廣東省2022-2023學年高二上學期12月質量檢測聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

廣東省2022-2023學年高二上學期12月質量檢測聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）高二質量檢測聯(lián)合調考數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓：，圓：，則圓與圓位置關系為()A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切2.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是()A B. C. D.3.已知數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.4.已知雙曲線：的漸近線方程為，則()A.2 B.－2 C. D.5.已知數(shù)列滿足，，，則“”是“”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為()A.4 B.3 C.2 D.17.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是一個圓，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長半軸長與短半軸長平方和的算術平方根，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C的離心率為，M為其蒙日圓上一動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓C的長軸長為()A. B. C. D.8.已知直線與、軸的交點分別為、，且直線與直線相交于點，則面積的最大值是()A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標原點，則下列結論中正確的是()A.直線l的方程為B.過點O且與直線l平行的直線方程為C.若點到直線l的距離為，則D.點O關于直線l對稱的點為10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關于整除的問題.現(xiàn)將1到1000這1000個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，其前n項和為，則()A. B.C. D.共有72項11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上的一個動點，則()A.B.C.內(nèi)切圓半徑的最大值是D.的最小值是12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系(原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉，得到的三個正方體，，2，3(圖4，5，6)結合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結論正確的是()

A.設點的坐標為，，2，3，則B設，則C.點到平面的距離為D.若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知是等差數(shù)列前n項和，且，，則的公差______.14.如圖，在平行六面體中，為的中點，，則______；若該六面體的棱長都為2，，則______.15.已知雙曲線M：的左焦點為F，右頂點為A，，若是直角三角形，則雙曲線M的離心率為______.16.已知圓：與圓：，點A，B圓上，且，線段AB的中點為D，則直線OD(O為坐標原點)被圓截得的弦長的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知F是拋物線C：的焦點，點M在拋物線C上，且M到F的距離是M到y(tǒng)軸距離的3倍.(1)求M的坐標；(2)求直線MF被拋物線C所截線段的長度.18.已知數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.19.如圖，三棱柱的底面是正三角形，側面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點.(1)證明：∥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.20.已知直線：，圓C：．(1)若直線與圓C相切，求k的值．(2)若直線與圓C交于A，B兩點，是否存在過點的直線垂直平分弦AB？若存在，求出直線與直線的交點坐標；若不存在，請說明理由．21.如圖，將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得點D到點的位置，連接，O為AC的中點.(1)若平面平面ABC，求點O到平面的距離；(2)不考慮點與點B重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.22.已知橢圓C：與橢圓的離心率相同，為橢圓C上一點.(1)求橢圓C的方程.(2)若過點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.

高二質量檢測聯(lián)合調考數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關系為()A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】計算圓心距，和比較大小，即可判斷兩圓的位置關系.【詳解】圓的圓心坐標是，半徑，圓的圓心坐標是，半徑，,所以圓心距，所以兩圓相外切.故選：C2.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的定義依次判斷各選項即可.【詳解】對于A選項，不存在使得成立，故能構成空間的另一個基底；對于B選項，，故不能構成空間的另一個基底；對于C選項，，故不能構成空間的另一個基底；對于D選項，，故不能構成空間的另一個基底.故選：A.3.已知數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用累加法可求得值.【詳解】由已知，，，，，上述等式全加可得，.故選：D.4.已知雙曲線：的漸近線方程為，則()A.2 B.－2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得漸近線方程為：，結合題意然后根據(jù)雙曲線標準方程可得，進而求解.【詳解】因為雙曲線的方程為，所以，令可得：，所以漸近線方程為：，由題意知：雙曲線：的漸近線方程為，所以，故選：B.5.