山東省濟南市2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題（含解析）

絕密★啟用并使用完畢前山東省濟南市2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題（含解析）高二年級學情檢測數(shù)學試題本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘，注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號，考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回，一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.等差數(shù)列中，已知，，則()A.10 B.11 C.12 D.132.已知兩個平面的法向量分別為，則這兩個平面的夾角為()A. B. C.或 D.3.直線與直線的位置關系是()A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合4.一種衛(wèi)星接收天線(如圖1)，其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分(如圖2)，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心F位于焦點處，以頂點O為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，則該拋物線的方程為()A. B. C. D.5.在等比數(shù)列中，，其前三項的和，則數(shù)列的公比()A B.C.或1 D.或16.《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，P為的中點，則()A. B.1 C. D.7.若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是()A. B. C. D.8.雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作圓D的切線與C的兩支分別交于M，N兩點，且，則C的離心率為()A B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線與圓，則下列說法正確的是()A.直線l恒過定點 B.圓M的圓心坐標為C.存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D.若，直線l被圓M截得的弦長為210.已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線交C于點，(其中)，與C的準線交于點D．下列結論正確的是()A. B.C.F為線段AD中點 D.的面積為11.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)(互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1)，例如，．下列說法正確的是()A. B.數(shù)列為遞增數(shù)列C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前n項和為，則12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系(原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個正方體，，2，3(圖4，5，6)結合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結論正確的是()

A.設點的坐標為，，2，3，則B.設，則C.點到平面的距離為D.若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，其中，若，則的值為_________．14.各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和是，若，則的值為_________．15.已知點，，若圓上存在點Р滿足，則實數(shù)a取值范圍是_______．16.設是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R，r，則的值為_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知圓C經(jīng)過點和且圓心在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若點P為圓C上的任意一點，求點P到直線距離的最大值和最小值．18.已知雙曲線經(jīng)過，兩點．(1)求C的標準方程；(2)若直線與C交于M，N兩點，且C上存在點P﹐滿足，求實數(shù)t的值．19.如圖，四棱錐中，底面，底面為矩形，，，M，N分別為PB，CD中點．(1)求證：面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值．20.已知數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列滿足，其中．(1)求和通項公式；(2)設，求數(shù)列的前20項和．21.已知橢圓的長軸長是4，離心率為．(1)求的方程；(2)若點P是圓上的一動點，過點P作的兩條切線分別交圓O于點A，B．①求證：；②求面積的取值范圍．22.對于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中．(1)已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前n項和為．①求；②記數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，且，求實數(shù)的值．(2)北宋數(shù)學家沈括對于上底有ab個，下底有cd個，共有n層的堆積物(堆積方式如圖)，提出可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術”．試證明上述求和公式．

