，第19?25題每小題6分，第26題7分）

19.（6分）計算：

（1）3MX氓;

⑵V18+A/io^V5-

【解答】解：（1）原式=3歷］

—65/3;

（2）原式=3折J10。5

=3揚加

=4心

20.（6分）如圖，在0ABec中，點E,F分別在邊A8,8上，BE=DF,EF與對角線AC

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AB//CD,AB=CD,

:BE=DF,

：.AB-BE=CD-DF,

：.AE=CF,

，四邊形AECF是平行四邊形，

：.OE=OF.

21.（6分）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.（1丈=10尺）

大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水

的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬AB=10

尺，線段CD,C8表示蘆葦，CD上AB于點E.

（1）圖中￡）E=1尺，EB=5尺；

(2)求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度.

【解答】解：(1)由題意可得：￡>E=1尺，BE—^AB=5R；

2

故答案為：1,5；

(2)設蘆葦長0c=BC=x尺，

則水深EC=(x-1)尺，

在RtAECB中,

52+(x-1)2=x2,

解得：x=13,

則EC=13-1=12(尺),

答：蘆葦長13尺，水深為12尺.

22.(6分)在RtZXABC中，ZACB=90°，點。是邊AB上的一個動點，連接CD.作4E

//DC,CE//AB,連接ED

(1)如圖1,當CQ_LA8時，求證：AC=ED；

(2)如圖2,當。是AB的中點時，

①四邊形AOCE的形狀是菱形；(填“矩形”、“菱形”或“正方形”)

②若AB=10,ED=8,則四邊形ADCE的面積為24.

圖1圖2

【解答】(1)證明：；A￡〃OC,CE//AB,

:.四邊形ACCE是平行四邊形，

'：CD±AB,

：.ZADC=90°,

四邊形AZJCE是矩形，

：.AC=ED.

(2)①解：'：AE//DC,CE//AB,

...四邊形AOCE是平行四邊形，

VZACB=90°,。為A8的中點，

:.AD=CD=BD,

...四邊形AQCE是菱形，

故答案為菱形；

②；四邊形ADCE是菱形，

.,.ACLDE,

XVAC1BC,

J.DE//BC,

'CCE//AB,

四邊形ECBD是平行四邊形，

:.DE=BC=8,

；AB=10,

，，MC=VAB2-BC2=V102-82=6,

二四邊形AOCE的面積為/AODE=-^-X6X8=24.

故答案為24.

23.(6分)對于函數(shù)y=|x-1|,小蕓探究了該函數(shù)的部分性質(zhì)，下面是小蕓的探究過程，

請補充完整：

(1)①對于函數(shù)y=|x-1|,當xWl時，y=-x+1；當x>l時，y=x-｝；

②當xWl時，函數(shù)y=|x-1|的圖象如圖所示，請在圖中補全函數(shù)y=|x-1|的圖象；

(2)當y=3時，x=-2或4；

(3)若點A(-1,y\)和3(工2,”)都在函數(shù)y=|x-1|的圖象上，且y2>yi,結合函

數(shù)圖象，直接寫出X2的取值范圍.

【解答】解：（1）①對于函數(shù)y=|x-1|,當時，尸-x+1；當Q1時，y=x-l；

故答案為：x-1；

②函數(shù)圖象如圖所示；

（2）把y—3代入y--x+\求得x=-2,

把y=3代入y=x-1求得x=4,

.,.當y=3時，x=-2或4,

故答案為-2或4；

（3）?.?函數(shù)圖象關于直線x=l對稱，

Ax=-1和x=3時的函數(shù)值相同，

觀察圖象，當月>）1時，X2<-1或X2>3.

