因子設計簡介

PAGE第第5章因子設計簡介Chap5.IntroductiontoFactorialDesign5-1基本定義與原理(BasicDefinitionsandPrinciples) 實驗牽涉2個或更多因子欲研究其效果時，一般而言，因子設計(FactorialDesign)是最有效率的方法，『因子設計』意指每一次完整的試驗或反復，當中所有可能的因子水準組合都被測試過。如，因子A有a個水準、因子B有b個水準、則每次反復有ab種處理，(A1,A2,A3;B1,B2,AB=A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2)，當因子以因子設計方式安排，則稱之為『交叉的』(Crossed)。-(低)40B因子A因子2030-(低)+(高)+(高)52-(低)40B因子A因子2030-(低)+(高)+(高)52圖5-1一個2因子之因子實驗(角上數(shù)字為反應值y) 其中假設因子均有2水準，稱為”低”與”高”，分別以”-”與”+”表示之。在這2水準中，因子A的主效果可視成A的低水準的平均反應與A的高水平的平均反應之差，A=(40+52)/2-(20+30)/2=21即，增加因子A從低水準到高水平造成『平均反應增加』(AverageResponseIncrease)21個單位，同理，因子B的主效果為，B=(30+52)/2-(20+40)/2=11倘因子水準超過2個，上述程序須修正之，后續(xù)詳述。 某實驗中，可能發(fā)現(xiàn)某因子水準間反應的差異在其它因子的各水準下是不同的，此稱之為因子間有交互作用(Interaction)，如圖5-2所示，--(低)50B因子A因子2040-(低)+(高)+(高)12圖5-2一個2因子有交互作用之因子實驗 在因子B低水準(B－)下，因子A的效果，A=50-20=30在因子B高水平(B＋)下，因子A的效果，A=12-40=-28因子A的效果與所選的因子B的水準有關(guān)，故稱A與B之間有交互作用，而交互作用大小即兩個A的效果差之平均，AB=(-28–30)/2=-29此實驗交互作用很大。 上述概念可以圖示之，--(低)B＋反應A因子+(高)B＋B－B－圖5-3無交互作用之因子實驗--(低)B＋反應A因子+(高)B＋B－B－圖5-4有交互作用之因子實驗 另一種交互作用的概念，一因子實驗為2因子之回歸模式(RegressionModelRepresentation)為，y=0+1x1+2x2+12x1x2+ 式中，y是反應值、’s是待估計之參數(shù)、x1是代表因子A的變量、x2是代表因子B的變量、與是隨機誤差。另變量x1與x2是定義由-1至+1(A與B的低與高水平)的編碼尺度(CodedScale)、與x1x2代表x1與x2間之交互作用。 此回歸模式的參數(shù)估計值與效果估計值有關(guān)，如圖5-1所示的實驗，A與B的主效果為A=21與B=11，而1與2的估計值為其所對應主效果的一半，即=21/2=10.5、=11/2=5.5，交互作用效果AB=1，故=1/2=0.5，0以全部(4個)反應值平均估計之，即=(20+40+30+52)/4=35.5，則配適后之回歸模式為，=35.5+10.5x1+5.5x2+0.5x1x2對于所有因子都是2水準(-與+)之因子設計，此種方式得到的參數(shù)估計值事實上是最小平方法(后詳述之)。交互作用系數(shù)(=0.5)相對于效果系數(shù)與是小的，即意交互作用很小而可忽略，所以，回歸模式為，=35.5+10.5x1+5.5x2(a)反應曲線(ResponseSurface)圖5-5反應曲線與等高線(=35.5+10.5x1+5.5x2)等高線(Contour)是x1與x2為常數(shù)時對應反應值y之曲線，反應曲面圖(ResponseSurfacePlot)系y曲面是由x1與x2值之組合所產(chǎn)生，『既然反應曲面是一個平面，所以等高線是一平行直線』。