廣東省2022-2023學年高二上學期12月質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

廣東省2022-2023學年高二上學期12月質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）高二質(zhì)量檢測聯(lián)合調(diào)考數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓：，圓：，則圓與圓位置關(guān)系為()A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切2.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的向量是()A B. C. D.3.已知數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.4.已知雙曲線：的漸近線方程為，則()A.2 B.－2 C. D.5.已知數(shù)列滿足，，，則“”是“”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為()A.4 B.3 C.2 D.17.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是一個圓，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長半軸長與短半軸長平方和的算術(shù)平方根，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C的離心率為，M為其蒙日圓上一動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓C的長軸長為()A. B. C. D.8.已知直線與、軸的交點分別為、，且直線與直線相交于點，則面積的最大值是()A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是()A.直線l的方程為B.過點O且與直線l平行的直線方程為C.若點到直線l的距離為，則D.點O關(guān)于直線l對稱的點為10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)將1到1000這1000個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前n項和為，則()A. B.C. D.共有72項11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上的一個動點，則()A.B.C.內(nèi)切圓半徑的最大值是D.的最小值是12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系(原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個正方體，，2，3(圖4，5，6)結(jié)合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是()

A.設點的坐標為，，2，3，則B設，則C.點到平面的距離為D.若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知是等差數(shù)列前n項和，且，，則的公差______.14.如圖，在平行六面體中，為的中點，，則______；若該六面體的棱長都為2，，則______.15.已知雙曲線M：的左焦點為F，右頂點為A，，若是直角三角形，則雙曲線M的離心率為______.16.已知圓：與圓：，點A，B圓上，且，線段AB的中點為D，則直線OD(O為坐標原點)被圓截得的弦長的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知F是拋物線C：的焦點，點M在拋物線C上，且M到F的距離是M到y(tǒng)軸距離的3倍.(1)求M的坐標；(2)求直線MF被拋物線C所截線段的長度.18.已知數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.19.如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點.(1)證明：∥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.20.已知直線：，圓C：．(1)若直線與圓C相切，求k的值．(2)若直線與圓C交于A，B兩點，是否存在過點的直線垂直平分弦AB？若存在，求出直線與直線的交點坐標；若不存在，請說明理由．21.如圖，將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得點D到點的位置，連接，O為AC的中點.(1)若平面平面ABC，求點O到平面的距離；(2)不考慮點與點B重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.22.已知橢圓C：與橢圓的離心率相同，為橢圓C上一點.(1)求橢圓C的方程.(2)若過點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.

高二質(zhì)量檢測聯(lián)合調(diào)考數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為()A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】計算圓心距，和比較大小，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標是，半徑，圓的圓心坐標是，半徑，,所以圓心距，所以兩圓相外切.故選：C2.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的向量是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的定義依次判斷各選項即可.【詳解】對于A選項，不存在使得成立，故能構(gòu)成空間的另一個基底；對于B選項，，故不能構(gòu)成空間的另一個基底；對于C選項，，故不能構(gòu)成空間的另一個基底；對于D選項，，故不能構(gòu)成空間的另一個基底.故選：A.3.已知數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用累加法可求得值.【詳解】由已知，，，，，上述等式全加可得，.故選：D.4.已知雙曲線：的漸近線方程為，則()A.2 B.－2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得漸近線方程為：，結(jié)合題意然后根據(jù)雙曲線標準方程可得，進而求解.【詳解】因為雙曲線的方程為，所以，令可得：，所以漸近線方程為：，由題意知：雙曲線：的漸近線方程為，所以，故選：B.5.