已知數(shù)列滿足，，，則“”是“”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由題意可得為等差數(shù)列，后據(jù)此判斷與間關系可得答案.【詳解】設首項為，由，可得，則可得.則.故“”是“”的充分必要條件.故選：A6.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由已知點在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結合拋物線定義求的最小值.【詳解】設拋物線的方程為，因為，，所以點在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，在方程中取可得，所以點在拋物線內(nèi)，過點作與準線垂直，為垂足，點作與準線垂直，為垂足，則，所以，當且僅當直線與準線垂直時等號成立，所以的最小值為3，故選：B.7.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是一個圓，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長半軸長與短半軸長平方和的算術平方根，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C的離心率為，M為其蒙日圓上一動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓C的長軸長為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合離心率設出橢圓的方程，確定出橢圓的蒙日圓的直徑，再利用垂直關系借助勾股定理及均值不等式求解作答.【詳解】令橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，設橢圓方程為，其半焦距為c，有，即，則該橢圓的蒙日圓方程為，因為點均在這個圓上，且，于是是這個圓的直徑，而，即有，因此，當且僅當時取等號，即，的面積，即面積的最大值為，則，解得，則，所以橢圓C的長軸長為.故選：B8.已知直線與、軸的交點分別為、，且直線與直線相交于點，則面積的最大值是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出點、的坐標，可得出的值，求出直線、所過定點的坐標，根據(jù)可求得點的軌跡方程，根據(jù)圓的幾何性質可求得點在直線距離的最大值，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】在直線的方程中，令可得，令可得，即點、，故，將直線的方程變形可得，由可得，所以，直線過定點，將直線的方程變形為，由可得，所以，直線過定點，，則，設點①若點不與或重合，則，且，，，整理可得；②當點與或重合，則點、的坐標滿足方程.所以，點的軌跡方程為.圓圓心到直線的距離為，所以，點到直線的最大距離為，因此，面積的最大值是.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l在x軸，y軸上截距分別為1，，O是坐標原點，則下列結論中正確的是()A.直線l的方程為B.過點O且與直線l平行的直線方程為C.若點到直線l的距離為，則D.點O關于直線l對稱的點為【答案】ABD【解析】【分析】對A，由截距式可求；對B，由點斜式可求；對C，由點線距離公式可求；對D，兩對稱點連線與直線l垂直，且兩對稱點中點過直線l.【詳解】對A，直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，直線l的方程為，即，A對；對B，直線l斜率為1，故過點O且與直線l平行的直線方程為，即，B對；對C，點到直線l的距離為，故或0，C錯；對D，點O關于直線l對稱的點滿足，解得，故該點為，D對.故選：ABD10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關于整除的問題.現(xiàn)將1到1000這1000個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，其前n項和為，則()A. B.C. D.共有72項【答案】BCD【解析】【分析】先求得數(shù)列的通項公式，進而求得的值判斷選項A；求得的值判斷選項B；求得的值判斷選項C；求得的項數(shù)判斷選項D.【詳解】將1到1000這1000個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成首項為1末項為995公差為14的等差數(shù)列則數(shù)列的通項公式為則數(shù)列共有72項.故選項D判斷正確；.故選項A判斷錯誤；.故選項B判斷正確；.故選項C判斷正確.故選：BCD11.已知橢圓C：左、右焦點分別為，，P為橢圓C上的一個動點，則()A.B.C.內(nèi)切圓半徑的最大值是D.最小值是【答案】ABD【解析】【分析】對A：根據(jù)橢圓定義，結合三角形中三條邊的關系，即可求得求得結果，從而判斷；對B：設，根據(jù)橢圓定義求得，建立關于的函數(shù)關系，即可求得其最小值和最大值，從而進行判斷；對C：根據(jù)等面積法，結合點縱坐標絕對值的范圍，即可求得的最大值；對D：根據(jù)B中所求，結合余弦定理和橢圓定義，即可求得結果.【詳解】對橢圓C：，易知，；對A：根據(jù)橢圓定義可知：，當點不在長軸的兩個端點時，在△中，由三角形三邊關系可知：；當點在橢圓長軸的左端點時，；當點在橢圓長軸的右端點時，；綜上所述：，故A正確；對B：設，又，則，故，又在單調遞增，在單調遞減，且當與時，取得最小值，此時，故，又當時，取得最大值，此時，故，即，故B正確；對C：設△內(nèi)切圓半徑為,由，即，若能構成三角形，則，顯然當取得最大值時，取得最大值為，故C錯誤；對D：若能構成三角形，由余弦定理可得：由選項B中所求可知，的最大值為，此時取得最小值為；若不能構成三角形，則；綜上所述，的最小值為，故D正確；故選：ABD.12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系(原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉，得到的三個正方體，，2，3(圖4，5，6)結合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結論正確的是()