茲假設交互作用對此實驗的貢獻是不可忽略的，即系數(shù)12不能算是小的，如，回歸模式為，=35.5+10.5x1+5.5x2+8x1x2圖5-6反應曲線與等高線(=35.5+10.5x1+5.5x2+8x1x2)(上述系令交互作用效果為兩個主要效果的平均)，明顯的交互作用效果”扭曲”(Twist)了反應曲線，如此造成x1,x2平面之等高線彎曲，因此，『交互作用是實驗的基本反應曲面模式中一種曲率的形式』(Interactionisaformofcurvatureintheunderlyingresponsesurfacemodelfortheexperiment.) 一般而言，當交互作用大時，所對應之主效果就無太多的實質(zhì)的意義，同時，對AB交互作用的了解(Knowledge)比主效果更有用，且一個顯著的交互作用將會遮掩(Mask)主效果的顯著性。當顯著的交互作用出現(xiàn)時，須將其它因子的水準固定后，再檢視欲研究的因子。6-2因子實驗的優(yōu)勢(TheAdvantageofFactorials) 假設2因子A與B，各有2水準，A－,A＋與B－,B＋，有關(guān)2因子的信息可藉由1次變動1因子來得到，如圖5-7所示，(注意，其仍是2因子因子設計)，--(低)B因子A因子A－B＋-(低)+(高)+(高)A－B－A＋B－圖5-71次1因子實驗(One-Factor-One-Time)◎變動因子A的效果為，A＋B－-A－B＋；◎變動因子B的效果為，A－B＋-A－B－。因為有實驗誤差，期能取得2個觀測值，即是『每種處理組合』與『估計因子效果用的平均反應』，如此，共須6個觀測值。茲如執(zhí)行一個因子實驗，則須得另一處理組合A＋B＋，以此4個觀測值，可以得到2個A效果估計值：A＋B－-A－B－與A＋B＋-A－B＋，(同理得到2個B效果估計值)，此2個估計值可以平均而得到平均主效果，且其精確度與1(單)因子(Single-Factor)實驗一樣，如此僅須4個觀測值，所以，因子設計對1次1因子實驗的相對效率是(6/4)=1.5，如圖5-8所示，一般而言，此相對效率會隨著因子個數(shù)增加而增加。圖5-8因子設計對1次1因子實驗的相對效率 茲假設有交互作用存在，1次1因子實驗顯示A－B＋與A＋B－反應結(jié)果比A－B－較好，然一個合邏輯的結(jié)論是A＋B＋會更好總言之，因子設計有幾項優(yōu)勢，比1次1因子實驗更有效率，當交互作用時，因子設計是必須的，因子設計允許一個因子效果的估計是在其它因子的數(shù)個水準下，使得在實驗條件的范圍里，其結(jié)論都成立。5-32因子之因子設計(TheTwo-FactorFactorialDesign)5-3.1一個例子(AnExample)最簡單的因子設計是2因子，因子A有a個水準、因子B有b個水準、則每次反復有ab種處理，而實驗可反復n次。 某工程師欲研究一種用于某裝置的電池，該裝置會受到極端溫度的變化，現(xiàn)階段該工程師能選擇的唯一參數(shù)是電池極板材料，而有3種可能的選擇；而用3個溫度水準15、70、125F；且每種極板材料與溫度的組合下測試4個電池，同時以隨機順序進行全部36次實驗。其壽命(小時)如下表，材料種類溫度(F)1570125113015534402070741808075825821501883612225701591261061155845313811074120961041681601501398260 在這實驗里欲研究，材料種類與溫度對電池的壽命效果?是否有某種材料可以不論溫度如何，都能使電池能有長的壽命?(使電池對溫度變化是穩(wěn)健的(Robust)，此乃穩(wěn)健產(chǎn)品設計(RobustProductDesign))。此設計為2因子因子設計，考慮一般情況，令yijk為因子A在第i個水準(i=1,2,…,a)、因子B在第j個水準(j=1,2,…,b)、在第k次反復(k=1,2,…,n)時所觀測到的反應值。