24.（6分）某校七年級和八年級學生人數(shù)都是200人，學校想了解這兩個年級學生的閱讀

情況，分別從每個年級隨機抽取了40名學生進行調(diào)查，收集了這80名學生一周閱讀時

長的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

乙七、八年級各抽取的40名學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖（不完整）如圖（兩個年級的數(shù)

據(jù)都分成6組：0WxV2,2<xV4,4Wx<6,6Wx<8,8<x<10,10Wx<

12)

八年級學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖

七年級學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖

圖1圖2

b.八年級學生一周閱讀時長在6Wx<8這一組的數(shù)據(jù)是：66666.56.5777

77.57.5.

c.七、八年級學生一周閱讀時長的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級6.22577

八年級6.375m8

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)圖1中〃％=10%；

(2)①補全八年級學生一周閱讀時長統(tǒng)計圖(圖2)；

②上表中m的值為6.25.

(3)將收集的這80名學生的數(shù)據(jù)分年級由大到小進行排序，其中有一名學生一周閱讀

時長是6.5小時，排在本年級的前20名，由此可以推斷他是八年級的學生;(填“七”

或“八”)

(4)估計兩個年級共400名學生中，一周閱讀時長不低于8小時的人數(shù).

【解答】解：(1)圖1中p%=l-(5%+22.5%+27.5%+30%+5%)=10%,即p=10,

故答案為：10；

(2)①4<x<6的人數(shù)為40-(5+12+10+2)=11(人)，

補全圖形如下：

八年級學生一周聞讀時長統(tǒng)計圖

頻數(shù)+

24681012聞讀時長/h

圖2

②由題意知，這組數(shù)據(jù)的第20、21個數(shù)據(jù)為6、6.5,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)〃?=史久§=6.25,

2

故答案為：6.25；

(3)..?這名學生一周閱讀時長是6.5小時，大于八年級閱讀時長的中位數(shù)6.25小時，而

小于七年級閱讀時長7小時，

...可以推斷他是八年級的學生，

故答案為：A.

(4)一周閱讀時長不低于8小時的人數(shù)為200X(30%+5%)+20()x1212=130(人).

40

25.(6分)在平面直角坐標系xO)，中，點A在x軸的正半軸上，點8在第一象限，作射線

OB.給出如下定義：如果點P在NBOA的內(nèi)部過點P作于點例，PMLOB于

點N,那么稱與PN的長度之和為點P關于NBO4的“內(nèi)距離”，記作NBOA),

即d(P,ZBOA)=PM+PN.

(1)如圖1,若點P(3,2)在NBOA的平分線上，則PM=2,PN=2,d(P,

ZBOA)=4；

(2)如圖2,若/8。4=75°，點C(a,a)(其中a>0)滿足"(C,ZBOA)=2+圾,

求a的值；

(3)若/BOA=60°,點Q(巾，n)在NBOA的內(nèi)部，用含〃?，〃的式子表示4(Q,

ZBOA),并直接寫出結果.

圖1圖2

圖1

；0尸平分/403,PM±OA,PNLOB,

：.PM=PN,

,:P(3,2),

：.PM=PN=2,

：.dCP,ZBOA)=2+2=4,

故答案為：2,2,4.

(2)如圖2中，過點。作CE_LOA于E,CF_L08于F.

圖2

VC（〃，a）,

/.EC=0E=a,OC—yl~2a,

???NEOC=45°,

VZA0B=15°,

：.ZC0F=15°-45°=30°,

VCF1OB,

：.CF=l.OC=^a,

22

'：d（C,ABOA}=2+&,

**?—2+,^2,

2

??a=2.

(3)如圖3中，過點。作QELOA于E,QFVOB^F,延長FQ交x軸于J.

:?QE=n,OE=m,

VZJFO=90°,ZFG>J=60°,

：.ZQJE=30Q,

\'ZQEJ=90°,

:?QJ=2QE=2〃,EJ=y[^EQ=Ci,

OJ—0E+EJ=m+\f3n,

.?.FJ=(?ycos30°=(m+y〃)?返=逅〃+當，

_222

:.FQ=FJ-QJ="^3.m+—n-2n=^-^in-An,

2222_

：.d(Q,NBOA)=QE+QF="+2/L〃-1=返，w+L.