絕密★啟用并使用完畢前高二年級學情檢測數(shù)學試題本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘，注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號，考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回，一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.等差數(shù)列中，已知，，則()A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出，代入數(shù)值即可得出答案.【詳解】因為，為等差數(shù)列，所以有，所以，.故選：D.2.已知兩個平面的法向量分別為，則這兩個平面的夾角為()A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩平面夾角與其法向量夾角的關系，利用向量夾角公式即可得到答案.【詳解】，因為向量夾角范圍為，故兩向量夾角為，故兩平面夾角為，即，故選：B.3.直線與直線的位置關系是()A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合【答案】A【解析】【分析】分和討論，其中時，寫出兩直線斜率，計算其乘積即可判斷.【詳解】當時，直線，直線，此時兩直線垂直，當時，直線的斜率，直線的斜率，因為，則兩直線垂直，綜上兩直線位置關系是垂直，故選：A.4.一種衛(wèi)星接收天線(如圖1)，其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分(如圖2)，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心F位于焦點處，以頂點O為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，則該拋物線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出拋物線的標準方程，代入點坐標求出系數(shù)既可.【詳解】由題意，拋物線開口向右，設拋物線的標準方程，點代入拋物線方程求得，得，則．拋物線的標準方程為.故選：B．5.在等比數(shù)列中，，其前三項的和，則數(shù)列的公比()A. B.C.或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式得到關于的方程組，解出即可．【詳解】∵在等比數(shù)列中，，其前三項的和，∴，解得，或．∴的公比等于或1．故選：C．6.《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，P為的中點，則()A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后得出和的坐標，即可得出答案.【詳解】如圖，由已知可得，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.則，，，，，.所以，，所以.故選：A.7.若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題得直線所過定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，代入橢圓得到不等式，再結合橢圓焦點在軸上即可.【詳解】直線恒過定點，若直線與橢圓總有公共點，則定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，，解得或，又表示焦點在軸上的橢圓，故，，故選：C.8.雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作圓D的切線與C的兩支分別交于M，N兩點，且，則C的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設雙曲線的方程為.設切點為，過點作，垂足為，可推出.進而在中，可求得，.根據(jù)雙曲線的定義可得.在中，根據(jù)余弦定理可得，即可得出離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的方程為，則.設切線與圓相切于點，過點作，垂足為，則.所以，有，所以.又，，所以為等腰直角三角形，所以，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以.在中，由余弦定理可得，.所以，，所以，，.所以，C的離心率.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線與圓，則下列說法正確的是()A.直線l恒過定點 B.圓M的圓心坐標為C.存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D.若，直線l被圓M截得的弦長為2【答案】AB【解析】【分析】A選項，將直線方程變形后得到，求出恒過的定點；B選項，將圓的一般式化為標準式方程，得到圓心坐標；C選項，令圓心到直線l的距離等于半徑，列出方程，結合根的判別式判斷出結論；D選項，當時，求出圓心在直線l上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.【詳解】變形為，故恒過定點，A正確；變形為，圓心坐標為，B正確；令圓心到直線的距離，整理得：，由可得，方程無解，故不存在實數(shù)k，使得直線l與圓M相切，C錯誤；若，直線方程為，圓心在直線上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.故選：AB10.已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線交C于點，(其中)，與C的準線交于點D．下列結論正確的是()A. B.C.F為線段AD中點 D.的面積為【答案】BC【解析】【分析】求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得出，，推出，可判斷A項；解方程得出點坐標，根據(jù)拋物線的定義求出的值，可判斷B項；求出點，得出線段AD中點的坐標，即可判斷C項；根據(jù)B可得出，進而求出點到直線的距離，即可得出面積，判斷D項.【詳解】由已知可得，，準線，直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程可得，.由韋達定理可得，，.又，，所以，又，所以，故A項錯誤；對于B項，結合圖象，解可得，，.過點作，垂足為，則.根據(jù)拋物線的定義可得，，同理可得，故B項正確；對于C項，因為，所以，則點.將代入直線的方程為可得，，即.所以，線段中點坐標為，恰好為點，故C項正確；對于D項，.點到直線，即的距離為，所以，的面積，故D項錯誤.故選：BC.11.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)(互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1)，例如，．下列說法正確的是()A. B.數(shù)列為遞增數(shù)列C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前n項和為，則【答案】ACD【解析】【分析】對A列舉法即可判斷，對B舉反例即可，對C得到與，所有互質(zhì)的數(shù)均為正奇數(shù)，則，即可判斷，對D用乘公比錯位相減法即可.【詳解】對A，與11互質(zhì)的正整數(shù)有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故，故A正確；對B，當時，與8互質(zhì)的正整數(shù)有1,3,5,7，故，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯誤；對C，時，一定是2的倍數(shù)，則與互素的數(shù)為：1,3,5,7,9,11,，即正奇數(shù)，故，，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故C正確，對D，，則①②①②得，則，而，故，故D正確.故選：ACD.12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系(原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個正方體，，2，3(圖4，5，6)結合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結論正確的是()