如下：B因子12…bA因子1y111,y112,...,y11ny121,y122,..,y12n..y1b1,y1b2,..,y1bn2y211,y212,...,y21ny221,y222,..,y22n..y2b1,y2b2,..,y2bn:::..aya11,ya12,...,ya1nya21,ya22,..,ya2n..yab1,yab2,..,yabn上表所有abn個實驗的順序是以隨機方式?jīng)Q定，所以此設計設是『完全隨機設計』。 其觀測值可以線性統(tǒng)計模式(效果模式EffectsModel)表示之，yijk=+i+j+()ij+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； k=1,2,…,n (5-1)式中，yijk是因子A在第i水準(i=1,2,…,a)與是因子B在第j水準(j=1,2,…,b)、在第k次反復(k=1,2,…,n)時所觀測到的反應值，是總平均效果，i是列因子A第i個水準之效果、j是行因子B第j個水準之效果、()ij是i與j之間的交互作用效果、與ijk是隨機誤差[ijk~N(0,2)]。另此2因子均假設為『固定的』(Fixed)，且處理效果是定義為自總平均的偏離(Deviation)，所以， 與 同理，交互作用亦是固定的，且定義成，另因?qū)嶒灧磸蚽次，所以總計abn個觀測值。因子實驗另一模式是『均值模式』(MeansModel)，yijk=ij+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； k=1,2,…,n 其中， ij=+i+j+()ij稱此為回歸模式(RegressionModel)，在2因子因子實驗中，對于列與行因子(或處理)，A與B，是同樣受重視的，故對列處理效果相等的統(tǒng)計假設為，H0：1=2=….=a=0，H1：至少有一個i0 (5-2a)對行處理效果相等的統(tǒng)計假設為，H0：1=2=….=b=0，H1：至少有一個j0 (5-2b)對列與行處理是否有交互作用的統(tǒng)計假設為，H0：()ij=0，對所有的i,jH1：至少有一個()ij0 (5-2c)茲討論2因子ANOVA(Two-FactorANOVA)來檢定這些假設。5-3.2固定效果模式之統(tǒng)計分析(StatisticalAnalysisoftheFixedEffectsModel) 令yi是因子A第i個水準下所有觀測值的和、yj是因子B第j個水準下所有觀測值的和、yij是第ij個格(Cell)里所有觀測值的和、y是所有觀測值的總和。定義、、、與是所有對應的列、行、格與全部的平均，以數(shù)學方式表示為， yi=yijk，=yi/bn，i=1,2,…,ayj=yijk，=yj/an，j=1,2,…,byij=yijk，=yij/n，i=1,2,…,a，j=1,2,..,by=yijk，=y/abn (5-3)則總校正平方和(TotalCorrectedSumofSquares)為，其中： =+ (5-4)(5-4)式以符號表示為，SST=SSA+SSB+SSAB+SSE (5-5)各平方和的自由度為，效果自由度A(a-1)B(b-1)AB(a-1)(b-1)誤差ab(n-1)總計abn各平方和除以其自由度即是『均方』(MeanSquare)，而這些均方的期望值為，E[MSA]=E[SSA/(a-1)]=2+[bn]/(a-1)E[MSB]=E[SSB/(b-1)]=2+[an]/(b-1)E[MSAB]=E[SSAB/(a-1)(b-1)]=2+[n]/(a-1)(b-1)與E[MSE]=E[SSE/ab(n-1)]=2注意◎倘事先假設(H0)為真，即無列處理效果、無行處理效果、與無交互作用，則MSA、MSB、MSAB與MSE均可用來估計2，◎但如列處理效果間不相等，即對立假設(H1)為真，則MSA>MSE；同理，如行處理效果間不相等或有交互作用存在，則MSBMSE或MSABMSE。所以，要檢定兩個主效果與其交互作用有顯著性，只將其對應的均方除以誤差均方即可，其比例值大意味著數(shù)據(jù)并不支持事先假設。