專題04 逆命題與逆定理（五大類型）（解析版）

專題04逆命題與逆定理（五大類型）【題型1命題的辨析】【題型2命題的改寫】【題型3命題真假的判斷】【題型4命題的解答題綜合】【題型5判斷逆命題的真假判】【題型1命題的辨析】1．（2023?揭陽二模）下列句子中哪一個是命題（）A．你的作業(yè)完成了嗎？ B．美麗的天空 C．猴子是動物 D．過直線l外一點作l的平行線【答案】C【解答】解：猴子是動物是命題．故選：C．2．（2022秋?黃浦區(qū)期中）下列語句中哪個是命題（）A．聯(lián)結(jié)A、B兩點 B．等角的余角相等嗎？ C．對頂角相等 D．代數(shù)式（a≥0）叫二次根式【答案】C【解答】解：A、不能判斷其真假，不構(gòu)成命題，故本選項錯誤；B、不能判斷其真假，不構(gòu)成命題，故本選項錯誤；C、是，因為能夠判斷真假，故本選項正確；D、代數(shù)式（a≥0）叫二次根式，是定義，不是命題，故本選項錯誤．故選：C．3．下列語句哪一個不是命題（）A．生活在水里的動物是魚 B．作兩條相等的線段 C．兩點確定一條直線 D．是有理數(shù)【答案】B【解答】解：A，C，D都作出了判斷，給出了結(jié)論，而B選項沒有作出判斷，沒有給出了結(jié)論，所以B選項不是命題，符合題意；故選：B．4.（2023春?林州市期末）下列句子是命題的是（）A．畫∠AOB＝45° B．小于直角的角是銳角嗎？ C．連結(jié)CD D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】D【解答】解：A、畫∠AOB＝45°，沒有對事情做出判斷，故不是命題；B、小于直角的角是銳角嗎？沒有對事情做出判斷，故不是命題；C、連結(jié)CD，沒有對事情做出判斷，故不是命題；D、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，是命題；故選：D．【題型2命題的改寫】5．（2023春?萊州市期中）把命題“互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1”改成“如果……那么……”的形式：如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個數(shù)的積為1．【答案】如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個數(shù)的積為1．【解答】解：“互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1”改成“如果……那么……”的形式為：如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個數(shù)的積為1，故答案為：如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個數(shù)的積為1．6．（2022秋?沙河市期末）已知命題“等邊三角形的三個角都是60°”，請寫出它的逆命題三個角都是60°的三角形是等邊三角形．【答案】三個角都是60°的三角形是等邊三角形．【解答】解：命題“等邊三角形的三個角都是60°”的逆命題為：三個角都是60°的三角形是等邊三角形，故答案為：三個角都是60°的三角形是等邊三角形．7．（2023春?威海期中）把命題“同角或等角的余角相等．”改寫成“如果…，那么…”的形式如果兩個角是同一個角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)命題的特點，可以改寫為：“如果兩個角是同一個角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等”，故答案為：如果兩個角是同一個角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等．8．（2023春?息縣月考）命題“等邊三角形的三邊相等”的逆命題是三邊相等的三角形為等邊三角形，它是真命題（填“真”或“假”）．【答案】三邊相等的三角形為等邊三角形；真．【解答】解：命題“等邊三角形的三邊相等”的逆命題是“三邊相等的三角形為等邊三角形”，此逆命題為真命題．故答案為：三邊相等的三角形為等邊三角形；真．9．（2023春?川匯區(qū)期中）將命題“內(nèi)錯角相等”，寫成“如果…，那么…”的形式：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等．【答案】如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等．【解答】解：“內(nèi)錯角相等”改寫為：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等．故答案為：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等．10．（2023春?襄都區(qū)校級月考）命題：同位角相等（1）請將上述命題改寫：“如果……，那么……”，并指出這個命題的條件與結(jié)論；（2）判斷這個命題是真命題還是假命題．【答案】（1）如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等；條件是：兩個角是同位角，結(jié)論是：這兩個角相等；（2）假命題．【解答】解：（1）如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等；條件是：兩個角是同位角，結(jié)論是這兩個角相等；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，所以此命題為假命題．【題型3命題真假的判斷】11．（2023春?陜州區(qū)期中）下列命題中，真命題的個數(shù)有（）①無限小數(shù)是無理數(shù)；②立方根等于它本身的數(shù)有兩個，是0和1；③同位角相等；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解答】解：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，所以①為假命題；立方根等于它本身的數(shù)有三個，是0和±1，所以②為假命題；兩直線平行，同位角相等，所以③為假命題；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以④為假命題．故選：A．12．（2023春?民權(quán)縣期中）下列四個命題中，假命題是（）A．平行于同一條直線的兩條直線互相平行 B．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短 C．