A.設點的坐標為，，2，3，則B.設，則C.點到平面的距離為D.若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為【答案】ACD【解析】【分析】正方體的頂點到中心的距離不變，判斷A，寫出各點坐標，利用空間向量法求解判斷BCD．【詳解】正方體棱長為2，面對角線長為，由題意，，，，旋轉(zhuǎn)后，，，，，，，，，，，，旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點到中心的距離不變，始終為，因此選項A中，，2，3，正確；，設，則，，，則存在實數(shù)，使得，，，，∴，B錯；，，設是平面的一個法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設，，，，令，則，時，，遞增，時，，遞減，∴，又，，所以，即，，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：本題正方體繞坐標軸旋轉(zhuǎn)，因此我們可以借助平面直角坐標系得出空間點的坐標，例如繞軸旋轉(zhuǎn)時時，各點的橫坐標()不變，只要考慮各點在坐標平面上的射影繞原點旋轉(zhuǎn)后的坐標即可得各點空間坐標．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，其中，若，則的值為_________．【答案】##【解析】【分析】由已知可得，，即可求出的值，進而得出答案.【詳解】由已知可得，，.因為，所以，解得，，所以，.故答案為：.14.各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和是，若，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】由題得，化簡求出，利用求和公式即可.【詳解】數(shù)列為各項為正數(shù)的等差數(shù)列，則，化簡得，解得或0(舍)，則，故答案為：.15.已知點，，若圓上存在點Р滿足，則實數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】由已知可得，圓的圓心、半徑，且點在以為直徑的圓上，進而得出圓心、半徑.然后根據(jù)兩圓有交點，即可得出，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓可化為，圓心為，半徑.因為，所以，所以點在以為直徑的圓上.圓心為的中點，半徑.由題意可得，圓與圓有公共點P，則應滿足，即有，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16.設是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R，r，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】化標準，得到，，然后根據(jù)正弦定理求出.進而根據(jù)余弦定理推出的面積.根據(jù)等面積法，可知，即可求出.【詳解】將橢圓化為標準方程可得，.所以，，，.所以，，，所以，.根據(jù)正弦定理可得，，所以.設，則.由余弦定理可得，，所以，，整理可得，，顯然是方程的兩個解，所以，所以的面積.又，所以.所以，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知圓C經(jīng)過點和且圓心在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若點P為圓C上的任意一點，求點P到直線距離的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)最大值為，最小值為.【解析】【分析】(1)設出圓心、半徑，根據(jù)已知條件列出方程組，求解方程組即可得到圓的標準方程；(2)求出圓心到直線的距離，可知直線與圓相離.然后即可得出答案.【小問1詳解】設圓心為，半徑為，則圓的標準方程為.由已知可得，，解得，所以，圓的標準方程為.【小問2詳解】由(1)知，圓心為，半徑.圓心到直線的距離.所以，直線與圓相離.所以，點P到直線距離的最大值為，最小值為.18.已知雙曲線經(jīng)過，兩點．(1)求C標準方程；(2)若直線與C交于M，N兩點，且C上存在點P﹐滿足，求實數(shù)t的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)將點坐標代入雙曲線的方程，得到方程組，即可求出雙曲線的方程；(2)聯(lián)立直線與雙曲線的方程得出，根據(jù)韋達定理可得出，所以.進而由，表示出點的坐標，代入雙曲線即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，，解得，所以C的標準方程為.【小問2詳解】設，，.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，整理可得.由韋達定理可得，所以.所以，.則由可得，，解得，即.因為點在雙曲線上，所以有，整理可得，解得.19.如圖，四棱錐中，底面，底面為矩形，，，M，N分別為PB，CD的中點．(1)求證：面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.寫出點的坐標，求出向量的坐標，根據(jù)，，證明，.即可根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；(2)根據(jù)(1)中點的坐標，求出平面的法向量，進而即可根據(jù)向量求解出答案.【小問1詳解】由已知底面，底面為矩形，易知兩兩垂直.以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標系.因為，，所以，，，，，則，.所以，，.則，，所以，.因為平面，平面，，所以面.【小問2詳解】由(1)可得，，，設是平面的一個法向量，則，取，則，，所以是平面的一個法向量.又，所以直線PB與平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列滿足，其中．(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前20項和．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)、累乘法求得和的通項公式；(2)結合分組求和法、裂項相消求和法求得.【小問1詳解】對于，當時，，當時，由得，兩式相減得，由于，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.對于，，所以，也符合上式，所以.【小問2詳解】當為奇數(shù)時，；，所以.當為偶數(shù)時，；所以.所以.21.已知橢圓的長軸長是4，離心率為．(1)求的方程；(2)若點P是圓上的一動點，過點P作的兩條切線分別交圓O于點A，B．①求證：；②求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，直接計算