小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)缺失與對(duì)策

小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)缺失與對(duì)策

曹培英

今天跟大家交流的題目大家可能比較陌生，就是課改背景下我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)的缺失與對(duì)策。應(yīng)該說(shuō)研究這個(gè)問(wèn)題的人不多，但我認(rèn)為這是一個(gè)重要的問(wèn)題，不應(yīng)該淡出我們的視野。

我們的話題就從課改背景下教師的專業(yè)發(fā)展說(shuō)起。前年我們都在回顧改革開(kāi)放，人民教育就準(zhǔn)備組一組稿，其中一篇要我寫，要我從實(shí)踐的角度寫一寫，我寫的文章中其中一個(gè)視角是從我們教師教育的視角來(lái)看，我們30年教育改革一個(gè)基本的發(fā)展軌跡，因?yàn)檫@30年的歷程我都親歷了，改革開(kāi)放之初，30年前，在我們開(kāi)始大規(guī)模改革之前呢，我們首先進(jìn)行了一場(chǎng)教師培訓(xùn)，現(xiàn)在回過(guò)頭來(lái)看，當(dāng)年的教師培訓(xùn)為后面的教學(xué)改革奠定了非常好的基礎(chǔ)，當(dāng)時(shí)的培訓(xùn)有個(gè)名稱叫做教材教法過(guò)關(guān)，低段的老師過(guò)低段的教材教法關(guān)，高段的老師過(guò)高段的教材教法關(guān)，如果你有能力也可以申報(bào)考全段的教材教法，分別給予不同的證書，為什么這樣一個(gè)席卷全國(guó)的培訓(xùn)會(huì)有非常好的基礎(chǔ)呢？因?yàn)榘購(gòu)U待興，當(dāng)時(shí)由于十年動(dòng)亂，當(dāng)時(shí)一切都從頭開(kāi)始，那是需要的，另外一個(gè)呢，我們也能想象，如果一個(gè)老師如果連教材都不理解不熟悉，基本的教學(xué)常規(guī)都不能很好的掌握的話，怎么可能有更多的注意力投向教學(xué)方法的改革。這個(gè)基礎(chǔ)上我們迎來(lái)了教學(xué)方法改革的春天，全國(guó)各地涌現(xiàn)了各種各樣的教學(xué)方法，具有本土特征的教學(xué)方法，拿我們小學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)講，大家耳熟能詳?shù)慕K邱學(xué)華老師的嘗試法，廣東深圳市教研員陳永年的驗(yàn)看法等等，都是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的，這些教學(xué)方法發(fā)展到后期呢，都形成了相對(duì)穩(wěn)定的教學(xué)模式，一個(gè)模式應(yīng)該有自己的改革目標(biāo)，改革理念，成熟的教學(xué)機(jī)構(gòu)、流程，相應(yīng)的理論支撐，相應(yīng)的教學(xué)策略，以及自己的評(píng)價(jià)，那么隨著教學(xué)方法改革的發(fā)展，很多有識(shí)之士發(fā)現(xiàn)，教學(xué)方法再怎么改革，只是一小部分參與，怎樣使所有的教師都參與其中，最直接有效的辦法就是改教材，教材改了，迫使所有用這個(gè)教材的老師都得考慮我這個(gè)方法是不是應(yīng)該相應(yīng)的進(jìn)行調(diào)整，于是各地都在自發(fā)的進(jìn)行教材改革，這種自下而上的教材改革，為我們現(xiàn)在推行的課程改革奠定了很好的基礎(chǔ)，這個(gè)學(xué)科教材的改革發(fā)展到后面，很多學(xué)校的領(lǐng)導(dǎo)發(fā)現(xiàn)一個(gè)學(xué)科單打獨(dú)斗，不成氣候，因此形成了整體改革，這個(gè)中小學(xué)的整體改革到今天還有一個(gè)全國(guó)的專業(yè)委員會(huì)，每?jī)赡甓紩?huì)搞一次活動(dòng)。從課程教材改革來(lái)講，在我國(guó)30年間有這樣一個(gè)發(fā)展過(guò)程。