如果兩個角的和是180度，那么這兩個角是鄰補角 D．同一平面內(nèi)，過一點作已知直線的垂線，有且只有一條【答案】C【解答】解：A、平行于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題；B、連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，是真命題；C、如果兩個角的和是180度，那么這兩個角不一定是鄰補角，原命題是假命題；D、同一平面內(nèi)，過一點作已知直線的垂線，有且只有一條，是真命題；故選：C．13．（2023春?江油市期末）下列命題中，屬于假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 C．兩個銳角的和仍然是銳角 D．同位角相等，兩直線平行【答案】C【解答】解：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是真命題，故A不符合題意；兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故B不符合題意；兩個銳角的和可能是銳角或直角或鈍角，故C錯誤，符合題意；同位角相等，兩直線平行，故D不符合題意；故選：C．14．（2023春?普寧市期末）下列命題的逆命題，是真命題的為（）A．四邊形是多邊形 B．對頂角相等 C．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 D．若a＝﹣2，則|a|＝2【答案】C【解答】解：四邊形是多邊形的逆命題是：多邊形是四邊形，逆命題是假命題，故A不符合題意；對頂角相等的逆命題是：相等的角是對頂角，逆命題是假命題，故B不符合題意；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補的逆命題是：同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行，逆命題是真命題，故C符合題意；若a＝﹣2，則|a|＝2的逆命題是：若|a|＝2，則a＝﹣2，逆命題是假命題，故D不符合題意；故選：C．15．（2023春?孝義市期末）下列命題：①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等；④對頂角相等．真命題個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：①、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，是真命題，符合題意；②、經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，正確，是真命題，符合題意；③兩直線平行，同位角相等，③錯誤，是假命題，不合題意；④、對頂角相等，正確，是真命題，符合題意；故選：C．16．（2023春?海安市期末）下列命題中，是真命題的是（）A．如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行 B．過一點有且只有一條直線與已知直線平行 C．同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線 D．同位角相等【答案】C【解答】解：A、平面內(nèi)如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C、同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，正確，是真命題，符合題意；D、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．故選：C．17．（2023春?南平期末）下列命題中，假命題是（）A．對頂角相等 B．同位角相等 C．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短 D．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】B【解答】解：對頂角相等，真命題，故A不符合題意；兩直線平行，同位角相等，原命題是假命題，故B符合題意；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，真命題，故C不符合題意；在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，真命題，故D不符合題意；故選：B．18．（2023春?濮陽期末）下列命題是假命題的是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．相等的角是對頂角 C．若a＝b，則 D．若ab＝0，則a＝0或b＝0或a＝b＝0【答案】B【解答】解：同位角相等，兩直線平行，故A是真命題，不符合題意；相等的角不一定是對頂角，故B是假命題，符合題意；若a＝b，則，故C是真命題，符合題意；若ab＝0，則a＝0或b＝0或a＝b＝0，故D是真命題，不符合題意；故選：B．19．（2023春?灌云縣期末）下列命題是真命題的是（）A．內(nèi)錯角相等 B．兩點確定一條直線 C．一個角的余角小于這個角 D．若a＞b，則a2＞b2【答案】B【解答】解：A、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故本選項說法是假命題，不符合題意；B、兩點確定一條直線，是真命題，符合題意；C、一個角的余角不一定小于這個角，例如30°角的余角是60°，而60°＞30°，故本選項說法是假命題，不符合題意；D、若a＞b，則a2＞b2，是假命題，例如2＞﹣3，而22＜（﹣3）2，故本選項說法是假命題，不符合題意；故選：B【題型4命題的解答題綜合】20．（2023春?連江縣期末）在數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖，點E在AB的延長線上，請從①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C＝180°中，選取兩個作為題設(shè)，第三個作為結(jié)論，組成一個命題，判斷其真假，并證明．小明的做法如下：選?、佗谧鳛轭}設(shè)，③作為結(jié)論．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C＝180°”是一個真命題．證明：∵AB∥CD∴∠A+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵AC∥BD，∴∠A＝∠DBE（兩直線平行，同位角相等）∴∠DBE+∠C＝180°（等量代換）（1）請幫助小明補全證明過程及推理依據(jù)；（2）請作出與小明不同的選擇，組成一個新的命題，判斷其真假，并證明．