變異來源平方和自由度均方F0因子ASSAa-1MSA=SSA/(a-1)MSA/MSE因子BSSBb-1MSB=SSB/(b-1)MSB/MSE交互作用SSAB(a-1)(b-1)MSAB=SSAB/[(a-1)(b-1)]MSAB/MSE隨機誤差SSEab(n-1)MSE=SSE/ab(n-1)總和SSTabn-1(5-5)式簡化之：SST= (5-6)SSA= (5-7)SSB= (5-8)另SSSubtotals=SSAB=SSSubtotals–SSA-SSB (5-9)則 SSE=SST–SSAB–SSA-SSB (5-10)或 SSE=SST–SSSubtotals **********************例題5-1電池設計實驗材料種類溫度(F)1570125113015534402070741808075825821501883612225701591261061155845313811074120961041681601501398260ANOVAforBatteryLifeData變源SSDOFMSFP-值臨界值Material10683.7222225341.861117.9113722690.001976083.35413119Temp39118.72222219559.361128.967691951.9086E-073.35413119交互作用9613.77777842403.444443.55953540.018611162.72776645組內(nèi)18230.7527675.212963總和77646.9722235由ANOVA表示，F(xiàn)0.05,4,27=2.72，則材料種類與溫度之間有顯著性，再者，F(xiàn)0.05,2,27=3.35，則材料種類與溫度之主效果亦有顯著性。為解釋實驗的結(jié)果，構(gòu)建各處理組合下平均反應圖，由圖5-9所示，結(jié)論如下圖5-9例題5-1之材料種類-溫度之反應圖◎由直線缺乏平行性質(zhì)視出顯著的交互作用，◎不論材料種類，低溫會得到較長的壽命，如要求溫度變化時，其電池有效壽命折損較小，則材料種類3的表現(xiàn)似最佳。 **********************多重比較(MultipleComparison) 當變異數(shù)分析指出，列或行的平均有差異時，接著進行個別列或行之間的比較以視出其特殊的差異。在第3章所討論多重比較方法就很有用矣。 茲以Duncan的多重全距檢定應用在例5-1之電池壽命數(shù)據(jù)上。在此實驗中，交互作用是顯著的，此時1因子(如A)平均值間之比較可能會因AB交互作用而變得難以解釋，處理此情況的方法是固定因子B在一特定水準，續(xù)在此特定的水準下對因子A的平均值進行Duncan的多重全距檢定。假設在例5-1中，欲視出3種材料種類平均值之間的差異，因交互作用顯著，倘于溫度水準2(70F)下進行比較，假設誤差變異的最佳估計值是由變異數(shù)分析得到之MSE，利用實驗誤差變異在所有的處理組合是一樣的假設。 這3種材料種類平均值的遞增順序為 =57.25 (材料種類1) =119.75 (材料種類2) =145.75 (材料種類3)且 T0.05=q0.05(3,27)(MSE/n)1/2=3.50(675.21/4)1/2=45.47比較結(jié)果結(jié)果為， 3vs.1： 145.75-57.25=88.50>T0.05=45.473vs.2： 145.75–119.75=26.00<T0.05=45.472vs.1： 119.75-57.25=62.50>T0.05=45.47此分析顯示，在溫度為70F時，材料種類2與3的平均電池壽命是一樣的，而材料種類1的平均電池壽命則顯著地低許多。倘交互作用顯著，則可以比較所有的ab個格平均來決定何者有顯著差異，在這分析中，格平均間的差異包括了交互作用效果亦包括了兩個主效果。以例5-1而言，將有9個格平均所可能成對的36種(C(9,2))比較。