隨著新一輪課程改革的推進(jìn)，人們發(fā)現(xiàn)文本上的課程要轉(zhuǎn)化為課堂上真實(shí)的課程，靠在座的各位，靠我們一線的老師。由于改革的過(guò)程中，出現(xiàn)了一些發(fā)展中的問(wèn)題，又把人們的目光引向到了教師教育的改革上來(lái)，南京的現(xiàn)代與經(jīng)典進(jìn)行到第十屆了，吸引了這么多老師參與，也是一個(gè)證明。今天的教師教育，最主要的特征我個(gè)人以為就是關(guān)注教師的專業(yè)發(fā)展，是不是我們過(guò)去沒(méi)有提專業(yè)發(fā)展？今天提了只是換了一個(gè)名詞而已呢，不是！比較實(shí)質(zhì)性的差異，在于過(guò)去的培訓(xùn)，我們是“磨刀”，“磨刀不誤砍柴工”，利其器。今天的培訓(xùn)呢，不光是利其器，還關(guān)注使用工具人的本身，善其身。從改革的主體教師來(lái)講，實(shí)際經(jīng)歷一個(gè)螺旋上升的過(guò)程。

關(guān)注教師專業(yè)發(fā)展，教師專業(yè)發(fā)展的特點(diǎn)和內(nèi)涵又有些什么呢？縱向看，教師職業(yè)從經(jīng)驗(yàn)化、隨意化到專業(yè)化，經(jīng)歷了逐步發(fā)展的過(guò)程。這段時(shí)間并不長(zhǎng)。橫向看，教師專業(yè)的不可替代性不夠突出。教師和醫(yī)生作比較，最初這個(gè)職業(yè)半斤八兩，都很辛苦的，國(guó)外研究表明，標(biāo)志性的事件是青霉素的發(fā)展，一針下去，燒退了，炎消了。試問(wèn)我們教師有特效藥嗎？今天，醫(yī)生專業(yè)，幾乎所有的現(xiàn)代技術(shù)都能應(yīng)用，而我們呢。在上海進(jìn)行全面的檢查，3到5萬(wàn)，一項(xiàng)檢查能預(yù)測(cè)你半年內(nèi)會(huì)不會(huì)得癌癥，這一項(xiàng)，一萬(wàn)塊。我們憑什么工具來(lái)檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況呢？只能靠最傳統(tǒng)的，刺激，反應(yīng)，給他出兩道題，根據(jù)他的回答來(lái)判斷，他的狀態(tài)怎樣，怎樣思考的?？赡苓B老中醫(yī)都不如。中醫(yī)怎么看病，望聞問(wèn)切。把脈來(lái)講，大戶人家的千金，不讓你碰，放一個(gè)簾子，老頭在這一頭，閉目養(yǎng)神幾分鐘，居然可以判斷主人小女無(wú)恙，有喜了。我們有這樣的診斷技術(shù)嗎？也有人不同意這樣的類比。一個(gè)是面對(duì)生理，一個(gè)是面對(duì)心理。但我認(rèn)為從專業(yè)發(fā)展的角度來(lái)看，可以做些類比。原來(lái)上海市副市長(zhǎng)，擔(dān)任上海市教委主任，原來(lái)是兒科專家，他就說(shuō)，到了教育系統(tǒng)以后，感覺(jué)教育的現(xiàn)代化，還不夠。一旦停電，現(xiàn)在的醫(yī)院都沒(méi)法工作。掛號(hào)要靠電腦，收費(fèi)要靠電腦，一停電，他能干什么？什么也不能干！但是一旦停電的話，學(xué)校可以照常上課，把窗戶打開(kāi)，靠自然光，沒(méi)有投影，用黑板。這些例子說(shuō)明我們的發(fā)展還在準(zhǔn)專業(yè)，半專業(yè)，發(fā)展中待成熟的專業(yè)的這種狀態(tài)下。