已知數(shù)列滿足，，，則“”是“”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由題意可得為等差數(shù)列，后據(jù)此判斷與間關(guān)系可得答案.【詳解】設首項為，由，可得，則可得.則.故“”是“”的充分必要條件.故選：A6.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由已知點在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值.【詳解】設拋物線的方程為，因為，，所以點在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，在方程中取可得，所以點在拋物線內(nèi)，過點作與準線垂直，為垂足，點作與準線垂直，為垂足，則，所以，當且僅當直線與準線垂直時等號成立，所以的最小值為3，故選：B.7.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是一個圓，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長半軸長與短半軸長平方和的算術(shù)平方根，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C的離心率為，M為其蒙日圓上一動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓C的長軸長為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合離心率設出橢圓的方程，確定出橢圓的蒙日圓的直徑，再利用垂直關(guān)系借助勾股定理及均值不等式求解作答.【詳解】令橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，設橢圓方程為，其半焦距為c，有，即，則該橢圓的蒙日圓方程為，因為點均在這個圓上，且，于是是這個圓的直徑，而，即有，因此，當且僅當時取等號，即，的面積，即面積的最大值為，則，解得，則，所以橢圓C的長軸長為.故選：B8.已知直線與、軸的交點分別為、，且直線與直線相交于點，則面積的最大值是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出點、的坐標，可得出的值，求出直線、所過定點的坐標，根據(jù)可求得點的軌跡方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可求得點在直線距離的最大值，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】在直線的方程中，令可得，令可得，即點、，故，將直線的方程變形可得，由可得，所以，直線過定點，將直線的方程變形為，由可得，所以，直線過定點，，則，設點①若點不與或重合，則，且，，，整理可得；②當點與或重合，則點、的坐標滿足方程.所以，點的軌跡方程為.圓圓心到直線的距離為，所以，點到直線的最大距離為，因此，面積的最大值是.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l在x軸，y軸上截距分別為1，，O是坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是()A.直線l的方程為B.過點O且與直線l平行的直線方程為C.若點到直線l的距離為，則D.點O關(guān)于直線l對稱的點為【答案】ABD【解析】【分析】對A，由截距式可求；對B，由點斜式可求；對C，由點線距離公式可求；對D，兩對稱點連線與直線l垂直，且兩對稱點中點過直線l.【詳解】對A，直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，直線l的方程為，即，A對；對B，直線l斜率為1，故過點O且與直線l平行的直線方程為，即，B對；對C，點到直線l的距離為，故或0，C錯；對D，點O關(guān)于直線l對稱的點滿足，解得，故該點為，D對.故選：ABD10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)將1到1000這1000個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前n項和為，則()A. B.C. D.共有72項【答案】BCD【解析】【分析】先求得數(shù)列的通項公式，進而求得的值判斷選項A；求得的值判斷選項B；求得的值判斷選項C；求得的項數(shù)判斷選項D.【詳解】將1到1000這1000個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成首項為1末項為995公差為14的等差數(shù)列則數(shù)列的通項公式為則數(shù)列共有72項.故選項D判斷正確；.故選項A判斷錯誤；.故選項B判斷正確；.故選項C判斷正確.故選：BCD11.已知橢圓C：左、右焦點分別為，，P為橢圓C上的一個動點，則()A.B.C.內(nèi)切圓半徑的最大值是D.最小值是【答案】ABD【解析】【分析】對A：根據(jù)橢圓定義，結(jié)合三角形中三條邊的關(guān)系，即可求得求得結(jié)果，從而判斷；對B：設，根據(jù)橢圓定義求得，建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，即可求得其最小值和最大值，從而進行判斷；對C：根據(jù)等面積法，結(jié)合點縱坐標絕對值的范圍，即可求得的最大值；對D：根據(jù)B中所求，結(jié)合余弦定理和橢圓定義，即可求得結(jié)果.【詳解】對橢圓C：，易知，；對A：根據(jù)橢圓定義可知：，當點不在長軸的兩個端點時，在△中，由三角形三邊關(guān)系可知：；當點在橢圓長軸的左端點時，；當點在橢圓長軸的右端點時，；綜上所述：，故A正確；對B：設，又，則，故，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且當與時，取得最小值，此時，故，又當時，取得最大值，此時，故，即，故B正確；對C：設△內(nèi)切圓半徑為,由，即，若能構(gòu)成三角形，則，顯然當取得最大值時，取得最大值為，故C錯誤；對D：若能構(gòu)成三角形，由余弦定理可得：由選項B中所求可知，的最大值為，此時取得最小值為；若不能構(gòu)成三角形，則；綜上所述，的最小值為，故D正確；故選：ABD.12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系(原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個正方體，，2，3(圖4，5，6)結(jié)合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是()