計算機報表(ComputerOutput) SSModel=SSMaterial+SSTemperature+SSInteraction=10683.72+39118.72+9613.78=59416.22與 R2=SSModel/SSTotal=59416.22/77646.97=0.7625亦即，大約有77%的電池壽命的變異(Variability)可以被電池的極板材料、溫度及材料種類與溫度交互作用所解釋。接著如何利用殘差進行模式適當性檢驗。5-3.3模式適當性檢驗 在變異數(shù)分析下結(jié)論前，模式適當性應當先檢驗，同前，其檢驗的主要診斷工具是『殘差分析』，對2因子因子模式之殘差為， eijk=yijk- (5-11)因配置值為= (在第ij格中之觀測值的平均值)，則eijk=yijk- (5-12)圖5-11例題5-1之殘差之常態(tài)機率圖 由圖5-11視出，殘差之常態(tài)機率圖所示未透露任何特殊的問題，雖最大負的殘差(材料種類1在15F下的-60.75)的確有些突出，此殘差于標準化后之值為-60.75/(675.21)0.5=-2.34，而此亦是唯一絕對值大于2的殘差。 圖5-12例題5-1之殘差與配置值散布圖由圖5-12視出，殘差變異有隨著電池壽命的增加而稍微增大的現(xiàn)象。5-3.4估計模式參數(shù)(EstimatingtheModelParameters) 在2因子因子設計其效果模式中之參數(shù)，yijk=+i+j+()ij+ijk可利用最小平方法來估計，因模式里有1+a+b+ab個參數(shù)待估計，所以要有1+a+b+ab個常態(tài)方程式， ： (5-14a)i：，i=1,2,…,a (5-14b)j：，j=1,2,…,b (5-14c)()ij：，i=1,2,…,a， j=1,2,…,b (5-14d) 上式中，◎式(5-14b)有a個方程式，其和即是式(5-14a)，◎式(5-14c)有b個方程式，其和亦是式(5-14a)，◎式(5-14d)在特定i對j加總即是式(5-14b)，◎式(5-14d)在特定j對i加總即是式(5-14c)，所以，在此方程式系統(tǒng)中有a+b+1個線性相依(LinearDependence)，唯一解是不存在的。欲得到一個，須加諸限制條件， (5-15a) (5-15b)，j=1,2,…,b (5-15c)與 ，i=1,2,…,a (5-15d)式(5-15a)與(5-15b)構(gòu)成兩個限制式，而式(5-15c)與(5-15d)構(gòu)成a+b-1個獨立限制式，所以有了所需的a+b+1個限制式，利用這些限制式，常態(tài)方程式(5-14)得以化簡并解出， ，，i=1,2,…,a； ，j=1,2,…,b ； (5-16) ，i=1,2,.,a，j=1,2,.,注意：列處理效果是以列平均值減去總平均值來估計，行處理效果是以行平均值減去總平均值來估計，第ij個交互作用效果是以第ij個格平均值減去總平均值來估計，再減第i列與第j行效果來估計。利用式(6-16)，可得到y(tǒng)ijk的配適值為亦即，第ij格中第k個觀測值之估測值就是該格里n個觀測值的平均值。 因為利用式(5-15)的限制條件來解常態(tài)方程式，所以模式參數(shù)不是唯一估計解，但模式參數(shù)的一些重要函數(shù)卻是可估計的，且唯一估計的，不論所選的限制為何。如，，可視成”真正的”因子A水準i與水準u之間的差異，注意，『任何主效果水準間之真正的差異都包括”平均的”交互作用效果』，亦即此，交互作用的出現(xiàn)會干擾對主效果的檢定。5-3.5樣本大小的選擇(ChoiceofSampleSize) 附錄中圖=5\*ROMANV之作業(yè)特征曲線(OC)有助于實驗者對一個2因子的因子設計決定適當?shù)臉颖敬笮?