當(dāng)前的背景，我們中國(guó)的教育應(yīng)該說(shuō)是非常成功的。世界上最了不起最偉大的教育事業(yè)。解決了這么多人的讀書問(wèn)題。我們已經(jīng)基本解決了人人都有書讀的問(wèn)題。隨著，社會(huì)對(duì)教育的要求就是人人讀好書，大家都在呼喚優(yōu)質(zhì)教育。優(yōu)質(zhì)教育最本質(zhì)最難辦的是什么呢？就是優(yōu)質(zhì)的教師。拿上海來(lái)講，薄弱學(xué)校改造，硬件很快，兩年工夫，只有有錢，砸下去都好辦。我們有一個(gè)區(qū)，每一個(gè)教室都配實(shí)物投影儀，它的這個(gè)采購(gòu)單一出來(lái)，兩個(gè)月之間，搞得整個(gè)東南亞實(shí)物投影儀脫銷。優(yōu)質(zhì)的教師呢？難！所以現(xiàn)在有些地方就采用削峰填坡，把好的學(xué)校的大，拓展范圍更廣。再比如：甲乙兩個(gè)候選人得票數(shù)相同，老師做了4個(gè)紙團(tuán)，只有一個(gè)畫有☆。甲先摸，摸中了，乙認(rèn)為不公平；又有同學(xué)說(shuō)，甲先摸，摸中的可能性是1/4，如果沒(méi)摸中，乙接下去摸，摸中的可能性是1/3，所以這種方法不公平。你認(rèn)為呢？總而言之，這些方法不公平。怎么辦呢？我們把所有方法枚舉一下，可以解決先摸，后摸的問(wèn)題。已知一個(gè)畫有☆，另外三個(gè)分別為1，2，3，無(wú)論誰(shuí)先摸，甲先摸，摸到的可能性有三種，乙后摸，摸到的可能性也有三種，都是1/4。如果甲先摸，沒(méi)有摸中，拿走了，就剩下三個(gè)，可能性是不是1/3？因?yàn)榧紫让?，沒(méi)有摸中的可能性是3/4，乙是在3/4的可能性下去摸的1/3可能，所以他的可能性是3/12，所以這種方式是不公平的，這可能超過(guò)了小學(xué)生的認(rèn)知水平，現(xiàn)在已經(jīng)做了調(diào)整。

我們?cè)诳匆粋€(gè)例子，教學(xué)平移旋轉(zhuǎn)中的摩天輪，情景是游樂(lè)園，農(nóng)村的老師意見(jiàn)非常大，向你們提個(gè)意見(jiàn)，你們都是城市的情景，農(nóng)村哪有游樂(lè)園，現(xiàn)在的教材基本上適合城里的老師教城里的學(xué)生。老師以游樂(lè)園為情景，討論摩天輪時(shí)都認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)，有個(gè)學(xué)生要發(fā)言，他說(shuō)，我坐過(guò)摩天輪，我坐在上面始終是頭朝上，腳朝下，所以我認(rèn)為人坐在上面是平移，不是旋轉(zhuǎn)。怎么辦？我們現(xiàn)有的手段就是討論討論，意見(jiàn)很多，最終不了了之。到底是什么呢？通過(guò)畫上箭頭，可以發(fā)現(xiàn)是平移，這個(gè)問(wèn)題去問(wèn)物理老師，他們都能答對(duì)，是平移。我們讓摩天輪轉(zhuǎn)，某一時(shí)刻停下，去兩個(gè)點(diǎn)，座艙上部的左端，右端，連線，得到的是什么？是一組平行線，因此是平移。是不是旋轉(zhuǎn)呢？將上面的一個(gè)點(diǎn)跟中心的點(diǎn)連起來(lái)，發(fā)現(xiàn)不是旋轉(zhuǎn)。