【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；∠DBE；兩直線平行，同位角相等；（2）①③作為題設(shè)，②作為結(jié)論．即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一個真命題．證明見解答過程．【解答】解：（1）補全證明過程及推理依據(jù)如下：證明：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵AC∥BD，∴∠A＝∠DBE（兩直線平行，同位角相等），∴∠DBE+∠C＝180°（等量代換）；故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；∠DBE；兩直線平行，同位角相等；（2）選?、佗圩鳛轭}設(shè)，②作為結(jié)論．即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一個真命題．證明：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵∠DBE+∠C＝180°，∴∠A＝∠DBE（等量代換），∴AC∥BD（同位角相等，兩直線平行）．21．（2023春?張灣區(qū)期中）如圖，直線AB，CD被直線AE所截，直線AM，EN被MN所截．請你從以下三個條件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，得出一個正確的命題．（1）請按照：“∵AB∥CD，AM∥EN；∴∠BAM＝∠CEN”的形式，寫出所有正確的命題；（2）在（1）所寫的命題中選擇一個加以證明，寫出推理過程．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）命題1：∵AB∥CD，AM∥EN；∴∠BAM＝∠CEN；命題2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN；∴AM∥EN；命題3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN；∴AB∥CD；故答案為AB∥CD，AM∥EN；∠BAM＝∠CEN．（2）證明命題1：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CEA，∵AM∥EN，∴∠3＝∠4，∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4，即∠BAM＝∠CEN．22．（2023春?泰興市校級月考）已知：如圖，△ABC中，點D、E是邊BC上的兩點，點G是邊AB上一點，連接EG并延長．交CA的延長線于點F．從以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF＝∠F，三個條件中選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個正確的數(shù)學(xué)命題，并加以證明．條件：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，結(jié)論：③∠AGF＝∠F．（填序號）證明：．【答案】：①AD平分∠BAC，②EF∥AD；③∠AGF＝∠F．【解答】解：條件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；結(jié)論是③∠AGF＝∠F，證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵EF∥AD，∴∠AGF＝∠BAD，∠F＝∠DAC，∴∠AGF＝∠F，故答案為：①AD平分∠BAC，②EF∥AD；③∠AGF＝∠F．23．（2023春?潛江月考）如圖，現(xiàn)有以下三個條件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．請你以其中兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論組成一個真命題，寫出這個真命題（寫一個即可），并給予證明．【答案】真命題：如果①AB∥CD，②∠B＝∠C，那么③∠E＝∠F，證明見解答過程．【解答】解：如果①AB∥CD，②∠B＝∠C，那么③∠E＝∠F，證明：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠EAB＝∠B，∴AC∥BD，∴∠E＝∠F．23．（2022春?興化市期末）如圖，已知直線EF∥GH，給出下列信息：①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個真命題，你選擇的條件是②③，結(jié)論是①（只要填寫序號），并說明理由；（2）在（1）的條件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度數(shù)．【答案】（1）②③，①，理由見解答過程；（2）59°．【解答】解：（1）選擇的條件是②③，結(jié)論是①，理由如下：∵EF∥GH，∴∠ACG＝∠DAC，∵∠ACD＝∠DAC，∴∠ACG＝∠ACD，∵BC平分∠DCH，∴∠DCB＝∠BCH，∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC；（2）設(shè)∠BCH＝x°，則∠ACG＝（2x﹣3）°，∵∠ACG+∠BCH＝90°，∴x°+（2x﹣3）°＝90°，解得x＝31，∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，∴∠DAC＝∠ACG＝59°．24．（2022春?光澤縣期中）如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．請以其中2個論斷為條件，另一個論斷為結(jié)論構(gòu)造命題．（1）請寫出所有的真命題；（2）請選擇其中一個命題加以證明．【答案】（1）命題1：由①②得到③；命題2：由①③得到②；命題3：由②③得到①．（2）見解析．【解答】解：（1）命題1：由①②得到③；命題2：由①③得到②；命題3：由②③得到①．（2）命題1證明如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠CDF．∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E＝∠F．命題2證明如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠CDF．∵∠E＝∠F，∴CE∥BF，∴∠C＝∠CDF，∴∠B＝∠C．命題3證明如下：∵∠E＝∠F，∴CE∥BF，∴∠C＝∠CDF．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠CDF，AB∥CD【題型5判斷逆命題的真假判】25．（2023春?芝罘區(qū)期末）對于命題“若a2＞b2，則a＞b“，下列四組關(guān)于a、b的值中，能說明這個命題是假命題的是（）A．a(chǎn)＝﹣3，b＝2 B．a(chǎn)＝3，b＝1 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝3【答案】A【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，滿足“若a2＞b2，則a＞b”，故A選項中a、b的值能說明命題為假命題，符合題意；在B中，a2＝9，b2＝1，且3＞1，此時雖然滿足a2＞b2，但a＞b成立，故B選項中a、b的值不能說明命題為假命題，不符合題意；在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，滿足“若a2＞b2，則a＞b”，故C選項中a、b的值不能說明命題為假命題，不符合題意；在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此時滿足a2＜b2，得出a＜b，即意味著命題“若a2＞b2，則a＞b”成立，故D選項中a、b的值不能說明命題為假命題，不符合題意；故選：A．26．（2022秋?高碑店市期末）對于命題“若x2＝25，則x＝5”，小江舉了一個反例來說明它是假命題，則小江選擇的x值是（）A．x＝25 B．x＝5 C．x＝10 D．x＝﹣5【答案】D【解答】解：說明命題“若x2＝25，則x＝5”是假命題的一個反例可以是x＝﹣5．故選：D．27．（2023?新北區(qū)校級二模）下面四組a，b的值，能說明命題“若a2＞b2，則a＞b”是假命題的是（）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝1 C．a(chǎn)＝2，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝3，b＝﹣2【答案】B【解答】解：A、a＝2，b＝1，滿足a2＞b2，也滿足a＞b，故不能作為證明原命題是假命題的反例；B、a＝﹣2，b＝1，滿足a2＞b2，但不滿足a＞b，故能作為證明原命題是假命題的反例；C、a＝2，b＝﹣1，滿足a2＞b2，也滿足a＞b，故不能作為證明原命題是假命題的反例；D、a＝3，b＝﹣2，滿足a2＞b2，也滿足a＞b，故不能作為證明原命題是假命題的反例；故選：B．28．（2023春?鎮(zhèn)江期末）下列命題中，①相等的角是對頂角；②直角三角形兩個銳角互余；③如果a＝b，則|a|＝|b|：④如果一個點是這條線段的中點，那么這個點到線段兩端的距離相等．逆命題是真命題的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①相等的角是對頂角的逆命題是對頂角相等，是真命題；②直角三角形兩個銳角互余的逆命題是有兩個角互余的三角形是直角三角形，是真命題；③如果a＝b，則|a|＝|b|的逆命題是如果|a|＝|b|，則a＝b，是假命題：④如果一個點是這條線段的中點，那么這個點到線段兩端的距離相等的逆命題是如果一個點到線段兩端的距離相等，那么這個點是這條線段的中點，是假命題；故選：B．29．（2023春?沭陽縣期末）下列各命題的逆命題是假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 B．如果a2＝b2，那么a＝b C．若ma2＞na2，則m＞n D．相等的角是對頂角【答案】C【解答】解：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補的逆命題是同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，逆命題是真命題，故A不符合題意；如果a2＝b2，那么a＝b的逆命題是如果a＝b，那么a2＝b2，逆命題是真命題，故B不符合題意；若ma2＞na2，則m＞n的逆命題是若m＞n，則ma2＞na2，逆命題是假命題，故C符合題意；相等的角是對頂角的逆命題是對頂角相等，逆命題是真命題，故D不符合題意；故選：C．30．（2023春?寧津縣期中）已知△ABC，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，下列命題的逆命題不成立的是（）A．若∠A＝∠C﹣∠B，則△ABC為直角三角形 B．若a：b：c＝3：4：5，則∠C＝90° C．若△ABC為直角三角形，則∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．若a2＝（b+c）（b﹣c），則△ABC是直角三角形【答案】B【解答】解：A、若∠A＝∠C﹣∠B，則△ABC為直角三角形的逆命題是若△ABC為直角三角形，則∠A＝∠C﹣∠B，不符合題意；B、若a：b：c＝3：4：5，則∠C＝90°的逆命題是若∠C＝90°，則a：b：c＝3：4：5，符合題意；C、若△ABC為直角三角形，則∠A：∠B：∠C＝5：2：3的逆命題是若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，則△ABC為直角三角形；不符合題意；D、若a2＝（b+c）（b﹣c），則△ABC是直角三角形的逆命題是若△ABC是直角三角形，則a2＝（b+c）（b﹣c），不符合題意；故選：B．31．（2023春?綏中縣期中）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 B．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等 C．若兩實數(shù)相等，則這兩個數(shù)的絕對值一定相等 D．全等三角形的對應(yīng)邊相等【答案】C【解答】解：A、逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，正確，是真命題，不符合題意；B、逆命題為：到線段兩端點距離相等的點在角的平分線上，正確，是真命題，不符合題意；C、逆命題為：若兩實數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)也相等，錯誤，是假命題，符合題意；D、逆命題為：對應(yīng)邊相等的三角形全等，正確，是真命題，不符合題意，故選：C．32．（2023春?武昌區(qū)校級期中）下列各命題的逆命題不成立的是（）A．同旁內(nèi)