反復數(shù)n)，參數(shù)2的值與分子及分母的自由度均列于下表，因子2分子自由度分母自由度Aa-1ab(n-1)Bb-1ab(n-1)AB(a-1)(b-1)ab(n-1)使用這些曲線的一有效方法即是對應到一個任何兩處理平均間的指定差值，來找出2的最小值，如，◎任何兩列平均值之差為D，則最小的2為， 2=(nbD2)/(2a2) (5-17)◎任何兩行平均值之差為D，則最小的2為， 2=(naD2)/(2b2) (5-18)◎任何兩個交互作用效果之差為D，則最小的2為， 2=(nD2)/{22[(a-1)(b-1)+1]} (5-19) 茲以例題5-1的電池壽命為示范說明，假設執(zhí)行實驗之前決定事先假設以很高的機率被拒絕，且如兩種溫度下電池平均壽命的差值達40小時，因此，D=40，及假設電池壽命的標準差大約為25，則依式(5-18)， 2=(naD2)/(2b2) =n(3)(40)2/(2)(3)(252)=1.28n作為2的最小值，假定=0.05，利用附錄圖=5\*ROMANV建構(gòu)如下的結(jié)果：n2v1=分子自由度v2=分母自由度22.561.60290.4533.841.962180.1845.122.262270.06注意，n=4次反復的風險約為0.06或約94%的機率拒絕事先假設在何兩種溫度水準下電池平均壽命之差值達40小時。因此，結(jié)論是反復4次是足夠提供要的敏感度，只要電池壽命標準差估計值準確。2因子模式無交互作用之假設(TheAssumptionofInteractioninaTwo-FactorModel) 一個2因子無交互作用之模式為，yijk=+i+j+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； k=1,2,…,n (5-20) 對于舍去交互作用項須謹慎，因顯著交互作用的出現(xiàn)對數(shù)據(jù)的解釋有重大影響。 對于一個無交互作用的2因子因子設計模式的統(tǒng)計分析是直截了當?shù)?，下表為?-1電池壽命資料的假定無交互作用下的分析結(jié)果ANOVAforBatteryLifeData變源SSDOFMSFMaterial10683.7222225341.861115.95Temp39118.72222219559.361121.78組內(nèi)27844.5231898.21總和77646.9722235同上述，兩個主效果作是顯著的。但經(jīng)進行殘差分析即視出無交互作用模式是不恰當?shù)?。對于無交互作用的2因子模式，配適值是 任何圖標型態(tài)(Pattern)均建議交互作用的存在。5-3.7一個觀測值/格(OneObservationperCell) 如只反復一次的2因子實驗，亦即，每個格只有一個觀測值，則其效果模式為，yijk=+i+j+ijk,i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； (5-21)此情況下的ANOVA如下表所示，并假定2因子均為固定。變異來源平方和SS自由度均方均方期望值列(A)a-1MSA行(B)b-1MSB殘差或ABSubtraction(a-1)(b-1)MSResidual總和ab-1 由均方的期望值知，誤差變異數(shù)2是無法估計出的，亦即，2因子交互作用效果()ij與實驗誤差無明顯的分開，因此，無法檢定主效果，除非交互作用效果為0。如無交互作用，則()ij=0，對所有的i與j，而模式變?yōu)?，yijk=+i+j+ijk, i=1,2,…,a ；j=1,2,…,b； (5-22)倘式(5-22)的模式是適當?shù)?，則上表的殘差均方是2的一不偏估計式，與主效果可由MSA、MSA與MSResidual的比較來檢定。 Tukey(1949)發(fā)展出一檢定方法，可用來決定是否有無交互作用，即 ()ij=ij其中是一未知常數(shù)。對于此定義的交互作用，可以用回歸方法來檢定交互作用項之顯著性。作法是將殘差平方和分割成來自不可加性(交互作用)(Non-additivity)的部分(自由度為1)與誤差部分(自由度為(a-1)(b-1)-1)，計算上，SSN= (5-23)自由度為1，與 SSError=SSResidual-SSN (5-24)自由度為(a-1)(b-1)-1，要檢定是否有交互作用，只須計算， F0=SSN/{SSError/[(a-1)(b-1)-1]} (5-25) 如果F0>F,1,(a-1)(b-1)-1 ，則無交互作用的假設即須拒絕。