大家可以參考這篇文章，2006年暑期的圖形與變化的備課與教學(xué)。

下面討論第四個(gè)，數(shù)學(xué)研究問(wèn)題一個(gè)簡(jiǎn)單的策略就是簡(jiǎn)化問(wèn)題，抽象問(wèn)題。我們可以說(shuō)把座艙看作一個(gè)點(diǎn)可以不討論。第四個(gè)方面的問(wèn)題，課改理念被誤讀，導(dǎo)致教師學(xué)科思維出現(xiàn)混亂。這次課改通俗培訓(xùn)，變化是很大的，也起到了一定的作用。但如果不深入理解的話，我們一些老師會(huì)認(rèn)為我們可以依據(jù)課改理念重新解讀學(xué)科知識(shí)，這就不對(duì)。比如看到其他學(xué)科老師，學(xué)生回答什么都表?yè)P(yáng)，特別語(yǔ)文學(xué)科，老師很寬容，這個(gè)對(duì)，那個(gè)也對(duì)。因?yàn)檎Z(yǔ)文有同義詞，近義詞。數(shù)學(xué)呢？7+8=14，對(duì)嗎？嗯，還差一點(diǎn)，繼續(xù)努力！這有意義嗎？再比如，分?jǐn)?shù)比大小，二分之一和三分之一，哪個(gè)大？毫無(wú)異議，是二分之一大，但一位學(xué)生說(shuō)：大圓的三分之一就比小圓的二分之一大。有意思的是這樣的回答有85%的得到老師的肯定。于是，我編了這樣一道測(cè)試?yán)蠋煹念}目：“老師問(wèn)：2大，還是3大？甲生：3大，因?yàn)?歲小孩比2歲小孩大。乙生：2大，因?yàn)槔隙壤先?。?qǐng)從自然數(shù)的兩種含義說(shuō)明誰(shuí)的判斷正確。”這道題的得分率也是很低的。

其實(shí)我們的大小都是在基數(shù)意義下比較的。最基本的一條規(guī)定就是要么a>b,a最后再談一個(gè)，教師學(xué)科的童化現(xiàn)象，影響教師自身的發(fā)展。源于對(duì)老師的觀察。

×××，中師畢業(yè)（在校期間，曾任數(shù)學(xué)課代表），在職進(jìn)修獲本科學(xué)歷（大專學(xué)的是小學(xué)教育，理科；本科改學(xué)文科）。16年教齡，一直任教數(shù)學(xué)，鉆研業(yè)務(wù)勁頭較足，所教班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)很好，兩次參加教學(xué)評(píng)比獲獎(jiǎng)，是一位比較典型的小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師。一次公開(kāi)課上，她隨手在黑板上畫了個(gè)三角形，標(biāo)上三條邊長(zhǎng)的厘米數(shù)1、2、3，直到下課未發(fā)現(xiàn)不妥。課后經(jīng)人指出，羞愧不已：“我怎么會(huì)犯如此低級(jí)的錯(cuò)誤！”顯然，“三角形任意兩邊長(zhǎng)之和大于第三邊”的知識(shí)不是遺忘了，而是“當(dāng)時(shí)沒(méi)想到”。

又有一次，講述射線與圓角的區(qū)別，只從表示方式上詳細(xì)指出：射線用兩個(gè)字母表示；周角用三個(gè)字母表示，且標(biāo)有一圈弧。就是忘了從概念的本質(zhì)屬性去說(shuō)明它們的區(qū)別。原因呢？又是“沒(méi)想到”。同時(shí)還解釋說(shuō)：這是采用了某某參考書上的說(shuō)法，記得有一節(jié)教學(xué)評(píng)優(yōu)獲獎(jiǎng)?wù)n也是這樣處理的，所以沒(méi)再多想。像這樣正在教學(xué)的基本概念，用“遺忘”是解釋不通的。為什么課前查閱資料、撰寫教案時(shí)，以及課中親口陳述時(shí)，都沒(méi)想起呢？

諸如此類、司空見(jiàn)慣的個(gè)案，都不僅僅是偶然的遺忘。那么，是因?yàn)樾W(xué)的教學(xué)內(nèi)容太簡(jiǎn)單，教久了，勢(shì)必出現(xiàn)學(xué)科知識(shí)的“退化”嗎？

分析教師的成長(zhǎng)歷程，剛踏上講臺(tái)，兒童語(yǔ)言貧乏，也不了解兒童思維。為了搞好教學(xué)，經(jīng)過(guò)幾年的努力，豐富了兒童語(yǔ)言，熟悉了兒童思維。表現(xiàn)在備課時(shí)、課堂上，能自然而然地想兒童所想了。這是教師勝任小學(xué)教育的必由之路。的確，要想深入了解兒童的文化，真正成為他們的學(xué)習(xí)伙伴，就要進(jìn)入兒童的世界，像兒童那樣思維，在自己的頭腦里重建兒童的心智。與此同時(shí)，教師自身的思維也有可能被兒童同化而“童化”。而且鉆得越深，童化的可能性就越大。