A.設點的坐標為，，2，3，則B.設，則C.點到平面的距離為D.若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為【答案】ACD【解析】【分析】正方體的頂點到中心的距離不變，判斷A，寫出各點坐標，利用空間向量法求解判斷BCD．【詳解】正方體棱長為2，面對角線長為，由題意，，，，旋轉后，，，，，，，，，，，，旋轉過程中，正方體的頂點到中心的距離不變，始終為，因此選項A中，，2，3，正確；，設，則，，，則存在實數(shù)，使得，，，，∴，B錯；，，設是平面的一個法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設，，，，令，則，時，，遞增，時，，遞減，∴，又，，所以，即，，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：本題正方體繞坐標軸旋轉，因此我們可以借助平面直角坐標系得出空間點的坐標，例如繞軸旋轉時時，各點的橫坐標()不變，只要考慮各點在坐標平面上的射影繞原點旋轉后的坐標即可得各點空間坐標．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知是等差數(shù)列的前n項和，且，，則的公差______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件列方程，由此求得公差.【詳解】依題意得，解得.故答案為：14.如圖，在平行六面體中，為的中點，，則______；若該六面體的棱長都為2，，則______.【答案】①.##2.5②.【解析】【分析】由空間向量基本定理和已知條件可得；由結合向量的數(shù)量積運算可得．【詳解】，∴，∴；∵，∴，即．故答案為：；．15.已知雙曲線M：的左焦點為F，右頂點為A，，若是直角三角形，則雙曲線M的離心率為______.【答案】【解析】【分析】利用題給條件列出關于的關系式，解之即可求得雙曲線M的離心率【詳解】由是直角三角形，得，則，則，則則，解之得或(舍)故答案為：16.已知圓：與圓：，點A，B圓上，且，線段AB的中點為D，則直線OD(O為坐標原點)被圓截得的弦長的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由知點在以為圓心為半徑的圓上，由直線與此圓有交點得，再表示出直線OD被圓截得的弦長后求其最值即可.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因為，所以，即點在以為圓心，為半徑的圓上.設直線的方程為，則，即，解得.圓心到直線的距離為，直線OD被圓截得的弦長，令，，則，當時為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故，，當時，直線經(jīng)過，此時直線被圓截得的弦長最長，最長的弦長是圓的直徑6.當時，直線被圓截得的弦長最短，則弦長為；綜上，直線被圓截得的弦長的取值范圍是.故答案為：【點睛】分式型函數(shù)求最值方法：①轉化為反比例函數(shù)求最值；②轉化為對勾函數(shù)或基本不等式求最值；③換元為二次函數(shù)求最值；④用導數(shù)求最值.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知F是拋物線C：的焦點，點M在拋物線C上，且M到F的距離是M到y(tǒng)軸距離的3倍.(1)求M的坐標；(2)求直線MF被拋物線C所截線段的長度.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)設出點坐標，利用已知條件列方程，化簡求得點的坐標.(2)求得直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，求得直線與拋物線的交點坐標，進而求得直線MF被拋物線C所截線段的長度.【小問1詳解】拋物線的焦點，設，則，解得，所以點的坐標為或.【小問2詳解】由(1)得點的坐標為或.當?shù)淖鴺耸菚r，直線的方程為，由，消去并化簡得，解得，，所以直線與拋物線的交點坐標為和，所以直線MF被拋物線C所截線段的長度為.當?shù)淖鴺耸菚r，同理可求得直線MF被拋物線C所截線段的長度為.綜上所述，直線MF被拋物線C所截線段的長度為.18.已知數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用，即可求解數(shù)列的通項公式；(2)由(1)由得，然后分和兩種情況對化簡求解即可.【小問1詳解】當時，，即，當時，，時，，與不符，所以；【小問2詳解】由得，而，所以當時，，當時，，當時，，當時，，所以19.如圖，三棱柱的底面是正三角形，側面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點.(1)證明：∥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見解析；(2).【解析】【分析】(1)取的中點，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而有∥，故而得證；(2)過點作于，連接，以為原點，、、分別為軸建立空間直角坐標系,用向量法求解即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，，因為，分別是棱，的中點，則∥∥，，四邊形為平行四邊形，所以∥，平面，平面，∥平面；【小問2詳解】解：在平面中過點作于，連接，平面平面，平面平面，平面，又因為，所以,,因為點為的中點，，故以為原點，、、分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，所以,,,設平面的法向量為，則有，，所以取，設直線與平面所成角為，則.20.已知直線：，圓C：．(1)若直線與圓C相切，求k的值．(2)若直線與圓C交于A，B兩點，是否存在過點的直線垂直平分弦AB？若存在，求出直線與直線的交點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)存在，交點坐標為【解析】【分析】(1)由題意圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求解即可；(2)由直線與圓C交于A，B兩點，可得圓心到直線的距離，由此求出的范圍．根據(jù)圓的性質可知直線必經(jīng)過圓心，從而求得直線的斜率，利用點斜式可得直線的方程，由求得，聯(lián)立直線與的方程，可得交點坐標．【小問1詳解】圓，則圓心，半徑∵若直線與圓C相切，∴圓心到直線的距離，即，即，解得或．【小問2詳解】若直線與圓C交于A，B兩點，則圓心到直線的距離，即，即，解得.過點的直線垂直平分弦，則直線必經(jīng)過圓心，直線的斜率為，直線的方程為，即，又，且直線，則，解得，符合題意，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程得，解得所以，存在符合題意的直線，直線與直線的交點坐標為．21.如圖，將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得點D到點的位置，連接，O為AC的中點.(1)若平