2222

26.(7分)已知NMON=90°,點4是射線ON上的一個定點，點B是射線0M上的一個

動點，且滿足08>04.點C在線段04的延長線上，且AC=08.

(1)如圖1,CD//OB,CD=OA,連接A。，BD；

①DCA全等,ZOBA+ZADC=90°；

②若OA=a,OB—b,則BO=_\Fj>(a+b)；(用含a,。的式子表示)

(2)如圖2,在線段BO上截取8E,使BE=OA,連接CE.若/08A+N0CE=B，當

點B在射線OM上運動時，B的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出這個定值；如

果變化，請說明理由.

圖1圖2

【解答】解：(1)?'：CD//OB,

：.ZAOB=ZDCA=90c,

在aAOB和△OCA中,

'AO=DC

<ZAOB=ZDCA，

OB=CA

AAAOB^ADCA(SAS),

???NABO=NCAD,

9：ZCAD+ZADC=90°,

AZABO+ZADC=90°,

故答案為：OCA,90.

②如圖1中，過點。作OR,30交80的延長線于R.

AAOB^ADCA,

：.OA=CD=a,OB=AC=b,

?：NR=NROC=/DCO=90°,

???四邊形OCOR是矩形，

：?OR=CD=a,DR=OC=a+b,

RB=a+b,

：'BD=VBR2+DR2=V(a+b)2+(a+b)2^^2^+b).

故答案為：M(a+b).

(2)0的大小不變，P=45°.

理由：如圖2中，過點C作CW，AC,使得CW=O4.

在AAOB和△WC4中，

'OA=CW

<ZAOB=ZWCA>

OB=CA

A/\AOB^/\WCA(SAS),

：.AB=AWfZABO=ZCAWt

VZABO+ZBAO=90°,

：.ZBAO+ZCAW=90°,

AZBAW=90°,

AZAWB=45°,

'：BE=OA9CW=OA,

：.BE=CW,

VCW//OB,

???四邊形BECW是平行四邊形，

：.EC//BW,

：.ZCJW=ZAWB=45°,

VZCJW=ZCAW+ZECOfZCAW=ZABO,

圖2

圖1

四、填空題（本題6分）

27.（6分）在學習二次根式的過程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關

系：

例如：由（揚1）（&-1）=1,可得與&-1互為倒數(shù)，即以」=&-1,，L

V2+1V2-1

=y+1?類似地，「L=M-近,3廠=心血；-^==2-M，—L==

V3N2V3-V22+V32-73

2+V3：

根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：

(1)1,=—江五二日―；（〃為正整數(shù)）

3廠=一屆旄—，

V6+V5Vn+lWn

(2)若一—=2&-m,貝Ijm—_±^7_；

2V2+m

(3)計算：__1__+___1___+1+…]_I_=9

V2+1V3W2V4W3V100W99-

;

【解答】解：(1)(1)廠1/-[1——=--Vn+1-Vn("為正整數(shù))

V6W5Vn+lWn

故答案為、后-V5;Vn+1-Vii；

(2)—1—=2近-m,

2y/2+^

：.(2點+〃?)(2&-膽)=1,

.'.8-,"2=1,解得;?=土沂；

故答案為土丁7；

(3)原式=我-1+?-料+T-杼?+715^-屈

=Vioo-1

=10-1

=9.

故答案為9.

五、解答題（本題共14分，第28題6分，第29題8分）

28.（6分）如圖，AABC和△DCE都是等邊三角形，ZACD=a（60°<a<120°），點P,

Q,M分別是AO,CD,CE的中點.

（1）求NPQM的度數(shù)：（用含a的式子表示）

（2）若點N是8c的中點，連接NM,NP,PM,求證：是等邊三角形.

E

【解答】解：(1)???△COE是等邊三角形，

.?.ZCDE=60°,

?.,點P,Q,M分別是AQ,CD,CE的中點.

J.PQ//AC,QM//DE,

：.ZACD+ZPQC=180°,NCQM=NCDE=60°,ZACD^ZPQD=a,

AZP2