例5-2某化學產(chǎn)品的不純度，受壓力和溫度兩個因子的影響，一個反復一次的因子實驗的資料如下表所示，溫度F壓力2530354045yi10054635231253142313150113128yj961361044=y則各個平方和為 SSA==(232+132+182)/5-442/(3)(5)=23.33SSB==(92+62+132+62+102)/3-442/(3)(5)=11.60SST==166-129.07=36.93與 SSResidual=SST-SSA-SSB=36.93-23.33-11.60=2.00 由式(5-23)計算不可加性平方和如下，=(5)(23)(9)+(4)(23)(6)+…+(2)(8)(10)=7236SSN==[7236-(44)(23.33+11.60+129.07)]2/(3)(5)(23.33)(11.60)=0.0985由式(5-24)計算誤差平方和如下，SSError=SSResidual-SSN=2.00-0.0985=1.9015例題5-2ANOVA變異來源平方和自由度均方F0P-值溫度23.33211.6742.970.0001壓力11.6042.9010.680.0042不可加性0.098510.09850.360.5674誤差1.901570.2716總和36.9314 由上表ANOVA知，對于不可加性的檢定統(tǒng)計量是F0=0.0985/0.2716=0.36，所以，結(jié)論為此數(shù)據(jù)中無交互作用。 一個觀測值/格的2因子因子模式(式(5-22))看似正好是隨機化完全集區(qū)模式(式(4-1))，事實上，Tukey的單一自由度不可加性檢定是可以直接應用來檢定隨機化完全集區(qū)模式的交互作用的。但二者的實驗狀況是截然不同的，因子模式中，所有的ab個實驗是一隨機順序進行；而在隨機化完全集區(qū)模式中，隨機化只在集區(qū)內(nèi)發(fā)生，集區(qū)本身是一個隨機化限制。因此，此二模式在實驗的進行方式及解釋上有很大的不同。5-4一般的因子設計(TheGeneralFactorialDesign)2因子因子設計的結(jié)果可以擴展至一般的情況，即因子A有a個水準、因子B有b個水準、因子C有c個水準，依此類推，一般而言，總共會有abc…n個觀測值，如完整實驗反復n次。再次說明，如果所有可能的交互作用都要包括在模式中，則必須至少反復2次(n2)才能決定誤差平方和。 倘所有的因子都是固定時，可寫出并檢定有關(guān)主效果與交互作用的假設，對于一個固定效果模式，每一個主效果和交互作用的檢定統(tǒng)計量就是將主效果與交互作用的均方除以誤差均方即可。所有這些F檢定都是右邊、單邊檢定。 例如，考慮3因子ANOVA模式，yijk=+i+j+k+()ij+()ik+()jk+()ijk+ijkl,i=1,2,.,a ；j=1,2,.,b；k=1,2,.,c；l=1,2,.,n (5-26)假設A,B,和C固定的，則ANOVA表如下，主效果和交互作用的F檢定可以從期望的均方直接寫下。變異來源平方和自由度均方F0ASSAa-1MSAMSA/MSEBSSBb-1MSBMSB/MSECSSCc-1MSCMSC/MSEABSSAB(a-1)(b-1)MSABMSAB/MSEACSSAC(a-1)(c-1)MSACMSAC/MSEBCSSBC(b-1)(c-1)MSBCMSBC/MSEABCSSABC(a-1)(b-1)(c-1)MSABCMSABC/MSE誤差SSEabc(n-1)MSE總和SSTabcn-1均方的期望值為，E[MSA]=E[SSA/(a-1)]=2+[bcn]/(a-1)E[MSB]=E[SSB/(b-1)]=2+[acn]/(b-1)E[MSC]=E[SSC/(c-1)]=2+[abn]/(c-1)E[MSAB]=E[SSAB/(a-1)(b-1)]=2+[cn]/(a-1)(b-1)E[MSAC]=E[SSAC/(a-1)(c-1)]=2+[bn]/(a-1)(c-1)E[MSBC]=E[SSBC/(b-1)(c-1)]=2+[an]/(b-1)(c-1)E[MSAB]=E[SSAB/(a-1)(b-1)]=2+[cn]/(a-1)(b-1)E[MSABC]=E[SSABC/(a-1)(b-1)(c-1)]=2+[n]/(a-1)(b-1)(c-1)與 