基于以上分析，我們認(rèn)為教師本體性知識(shí)缺失的職后原因，除了學(xué)習(xí)的自然遺忘，更重要的是教師思維的“童化”，即伴隨教師重建兒童心智的努力，而出現(xiàn)的本體性知識(shí)及其思維的退化。

類似地，教師數(shù)學(xué)能力的缺失，除了“先天不足”，也有后天“童化”的原因。

如“x=（128－36）÷4不是方程”“是算術(shù)方程”。很多老師認(rèn)為是算術(shù)方程。

又如女生a人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，2a+a表示男生和女生的人數(shù)和？2a-a表示什么？習(xí)慣上說(shuō)是男女生相差的人數(shù)，其實(shí)有兩個(gè)答案，a海表示女生的人數(shù)。

長(zhǎng)方形框，釘木條，哪種能使木框不變形？

課后討論，1、2兩種還是變形，你焊一個(gè)鐵框，能拉得動(dòng)嗎？所以出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)?zāi)艽鏀?shù)學(xué)證明嗎？這個(gè)例子是多年前的，那時(shí)新一輪課改還沒(méi)有來(lái)。

我要強(qiáng)調(diào)的是實(shí)驗(yàn)?zāi)芸吭V我們有所發(fā)現(xiàn)，過(guò)去我們不重視它，那樣不對(duì)。但應(yīng)該知道數(shù)學(xué)最終的結(jié)論要靠邏輯推理，這是數(shù)學(xué)的精髓。如果數(shù)學(xué)也考實(shí)驗(yàn)說(shuō)話，那要數(shù)學(xué)干什么，物理、化學(xué)都靠實(shí)驗(yàn)。這也是數(shù)學(xué)有別于其他學(xué)科最基本的特征。驗(yàn)證不能確立結(jié)論，在我們小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)驗(yàn)證，那時(shí)幫我們小學(xué)生確信。

再比如，哥德巴赫猜想驗(yàn)證了無(wú)數(shù)次，從來(lái)沒(méi)有一個(gè)反例，但他還是猜想！我這輩子不知能不能看到有數(shù)學(xué)家把它證明出來(lái)？

面對(duì)這些缺失的種種表現(xiàn)我們應(yīng)該怎么辦呢？我認(rèn)為最關(guān)鍵的應(yīng)該是端正我們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)。

下面談?wù)勗鯓诱J(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，數(shù)學(xué)是什么？網(wǎng)上有一位數(shù)學(xué)老師說(shuō)：今天我問(wèn)學(xué)生：數(shù)學(xué)是什么？只有一位學(xué)生舉手回答。為什么學(xué)了六年數(shù)學(xué)，卻不知數(shù)學(xué)是什么？他們不敢說(shuō)，拿不準(zhǔn)。那我們給學(xué)生頭腦中流下了什么數(shù)學(xué)痕跡呢？感興趣的老師后天回去可以問(wèn)問(wèn)你的學(xué)生，問(wèn)問(wèn)他們數(shù)學(xué)是什么？看看他們會(huì)有何回答。如果你跟學(xué)生關(guān)系很好，你的學(xué)生一定回答得很精彩。我曾經(jīng)看過(guò)一個(gè)資料：前蘇聯(lián)也做過(guò)這樣的調(diào)研，他們的學(xué)生回答中有學(xué)生說(shuō)數(shù)學(xué)是帝國(guó)主義課程。

