第1節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)

——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第1節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)1第七章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一.無窮級數(shù)的概念二.級數(shù)收斂的必要條件三.無窮級數(shù)的基本性質(zhì)2一.無窮級數(shù)的概念1.無窮級數(shù)的定義設(shè)有數(shù)列

{un}:u1,u2,…,un,…為一個(gè)無窮級數(shù),簡稱為級數(shù).稱un為級數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).則稱表達(dá)式34下列各式均為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)例152.級數(shù)的斂散性定義無窮級數(shù)的前n項(xiàng)之和：稱為級數(shù)的部分和.若存在,則稱級數(shù)收斂.S稱為級數(shù)的和：6若不存在(包括為

),發(fā)散.則稱級數(shù)7討論等比級數(shù)的斂散性.等比級數(shù)的部分和為：當(dāng)公比|r|<1時(shí),此時(shí)等比級數(shù)收斂,其和為：解例28當(dāng)公比|r|>1時(shí),當(dāng)公比r=1時(shí),Sn=a,n為奇數(shù)0,n為偶數(shù)當(dāng)公比|r|<1時(shí),等比級數(shù)收斂；當(dāng)公比r=

1時(shí),當(dāng)公比|r|

1時(shí),等比級數(shù)發(fā)散.綜上所述,9討論級數(shù)的斂散性.

解例310而故即該級數(shù)收斂,其和為11二.無窮級數(shù)的基本性質(zhì)有相同的斂散性,且

若c0為常數(shù),則與1.性質(zhì)112證的部分和為的部分和為故同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散,即與且有132.性質(zhì)214證的部分和為：故即級數(shù)收斂,且15因?yàn)榈缺燃墧?shù)所以級數(shù)例416一個(gè)收斂級數(shù)與一個(gè)發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？是發(fā)散的兩個(gè)發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定17

但對收斂級數(shù)來說,它的和將改變.在一個(gè)級數(shù)的前面加上或者去掉有限項(xiàng)后,所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同.3.性質(zhì)318證設(shè)級數(shù)的部分和為Sn,去掉級數(shù)的前面m項(xiàng)后得到的級數(shù)的部分和為19由于Sm當(dāng)m固定時(shí)為一常數(shù),所以故級數(shù)與級數(shù)20級數(shù)仍然收斂,且其和不變.對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新在級數(shù)運(yùn)算中,不能隨意加上或去掉括號,因?yàn)檫@樣做可能改變級數(shù)的斂散性.4.性質(zhì)421收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？不一定發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？不一定22原級數(shù)也發(fā)散如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散,原級數(shù)是否也發(fā)散？235.性質(zhì)5級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂,則必有定理證設(shè)24證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的:調(diào)和級數(shù)的部