E[MSE]=E[SSE/abc(n-1)]=2總平方和為，SST= (5-27)SSA= (5-28)SSB= (5-29)SSC= (5-29)要計算2因子交互作用平方和，需要AB,AC,與BC的雙向格總和。則2因子交互作用平方和的計算是，SSAB=SSSubtotals(AB)–SSA-SSB (5-31)其中，SSSubtotals(AB)=SSAC=SSSubtotals(AC)–SSA–SSC (5-32)其中，SSSubtotals(AC)=SSBC=SSSubtotals(BC)–SSB–SSC (5-33)其中，SSSubtotals(BC)=要計算三因子交互作用平方和，需要ABC三向的格總和。則三因子交互作用平方和的計算是，SSABC=SSSubtotals(ABC)-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC(5-34)其中，SSSubtotals(ABC)=則 SSE=SST-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC-SSABC (5-10)或 SSE=SST–SSSubtotals(ABC) 5-5配適反應曲線與曲面(FittingResponseCurvesandSurfaces) 一個定量的(Quantitative)因子配適一個反應曲線(ResponseCurve)通常是很有用的，此曲線具有一條結(jié)合因子與反應的方程式，其可用來進行內(nèi)插法(Interpolation)，亦即，對介于實驗因子水準間之值進行預測反應。當至少有2個因子是定量的，則可配適一個反應曲面(ResponseSurface)，使能在各種設計因子的水準組合下預測反應。一般，線性回歸法(LinearRegressionMethods)可用配適這些實驗的模式，另此法于3-5.1節(jié)已述用在單一因子，第10章將續(xù)詳述之。5-6集區(qū)在因子設計(BlockinginaFactorialDesign) 上述所討論的因子設計都是在完全隨機的范疇，然有時，完全隨機的方式進行因子實驗的所有組合是不可行的或不切實際的，例如，一個干擾因子的出現(xiàn)可能使得必須以集區(qū)(Blocks)方式進行實驗。在第4章已討論過1因子實驗之集區(qū)劃分的基本概念。茲將討論因子實驗中如何進行集區(qū)劃分，更深入的討論亦將在第7,8,9與13章續(xù)述。 考慮一個2因子(A與B)反復n次的因子實驗，此設計的線性統(tǒng)計模式為，yijk=+i+j+()ij+ijk i=1,2,…,a， j=1,2,…,b，k=1,2,…,n (5-36) 式中， i,j與()ij分別代表因子A與B及交互作用AB的效果。另假設不同的反復使用不同的原料批，則原料批代表一個隨機化限制或一個區(qū)集，在每一個集區(qū)里進行完整的因子實驗，此新設計之模式為，yijk=+i+j+()ij+k+ijk i=1,2,…,a， j=1,2,…,b，k=1,2,…,n (5-37) 其中為第k個集區(qū)的效果，同時，在集區(qū)內(nèi)處理組合的實驗順序是完全隨機的。 式(5-37)的模型假設集區(qū)與處理間之交互作用是可忽略的，同樣的假設亦出現(xiàn)在先前之隨機化集區(qū)設計分析中。如這些交互作用的確存在，其無法從誤差成份中分離出來，即模式的誤差項為()ik,()jk與(