一位母親說(shuō)，數(shù)學(xué)是頭痛，小學(xué)我看到應(yīng)用題，立馬頭發(fā)脹?，F(xiàn)在拿起女兒的數(shù)學(xué)書還心有余悸。好在初中學(xué)了解方程，才讓我的數(shù)學(xué)恐懼癥消失了。但是在我們的周圍還有一些人數(shù)學(xué)恐懼癥伴隨他們終身。舉一個(gè)名人，崔永元。他寫了一本書《不過(guò)如此》里面有一段談了數(shù)學(xué)：對(duì)我來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是疤痕，是淚痕……書中談到他一天上街賣西瓜，攤主馬上給他最大的18斤8兩，攤主說(shuō)市面上1元8一斤，崔哥你看著給，崔永元聽(tīng)了臉都白，論稱才一百元，拿了西瓜不找了?；氐郊遥耄何页鋈サ臅r(shí)候還心情很愉快的，為什么會(huì)發(fā)這么大的火呢？仔細(xì)一想原來(lái)是多年的數(shù)學(xué)恐懼癥復(fù)犯了。

我們數(shù)學(xué)老師怎么回答？好像清楚，又好像不清楚，需要回答嗎？引用鄭教授一句話：正是在學(xué)校這樣一個(gè)環(huán)境中，大多數(shù)人開(kāi)始形成了自己的“數(shù)學(xué)觀念”，而且在大多數(shù)情況下，這些觀念在他們以后的生涯中一直得到保持?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要弊端就在于：學(xué)校通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所形成的數(shù)學(xué)觀并不是“真正數(shù)學(xué)”的真實(shí)寫照。也就是說(shuō)，就今天的現(xiàn)實(shí)而言，“學(xué)校的數(shù)學(xué)”并不是“真正的數(shù)學(xué)”?！嵷剐?。

我基本上同意這樣的觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)家會(huì)怎樣回答？最初是萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)，后來(lái)是哲學(xué)說(shuō)，還有創(chuàng)新說(shuō)，直覺(jué)說(shuō)，活動(dòng)說(shuō)，精神說(shuō)，審美說(shuō)，藝術(shù)說(shuō)。這些都是從人文角度來(lái)說(shuō)。從科學(xué)角度來(lái)說(shuō)呢，最早認(rèn)為數(shù)學(xué)是科學(xué)的，高斯。他的名言是數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后。還有技術(shù)說(shuō)，高科技本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)。還有工具說(shuō)，邏輯說(shuō)，符號(hào)說(shuō)，集合說(shuō)，結(jié)構(gòu)說(shuō)，模型說(shuō)等等。

作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師，數(shù)學(xué)事業(yè)中的數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該怎么看？恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)的一個(gè)描述還沒(méi)有過(guò)時(shí)，考慮到高科技的發(fā)展，我們可以再加一個(gè)：研究數(shù)與形的科學(xué)；數(shù)學(xué)是普遍適用的技術(shù)。這樣的定義不一定能帶給我們教學(xué)更多的幫助，我們過(guò)去的一些看法：數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)，是工具，是能力，是素養(yǎng)，是文化，都沒(méi)過(guò)時(shí)，都有道理?；A(chǔ)說(shuō)認(rèn)為數(shù)學(xué)提供了獨(dú)特的語(yǔ)言、思想、方法。關(guān)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有三種形態(tài)。

我們來(lái)看這個(gè)例子：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘……（這時(shí)文字語(yǔ)言形態(tài)）；用符號(hào)語(yǔ)言：（a+b）c=ac+bc就一目了然了。第三種就是圖形語(yǔ)言，我們也可以用這樣一個(gè)圖表示，兩個(gè)長(zhǎng)方形拼在一起，長(zhǎng)分別表上a、b，寬都是c。我們不一定追求某種形態(tài)，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到有不同的表現(xiàn)方式。拿分配率來(lái)講，我們可以有些是現(xiàn)實(shí)模型，也可以有幾何模型，還可以是代數(shù)模型。