A.設點的坐標為，，2，3，則B.設，則C.點到平面的距離為D.若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為【答案】ACD【解析】【分析】正方體的頂點到中心的距離不變，判斷A，寫出各點坐標，利用空間向量法求解判斷BCD．【詳解】正方體棱長為2，面對角線長為，由題意，，，，旋轉(zhuǎn)后，，，，，，，，，，，，旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點到中心的距離不變，始終為，因此選項A中，，2，3，正確；，設，則，，，則存在實數(shù)，使得，，，，∴，B錯；，，設是平面的一個法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設，，，，令，則，時，，遞增，時，，遞減，∴，又，，所以，即，，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：本題正方體繞坐標軸旋轉(zhuǎn)，因此我們可以借助平面直角坐標系得出空間點的坐標，例如繞軸旋轉(zhuǎn)時時，各點的橫坐標()不變，只要考慮各點在坐標平面上的射影繞原點旋轉(zhuǎn)后的坐標即可得各點空間坐標．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知是等差數(shù)列的前n項和，且，，則的公差______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件列方程，由此求得公差.【詳解】依題意得，解得.故答案為：14.如圖，在平行六面體中，為的中點，，則______；若該六面體的棱長都為2，，則______.【答案】①.##2.5②.【解析】【分析】由空間向量基本定理和已知條件可得；由結(jié)合向量的數(shù)量積運算可得．【詳解】，∴，∴；∵，∴，即．故答案為：；．15.已知雙曲線M：的左焦點為F，右頂點為A，，若是直角三角形，則雙曲線M的離心率為______.【答案】【解析】【分析】利用題給條件列出關(guān)于的關(guān)系式，解之即可求得雙曲線M的離心率【詳解】由是直角三角形，得，則，則，則則，解之得或(舍)故答案為：16.已知圓：與圓：，點A，B圓上，且，線段AB的中點為D，則直線OD(O為坐標原點)被圓截得的弦長的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由知點在以為圓心為半徑的圓上，由直線與此圓有交點得，再表示出直線OD被圓截得的弦長后求其最值即可.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因為，所以，即點在以為圓心，為半徑的圓上.設直線的方程為，則，即，解得.圓心到直線的距離為，直線OD被圓截得的弦長，令，，則，當時為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故，，當時，直線經(jīng)過，此時直線被圓截得的弦長最長，最長的弦長是圓的直徑6.當時，直線被圓截得的弦長最短，則弦長為；綜上，直線被圓截得的弦長的取值范圍是.故答案為：【點睛】分式型函數(shù)求最值方法：①轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)求最值；②轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)或基本不等式求最值；③換元為二次函數(shù)求最值；④用導數(shù)求最值.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知F是拋物線C：的焦點，點M在拋物線C上，且M到F的距離是M到y(tǒng)軸距離的3倍.(1)求M的坐標；(2)求直線MF被拋物線C所截線段的長度.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)設出點坐標，利用已知條件列方程，化簡求得點的坐標.(2)求得直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，求得直線與拋物線的交點坐標，進而求得直線MF被拋物線C所截線段的長度.【小問1詳解】拋物線的焦點，設，則，解得，所以點的坐標為或.【小問2詳解】由(1)得點的坐標為或.當?shù)淖鴺耸菚r，直線的方程為，由，消去并化簡得，解得，，所以直線與拋物線的交點坐標為和，所以直線MF被拋物線C所截線段的長度為.當?shù)淖鴺耸菚r，同理可求得直線MF被拋物線C所截線段的長度為.綜上所述，直線MF被拋物線C所截線段的長度為.18.已知數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用，即可求解數(shù)列的通項公式；(2)由(1)由得，然后分和兩種情況對化簡求解即可.【小問1詳解】當時，，即，當時，，時，，與不符，所以；【小問2詳解】由得，而，所以當時，，當時，，當時，，當時，，所以19.如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點.(1)證明：∥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見解析；(2).【解析】【分析】(1)取的中點，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而有∥，故而得證；(2)過點作于，連接，以為原點，、、分別為軸建立空間直角坐標系,用向量法求解即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，，因為，分別是棱，的中點，則∥∥，，四邊形為平行四邊形，所以∥，平面，平面，∥平面；【小問2詳解】解：在平面中過點作于，連接，平面平面，平面平面，平面，又因為，所以,,因為點為的中點，，故以為原點，、、分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，所以,,,設平面的法向量為，則有，，所以取，設直線與平面所成角為，則.20.已知直線：，圓C：．(1)若直線與圓C相切，求k的值．(2)若直線與圓C交于A，B兩點，是否存在過點的直線垂直平分弦AB？若存在，求出直線與直線的交點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)存在，交點坐標為【解析】【分析】(1)由題意圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求解即可；(2)由直線與圓C交于A，B兩點，可得圓心到直線的距離，由此求出的范圍．根據(jù)圓的性質(zhì)可知直線必經(jīng)過圓心，從而求得直線的斜率，利用點斜式可得直線的方程，由求得，聯(lián)立直線與的方程，可得交點坐標．【小問1詳解】圓，則圓心，半徑∵若直線與圓C相切，∴圓心到直線的距離，即，即，解得或．【小問2詳解】若直線與圓C交于A，B兩點，則圓心到直線的距離，即，即，解得.過點的直線垂直平分弦，則直線必經(jīng)過圓心，直線的斜率為，直線的方程為，即，又，且直線，則，解得，符合題意，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程得，解得所以，存在符合題意的直線，直線與直線的交點坐標為．21.如圖，將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得點D到點的位置，連接，O為AC的中點.(1)若平