實(shí)際解釋；圖形解釋；算理解釋。

再說(shuō)說(shuō)數(shù)學(xué)的文化，比較熱門，認(rèn)為我們可以滲透許多人文的內(nèi)涵。實(shí)際上我認(rèn)為更主要的應(yīng)該是挖掘。應(yīng)為數(shù)學(xué)本身也有人文性。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，四則運(yùn)算的符號(hào)，為什么加號(hào)是十字，減號(hào)是一橫，乘號(hào)是一個(gè)叉叉？如果我們把符號(hào)本身的內(nèi)涵揭示出來(lái)的話，我們就可以取得很好的教學(xué)效果。加號(hào)的本意是在意亨德基礎(chǔ)上添上一豎，表示什么？表示合并，和，總數(shù)。由此看來(lái)，減法為什么是一橫，正確的詮釋是在加號(hào)的基礎(chǔ)上拿走一豎，表示去掉了一部分，更少了。這兩個(gè)符號(hào)本身就把運(yùn)算的含義生動(dòng)直觀的顯現(xiàn)出來(lái)了。乘號(hào)為什么是一個(gè)叉叉呢？因?yàn)槌颂?hào)表示相同的數(shù)連加，因此不需要用其他的符號(hào)，就把加號(hào)旋轉(zhuǎn)45度，請(qǐng)問(wèn)你在教學(xué)時(shí)轉(zhuǎn)了嗎？沒(méi)轉(zhuǎn)，下次記得轉(zhuǎn)一下，乘法是特殊的加法。除號(hào)呢？一橫表示平均分，上下都一個(gè)點(diǎn)表示同樣多，這也符合本意。

我們非常重視中國(guó)文化中的數(shù)學(xué)，圓，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的軌跡。這時(shí)西方傳過(guò)來(lái)的。中國(guó)話怎么說(shuō)：圓一中同長(zhǎng)。數(shù)學(xué)的中國(guó)文化還可以表現(xiàn)在很多方面。比如多位數(shù)，30006三萬(wàn)零六，30060三萬(wàn)零六十，30600三萬(wàn)零六百。為什么都只讀一個(gè)零呢？那時(shí)因?yàn)槲覀儼延?jì)數(shù)單位讀出來(lái)了，為什么中國(guó)的孩子數(shù)學(xué)學(xué)得好，結(jié)論一是中國(guó)的語(yǔ)言給了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很好的幫助，每一字都是單音節(jié)的，所以我們有乘法口訣。你看，數(shù)的組成，數(shù)感都讀出來(lái)了。3056是由幾個(gè)千，幾個(gè)十，幾個(gè)一，其實(shí)在讀的時(shí)候已經(jīng)讀出來(lái)了。再說(shuō)分?jǐn)?shù)單位一從除法引入，還是從單位一的等分引入，我的觀點(diǎn)就是中國(guó)的老師教中國(guó)的孩子，就應(yīng)該從單位一的等分引入。盡管這種引入不是太科學(xué)，單位一的等分對(duì)非復(fù)數(shù)沒(méi)有問(wèn)題，對(duì)復(fù)數(shù)就有問(wèn)題，我們復(fù)數(shù)怎么讀，2/3讀作三分之二。我們已經(jīng)把它的含義讀出來(lái)了：三等份中的兩份。英語(yǔ)不同，它先讀分子，再讀分母，所以它適合從除法引入。

課改之初，我們對(duì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)討論得比較多。問(wèn)題出現(xiàn)在我們的加工上。比如這樣的計(jì)算有價(jià)值嗎？分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算有價(jià)值，分?jǐn)?shù)推導(dǎo)用到分?jǐn)?shù)，小數(shù)四則運(yùn)算有價(jià)值。那么把分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合到一起呢？恐怕只有形式訓(xùn)練的思維價(jià)值。所以我認(rèn)為：產(chǎn)生價(jià)值偏離的原因之一在于認(rèn)為“綜合”。所以要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，很有必要回顧一下數(shù)學(xué)的特征：高度的抽象性；邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性；廣泛的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)的抽象非常特殊，撇開(kāi)具體內(nèi)容，純粹研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)：根據(jù)不講自明的假設(shè)，依靠邏輯推理得到大量的結(jié)論。數(shù)學(xué)的應(yīng)用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之謎，生物之謎，日月之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！薄A羅庚。甚至可以說(shuō)，數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力是抽象的魅力。比如七橋問(wèn)題，有人突發(fā)奇想，能不能不重復(fù)的走完七個(gè)橋？試了很多次都失敗，于是人們把問(wèn)題寄給大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉以數(shù)學(xué)的眼光來(lái)審視這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題